1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n."

Transkrypt

1 Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg 8/0) Niech X, X 2,, X, > 5 będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie jedostajym a przedziale (0, θ), gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem Wyzaczamy przedział ufości dla parametru θ postaci [2X 3,, 2X 2, ], gdzie X k, ozacza k-tą statystykę pozycyją z próby X, X 2,, X Dla jakiej ajmiejszej liczebości próby losowej zachodzi Odp: D-> P θ (θ [2X 2,, 2X 2, ]) 0, 9 Rozwiązaie Należy pamiętać, że dla ustaloej wartości t zdarzeie X k, t jest osiągięciem co ajmiej k sukcesów w doświadczeiu Beroulliego z prawdopodobieństwem sukcesu F (t) = t/θ dla 0 < t < θ, gdzie F jest dystrybuatą rozkładu jedostajego a (0, θ) Zatem z prawdopodobieństwem sukcesu F (t) = t/θ dla 0 < t < θ, gdzie F jest dystrybuatą rozkładu jedostajego a (0, θ) Zatem P θ (X 2, θ 2 X 2,) = P(2 S 2), gdzie S pochodzi z rozkładu B(, 2 ) Obliczamy ( ) P(2 S 2) = P(S 2) P(S 2) = 2( ) = ( 2 ++2)2 2 Dla = otrzymujemy po raz pierwszy wartość ( )2 miejszą od 0, (Eg 9/0) Niech X, X 2,, X 0 będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie o gęstości f θ (x) = θx θ x (0,), gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem Wyzaczamy przedział ufości dla parametru θ postaci [cˆθ, dˆθ], gdzie θ = θ(x, X 2, X 0 ) jest estymatorem ajwiększej wiarogodości, a stałe c i d są dobrae tak, aby P θ (θ < cˆθ) = P θ (θ > dˆθ) = 0, 05 Wyzaczyć c i d Odp: A-> c = 0, 5 i d =, 57 Rozwiązaie Obliczamy wiarygodość 0 L(θ, x) = θ 0 x θ i xi (0,) Zatem dla ustaloego x fukcja f(θ) = l L(θ, x) osiąga maksimum dla θ spełiającego f (θ) = 0, czyli 0 0 θ + l x i = 0 Stąd 0 θ = 0 l x i

2 Pozostaje zaleźć c i d takie, że P θ (θ < c θ) = P θ (θ > d θ) = 0, 05 Nietrudo sprawdzić, że l X i ma rozkład wykładiczy z parametrem θ Stąd 0 l X i ma rozkład Gamma(0, θ) Zatem θ/ θ ma rozkład Gamma(0, 0), który dalej jest tym samym co 20 20Gamma( 2, 2 ) czyli 20 χ2 (20) To ozacza, że 20c będzie dolym a 20d górym kwatylem dla rozkładu χ 2 (20) dla wartości 0, 05 Korzystając z tablica zajdujemy c 0, 5, d, 57 3 (Eg 50/5) Niech X,, X, > będzie próbką z rozkładu jedostajego o gęstości daej wzorem: f θ (x) = θ x (0,θ), gdzie θ jest iezaym parametrem Zmiee losowe X,, X ie są w pełi obserwowale Obserwujemy zmiee losowe Y i = mi(x i, M), gdzie M jest ustaloą liczbą dodatią Oblicz estymator ajwiększej wiarogodości ˆθ parametru θ jeśli wiadomo, że w próbce Y,, Y, jest K obserwacji o wartościach miejszych iż M i K {,, } Odp: B-> M/K Rozwiązaie Z daych zadaia dostajemy, że θ > M Szasa, że dokładie K zmieych będzie miejszych iż M wyosi ( ) ( M K θ )K ( θ M ) K θ Warto zauważyć, że przy okazji jest to fukcja wiarygodości Poszukujemy wartości θ dla której fukcja f(θ) = l L(θ, x) przyjmuje maksimum czyli puktu θ takiego, że f (θ) = 0 Zachodzi θ + ( K) θ M = 0 Zatem θ = M/K (Eg 5/2) Załóżmy, że X, X 2,, X, > 2 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie wykładiczym Niech S = X i Oblicz Odp: D-> 2 p = P(X S/2,, X S/2) Rozwiązaie Kluczowe to aby zauważyć, że zdarzeiem przeciwym do X S/2,, X S/2 jest {X i > S/2} Zatem Rozkład X /S jest postaci Beta(, ) Stąd P(X S/2,, X S/2) = P(X > S/2) P(X S/2) = 2 ( )( y) 2 dy = 2 Stąd p = (Eg 52/9) Załóżmy, że X, X 2,, X, jest ciągiem iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie wykładiczym o gęstości f(x) = exp( x/µ) dla x > 0 µ 2

