Przykład 3.1. Wyznaczanie prędkości i przyśpieszenia ruchu płaskim

Transkrypt

1 Przykład 31 Wyzaczaie prędkści i przyśpieszeia ruchu płaskim Prędkść chwilwa i przyśpieszeie chwilwe puktu pręta w płżeiu przedstawiym a rysuku 1 wyszą: = a = a, Zaleźć prędkść i przyśpieszeie puktu pręta w daej chwili rys 1 ROZWIĄZNIE 1 Obliczeie prędkści Obliczeie prędkści przeprwadze zstaie trzema metdami: a) z wykrzystaiem twierdzeia prędkściach w ruchu płaskim, b) z wykrzystaiem plau chwilwych śrdków prędkści, c) z wykrzystaiem twierdzeia rzucie prędkści dwu puktów a łączącą je prstą Metda a) Chcemy przedstawić prędkść puktu jak sumę prędkści tarczy w ruchu pstępwym (rówą prędkści dwlie wybraeg biegua) i prędkści puktu w ruchu tarczy wkół teg biegua Jak biegu ajwygdiej wybrać pukt, pieważ jeg prędkść jest zaa (rys1) Prędkść puktu mżemy zatem wyrazić astępując: = + / Graficzą ilustrację tej rówści przedstawia rysuek 1 Rówaie t zawiera dwa wektry:, / zaych kierukach i iezaych wartściach Kieruek wektra prędkści puktu wyika z waruków zadaia (pukt przesuwa się p piwej ściaie) Rzutując t rówaie wektrwe a dwie dwle ierówległe sie trzymujemy układ dwu rówań algebraiczych z iewiadmymi, / Rzwiązaie teg układu będzie ajprstsze, gdy układ będzie rzprzęgięty rys1 1

2 Osiągiemy t przez rzutwaie a sie prstpadłe d kieruków wektrów, / Rzutując a ś Y (rys 1C) prstpadłą d wektra / uzyskujemy : = csα i stąd = ctgα rys 1 C Ddatia wartść zacza, że zwrt rzeczywisty wektra a rysuku 1 jest zgdy z załżym Otrzymae rzwiązaie - prędkść puktu mża przedstawić w pstaci składwych w wybraym układzie współrzędych W układzie ieruchmym xy ( rys 1) wyszą e: Uwaga = 0, = ctgα x y Dla kreśleia przyśpieszeia puktu iezbęda jest zajmść prędkści kątwej tarczy W tym celu ależy kreślić wartść prędkści puktu względem biegua - / Rzutując rówaie wektrwe a ś x (rys 1) trzymujemy: 0 = + /, a stąd / = Z defiicji prędkści liiwej puktu w ruchu brtwym tarczy wkół biegua mamy / / = ω r / = ω l i trzymujemy stateczie: ω = = l l Metda b) Kieruki prędkści w puktach i są zae Mża zatem wyzaczyć chwilwy śrdek prędkści jak pukt przecięcia prstych prstpadłych d wektrów prędkści w puktach i (rysuek 1D) rys 1 D

3 Prędkść chwilwą puktu mża przedstawić rówaiem = ω ro, skąd = ω O Umżliwia t am kreśleie prędkści kątwej ω = = = O l l i astępie prędkści ( długści wektra) puktu = ω O = l cs α α = ctg l α si Zwrt i kieruek prędkści przedstawie są a rysuku 1E rys 1 E Metda c) Obliczeie prędkści puktu mża przeprwadzić wykrzystując twierdzeie rzucie prędkści dwu puktów a łączącą je prstą Jest t mżliwe dzięki zajmści kieruków prędkści w puktach i raz wartści prędkści w pukcie Rzutując wektry prędkści, a kieruek pręta (rys 1F) trzymujemy: ( 90 α) csα = cs csα = = ctgα rys 1 F 3

4 W metdzie tej ie wyzacza się prędkści kątwej tarczy, tym samym uzyskae rzwiązaie jest iewystarczające w przypadku, gdy pszukujemy rówież przyśpieszeń Obliczeie przyśpieszeia Wykrzystamy twierdzeie przyśpieszeiach w ruchu płaskim, tz przedstawimy przyśpieszeie puktu jak sumę: przyśpieszeia tarczy w ruchu pstępwym, róweg przyśpieszeiu dwlie wybraeg biegua, przyśpieszeia puktu w ruchu tarczy wkół teg biegua Pdbie jak przy bliczaiu prędkści, jak biegu wybieramy pukt Przyśpieszeie puktu mża wówczas zapisać jak: a = a + a / Przyśpieszeie puktu względem puktu (ruch brtwy względem biegua) - mża rzłżyć a składwe: styczą i rmalą : a = a + a + a / / (*) Ilustrację graficzą teg rówaia przedstawia rysuek 1G rys 1 G Wykrzystując bliczą pprzedi wartść prędkści kątwej ω mża bliczyć wartść przyśpieszeia rmaleg puktu względem jak a / = ω r, a stąd a / = = l ω = l l si α Pieważ kieruek przyśpieszeia puktu jest zay (pdbie jak przyśpieszeia styczeg puktu względem ) mżemy rzpatrywae rówaie wektrwe (*) rzwiązać pdbie jak w części dtyczącej prędkści Rzutując rówaie a ś Y prstpadłą d wektra przyśpieszeia styczeg (rys 1H) trzymujemy: 4

5 a cs( 90 α) = a csα a 1 = acsα + l si α a / rys 1 H Uwaga by bliczyć przyśpieszeie kątwe ε pręta ależy kreślić przyśpieszeie stycze puktu względem Mża je uzyskać rzutując wektry w rówaiu (*) a ś x (rys1h) skąd 0 = a a csα + a cs( 90 α) / / 1 csα a a / = + l si α Pieważ z defiicji przyśpieszeia styczeg puktu względem wyika, że a / = ε r czyli a = ε, / zatem przyśpieszeie kątwe pręta wysi: a/ 1 csα ε = = a + l l si α 5