Część 2 8. METODA CROSSA 1 8. METODA CROSSA Wprowadzenie

Transkrypt

1 Część. ETOA CROSSA 1.. ETOA CROSSA.1. Wprowadzenie etoda Crossa pozwaa w łatwy sposób okreśić wartości sił wewnętrznych w układach niewyznaczanych, jednak dokładność obiczeń zaeży od iczby przeprowadzonych iteracji. W odróżnieniu od metody sił oraz metody przemieszczeń nie wymaga ona rozwiązania układu równań, ae pozwaa na bezpośrednie obiczenie szukanych wiekości. Stosowanie metody iteracyjnej jest szczegónie korzystne przy rozwiązywaniu beek ciągłych i ram nieprzesuwnych, ub ram o niewiekiej iczbie niezaeżnych przesuwów. Podstawowe założenia tej metody są identyczne z założeniami kasycznej metody przemieszczeń. Poszukiwanymi wiekościami są przęsłowe momenty przywęzłowe, a schemat podstawowy przyjmuje się identyczny jak w metodzie przemieszczeń. Układ prętowy po zastąpieniu go układem podstawowym będzie składał się z pojedynczych eementów, które można przedstawić jako oddziene beki. Rozpatrzmy najpierw zadanie, które pomoże zrozumieć istotę tej metody (rys..1). W węźe i zbiega się kika prętów. Na węzeł środkowy i działa moment zewnętrzny i, jest to jedyne obciążenie w układzie. i i Rys..1. Schemat ramy oment zewnętrzny będzie przenoszony przez wszystkie pręty. Rozkład obciążenia na poszczegóne pręty będzie proporcjonany do wiekości charakteryzujących sztywności tych prętów. Sztywność pręta w metodzie Crossa okreśamy jako wartość momentu ik (przęsłowego momentu przywęzłowego), jaki powstanie przy obrocie przekroju i o kąt jednostkowy. Umowna sztywność pręta sik, zaeży od sposobu podparcia węzła, co obrazują rysunki.,. i.. φ i =1 k ik i ki Rys... Beka obustronnie utwierdzona a beki obustronnie utwierdzonej sztywność sik pręta wyznaczamy ze wzoru transformacyjnego:

2 Część. ETOA CROSSA ik = i k ik da φ i=1 (φ k = ψ ik = 0) s ik = ik = = i (.1) gdzie i, to sztywność bieżąca pręta i=. Beka jest symetryczna, wobec tego: s ki = ki k =1 = i (.1) Natomiast da beki utwierdzonej jednostronnie (rys..): φ i =1 i ik k Rys... Beka utwierdzona jednostronnie wzór transformacyjny ik = i ik pozwaa okreśić sztywność s ik = ik i =1 = = i (.) W przegubie moment jest zerowy s ki = 0 W bece z podporą śizgową φ i =1 i k Rys... Beka utwierdzona obustronnie z przesuwem ze wzorów transformacyjnych:

3 Część. ETOA CROSSA ik = i k ki = k i wyznaczamy sztywności s ik = ik i =1 = =i s ki = ki ki =1 = =i (.) Sztywność węzła S i, w którym zbiega się kika prętów jest sumą sztywności poszczegónych prętów. S i = s ik (.) k oment obciążający węzeł rozkłada się na poszczegóne pręty proporcjonanie do współczynnika rozdziału rik, który da każdego pręta iczymy ze wzoru: r ik = s ik S i (.5) Suma współczynników rozdziału da węzła wynosi 1: r ik =1 (.6) k Współczynnik rozdziału wyraża procentowy udział pręta w przeniesieniu momentu przyłożonego do węzła, do którego ten pręt dochodzi. Stosunek momentu powstającego w przeciwegłym węźe do momentu w przekroju przy węźe doznającym obrotu o kąt jednostkowy nazywamy współczynnikiem przeniesienia p ik.. p ik = ki ik (.7) Na podstawie wzorów transformacyjnych można okreśić momenty przy obu węzłach beki, gdy jeden z przekrojów dozna jednostkowego obrotu. Współczynniki przeniesienia (przekaźniki) zaeżą od sposobu podparcia beki: beka obustronnie utwierdzona pik = 0,5, bo ik i =1 = ki i =1 = p ik = ki ik = 1 beka jednostronnie utwierdzona z przegubem p ik = 0 beka obustronnie utwierdzona z przesuwem p ik = 1,0 wspornik pik = 0

