POCHODNA RZĘDU DRUGIEGO I WZÓR TAYLORA W WYKŁADNICZYM RACHUNKU RÓŻNICZKOWYM

Transkrypt

1 M A T H E M A T I C A L E C O N O M I C S N. 4 ( 7 Tadeusz Jaaszak (Wrcław POCHODNA RZĘDU DRUGIEGO I WZÓR TAYLORA W WYKŁADNICZYM RACHUNKU RÓŻNICZKOWYM Abstract. This paper presets a cstructi f the classical differetial calculus by meas f expetial fuctis, lgarithmic fuctis r pwer fuctis. I this article is demstrated the cstructi f secd derivative i paralel differetial calculus. The Taylr therem i paralel differetial calculus is prved. Key wrds: derivative, secd derivative, Taylr plymial, Taylr therem, differetial calculus, expetial calculus, lgarithmic calculus, pwer calculus, paralel differetial calculus, liear fucti, lgarithmic fucti, pwer fucti, expetial fucti.. Wstęp Kstrukcja klasyczej pchdej jest parta a użyciu fukcji liiwych d lkalej aprksymacji dwlych dwzrwań. W pracy T. Jaaszaka (3 pkaza, że fukcje liiwe mża zastąpić trzema iymi rdzajami fukcji: wykładiczymi, lgarytmiczymi i ptęgwymi. Aprksymując dwle dwzrwaia takimi fukcjami, trzymuje się pjęcia krespdujące z klasyczymi wyikami. Frmy rachuku różiczkweg zbudwaeg a pdstawie wymieiych fukcji azwa rówległym rachukiem różiczkwym. Istieją trzy frmy rówległeg rachuku różiczkweg: rachuek różiczkwy party a fukcjach wykładiczych, lgarytmiczych i ptęgwych. W cytwaej pracy pkaza wersje klasyczych twierdzeń Lagrage a i Cauchy eg w rówległych rachukach różiczkwych: wykładiczym, lgarytmiczym i ptęgwym. W iiejszej pracy pkażemy kstrukcję drugiej pchdej w wykładiczym rachuku różiczkwym. Pkażemy także, iż w rachuku wykładiczym mża wykać kstrukcję dpwiadającą klasyczemu wzrwi Taylra. Pdbe wyiki mża uzyskać dla rachuku lgarytmiczeg i ptęgweg.

2 6 Tadeusz Jaaszak. Druga pchda w rachuku klasyczym Klasyczą, czyli liiwą pchdą dwlej fukcji y = f(x w pukcie x azywamy bądź styczą liiwą y y = a (x x, gdzie y = f(x, bądź współczyik kierukwy styczej, przy czym stsuje się zaczeie a = f (x. Styczść rzumie się w te spsób, że różica między fukcją y = f(x a jej liiwym przybliżeiem wysi (x x. Jeśli pchda istieje w każdym pukcie peweg przedziału V, t mamy d czyieia z wą fukcją f (x kreślą a przedziale V. W klasyczym rachuku różiczkwym rzważa się różiczkwalść fukcji f. Jeśli istieje pchda tej fukcji w pukcie x, t jej wartść zacza się symblem f (x i azywa się drugą pchdą fukcji y = f(x w pukcie x. Wzór Taylra łączy wartści pierwszej i drugiej pchdej ze współczyikami wielmiau drugieg stpia aprksymująceg lkalie fukcję y = f(x. Jeśli bwiem fukcje f raz f są kreśle a przedziale V i fukcja f ma w pukcie x pchdą a = f (x, t fukcja y = f(x jest aprksymwaa za pmcą styczeg d iej wielmiau drugieg stpia: ( x x + A ( x y = A, ( + A x ( x a f gdzie A = y = f ( x, A = a = f ( x raz A = =, a styczść między aprksymwaą fukcją y = f(x i wielmiaem jest rzędu drugieg, czyli różica między imi wysi (x x. Śrdkiem dwdwym pkazującym słuszść wzru Taylra jest twierdzeie Cauchy eg. W klasyczym dwdzie wzru Taylra dla wielmiau rzędu dwa blicza się graicę wyrażeia: w pukcie x, gdzie r( x ( x x, ( ( r( x = f ( x A + A ( x x + A ( x x. (3 Fukcja r(x jest ciągła. Wyika t stąd, że wielmia ( jest fukcją ciągłą raz fukcja f(x rówież jest ciągła, gdyż z załżeia jest różiczkwala w całym przedziale V, a różiczkwalść jest mciejszą własścią d ciągłści. Są zatem spełie załżeia twierdzeia Cauchy eg, a więc zachdzi rówść