3 Zmiea losowa N jest iezależa od X, X 2,, X, i ma rozkład geometryczy day wzorem: P(N = ) = p( p) dla = 0,, 2, Niech S N = N (przy tym S 0 = 0, zgodie z kowecją) Oblicz E(N S N = s), dla s > 0 Odp: D-> s( p)/µ + Rozwiązaie Stosujemy ogóly wzór Bayesa Najpierw wyzaczamy gęstość (N, S) względem µ λ, gdzie µ jest miarą liczącą a Z, a λ miarą Lebesgue a a R Przypomijmy, że S ma rozkład Gamma(, µ ) s f N,SN (, s) = p( p) s ( )!µ e µ s>0 N=0 Rozkład (N, S N ) ma też atom w (0, 0) który osiąga z prawdopodobieństwem p Obliczamy gęstość warukową dla s > 0 [( p)s] ( p)s f N,SN ( s) = e µ ( )!µ >0 Zatem E(N S = s) = = [( p)s] ( p)s e µ = + ( )!µ s( p) µ 6 (Eg 53/6) Rozważmy zmiee losowe N, X, Y Wiadomo, że rozkład warukowy zmieej losowej N, gdy X = x i Y = y jest rozkładem Poissoa o wartości oczekiwaej x Rozkład warukowy zmieej losowej X, gdy Y = y jest rozkładem Gamma(2, y), a rozkład zmieej Y jest rozkładem Gamma(, 3), gdzie rozkład Gamma(α, β) ma gęstość Wtedy wariacja VarN jest rówa Odp: B-> 7 Rozwiązaie Obliczamy p α,β = βα Γ(α) xα e βx x>0 VarN = EN 2 (EN) 2 = EE(N 2 X, Y ) (EE(N, X, Y )) 2 = E(X 2 + X) (EX) 2 = = EE(X 2 + X Y ) (EE(X Y )) 2 = E 6 Y Y (E 2 Y )2 Dla zmieej Z z rozkładu Gamma(α, β) jeśli α > 2, to EZ 2 = EZ = β α Zatem EY 2 = 3 2, EY = 3 3 = Czyli VarN = = 7 β 2 (α )(α 2) oraz jeśli α >, to 7 (Eg 5/8) Niech X, X 2,, X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie o gęstości p a,b = be b(x a) xa gdzie a R i b > 0 są iezaymi parametrami Rozważmy estymator ajwiększej wiarygodości (T a, T b ) wektora parametrów (a, b) Wartości oczekiwae ET a i ET b są rówe Odp: D-> ET a = a + b, ET b = 2 b 3