4 Część. ETOA CROSSA Wyznaczmy omówione powyżej parametry da poszczegónych prętów w ramie z węzłami oznaczonymi jak na rys Rys..5. Schemat ramy a prętów obustronnie utwierdzonych mamy: s 10 1 =1 = a prętów utwierdzonych jednostronnie: Wobec tego sztywność węzła 1 wynosi: 1 = = s 1 = = s 1 1 =1 = 1= = s 1 = = S 1 =s 1 s 1 s 1 s 10 S 1 = = współczynniki rozdziału da poszczegónych prętów są takie same r 10 =r 1 =r 1 =r 1 = =0,5 (.) Teraz na podstawie wyznaczonych współczynników rozdzieamy moment obciążający węzeł 1 na każdy pręt. Wartości momentów 1 i 01 wyznaczamy korzystając ze współczynników przeniesienia, które da prętów obustronnie utwierdzonych wynoszą 0,5. Ponieważ tyko jeden węzeł jest obciążony wystarczy wykonać jeden krok iteracyjny 1 k =r 1 k k1 = p k1 1 k

5 Część. ETOA CROSSA 5 Wyniki zestawiono w tabei.1. Tabea.1. Obiczanie momentów zginających pręt r 1k 0,5 0,5 0,5 0,5 ik 0,5 0,5 0,5 0,5 0,15 0,15 Jeżei dane obciążenie jest obciążeniem węzłowym, to przy rozdzieaniu go nie zmieniamy znaku (patrz tabea.1). Natomiast gdy działające obciążenie, to obciążenie przęsłowe, wtedy w ceu zrównoważenia węzła trzeba zmienić znak (rys..). 0 1 Rys..6. Znakowanie momentów Rys..7. Wykres momentów odatnie znaki momentów przywęzłowych na prętach podano na rys.6. Ostateczne rozwiązanie anaizowanej ramy przedstawiono na rys..7. Powyższe zadania miało na ceu pokazanie jedynie sposobu obiczania poszczegónych współczynników w metodzie Crossa... Agorytm postępowania w metodzie koejnych przybiżeń W metodzie Crossa możemy stosować różne rodzaje zapisu. Jednak niezaeżnie od sposobu notowania obiczeń naeży przejść następujące etapy: obiczenie sztywności prętów s ik, obiczenie sztywności węzłów S = i s ik, k obiczenie współczynników rozdziału r ik = s ik S i, obiczenie współczynników przeniesienia p ik, obiczenie momentów przywęzłowych od obciążeń przęsłowych, zewnętrznych w układzie podstawowym takim jak w kasycznej metodzie przemieszczeń. o ich wyznaczenia można skorzystać z tabei 1.. Po wymienionych wstępnych obiczeniach możemy przystąpić do iteracji, czyi do koejnego wyrównywania momentów w węzłach konstrukcji.

6 Część. ETOA CROSSA 6.. Zapis bezpośredni beka ciągła W ceu zobrazowania prostoty i automatyzmu postępowania w przypadku obiczeń dowonie skompikowanych ram metodą Crossa posłużymy się przykładem nieprzesuwnej beki ciągłej jednokrotnie kinematycznie niewyznaczanej. Będziemy stosować zapis bezpośredni. 16kN kn/m 1 6 Rys... Schemat beki Obiczenia wstępne: wyznaczenie sztywności prętów wyznaczenie sztywności węzłów wyznaczenie współczynników rozdziału s 1 =s 1 = = s = 6 = S 1 = S = = S =0 r 1 = s 1 S = r = s S = 1 wyznaczenie momentów przywęzłowych od obciążeń przęsłowych P P q = = knm 16 1 = = knm = 6 = 1 knm =0

