METODA SIŁ KRATOWNICA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "METODA SIŁ KRATOWNICA"

Transkrypt

1 Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys.. wyznaczyć siły wewnętrzne od podanego obciążenia. kn 2 kn Rys... Zadana kratownica statycznie niewyznaczalna Dane geometryczne i fizyczne są takie same dla odpowiednich grup prętów. Po przyjęciu sztywności porównawczej sztywności poszczególnych prętów są następujące: dla pasa górnego G G = dla pasa dolnego D D = dla słupków S = dla krzyżulców S = ąt pochylenia krzyżulca wynosi 5 o, wobec tego: α sin = 2 = 2 2 cos = 2 = 2 2 ratownica jest dwa razy statycznie niewyznaczalna (SSN = 2), raz wewnętrznie i raz zewnętrznie. W celu rozwiązania zadania metodą sił przyjmujemy układ podstawowy przedstawiony na rys..2:

2 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 2 kn kn X X A B C X 2 Rys..2. Układ podstawowy który musi spełniać warunki kinematycznej zgodności z układem wyjściowym. znacza to, że wzajemne zbliżenie przekroi w rozciętym pręcie, oraz przemieszczenie pionowe węzła C muszą być równe zero. = v c = (.) Na powyższe przemieszczenia wpływ mają nadliczbowe sił Xi i obciążenie zewnętrzne. Równania kanoniczne przyjmują postać: = X X 2 2 P = v c = X 2 X P = (.2) Przemieszczenia w kratownicy obliczamy ze wzoru uwzględniającego tylko siły normalne: n i N ik = k j N j l j= j (.) j gdzie: i N j k N j n - siła w pręcie j- tym w stanie Xi =, - siła w pręcie j- tym w stanie X k =, - liczba prętów w kratownicy. olejnym etapem jest wyznaczenie sił w prętach kratownicy od sił jednostkowych przyłożonych kolejno w miejsca niewiadomych X i X 2, oraz od obciążenia zewnętrznego.

3 Część. METDA SIŁ - RATWNICA Stan od obciążenia X = X = X = Rys... Stan obciążenia X = bliczenie reakcji: X = X = Siły w prętach obliczamy z równowagi węzłów. Ich rozkład przedstawia rys..: N [ - ] Rys... Rozwiązanie kratownicy w stanie X = Należy zwrócić uwagę na fakt, że w pręcie 8 tylko w stanie X = występuje siła normalna (N 8 () =).

4 Część. METDA SIŁ - RATWNICA Stan od obciążenia X2 = X 2 = Rys..5. Stan obciążenia X 2= bliczenie reakcji: 2 X 2 = Siły w prętach obliczamy z równowagi węzłów. Ich rozkład przedstawia rys..6: N 2 [ - ] Rys..6. Rozwiązanie kratownicy w stanie X 2=

5 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 5 Stan od obciążenia P kn kn Rys..7. Stan obciążenia P bliczenie reakcji: kn kn kn 5 kn 5 kn Siły w prętach obliczamy z równowagi węzłów. Ich rozkład przedstawia rys..8: N P [kn] Rys..8. Rozwiązanie kratownicy od stanu obciążenia zewnętrznego

6 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 6 W tabeli. zestawiono siły w prętach dla poszczególnych stanów obciążeń oraz iloczyny odpowiednich wielkości. Wielkości zsumowane w odpowiednich kolumnach dają wartości przemieszczeń zgodnie ze wzorem (.), (pomnożone przez sztywność porównawczą ): pręt l N P [kn ] N [kn ] Tabela.. Zestawienie wyników obliczeń N 2 [kn ] N N l N 2 N 2 l N N 2 l N N P l N 2 N P,,,,,,,,, 2, -5, -,7 -,,5, 2,2 7,25 5,, -,, -,,,,, 9,, -,,,,,,,, 5 2,,,,,,,,, 6 2,8-9,5, -,, 5,66,, 97,99 7 2, -5, -,7,, 2, -, 7,7 -, 8 2,8,,, 2,8,,,, 9 2,8 7,7, -, 2,8 5,66 -, 2, -28,28 2, -5, -,7 2,, 8, -2,8 7,7-2, 2,8,, -,, 5,66,,, 2 2,,,,, 2,,,, 2,8,, -,, 5,66,,, 2,,,,,,,,, 5, 5,,,,,,, 5, 6,, -,7 2,,5 2, -,2,, 7,,, 2,, 2,,,, 8,,,,,,,,, Suma:,66 7,6 -,6 8,9 9,7 l =,66 ; 2 =,6 ; 22 =7,6 ; P =8,9 ; 2 P =9,7 bliczone wartości przemieszczeń podstawiamy do układu równań kanonicznych: {X,66 X 2,6 8,9 = X,6 X 2 7,6 9,7 = Mnożymy przez sztywność