4 Rozwiązaie Obliczamy wiarygodość L((a, b), x) = b exp( b (x i a)) mi(xi)a Szukamy puktu (a, b) maksymalizującego wiarygodość Oczywiście T a = mi(x,, x ) atomiast b wyzaczamy korzystając z fukcji f(b) = l L((T a, b), x), rozwiązując rówaie f (b) = 0 czyli Obliczamy b = ET a a = (x i T a ), zatem T b = 0 P(X i a > t) dt = (x i T a ) 0 e bx dx = b, czyli ET a = a + b Z powodu braku pamięci rozkładu wykładiczego rozkład (x i T a ) będzie rozkładem ( ) zmieych iezależych o rozkładzie wykładiczym z parametrem b czyli Gamma(, b) Obliczamy ET b = 0 b ( 2)! x 2 e bx dx = 2 b 8 (Eg 55/6) Niech N oraz X, X 2, będą iezależymi zmieymi losowymi, przy czym N ma rozkład Poissoa z wartością oczekiwaą λ =, zaś rozkład każdej ze zmieych X podaje astępująca tabelka: [ x 2 3 P(X = x) 2 Niech S = N X i dla N > 0 i S = 0 dla N = 0 Oblicz warukową wartość oczekiwaą E(N S = 3) Odp: A-> 27 9 Rozwiązaie Mamy klasyczy wzór Bayesa Nadto oraz E(N S = 3) = P(N = S = 3) = =0 =0 m=0 ] P(S = 3 N = )P(N = ) P(S = 3 N = m)p(n = m) P(S = 3 N = )P(N = ) = P(X = 3)P(N = ) + 2(P(X = 2, X 2 = )+ =0 + P(X =, X 2 = 2))P(N = 2) + 2P(X = X 2 = X 3 = )P (N = 3) = = e ( ) P(S = 3 N = m)p(n = m) = P(X = 3)P(N = )+ m=0 + (P(X = 2, X 2 = ) + P(X =, X 2 = 2))P (N = 2) + P(X = X 2 = X 3 = ) = = e ( ) Stąd E(N S = 3) = 27 9

5 9 (Eg 56/9) Niech X, X 2,, X będą zmieymi losowymi o rozkładzie P areto(, a ) a Y, Y 2,, Y m będą zmieymi losowymi o rozkładzie P areto(, a 2 ), gdzie a, a 2 > 0 są iezaymi parametrami Wszystkie zmiee są iezależe Na poziomie ufości α budujemy przedział ufości [dt, ct ] dla parametru a a podstawie estymatora ajwiększej wiarogodości T tegoż parametru w te sposób, że a 2 P a,a 2 (ct < a a 2 ) = P a,a 2 (dt > a a 2 ) = α 2 Jeśli α = 0, i m = i = 5, to przedział ufości ma długość Odp: E-> 3, 02T Rozwiązaie Jeśli m = i = 5, to fukcja wiarygodości ma postać L((a, a 2 ), (x, y)) = α 5 α 2 5 (x i ) α xi (y j ) α2 yj Zatem estymatorem ENW (α, α 2 ) jest pukt miimum fukcji f(α, α 2 ) = l L((a, a 2 ), (x, y)), czyli rozwiązaie rówaia f α = f α 2 = 0 Obliczamy j= 5 α = 5 l x i, α 2 = l y i Stąd ˆα = 5 5 l Xi, ˆα 2 = l Yi Zatem T = ˆα = 5 l Y i ˆα 2 5 l X i Oczywiście 5 l X i ma rozkład Gamma(5, α ), a l Y i rozkład Gamma(, α 2 ) adto te 5 zmiee są iezależe Stąd 2α l X i ma rozkład Gamma( 0 2, 2 ) = χ2 (0), a 2α 2 l Y i ma rozkład Gamma( 8 2, 2 ) = χ2 (8) Zatem a a 2 T ma rozkład Fishera-Sedecora F (0, 8) Odczytujemy z tablic c = 3, 37, d = 0, 326 Stąd długość [dt, ct ] wyosi w przybliżeiu 3, 02T 0 (Eg 57/7) Niech X, X 2,, X 0 będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie o iezaej mediaie m Budujemy przedział ufości dla parametru m postaci [X 3:0, X 7:0 ], gdzie X k:0 ozacza k-tą statystykę pozycyją z próby X, X 2,, X 0 Prawdopodobieństwo P(m [X 3:0, X 7:0 ]) jest rówe Odp: A-> 28 Rozwiązaie Należy zauważyć, że dla ustaloego t szasa, że X k:0 t jest rówe prawdopodobieństwu uzyskaia co ajmiej k sukcesów w doświadczeiu Beroulliego z prawdopodobieństwem F (t), gdzie F jest dystrybuatą wspólego rozkładu zmieych X,, X 0 Przyjmujemy, że rozkład jest ciągły (ściślej, że F (m) = 2 ), w przeciwym razie zadaie ie daje się rozwiązać Wówczas przyjmując, że zmiea S ma rozkład B(0, 2 ) zachodzi rówość P(m [X 3:0, X 7:0 ]) = P(3 S < 7) = 2( ) = 23 ( + 5) 2 9 = (Eg 58/2) Niech X, X 2,, X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu Pareto o gęstości θλ θ f θ (x) = (λ + x) θ+ x>0, gdzie θ, λ > 0 są iezaymi parametrami Rozważmy estymatory ajwiększej wiarygodości θ, λ parametrów θ i λ Chcemy dobrać stałą t tak aby przy dążącym do ieskończoości 5