3 Pchda rzędu drugieg i wzór Taylra 7 r( x r ( u =, ( x x ( u x gdzie pukt u leży w przedziale d x d x. W związku z tym jest spełia rówść: czyli ( f ( x A + A ( x x + A ( x x f ( u A A ( u x, = ( x x ( u x r x f u f x a u x ( x x u x ( ( ( ( =. Liczba a jest pchdą fukcji f (u w pukcie x, więc z defiicji pjęcia pchdej fukcji f (u w pukcie x wyika, że prawa stra wyrażeia (4 zmierza d zera, gdy u x zmierza d zera, stąd wyika, że wyrażeie ( zmierza d zera, gdy x zmierza d puktu x, gdyż pukt u jest płży między puktami x d x. Prawdziwa zatem jest klasycza rówść: f ( x = A + A ( x x + A ( x x + ( x x. (5 W pdręczikach aalizy matematyczej pwyższe rzumwaie jest a gół przedstawiae w spsób idukcyjy dla pchdych dwleg rzędu. Pkażemy teraz, jak t rzumwaie przesi się a rówległe rachuki różiczkwe. 3. Druga pchda w wykładiczym rachuku różiczkwym Pchdą wykładiczą fukcji y = f(x w pukcie x azywamy bądź x x styczą d iej fukcję wykładiczą y = y a, bądź pdstawę tej styczej wykładiczej, czyli liczbę a. Przyjmuje się wówczas zaczeie a = f (x. Waruek styczści mża ujmwać, psługując się pjęciem : x x różica między fukcją y = f(x i fukcją y = y a jest (x x : lub za pmcą pjęcia ω, a miawicie: x x (4 f ( x = y a + ( x x, (6 f ( x = y a ω( x x, (7 x x

4 8 Tadeusz Jaaszak przy czym reszta ω(x x spełia waruek: x x c jest rówważe warukwi: [ ω x x x x ] lim ( =, (8 ( ω x x l ( lim =. x x x x l ω( x x = ( x x, c jest rów- Ze wzrów (8 i (9 wyika, że ( waże: exp ( ( x x = ω( x x. (9 Załóżmy teraz, że fukcja y = f(x ma pchdą wykładiczą w każdym pukcie przedziału V. Załżeie t implikuje ciągłść fukcji y = f(x, pza tym a przedziale V daa jest wa fukcja f ( x. Załóżmy, że ta fukcja ma w pukcie x pchdą wykładiczą rówą b. Liczbę tę uzajemy za drugą pchdą wykładiczą fukcji y = f(x w pukcie x. Przyjmujemy zaczeie b = f ( x. Rzważmy teraz fukcję: x x ( x x, y = B B B ( gdzie B = f ( x, B = a = f ( x, B = b = f ( x. Obliczmy pchdą wykładiczą tej fukcji: ( x x y B B B b x x. = =. ( Druga pchda wykładicza fukcji (, czyli wykładicza pchda fukcji (, wysi b, tak więc fukcja y = f(x i fukcja ( mają w pukcie x idetycze drugie pchde wykładicze, przy czym dla fukcji y = f(x zakładamy tylk istieie drugiej pchdej wykładiczej w tym jedym pukcie, atmiast fukcja ( ma pchdą wykładiczą rzędu drugieg a całej prstej i ta pchda jest fukcją stałą wszędzie przybierającą wartść b. Zapiszemy rówść będącą dpwiedikiem rówści (5 x x x x ( ω f ( x = B B B ( x x. ( Pchda wykładicza w daym pukcie istieje wtedy i tylk wtedy, gdy istieje klasycza pchda liiwa w tym pukcie, więc załżeie istieia pchdej wykładiczej w każdym pukcie przedziału V jest rówważe istieiu w każdym pukcie pchdej liiwej.