7 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 7 { X,66 X,6 8,9= 2 X,6 X 2 7,6 9,7= i obliczamy wartości niewiadomych sił: { X = 7,87 [kn ] X 2 = 7,566 [kn ] Po otrzymaniu wartości niewiadomych dokonujemy analizy końcowej zadania, czyli obliczamy rzeczywiste siły wewnętrzne obciążając układ podstawowy siłami zewnętrznymi oraz nadliczbowymi X i X2. kn kn 7,8 kn 7,8 kn A B C 7,52 kn Rys..9. Układ podstawowy obciążony zewnętrznie oraz przez siły X i X 2 Ponieważ obliczenie sił normalnych wymaga ponownego rozwiązania układu, wygodniej jest skorzystać z zasady superpozycji: N n j =N j P X N j j X 2 N 2 (.) gdzie: Nj (n) siła w j- tym pręcie w układzie statycznie niewyznaczalnym (j) N P siła w j- tym pręcie od obciążenia zewnętrznego w układzie podstawowym N (j) siła w j- tym pręcie w stanie X = (j) N 2 siła w j- tym pręcie w stanie X 2 = Dla ułatwienia obliczeń posłużymy się tabelą.2:

8 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 8 Tabela.2. Zestawienie obliczeń do wyznaczenia n N j l N P [kn ] N [ ] N 2 [ ],,,, 2, -5, -,7 -,, -,, -,, -,,, 5 2,,,, 6 2,8-9,5, -, 7 2, -5, -,7, 8 2,8,,, 9 2,8 7,7, -, 2, -5, -,7 2, 2,8,, -, 2 2,,,, 2,8,, -, 2,,,, 5, 5,,, 6,, -,7 2, 7,,, 2, 8,,,, X [kn ] X 2 [kn ] -7,8-7,52 N n [kn ], -5,2-22,8 -,, -8,87 -,6-7,8,22-7,67,6-7,52,6, -2,52-2,67-5, -7,52 Posługując się wartościami zawartymi w tabeli.2 możemy określić rozkład sił w prętach zadanej kratownicy statycznie niewyznaczalnej (rys..). N (n) [kn], 5,2 22,8, 7,8 8,87,6 7,67,6 7,52,6,22, 2,52 2,67 5, 7,52 27,8 2,, 7,52 Rys... Rozkład sił w prętach kratownicy statycznie niewyznaczalnej

9 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 9 Sprawdzenie kinematyczne: W celu wykonania sprawdzenia kinematycznego skorzystamy ze wzoru redukcyjnego: = j N n j j N k l j (.5) j gdzie: N k j - siła w j- tym pręcie w układzie statycznie wyznaczalnym od obciążenia wirtualnego. Musimy obliczyć znane przemieszczenie korzystając z innego układu podstawowego (rys..). Liczymy przemieszczenie pionowe w węźle nr (przykładamy wirtualną siłę pionową). W rzeczywistości jest tam podpora, tak więc przemieszczenie pionowe jest równe zero. Rys... Inny układ podstawowy Siły w prętach obliczamy z równowagi węzłów. Ich rozkład przedstawia rys..2: N k [ - ],5,5,5 2,5,5 2,5 2,5 2,5,5 B,5,5,5 Rys..2. Rozkład sił w prętach kratownicy od siły wirtualnej w nowym układzie podstawowym W tabeli. zestawiono wyniki kontroli kinematycznej sił z rys..2 oraz dla sił wyznaczonych w stanach X = i X 2 =.