6 prawdopodobieństwo zdarzeia θ θ > t było rówe 0, Jeżeli θ = 3 i λ =, to stała t jest rówa Odp: A -> 9, 7 Rozwiązaie W tym zadaiu ajprościej skorzystać z twierdzeń o asymptotyczej zbieżości Twierdzeia te bazują a aalizie wiarygodości L((θ, λ), x) = θλ θ (λ + x i ) θ+, l L((θ, λ), x) = (l θ + θ l λ) (θ + ) l(λ + x i ) Aby zachodziła asymptotycza ormalość po pierwsze musi być spełioy waruek zgodości To zaczy, że ( θ, λ ) (θ, λ) przyajmiej według prawdopodobieństwa Okazuje się, że przy różiczkowalej fukcji wiarygodości wystarczy aby l L = 0, czyli rówaie l L((θ, λ), x) θ = 0, l L((θ, λ), x) λ miało dokładie jedo rozwiązaie dla dowolego Sprawdzamy waruek l L((θ, λ), x) θ l L((θ, λ), x) λ = 0 = ( θ + l λ) l(λ + x i ) = 0, = θ λ (θ + ) λ + x i = 0 Zatem w rozwiązaiu tego rówaia parametr θ moża wyrazić jako fukcję λ to zaczy θ = λ λ+x i λ λ+x i Natomiast powstała po podstawieiu wyliczoego θ fukcja od λ czyli ( λ λ+x i ) + λ l λ + x i jest malejąca i zmieia się od + dla λ = 0 do dla λ = zatem ma tylko jedo miejsce zerowe Jeśli teraz skończoe są rówież drugie pochode fukcji l L to rozkłady ( λ, θ ) mają asymptotyczie rozkład ormaly N ((λ, θ), C ), gdzie macierz kowariacji C = (E 2 l L) Obliczamy zatem drugie pochode 2 l L(θ, λ) = [ θ 2 λ + λ + λ+x i Pozostaje obliczyć odpowiedie parametry dla θ = 3 i λ = θ λ 2 λ+x i (θ + ) (λ+x i) 2 ] E θ 2 = 9, E λ + λ + X i = + 3 =, Eθ λ 2 (θ + ) (λ + X i ) 2 = = 3 5, gdzie korzystamy z faktu E(λ + X i ) k = 3 3+k, dla k 0 Stąd wyika, że [ C = ] = [ ]