5 Pchda rzędu drugieg i wzór Taylra 9 Jest t wzór Taylra rzędu dwa dla wykładiczeg rachuku różiczkweg. Aby wykazać jeg prawdziwść, ależy udwdić, że dla x x graica wyrażeia ( x x f ( x ( x x ( x x B B B wysi jede, c jest rówważe wyikwi, że graica wyrażeia l f ( x l( B l( B ( x x l( B ( x x ( x x wysi zer, gdy argumet x zmierza d x. Ozaczając f ( x r( x =, B B B ( x x ( x x (3 (4 stwierdzamy, że r(x = i w przedziale kńcach w puktach x raz x są spełie załżeia wykładiczeg twierdzeia Cauchy eg (zb. T. Jaaszak (3, str. 75, a zatem istieje pukt u płży między puktami x raz x taki, że ( [ ] ( x x u x r x r u ( = (. (5 Obliczając pchdą wykładiczą w wyrażeiu (3 i stsując wzór (5 dstajemy rówść: ( x x ( u x f ( x f ( u = ( u x ( x x ( x x B B B B B. (6 Liczba B jest rówa f ( x, a liczba B jest pierwiastkiem kwadratwym wykładiczej pchdej fukcji f ( u w pukcie x. Z defiicji pchdej wykładiczej mamy: ( u x f ( u lim ( u x, u x = B B a więc wyrażeie (6 będące pierwiastkiem kwadratwym statieg wyrażeia rówież zmierza d jedyki, c kńczy dwód wykładiczej wersji wzru Taylra rzędu dwa.

6 3 Tadeusz Jaaszak Krzystając z zależści ( ( exp f f x = x, f ( x dstajemy wzór a wyrażeie drugiej pchdej wykładiczej przez klasycze pchde liiwe: [ ] ( ( ( ( exp f x f x f f x x =. f ( x W klasyczym rachuku różiczkwym w spsób idukcyjy, z zastswaiem rzumwaia przedstawieg wyżej, pkazuje się, że jeśli w przedziale V istieją pchde liiwe fukcji y = f(x d rzędu i fukcja będąca pchdą rzędu ma w pukcie x pchdą, t fukcja y = f(x jest aprksymwaa w tczeiu teg puktu przez wielmia stpia z dkładścią d wielkści (x x : f ( x = A + A ( x x A ( x x + ( x x, (7 gdzie A jest wartścią fukcji w pukcie x, a A k dla k =,, są wartściami klejych pchdych w pukcie x dzielymi przez k!. Wzór aprksymacyjy w spsób klasyczy rzumie się jak graicę: ( f ( x A + A ( x x A ( x x lim =. x x ( x x W wykładiczym rachuku różiczkwym jest aalgiczie. Za pmcą metdy idukcji mża pkazać, w spsób pdby jak dla rzędu drugieg, że fukcję y = f(x aprksymuje się w tczeiu puktu x przez wielmia wykładiczy stpia, jeśli fukcja y = f(x ma pchde wykładicze d rzędu, a fukcja będąca pchdą wykładiczą rzędu ma w pukcie x pchdą wykładiczą; wzór aprksymacyjy wygląda astępując x x ( x x ω f ( x = B B... B ( x x, (8 gdzie B jest wartścią fukcji y = f(x w pukcie x, a B k dla k =,, są pierwiastkami stpia k! wyciągiętymi z klejych pchdych wykładiczych bliczych w pukcie x. Rówść (8 rzumie się w spsób astępujący:

7 Pchda rzędu drugieg i wzór Taylra 3 c jest rówważe rówści: ( x x f ( x lim =, x x x x ( x x B B... B ( l f ( x M + M ( x x M ( x x lim =. x x ( x x Przy czym zastswaliśmy pdstawieie: M i = lb i dla i =,,. 4. Zaczeie drugiej pchdej w liiwym i wykładiczym rachuku różiczkwym Pdamy teraz iterpretację drugiej pchdej. Jeśli fukcja y = f(x pisuje płżeie puktu w czasie w ruchu prstliiwym, t pierwszą pchdą liiwą iterpretuje się jak prędkść, a drugą pchdą dczytuje się jak przyspieszeie. Gdy fukcja jest pstaci (, wówczas trójmia kwadratwy pisuje ruch jedstajie przyspieszy. W ruchu tym przyspieszeie jest stałe i wysi A. Wzór ( jest jedyym rzwiązaiem rówaia ruchu stałym przyspieszeiu rówym A. Parametry A i A są warukami pczątkwymi: liczba A jest płżeiem puktu w chwili x, a liczba A jest prędkścią puktu w chwili x. Jeżeli przyspieszeie ie występuje, t trzymuje się rówaie ruchu jedstajeg y = A + A (x x. W wykładiczym rachuku różiczkwym fukcję y = f(x mża iterpretwać jak pis wyskści kapitału w czasie. Zmiea x jest czasem, a zmiea y wyskścią kapitału w daym mmecie czasu (zb. T. Jaaszak (5, (5a, (5b. Pierwsza pchda wykładicza fukcji y = f(x w pukcie x pisuje ruch kapitału w czasie d x d x. Ruch te dbywa się p krzywej wykładiczej styczej d wykresu fukcji y = f(x w pukcie x. Pdbie jak prędkść w pisie ruchu prstliiweg jest parametrem styczej liiwej d wykresu fukcji y = f(x w pukcie x, tak pchda wykładicza jest parametrem styczej wykładiczej d wykresu fukcji y = f(x w pukcie x. Lkalie, w pbliżu puktu x płżeie puktu w ruchu prstliiwym dczytuje się ze wzru: y y + a ( x x, a wyskść kapitału daje wzór: x x y y a,

8 3 Tadeusz Jaaszak gdzie y jest wartścią fukcji y = f(x w pukcie x, parametr a = f ( x jest pchdą liiwą fukcji y = f(x w pukcie x, a parametr a = f ( x jest pchdą wykładiczą fukcji y = f(x w pukcie x ; asympttyka błędu przybliżeia w klasyczym pisie ruchu puktu materialeg a prstej daa jest przez wielkść : (x x, atmiast w pisie ruchu kapitału daa jest przez wielkść ω: ω(x x. Lgarytm aturaly z pchdej wykładiczej m = l a = l f ( x dczytujemy jak stpę prcetwą kreślającą temp wzrstu kapitału. Klasyczie stpa taka azywa się w literaturze ekmiczej pchdą lgarytmiczą; przybiera a wartść f ( x m =. f ( x Załóżmy teraz, że stpa prcetwa m jest zmiea i zależy d czasu w spsób liiwy ze współczyikiem r: m( x = m + r ( x x. (9 W chwili x stpa prcetwa wysi m, a wyskść kapitału iech w chwili x wysi B. Ozaczmy B = exp m. Nakładając a bie stry statiej rówści fukcję wykładiczą pdstawie e i przyjmując B(x = exp m(x, dstajemy rówść: B( x = B exp r ( x x. ( ( Ozaczając R = exp r, wzór ( mżemy przepisać w frmie: x x B( x = B R. ( Wzór (9 wyraża stpę prcetwą prcesu wzrstu kapitału, a wzór ( wyraża pchdą wykładiczą teg prcesu. Ze wzru (9 wyika, że wzrst stpy prcetwej zależy w spsób liiwy d czasu ze współczyikiem wzrstu r, jak w takim razie wygląda wzór a wyskść kapitału d czasu przy warukach pczątkwych: B wyskść kapitału w chwili x raz m wyskść stpy prcetwej w chwili x? Czy istieje aalgia między tak pstawiym zadaiem a zagadieiem rzwiązaia rówaia ruchu jedstajie przyspieszeg? Odpwiadając a te pytaia, ależy zauważyć, że trzeba zaleźć wzór fukcji, dla której rówaie ( jest pchdą wykładiczą. Fukcja taka ma pstać: x x ( x x y B B R =. ( Wartść fukcji ( dla x = x wysi B. Stąd wyika, że przy przyjętym waruku pczątkwym B = B wzór a fukcję pisującą wzrst kapitału w czasie jest idetyczy ze wzrem (. Wzór ( pisuje fukcje drugiej pchdej liiwej będącej stałą rówą A, a wzór ( pisuje fukcje