10 Część. METDA SIŁ - RATWNICA Tabela.. Wyniki kontroli kinematycznej l N P [kn ] N [ ] N 2 [ ],,,, 2, -5, -,7 -,, -,, -,, -,,, 5 2,,,, 6 2,8-9,5, -, 7 2, -5, -,7, 8 2,8,,, 9 2,8 7,7, -, 2, -5, -,7 2, 2,8,, -, 2 2,,,, 2,8,, -, 2,,,, 5, 5,,, 6,, -,7 2, 7,,, 2, 8,,,, N n [kn ] N k N n N k l N n N N k =N l N n N N k =N 2 2,,,,,,, -5,2 -,5 22,68 -,7 2,8 -, 5,7-22,8 -,5,7,, -, 67,5 -,,,,,,,,,,,,,, -8,87 -,7 77,7,, -, 55,7 -,6,5 -,6 -,7,22, -, -7,8,,, -9,,,,22 -,7 -,,,62 -, -,88-7,67, -5, -,7,85 2, -,69,6 -,7-2,26,, -, -2,52-7,52,5-7,52,,, -5,,6 -,7-2,26,, -, -2,52,,,,,,, -2,52,5 -,77,,, -7,55-2,67, -8,2 -,7 5,67 2, -6, -5,, -5,,, 2, -9,2-7,52,5 -,27,,, -22,55 Suma: -,2,, l Dodatkowo obliczyć możemy jeszcze błędy, dzieląc wyniki przez sumy wartości bezwzględnych z poszczególnych kolumn. V =,2 =, 2 =, N n j N j k l=77,7 N n j N j l=9, N n j N j 2 l =55,7,2 %=, % 77,7, %=,2 % 9,, %=,2 % 55,7 Warto dodać tutaj, iż błędy wyliczone powyżej mieszczą się w dopuszczalnej granicy %, zadanie możemy więc uznać za rozwiązane prawidłowo.

11 Część. METDA SIŁ - RATWNICA Zadanie 2 Wyznaczyć linie wpływu sił w prętach kratownicy statycznie niewyznaczalnej wykorzystując metodę ciężarów sprężystych. Dana jest kratownica: x P= G G 2 G G G 5 G 6 G 7 S S 2 2 S S S 5 5 S 6 6 S 7 7 S 8 n D D 2 D D D 5 D 6 D 7 Rys... Zadana kratownica statycznie niewyznaczalna Zależności między sztywnościami dla poszczególnych grup prętów są następujące: dla pasa górnego G dla pasa dolnego D dla słupków S dla krzyżulców 5 Celem zadania jest wyznaczenie linii wpływu siły w pręcie D od poruszającej się po pasie górnym siły jedynkowej. Zgodnie z zasadą superpozycji zapisujemy równanie linii wpływu w układzie statycznie niewyznaczalnym: lw D n X =lw D D = X lw X D = 2 lw X 2 (.6) Dobrano układ podstawowy:

12 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 2 x P= G G 2 G G G 5 G 6 G 7 S S 2 2 S S S 5 5 S 6 6 S 7 7 S 8 X X D D 2 D D D 5 D 6 D 7 X 2 Rys... Układ podstawowy który uzupełniamy układem równań kanonicznych: { X 2 X 2 P = 2 X 22 X 2 2 P = (.7) W celu obliczenia współczynników korzystamy z zależności: ik = m S i m S k m m l m (.8) gdzie: l m to długość pręta, Sim to siła w stanie Xi= w pręcie m, S Pm ip = m to siła w pręcie m od obciążenia zewnętrznego. S i m S Pm m l m (.9) Stan S (obciążenie X =) Rys..5. Stan obciążenia X =

13 Część. METDA SIŁ - RATWNICA Stan S2 (obciążenie X2=),67,,67 -,5 -,5,5, ,67 -, -, X 2 =,5,5 Rys..6. Stan obciążenia X 2= Do obliczenia przemieszczeń posłużono się tabelą: l Tabela.. Siły w prętach w stanach jednostkowych S S 2 S S l S S 2 l S 2 S 2 l D,,,,,, D 2,,,,,, D,, -,6(6),,,() D, -,8 -,(),92,2 5,() D 5,, -,6(6),,,() D 6,,,,,, D 7,,,,,, S,,,,,, S 2,,,,,, S,,,,,, S, -,6 -,5,8,9,75 S 5, -,6 -,5,8,9,75 S 6,,,5,,,75 S 7,,,5,,,75 S 8,,,,,,,,,,,, 2,,,,,,,,,8(),, 2,8(),,,8(), 2,5 2,8()