7 Część. ETOA CROSSA 7 Otrzymane wartości porządkujemy w tabei: 16kN kn/m m 6m i s S=Σs Tabea.. Zapis bezpośredni metody Crossa r p 0 0,5 0 0,5 o Δ =10 I Σ= Po zsumowaniu okazuje się, że w węźe występuje różnica momentów Δ = -10 (wiersz 7). Aby węzeł był w równowadze trzeba dodać moment o wartości -Δ. Rozdzieamy niezrównoważony moment zginający w węźe o wartości 10 knm na pręty 1- i - (wiersz ). Współczynniki przeniesienia pozwaają nam obiczyć wartości momentów w punktach 1 i wywołane momentem -Δ. Na koniec obiczamy momenty na prętach (wiersz 9) przez sumowanie wartości wyjściowej (wiersz 7) i rozdzieonej wartości Δ (wiersz ). Został wykonany jeden krok iteracyjny. W bardziej skompikowanych zadaniach iterację naeży przeprowadzić więcej razy. Końcowy wykres momentów został przedstawiony na rys [knm] 1 Rys..9. Wykres momentów w układzie niewyznaczanym

8 Część. ETOA CROSSA.. Zapis tabearyczny rama nieprzesuwna Zapis tabearyczny jest wygodniejszy da ram, w których w jednym węźe zbiega się więcej niż dwa pręty, gdyż nie jest bezpośrednio związany ze schematem konstrukcji. 6kN kn/m A B 1,5 C 6 E 16kN Rys..10. Schemat ramy Okreśenie potrzebnych parametrów: obiczenie sztywności prętów s AB =s BA = = 1,5 s BC =s CB = = 6 s BE = = 6 s C = = 6 obiczenie sztywności węzłów S A =s AB = S B =s BA s BC s BE = S C =s CB s C = obiczenie współczynników rozdziału r AB =1 r BA =r BC =r BE = 1 r CB =r C = 1 obiczenie momentów przywęzłowych od obciążeń przęsłowych

9 Część. ETOA CROSSA 9 A B 1 1 C 1 E AB = 6 = knm BA =6 = knm BC = 6 1 = 1 knm 6 CB = =1 knm C = = 1 knm 16 Układamy tabicę, w której da każdego węzła wydzieamy dodatkową koumnę oznaczoną symboem sumy. Oprócz tej koumny da każdego węzła tworzymy jeszcze tye koumn, ie zbiega się w nim prętów. Tytułami koumn są oznaczenia prętów. Ważna jest koejność iter, gdyż pierwsza wskazuje punkt, w którym znajduje się anaizowany przekrój. ówiąc o przekroju np. BA mamy na myśi przekrój przy węźe B na pręcie AB. Następnie zapisujemy w koumnach odpowiadających poszczegónym przekrojom przywęzłowym obiczone sztywności prętów s, współczynniki rozdziału r i przekaźniki p. Wszystkie te wiekości stanowią nagłówek tabicy. Następnie we właściwej części tabicy wpiszemy momenty zginające przywęzłowe i przeprowadzimy iterację. Sposób prowadzenia iteracji w tabicy omówimy na przykładzie anaizowanej ramy. Tabea.. Wyznaczenie momentów zginających metodą Crossa Węzeł A B C Pręt AB BA BC BE CB C s r 1 1 ⅓ ⅓ ⅓ 1 ½ ½ p 0 0,5 0,5 0 0,5 0 o I równoważenie 1,5 9 -,5 1,5 II równoważenie 1,15 1,15,5,5,5 III równoważenie -0,175-1,15-0,75-0,75-0,75-0,175-0,175 IV równoważenie 0,0675 0,0675 0,175 0,0975 0,0975 V równoważenie -0,007-0,0675-0, , , ,0071-0,0071 VI równoważenie 0, , ,0071 0, ,00906 VII równoważenie -0,000-0, , , , wynik końcowy -1,70 0 5,61 -,, ,65-15,65