9 Pchda rzędu drugieg i wzór Taylra 33 drugiej pchdej wykładiczej rówej stałej B. W iterpretacji fizykalej wzór ( pisuje ruch jedstajie przyspieszy z przyspieszeiem rówym A. Wzór ( pisuje ruch kapitału w czasie, będący rówież ruchem jedstajie przyspieszym, w którym stpa prcetwa zależy d czasu według wzru m( x = m + l B. Jeśli w ruchu prstliiwym pisaym rówaiem y = f(x występują zmiay prędkści, lecz ie zależą liiw d czasu, t zgdie z przesłakami rachuku różiczkweg mża przyjąć, że lkalie zależść zmia prędkści w czasie jest asympttyczie liiwa, czyli: f ( x = f ( x + f ( x ( x x + ( x x. Zależść płżeia puktu d czasu jest wówczas rówa w przybliżeiu f x A + A x x + A x x (3 ( ( (, przy czym fukcje występujące p bu strach przybliżej rówści (3 są stycze w pukcie x, a rząd styczści jest rówy dwa, czyli różica między lewą i prawą strą wzru (3 jest (x x : ( f ( x A + A ( x x + A ( x x lim =. x x ( x x Współczyiki wielmiau są dpwiedi rówe: A = f(x zacza płżeie puktu materialeg w chwili x, A = f ( x zacza prędkść A = f x jest płwą wartści lkaleg współczyika w chwili x, a ( zmiay prędkści. Aalgicza sytuacja występuje w pisie zależści wyskści kapitału w czasie daym fukcją y = f(x. Jeśli zmiay stpy prcetwej ie są liiwe, t mża przyjąć, że zależść stpy prcetwej d czasu jest asympttyczie liiwa, czyli: c jest rówważe: m( x = l f ( x + l f ( x ( x x + ( x x, ( x x ( = ( ( ω(. f x f x f x x x Wyskść kapitału w zależści d czasu jest wówczas pisaa wzrem przybliżym x x x x f ( x B B B. (4

10 34 Tadeusz Jaaszak Fukcje występujące p bu strach wzru (4 są stycze w pukcie x, rząd styczści jest rówy dwa, c zacza, że ilraz fukcji f(x i aprksymująceg ją wielmiau wykładiczeg jest ω(x x : ( x x f ( x lim. x x x x x x = B B B Współczyiki wielmiau wykładiczeg są rówe: B = f(x jest t wyskść kapitału w chwili x, B = f ( x lgarytm aturaly z tej wielkści jest stpą prcetwą wzrstu kapitału w mmecie x, B = f ( x lgarytm aturaly liczby B jest płwą lkaleg współczyika zmiay stpy prcetwej. Wprwadzeie d rzważań pchdej wykładiczej pzwala dstrzec aalgię między pisem zjawisk w fizyce i w ekmii. Literatura T. Jaaszak (3. Rówległy rachuek różiczkwy w badaiach ekmiczych. Wydawictw Akademii Ekmiczej we Wrcławiu. Wrcław. T. Jaaszak (5. Qutus i różiczka. Studia Ekmicze 36, Zastswaie metd matematyczych w ekmii. AE Katwice. Str T. Jaaszak (5a. Pchda wykładicza jak efektywa stpa prcetwa. Przegląd Statystyczy 5(4. Str