7 W szczególości ozacza to, że ( θ 3) 2 zbiega według rozkładu do Z z rozkładu N (0, ) Obliczamy lim P( θ θ > t) = lim P( θ 3 > t 2 2 ) = P( Z > t ) = 0, 2 Z tablic dostajemy t 2, 6 Stąd t 9, 68 2 (Eg 59/0) Niech X, X 2,, X 0 będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie Pareto o gęstości 2 θ θ f θ (x) = (2 + x) θ+ x>0, gdzie θ > 0jest iezaym parametrem W oparciu o estymator ajwiększej wiarogodości T parametru θ zbudowao przedział ufości dla θ a poziomie ufości 0, 95 postaci [ct, dt ], gdzie liczby c i d dobrao tak, aby P θ (θ < ct ) = P θ (θ > dt ) = 0, 025 Liczby c i d są rówe Odp: A-> c = 0, 8 i d =, 7 Rozwiązaie Obliczamy estymator EN W (θ), wiarygodość ma postać stąd Należy zaleźć rozwiązaie rówaia L(θ, x) = 0 2 θ θ (2 + x i ) θ+, 0 l L(θ, x) = 0θ l l θ (θ + ) l(2 + x i ) l L(θ,x) θ = 0, czyli 0 l θ l(2 + x i ) = 0 To zaczy 0 θ = 0 (l(2 + x i) l 2) Wyzaczmy rozkład l(2 + X i ) l 2 Dla t > 0 P(l(2 + X i ) l 2 > t) = P(X i > 2e t 2) = 2 θ (2e t ) θ = e θt, czyli rozkładem l(2+x i ) l 2 jest rozkład wykładiczy z parametrem θ Stąd 0 (l(2+x i) l 2) ma rozkład Gamma(0, θ) Zatem /T ma rozkład 0 Gamma(0, θ) = 20 θ Gamma( 20 2, 2 ) czyli 20 θ χ 2 (20) Niech Z będzie z rozkładu χ 2 (20), zachodzi P θ (θ < ct ) = P(Z < 20c) = 0, 025, P θ (θ > dt ) = P(Z > 20d) = 0, 025 Z tablic rozkładu χ 2 otrzymujemy 20c 9, 59, 20d 3, 70, czyli c 0, 8, d, 7 3 (Eg 60/) Niech X, X 2,, X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o gęstości f θ (x) = θ x θ x>, gdzie θ (0, ) jest iezaym parametrem Rozważamy ieobciążoy estymator parametru θ postaci T = ay, gdzie Y = mi(l X, l X 2, l X ) i a jest odpowiedio dobraą stałą (być może zależą od liczebości próby ) Dla θ = 3 i ε = 6 zachodzi Odp: C-> P θ ( T θ > ε) = e 2 + e 3 2 7