10 Część. ETOA CROSSA 10 W pierwszym wierszu wpisujemy momenty wyjściowe o (wyznaczone w układzie kinematycznie wyznaczanym), które obiczyiśmy już wcześniej. Następnie w każdym węźe sprawdzamy sumę momentów. Okazuje się, że największy co do wartości bezwzgędnej niezrównoważony moment występuje w węźe B. Wynosi on ΔB = -9 knm. Zapisujemy go w rubryce sum węzła B. Zwaniamy teraz fikcyjne utwierdzenie węzła B i dokonujemy obrotu równoznacznego z przyłożeniem do tego węzła momentu -Δ B = 9 knm, aby uzyskać równowagę węzła B. oment równoważący 9 knm rozdzieamy na przekroje przywęzłowe schodzące się w punkcie B według współczynników rozdziału, czyi: BA = BC = BE = 1 9 = knm Obiczone momenty przekazujemy według przekaźników p odpowiednio na węzły A i C (na przekroje AB i CB): CB =0,5 =1,5 knm AB =0,5 =1,5 knm Po zrównoważeniu węzła, rozdzieeniu i przekazaniu momentów podkreśamy koumny danego węzła i przechodzimy do węzła następnego, w tym przypadku węzła C (węzeł B jest w równowadze). Suma momentów w tym węźe wynosi ΔC = -,5 knm. a zrównoważenia przykładamy moment -ΔC =,5 knm i rozdzieamy go na przekroje przywęzłowe według współczynników rozdziału tego węzła: CB = 1,5 =,5 knm = 1 C,5 =,5 knm Z przekroju CB połowa momentu przekazywana jest na przekrój BC zgodnie ze współczynnikiem przekazu: BC =0,5,5 =1,15 knm Po przekazaniu tego momentu podkreśamy węzeł C, który już jest zrównoważony w tym kroku iteracyjnym. Teraz ponownie mamy brak równowagi w węźe B, Δ B = 1,15 knm. Równoważmy węzeł przyłożeniem momentu -1,15 knm i daej przeprowadzamy iterację, aż do otrzymania niezrównoważonych momentów Δ o wartościach równych założonej dokładności obiczeń. Sumy momentów w poszczegónych rubrykach są już gotowymi wartościami momentów przywęzłowych w ramie niewyznaczanej. Suma momentów, w każdym węźe musi być równa zeru: i = 0, co jest warunkiem koniecznym (ae niewystarczającym) poprawności rozwiązania zadania. 15,65, 5,61 1,70 15,65,61 Rys..11. Wykres momentów w ramie niewyznaczanej P (n) [knm]

11 Część. ETOA CROSSA Ramy o węzłach przesuwnych Rozwiązywanie ram o węzłach przesuwnych jest bardziej pracochłonne niż ram o węzłach nieprzesuwnych. Zajmiemy się sposobem dwuetapowego rozwiązywania takich ram, opartym na umiejętności rozwiązywania ram o węzłach nieprzesuwnych. W I etapie uwzgędniamy wpływ obciążenia zewnętrznego działającego na ramę o węzłach pozbawionych swobody przesuwu, natomiast w etapie drugim uwzgędniamy wpływ przesuwów. Etap II dzieimy na tye podetapów, ie jest niezaeżnych przesuwów. Ostateczne rozwiązanie danego układu jest sumą rozwiązań poszczegónych etapów. a zobrazowania zagadnienia rozwiążemy przykład podobny do poprzedniego (rys..11). Różnica poega na tym, że podporę zamienimy na przesuwną (rys..1). zięki temu będziemy mogi wykorzystać wyniki z poprzedniego zadania. Etap I. Wprowadzamy zamocowania uniemożiwiające obroty węzłów B i C oraz podporę w punkcie pozbawiającą ramę możiwości przesuwu. Otrzymaiśmy w ten sposób układ podstawowy (rys..1). 6kN kn/m A B 1,5 C 6 E 16kN Rys..1. Schemat ramy z podporą przesuwną 6kN kn/m A B 1,5 C 6 E 16kN R Rys..1. Układ podstawowy (podpora nieprzesuwna w punkcie ) Po wyznaczeniu momentów wyjściowych da tego układu (w układzie podstawowym) przeprowadzamy obiczenia iteracyjne umożiwiając koejno węzłom obroty aż do uzyskania równowagi węzłów. Całą iterację przeprowadzamy da układu nie mającego możiwości przesuwu. Jest to zatem takie zadanie jak rozwiązaiśmy poprzednio. Wynikiem tych obiczeń jest uzyskanie wartości momentów w układzie niewyznaczanym, które w tym zadaniu są momentami z pierwszego etapu I (rys..11). Biorąc pod uwagę pręt C obciążony siłą zewnętrzną i momentem przywęzłowym z I etapu wyznaczamy reakcję w fikcyjnej podporze poziomej w punkcie (rys..1)