14 Część. METDA SIŁ - RATWNICA l S S 2 S S l S S 2 l S 2 S 2 l 5,, -,8(),, 2,8() 6,, -,8(),, 2,8() 7,,,,,, G,,,,,, G 2,,,,,, G,,,,,, G, -,8,6(6),92 -,6,() G 5,,,(),, 5,() G 6,,,6(6),,,() G 7,,,,,, n,,,,,, Suma: 2, 5,9 27,() Wyznaczone sumy oznaczają przemieszczenia: = m 2 = m 22 = m S S m l m =2 S S 2 m l m =5,9 S 2 S 2 m l m =27, [ ] m [ ] m [ ] m bciążeniem jest poruszająca się siła P=, zatem ΔP i Δ2P są wielkościami zmiennymi zależnymi od x. Zgodnie z twierdzeniem Maxwella (Δ ip = Δ Pi) możemy wyznaczyć Δ P i Δ P2, czyli linie ugięć pasa górnego kratownicy wywołane działaniem odpowiednio sił X i X 2. Do ich wyznaczenia zastosujemy metodę ciężarów sprężystych. Musimy wyznaczyć dwie grupy ciężarów sprężystych (siły w j () i w j (2) ) i obciążyć nimi belkę zastępczą. Wyznaczone od tych sił dwa wykresy momentów będą odpowiednio liniami ugięć Δ P i Δ P2. Wartości sił wyliczymy ze wzoru: i S w j = i m S j m l m m (.) m gdzie: i w j to ciężar sprężysty obliczony dla węzła j, dla obciążenia Xi =,

15 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 5 S j m to siła w pręcie m wywołana obciążeniem wirtualnym przyłożonym do węzłów j-, j i j+ w układzie podstawowym, S i m to siła w pręcie m w stanie Xi =. w (i) w 2 (i) w (i) w (i) w 5 (i) w 6 (i) Rys..7. Belka zastępcza obciążona ciężarami sprężystymi Najpierw musimy wyznaczyć siły S jm przykładając obciążenie wirtualne do kolejnych węzłów. Siły S m otrzymamy przykładając obciążenie do węzłów, i 2 (m to numer pręta kratownicy):,25,5,25 -,,25 -, , Dalej wyznaczamy siły S 2 m dla węzła j = 2:,25,5,25 -,,25 -, ,

16 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 6 Dla j = siły S m :,25,5,25 -,,25 -, , Dla j = siły S m :,25,5,25 -,, ,25.2, Dla j = 5 siły S 5 m :,25,5,25 -,, ,25.2, Dla j = 6 siły S 6 m :

17 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 7,25,5,25 -,, ,25.2, Wszystkie wartości sił przedstawiono w tabeli uwzględniając ściskanie i rozciąganie prętów: Tabela.5. Siły w prętach od obciążeń wirtualnych S S 2 S S S 5 S 6 D,(),,,,, D 2,,(),,,, D,,,(),,, D,,,,(),, D 5,,,,,(), D 6,,,,,,() D 7,,,,,, S,25,,,,, S 2 -,25,25,,,, S, -,25,25,,, S,, -,25,25,, S 5,,, -,25,25, S 6,,,, -,25,25 S 7,,,,, -,25 S 8,,,,,, -,(6),,,,, 2,(6) -,(6),,,,,,(6) -,(6),,,,,,(6) -,(6),, 5,,,,(6) -,(6), 6,,,,,(6) -,(6) 7,,,,,,(6) G,,,,,, G 2 -,(),,,,,