8 Rozwiązaie Jak ietrudo stwierdzić l X i ma rozkład wykładiczy Exp( θ ) Dalej rozkład Y ma postać Exp( θ ) i w końcu ay ma rozkład Exp( aθ ) Stąd a =, iech teraz Z będzie z rozkładu Exp(), zachodzi P θ ( T θ > ε) = P( θz θ > ε) = P( Z > 2 ) Czyli lim P θ( T θ > ε) = P(Z [ 2, 3 2 ]) = e 2 + e 3 2 (Eg 6/7) Zmiea losowa X ma rozkład o gęstości f θ (x) = θ x θ+ x>, gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem Nie obserwujemy zmieej X ale zmieą Y rówą X, gdy X jest większe od 2 Nie wiemy, ile było obserwacji zmieej X ie większych iż 2 ai jakie były ich wartości W wyiku tego eksperymetu otrzymujemy próbkę losową Y, Y 2,, Y 8 Na podstawie próbki budujemy przedział ufości dla parametru θ postaci [c T, c 2 T ], gdzie T jest estymatorem ajwiększej wiarogodości parametru θ, a stałe c i c 2 dobrae są tak, by Wtedy długość przedziału ufości jest rówa Odp: C->, 6T P(θ < c T ) = P(θ > c 2 T ) = 0, 05 Rozwiązaie Iteresuje as rozkład warukowy X pod warukiem, że X > 2 który ma gęstość g θ (x) = θ2θ x θ+ x>2 Dalej zadaie jest stadardowe, wyzaczamy estymator ENW (θ) z rówaia Stąd 8 l θ l x i = 0 T = 8 8 (l X i l 2) l L(x,θ) θ = 0, czyli Dalej zauważamy, że l X i l 2 ma rozkład Exp(θ) Stąd 8 (l X i l 2) ma rozkład Gamma(8, θ) i wreszcie T ma rozkład 6 θ Gamma( 6 2, 2 ) = 6 θ χ 2 (6) To pozwala obliczyć stałe c i c 2 z tablic rozkładu χ 2 Istotie iech Z będzie z rozkładu χ 2 (6), zachodzi P(θ < c T ) = P(Z < 6c ) = 0, 05, P(θ > c 2 T ) = P(Z > 6c 2 ) Zatem 6c 7, 962, 6c 2 26, 296, czyli c 0, 98, c 2 =, 6 Długość przedziału ufości wyosi w przybliżeiu, 6T 5 (Eg 62/7) Niech X,, X 0,, X 30 będzie próbką losową z rozkładu ormalego N (µ, σ 2 ), z iezaymi parametrami µ i σ 2 Niech X 0 = 0 0 S 2 = S 2 0 = 9 X i, X30 = 30 0 (X i X 0 ) 2 30 X i, 8

9 Skostruowao przedział [ X 0 as, X 0 + as] taki, że Liczba a jest rówa Odp: E-> 0, 58 P( X 30 [ X 0 as, X 0 + as]) = 0, 95 Rozwiązaie W tym zadaiu istote jest aby umiejętie przejść do rozkładu t-studeta Mamy iezależość X 0, X20 = X i oraz S Nadto X 30 = X X 3 20 Stąd P( X 30 [ X 0 as, X 0 + as]) = P( X 20 X 0 < 3 2 as) Teraz X 20 X 0 ma rozkład N (0, 3σ2 20 ) Natomiast 0 (X i X 0 ma rozkład σ 2 χ 2 ( ) Stąd Z = a 9 stopiami swobody Zatem 20 3 ( X 20 X 0 ), ma rozkład t-studeta S P( X 30 [ X 0 as, X 0 + as]) = P( Z > 5a) = 0, 95 Zatem 5a = 2, 262, czyli a 0, 58 6 (Eg 63/9) Niech X, X 2,, X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie Laplace a o gęstości f θ (x) = exp( 2 x θ ) dla x R, gdzie θ jest iezaym parametrem rzeczywistym Rozważamy estymator θ parametru θ rówy mediaie z próby X, X 2,, X θ = X[0,5]: W oparciu o te estymator budujemy przedział ufości dla parametru θ postaci gdzie a dobrae jest tak, aby dla każdego θ R Wtedy a jest rówe Odp: C-> 0,98 ( θ a, θ + a), lim P θ(θ ( θ a, θ + a)) = 0, 95 Rozwiązaie Niech F θ będzie dystrybuatą rozkładu f θ, czyli { F θ (t) = 2 exp( 2 t θ ) t θ exp( 2 t θ ) t θ 2 Przypomijmy, że rozkład X [0,5]: moża wyzaczyć korzystając ze zmieej Borelowskiej S (t) z rozkładu B(, F θ (t)) to zaczy Z waruków zadaia P θ (X [0,5]: t) = P(S (t) [0, 5]) P θ (θ ( θ a, θ + a)) = P θ (θ a < θ < θ + a) = = P(S (θ a) [0, 5]) P(S (θ + a) [0, 5]), 9