12 Część. ETOA CROSSA 1 C =0 15,65 R I 6 =16 R I =5,9 kn ożna stwierdzić, że jest to reakcja w układzie kinematycznie wyznaczanym. 15,65 C 16kN R I Rys..1. Wyznaczenie reakcji R I Etap II. Ponieważ w rzeczywistości węzeł może się przesunąć, usuwamy fikcyjną podporę w tym węźe umożiwiając w ten sposób przemieszczenie. Nie wiemy, jaka będzie prawdziwa wartość tego przemieszczenia, datego dokonujemy przesunięcia o wartość dowoną. Na skutek przesuwu o wartość Δ podpory w węźe C powstaje moment, którego wartości też nie znamy. a ułatwienia rachunków przyjmujemy taką wartość przesunięcia, aby wyjściowe momenty drugiego etapu II o przybierały wartości wygodne iczbowo na przykład powyżej 100. Ponieważ wartość ta nie ma wpływu na ostateczny wynik, jest dowona, przyjmujemy: o II =10 A B 1,5 C 6 E 6 Δ Rys..15. owone przesunięcie podpory Innymi słowy trzeba obiczyć wartość momentu, który przyłożony w węźe C zrównoważy reakcję poziomą w węźe. Jeżei znajdziemy wartość tego momentu, przyłożymy go do konstrukcji i wyznaczymy rozkład sił wewnętrznych od tego obciążenia. Będą to siły wewnętrzne II etapu po zsumowaniu ich z siłami etapu I otrzymamy ostateczny wynik.

13 Część. ETOA CROSSA 1 10 A B 1,5 C 6 E 6 Rys..16. omenty wyjściowe II o (w układzie podstawowym) Tabea.. Obiczenia da ramy z przesuwem Węzeł A B C Pręt AB BA BC BE CB C s r 1 1 ⅓ ⅓ ⅓ 1 ½ ½ p 0 0,5 0,5 0 0,5 0 I -1,70 0 5,61 -,, ,65-15,65 o II I równoważenie II 7, ,5 7,5 III -1,75-1,75-7,5 -,75 -,75 IV 0,15 1,75 0,65 0,65 0,65 0,15 0,15 V -0,0715-0,0715-0,15-0,1565-0,1565 VI 0,010 0,0715 0,060 0,060 0,060 II 7, 0 15,65-1,0 15,65 0-6,09 6,09 m II -,9 0-5, 11,76-5, 0, -, -,6 0-0,7,5 -,7 0 7,9-7,9 Po przeprowadzeniu sześciu kroków iteracyjnych uzyskaiśmy rozkład momentów II w ramie niewyznaczanej obciążonej momentem 10 w węźe C (od przesuwu). Następnie obiczamy wartość reakcji R II fikcyjnej (rys..17), która powstaje w ramie niewyznaczanej obciążonej momentem 10. C =0 6,09=R II 6 R II =1,5 kn W podporze w rzeczywistości nie ma reakcji poziomej. Wobec tego przesuw musi mieć taką wartość, aby reakcja od niego powstająca zrównoważyła reakcje od obciążenia zewnętrznego. Suma reakcji R od obciążenia i od przesuwu musi być równa zeru. W związku z tym naeży skorygować dowone, dokonane w II etapie przesunięcie, mnożąc je przez wiekość m. Wtedy reakcja powstająca od przesuwu też będzie

14 Część. ETOA CROSSA 1 skorygowana współczynnikiem m: R I m R II =0 6,09 C R II.17. Wyznaczenie reakcji R II Z zaeżności tej wyznaczamy wartość mnożnika m, który wyraża stosunek rzeczywistego przesunięcia węzłów do przesunięcia dowonego, dokonanego w drugim etapie, czyi także stosunek momentów powodowanych przesunięciem rzeczywistym do momentów wywołanych dowonym przesuwem Δ: m= R I R = II rz II II Podstawiając obiczone w etapie I i II reakcje otrzymujemy: m= 5,9 1,5 = 0,756 Ostatecznie rzeczywiste momenty przywęzłowe zgodnie z zasadą superpozycji będą sumą momentów z ramy nieprzesuwnej I i momentów od przesuwu II (Δ) skorygowanych współczynnikiem m: ik = I II ik m ik Wyniki przedstawiono w tabei. i na rys..1. 7,9,6 0,7,7 7,9,5 (n) [knm] Rys..1. Wykres momentów rzeczywistych w ramie z przesuwem