18 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 8 S S 2 S S S 5 S 6 G, -,(),,,, G,, -,(),,, G 5,,, -,(),, G 6,,,, -,(), G 7,,,,, -,() n,,,,,, Wartości ciężarów sprężystych otrzymamy sumując odpowiednie iloczyny sił: i w j = m S i m S j m l m m Porównując rozkład sił w stanie X = i X2 = oraz przy obciążeniach wirtualnych zauważymy, że w niektórych przypadkach siły nie pokrywają się w żadnym pręcie. W tabeli.6 zestawiono tylko niezerowe iloczyny. Tabela.6. Iloczyny od obciążeń jednostkowych i wirtualnych S S l S S l S S 5 l S 2 S 2 l S 2 S l S 2 S l S 2 S 5 l S 2 S 6 l D,,,,,,,, D 2,,,,,,,, D,,,, -,6(6),,, D, -,8,,, -,(),, D 5,,,,,, -,6(6), D 6,,,,,,,, D 7,,,,,,,, S,,,,,,,, S 2,,,,,,,, S,,,,,,,, S,5 -,5,,,75 -,75,, S 5,,5 -,5,,,75 -,75, S 6,,,,,, -,75,75 S 7,,,,,,, -,75 S 8,,,,,,,,,,,,,,,, 2,,,,,,,,,,,,(6) -,(6),,,,25 -,25,,,(6) -,(6),, 5,,,,,,(6) -,(6),

19 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 9 S S l S S l S S 5 l S 2 S 2 l S 2 S l S 2 S l S 2 S 5 l S 2 S 6 l 6,,,,,,,(6) -,(6) 7,,,,,,,, G,,,,,,,, G 2,,,,,,,, G,,,,,,,, G,8,,, -,6(6),,, G 5,,,,, -,(),, G 6,,,,,, -,6(6), G 7,,,,,,,, n,,,,,,,, Suma: 2,5-2,5 -,5,(6) -,958() -,75-2,8(),(6) dpowiednie sumy z tabel. i.6 prowadzą do wartości: = 2 2 = = 27, dla obciążenia X = dla obciążenia X 2 = w = w 2 = w = 2,5 w = 2,5 w 5 =,5 w 6 = w = w 2 =, 6,958 w = w =,75 2,8 w 5 = w 6 =, 6

20 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 2 Wykres momentów w belce zastępczej od obciążenia ciężarkami sprężystymi w j () pokrywa się z linią ugięcia P 5,9 2,5 2,5,5 2,95,77,77 Rys..8. Belka zastępcza obciążona ciężarami sprężystymi w j () 5,9 M, 2,95 2,95 2,95 Rys..9. Wykres momentów w belce zastępczej od obciążenia ciężarkami sprężystymi w j () Ponieważ siła porusza się po pasie górnym kraty należy w wykresie momentów uwzględnić w punkcie 7 wartość momentu wtórnego odpowiadającą rzeczywistemu skróceniu słupka S' 7 przy obciążeniu kratownicy X 2 =. M 7 =,5 =,5 trzymaliśmy wartość ujemną ponieważ słupek jest rozciągany oznacza to, że oś pasa górnego uniesie się w tym miejscu o wartość,5/. W stanie X = w słupku podporowym siła była równa zero co oznaczało, że pas górny nad podporą nie przemieszczał się.

21 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 2 2,,2,958,75 2,8,2,667 2,667 25,8 M 7 =,5, M 2,8 7,8,5,67 2, Rys..2. Wykres momentów w belce zastępczej od obciążenia ciężarkami sprężystymi w j (2) Aby znaleźć linie wpływu X i X2 trzeba rozwiązać układ równań kanonicznych można to zrobić wyznaczając macierz odwrotną do macierzy podatności: A=[ ] [ = 2 5,9 5,9 27, ] [ A][ X ]=[ P] [ X ]=[ A] [ P] (.) ażdy wyraz macierzy odwrotnej policzymy ze wzoru: A ij = det A i j A ij (.) Czyli odwrotność wyznacznika macierzy pomnożona przez - do potęgi (i+j) i pomnożona przez wyraz, który pozostał po skróceniu i-tego wiersza i j-tej kolumny: det [A]= 29,9 A = 29,9 27, =, A 2 = 29,9 2 5,9=,2269 A 22 = 29, =,9299