10 gdzie korzystamy z tego, że X [0,5]: ma rozkład ciągły Będziemy tak dobierać ciąg a aby zachodziło CTG Niech Z będzie z rozkładu N (0, ), wówczas jeśli a = c wtedy a mocy CTG gdzie korzystamy z rówości Istotie zauważmy, że lim P(S (θ a) [0, 5]) = P(Z 2c), lim [0, 5] F θ (θ a) Fθ (θ a)( F θ (a θ)) ) = 2c lim Fθ (θ a)( F θ (a θ)) = 2 adto a mocy przybliżeia e x x dla małych x otrzymujemy 2([0, 5] F θ (θ a)) lim = 2c Aalogiczie lim P(S (θ + a) [0, 5]) = P(Z 2c) Dobieramy zatem 2c tak aby P(Z ( 2c, 2c)) = 0, 95 Zatem 2c =, 96, czyli c = 0, 98 0

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń: PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0 7. Testowaie hipotez statystyczych 7. Populacja ma rozkład ciągły opisay fukcją gęstości f ( x) ( + ) x dla x [,]. Testowaa jest hipoteza, Ŝe wobec hipotezy alteratywej, Ŝe. Wioskujemy a podstawie jedoelemetowej

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15 Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Mirosław Wójciak

Ekonometria Mirosław Wójciak Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowaie daych Podstawy wioskowaia statystyczego. Prawo wielkich liczb. Cetrale twierdzeie graicze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Jeśli S

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - Seria 1

Statystyka matematyczna - Seria 1 Statystyka matematyczna - Seria. Niech Z oznacza zmienną losową o rozkładzie standardowym normalnym. Korzystając z tablic znaleźć (a) P (0 Z 2.7) (d) P (Z.37) (b) P ( Z 2.5) (e) P ( 2.5 Z 0) (c) P (Z.75)

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych

Bardziej szczegółowo

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N OBWODY SYGNAŁY 1 5. OBWODY NELNOWE 5.1. WOWADZENE Defiicja 1. Obwodem elektryczym ieliiowym azywamy taki obwód, w którym występuje co ajmiej jede elemet ieliiowy bądź więcej elemetów ieliiowych wzajemie

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska Wrocław University of Technology WYKŁAD 2 i 3 Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne autor: Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska. WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE) Warszawa 2014

Agata Boratyńska. WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE) Warszawa 2014 1 Agata Boratyńska WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok WNE) Warszawa 2014 Agata Boratyńska Wykłady ze statystyki matematycznej 2 Literatura W. Niemiro Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna,

Bardziej szczegółowo

Zestaw I. , a jedynie w oparciu o powyższą definicję.

Zestaw I. , a jedynie w oparciu o powyższą definicję. Zestaw I I. Uzasadij wzory a liczbę permutacji zbioru -elemetowego, liczbę podzbiorów k-elemetowych zbioru -elemetowego, wariacji oraz tych pojęć z powtórzeiami. II. Liie rówoległe do boków prostokąta

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony

Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony Przykładowy arkusz z rozwiązaiai Arkusz II pozio rozszerzoy ( pkt) Pukt A( -, -) jest wierzchołkie robu, którego jede z boków zawiera się w prostej k o rówaiu x - y - 0 Środkie syetrii tego robu jest pukt

Bardziej szczegółowo

Dolne oszacowania wartości rekordowych

Dolne oszacowania wartości rekordowych Dole oszacowaia wartości rekordowych Agieszka Gorocy Uiwersytet Miko laja Koperika, Toruń Tomasz Rychlik Uiwersytet Miko laja Koperika, IM PAN, Toruń XXXV Koferecja Statystyka Matematycza, Wis la. 8 grudia

Bardziej szczegółowo

Metody Statystyczne II

Metody Statystyczne II Metody Statytycze II dr Dorota Węziak-Białowolka Itytut Statytyki i Demograii Iormacje orgaizacyje Koultacje: poiedziałek 5:3 6:3 5F lub 73F Materiały: www.e-gh.pl/bialowolka/ms Zaliczeie: w ormie egzamiu