22 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 22 trzymujemy macierz odwrotną, A =[, ,2269,2269,9299 ] która pomnożona przez macierz początkową musi dać macierz jedynkową: [ A], ,2269 [ A]=[,2269,9299 ] [ 2 5,9 5,9 27, ] [ = ] Biorąc pod uwagę fakt, że [ P]=col { P ; 2 P } wartości nadliczbowych wyliczamy z zależności: X =, P, P X 2 =,2269 P, P Wyrazy wolne ip a co za tym idzie siły nadliczbowe X i są funkcjami współrzędnej położenia siły P = (są inne dla każdego x). znacza to, że wyznaczyliśmy linie wpływu sił nadliczbowych (X i (x) = lw X i). Aby stworzyć linię wpływu dowolnej wielkości w układzie statycznie niewyznaczalnym (np. lw D ) korzystamy z zasady superpozycji: x lw D =lw D D = X lw X D = 2 lw X 2 Najpierw wyznaczymy wielkości w układzie statycznie wyznaczalnym (podstawowym). Przy obciążeniu kratownicy siłą X = otrzymaliśmy D = -,8, a przy obciążeniu siłą X 2 = było D = -,. Wobec tego: D X = =,8 D X 2 = =, Dalej wyznaczamy linie wpływu w układzie podstawowym. x P= α G G 2 G G M G 5 G 6 G 7 S S 2 2 S S S 5 5 S 6 6 S 7 7 S 8 D D 2 D D D 5 D 6 D 7 V A = 2 - x 6 α V B = x 6-2

23 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 2 lw V A lw V B lw D Rys..2. Linie wpływu w układzie podstawowym Po wykonaniu przekroju α-α równoważymy jedną z odciętych części zgodnie z metodą Rittera. Gdy siła P= jest w przedziałach: x,2 M M P = D = 8 V B x 6,28 M M L = D = 8 V A Na koniec w każdym węźle kratownicy policzono wartości nadliczbowych oraz siły w pręcie D (tab..7) Tabela.7. Linie wpływu sił x P 2 P lwx lwx 2 lwd lwd -5,9 2,, , , -, ,95,667, ,9592 -,667 -, ,,,,,, 2 2,95 -,8 -,575888,666798,667, , -25,8 -,7627,978286,, ,9-7,8 -,88779,675788,667 -,65655

24 Część. METDA SIŁ - RATWNICA 2 x P 2 P lwx lwx 2 lwd lwd 2, -,5 -,852,696, -, ,95,6 -,69 -,7588 -,667 -, oraz przedstawiono graficznie rezultaty obliczeń. Warto zwrócić uwagę na kształt funkcji P i 2 P, które przedstawiają postać odkształconą (linię ugięcia) pasa górnego kratownicy przy działaniu odpowiednio siły X = i X 2 =. x P= G G 2 G G G 5 G 6 G 7 S S 2 2 S S S 5 5 S 6 6 S 7 7 S 8 n D D 2 D D D 5 D 6 D 7-5,9 -, -2,95-2,95 Δ P = Δ P Δ 2P = Δ P2 -,8 2,95-25,8 2,95-7,8,5 lw X (n) 2,,67 -,57,6 -,8 -,8 -, -,6,979,9 lw X 2 (n) lw D (n) -,998 -,79 -,95 -,97,666,975,27, -,76,6,67 -,6 -,58 -,7

MECHANIKA BUDOWLI. Linie wpływu sił w prętach kratownic statycznie niewyznaczalnych

MECHANIKA BUDOWLI. Linie wpływu sił w prętach kratownic statycznie niewyznaczalnych Dana kratownica: Olga Kopacz, Ada Łodygowski, ojciech Pawłowski, Michał Płotkowiak, Krzysztof Typer Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOSKI Poznań 00/00 MECHANIKA BUDOLI Linie wpływu sił w prętach

Bardziej szczegółowo

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy

Bardziej szczegółowo

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy

Bardziej szczegółowo

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI

Bardziej szczegółowo

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu rysunek jest w skali True 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek

Bardziej szczegółowo

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna

Bardziej szczegółowo

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ .. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:

Bardziej szczegółowo

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład echaniki Budowli Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Rama Dla układu pokazanego poniŝej naleŝy: - Oblicz i wykonać

Bardziej szczegółowo

5.1. Kratownice płaskie

5.1. Kratownice płaskie .. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA

OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA POLECHNA POZNAŃSA WYDZAŁ BUDOWNCWA NŻYNER ŚRODOWSA NSYU ONSRUCJ BUDOWLANYCH ZAŁAD ECHAN BUDOWL OBLCZANE RA EODĄ PRZEESZCZEŃ WERSJA OPUEROWA Ćwiczenie projektowe nr z echani budowli Wykonał: aciej BYCZYŃS

Bardziej szczegółowo

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o wzajemności

Twierdzenia o wzajemności Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F

Bardziej szczegółowo

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeo dobieram wstępne przekroje prętów.

Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeo dobieram wstępne przekroje prętów. 2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 3 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopieo statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Ćwiczenie nr 3. Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Ewa Kloczkowska, KBI 1, rok akademicki 006/007 Ćwiczenie nr 3 Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Dla układu prętowego przedstawionego na rysunku naleŝy: 1) Obliczyć i wykonać wykresy

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : pok. 5, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady,

Bardziej szczegółowo

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH

WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,

Bardziej szczegółowo

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 6 Kratownice

ĆWICZENIE 6 Kratownice ĆWICZENIE 6 Kratownice definicja konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione przyłożone w węzłach. Umowa: jeśli konstrukcja

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA OGÓLNA wykład 4

MECHANIKA OGÓLNA wykład 4 MECHNIK OGÓLN wykład 4 D R I N Ż. G T M R Y N I K Obliczanie sił wewnętrznych w układach prętowych. K R T O W N I C E KRTOWNIC UKŁD PRĘTÓW PROSTOLINIOWYCH Przegubowe połączenia w węzłach Obciążenie węzłowe

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.

Bardziej szczegółowo

KRATOWNICE 1. Definicja: konstrukcja prętowa, składająca się z prętów prostych połączonych ze sobą przegubami. pas górny.

KRATOWNICE 1. Definicja: konstrukcja prętowa, składająca się z prętów prostych połączonych ze sobą przegubami. pas górny. KRTOWNIE efinicja: konstrukcja prętowa, składająca się z prętów prostych połączonych ze sobą przegubami słupki pas górny krzyżulce pas dolny Założenia: pręty są połączone w węzłach przegubami idealnymi

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 4

Ć w i c z e n i e K 4 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie reakcji w Belkach Gerbera

Wyznaczenie reakcji w Belkach Gerbera Wyznaczenie reakcji w elkach erbera Sposób obliczania: by policzyć elkę erbera w najprostszy sposób dzielimy ją w przegubach uzyskując pojedyncze belki by móc policzyć konstrukcję, belki powstałe po podziale

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej

Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej Opracował : dr inż. Konrad Konowalski Szczecin 2015 r *) opracowano na podstawie skryptu [1] 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest sprawdzenie doświadczalne

Bardziej szczegółowo

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano) 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl

MECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber. pok. 227, email: weber@zut.edu.pl MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 227, email: weber@zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 1989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady, PWN,

Bardziej szczegółowo

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny SORZĄDZNIE LINII WŁYWU WIELKOŚCI STTYCZNYCH SOSOBEM KINEMTYCZNYM Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu twierdzenia

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Obliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych. Pręty obciążone osiowo Kratownice

Obliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych. Pręty obciążone osiowo Kratownice Tematyka wykładu 2 Obliczenia statyczne ustrojów prętowych statycznie wyznaczalnych ręty obciążone osiowo Kratownice Mechanika budowli - kratownice Kratownicą lub układem kratowym nazywamy układ prostoliniowych

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI NA SEMESTRZE ZIMOWYM ROKU AKADEMICKIEGO 2015/2016

MECHANIKA BUDOWLI NA SEMESTRZE ZIMOWYM ROKU AKADEMICKIEGO 2015/2016 Termin zajęć: poniedziałek 1 odkształconej 05.10.15r. postaci ramy z zasady prac wirtualnych. 2 12.10.15r. Liczenie przemieszczeń w ramie Zasada Prac Wirtualnych. 3 19.10.15r. Rysowanie odkształconej postaci

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

BELKI GERBERA WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW. n s = R P 3 gdzie: - R liczba reakcji, - P liczba przegubów, - 3 liczba równań równowagi na płaszczyźnie.