Bardziej szczegółowo

Porównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej

Porównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Porównanie modeli logicznej regresji z klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Małgorzata Bogdan Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do laboratorium 1

Wprowadzenie do laboratorium 1 Wprowadzeie do laboratorium 1 Etymacja jedorówaiowego modelu popytu a bilety loticze Etapy budowy modelu ekoometryczego Specyfikacja modelu Zebraie daych tatytyczych Etymacja parametrów modelu Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Słowniczek Hipoteza statystyczna Hipoteza parametryczna Hipoteza nieparametryczna Hipoteza zerowa Hipoteza alternatywna Błąd pierwszego rodzaju

Słowniczek Hipoteza statystyczna Hipoteza parametryczna Hipoteza nieparametryczna Hipoteza zerowa Hipoteza alternatywna Błąd pierwszego rodzaju Słowiczek Hipoteza statystycza jakiekolwiek przypuszczeie dotyczące rozkładu populacji geeralej Hipoteza parametrycza hipoteza statystycza precyzująca wartość parametru w rozkładzie populacji geeralej

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzoy ZBIÓR ZADAŃ Materiały pomocicze dla ucziów i auczycieli Cetrala Komisja Egzamiacyja 05 Zadaia 5 Zadaia Liczby rzeczywiste i wyrażeia algebraicze Rówaia i

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykªadu Rachunek prawdopodobie«stwa dla informatyków.

Notatki do wykªadu Rachunek prawdopodobie«stwa dla informatyków. Notatki do wykªadu Rachuek prawdopodobie«stwa dla iformatyków. Marci Milewski Wrocªaw, 4 lutego 2009 Spis tre±ci 1 Prawdopodobie«stwo 2 1.1 Ozaczeia i poj cia...........................................

Bardziej szczegółowo

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW . ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej

Bardziej szczegółowo

npq jest funkcją gęstości zmiennej losowej X? Po wyznaczeniu k proszę znaleźć: dystrybuantę, kwartyl drugi,

npq jest funkcją gęstości zmiennej losowej X? Po wyznaczeniu k proszę znaleźć: dystrybuantę, kwartyl drugi, Zadaie aa jest fucja gęstości zmieej losowej X: 9 8 Wyzacz: F (X ; Q ; ; ( X ; 9 9 P X P Zadaie ( Statystya II, X a b F( b F( a X e! P m ( ; m E( X ( X V ( X X R P ( X R ( X V ( X jest fucją gęstości zmieej

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Mat. Fin. i Bio., Gdańsk, Zestaw zadań ze statystyki matematycznej. Zestaw 1 1 N

Mat. Fin. i Bio., Gdańsk, Zestaw zadań ze statystyki matematycznej. Zestaw 1 1 N Marek Beśka, Statystyka matematyczna 1 Mat. Fin. i Bio., Gdańsk, 26.09.2016 Zestaw zadań ze statystyki matematycznej Zestaw 1 Zad. 1. Wykazać, że jeśli X 1, X 2,... są zmiennymi losowymi o jednakowych

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja metodą Bayesa

Klasyfikacja metodą Bayesa Klasyfikacja metodą Bayesa Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski warunkowe i bezwarunkowe 1. Klasyfikacja Bayesowska jest klasyfikacją statystyczną. Pozwala przewidzieć prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 (09.05.2007) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny

Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 (09.05.2007) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki olitechika Białostocka - Wydział Elektryczy Elektrotechika, seestr II, studia stacjoare Rok akadeicki 006/007 la wykładu r 9 Obliczaie liczby π etodą

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony). Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

Termodynamika defektów sieci krystalicznej

Termodynamika defektów sieci krystalicznej Termodyamika defektów sieci krystaliczej Defekty sieci krystaliczej puktowe (wakasje, atomy międzywęzłowe, obce atomy) jedowymiarowe (dyslokacje krawędziowe i śrubowe) dwuwymiarowe (graice międzyziarowe,

Bardziej szczegółowo