BELKI GERBERA WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW. n s = R P 3 gdzie: - R liczba reakcji, - P liczba przegubów, - 3 liczba równań równowagi na płaszczyźnie. Są to belki ciągłe przegubowe i należą do układów statycznie wyznaczalnych (zatem n s = 0). Przykładowy schemat: A ELKI GERERA V V Wyznaczenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu: n s = R P 3 gdzie:

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA Parametry przekrojów belek: E=205MPa=205 10 6 kn m 2 =205109 N m 2 1 - IPE 220 Pręty: 1, 3, 4: I y =2770cm 4 =0,00002770 m 4 EI =5678500 Nm 2 A=33,4 cm 4 =0,00334 m 2 EA=684700000

Bardziej szczegółowo

3. Rozciąganie osiowe

3. Rozciąganie osiowe 3. 3. Rozciąganie osiowe 3. Podstawowe definicje Przyjmijmy, że materiał z którego wykonany został pręt jest jednorodny oraz izotropowy. Izotropowy oznacza, że próbka wycięta z większej bryły materiału

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć: adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną

Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Analizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŝenie graniczne dla zadanych wartości

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe

Bardziej szczegółowo

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Doświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Doświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Doświadczalne

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia W przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czynnych wzdłuż osi pręta (oś x ). a rys..a przedstawiono przykład

Bardziej szczegółowo

Wewnętrzny stan bryły

Wewnętrzny stan bryły Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński

Dr inż. Janusz Dębiński r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W POWŁOKACH ZBIORNIKÓW OSIOWO SYMETRYCZNYCH

OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W POWŁOKACH ZBIORNIKÓW OSIOWO SYMETRYCZNYCH OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W POWŁOKACH ZBIORNIKÓW OSIOWO SYMETRYCZNYCH Sporządził: Bartosz Pregłowski Grupa : II Rok akadem: 2004/2005 OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W POWŁOKACH ZBIORNIKÓW OSIOWO SYMETRYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca Kod przedmiotu: PLPILA02-IPMIBM-I-2p7-2012-S Pozycja planu: B7 1. INFORMACJE O PRZEDMIOCIE A. Podstawowe dane 1 Nazwa przedmiotu Wytrzymałość materiałów I 2 Rodzaj przedmiotu Podstawowy/obowiązkowy 3 Kierunek

Bardziej szczegółowo

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie Wytrzymałość Materiałów II 2016 1 Przykładowe tematy egzaminacyjne kursu Wytrzymałość Materiałów II Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie 1. Dany jest pręt obciążony mimośrodowo siłą P. Oblicz naprężenia

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Projekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne

Projekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne Projekt nr 4 Dynamika POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 4 Dynamika ujęcie klasyczne Konrad Kaczmarek

Bardziej szczegółowo

Streszczenie. 3. Mechanizmy Zniszczenia Plastycznego

Streszczenie. 3. Mechanizmy Zniszczenia Plastycznego Streszczenie Dobór elementów struktury konstrukcyjnej z warunku ustalonej niezawodności, mierzonej wskaźnikiem niezawodności β. Przykład liczbowy dla ramy statycznie niewyznaczalnej. Leszek Chodor, Joanna

Bardziej szczegółowo

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl ROBOTYKA Odwrotne zadanie kinematyki - projekt Zawartość. Wstęp...... Proste zadanie kinematyki cel...... Odwrotne zadanie kinematyki cel..... Analiza statyczna robota..... Proste zadanie kinematyki....

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci

Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci Twierdzenie o redukcji: Każdy układ wektorów równoważny jest układowi złożonemu ze sumy o początku w dowolnym punkcie

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna Obliczanie sił wewnętrznych c w układach prętowych. Kratownice. Kratownica

Mechanika ogólna Obliczanie sił wewnętrznych c w układach prętowych. Kratownice. Kratownica Mechanika ogólna Wykład nr 7 Obliczanie sił wewnętrznych w układach rętowych. Kratownice. 1 Kratownica Układ rętów w rostoliniowych: ołą łączenia rzegubowe w węzłach; w obciąż ążenia w ostaci sił skuionych

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Siła skupiona Mechanika teoretyczna Wykłady nr 5 Obliczanie sił wewnętrznych w belkach przykłady 1 2 Moment skupiony Obciążenie ciągłe równomierne 3 4 Obciążenie ciągłe liniowo zmienne Obciążenie ciągłe

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki

Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki 1. Układ sił na przedstawionym rysunku a) jest w równowadze b) jest w równowadze jeśli jest to układ dowolny c) nie jest w równowadze d) na podstawie tego rysunku

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 1

Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 1 Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 Schemat analizowanej ramy Analizy wpływu imperfekcji globalnych oraz lokalnych, a także efektów drugiego rzędu

Bardziej szczegółowo

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ 3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo