Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 4 Rozwiązywanie równań nieliniowych. Karol Tarnowski A-1 p.

Transkrypt

1 Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład 4 Rozwiązywaie rówań ieliiowych Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223

2 Pla wykładu Metoda bisekcji Algorytm Aaliza błędu Metoda Newtoa Algorytm Aaliza błędu Przykład Zastosowaie do układów rówań ieliiowych Metoda sieczych Algorytm Aaliza błędu 2/25

3 Rozwiązywaie rówań ieliiowych Poszukujemy X x x : f x 1, x2, x3 0 FX 0 3/25

4 Metoda bisekcji Jeśli f jest fukcją ciągłą w przedziale [a,b] i jeśli f(a)f(b)<0, to fukcja ta musi mieć zero w (a,b). 4/25

5 Metoda bisekcji Wyzaczamy pukt c = ½(a+b) oraz wartość fukcji f(c) jeśli f(a)f(c)<0 to bc jeśli f(b)f(c)<0 to ac 5/25

6 Metoda bisekcji jeśli f(a)f(c)<0 to bc 6/25

7 Metoda bisekcji Kryteria zakończeia: przekroczeie maksymalej liczba kroków zadowalająco mały błąd zadowalająco mała wartość fukcji 7/25

8 Metoda bisekcji Algorytm iput a, b, M, d, e fa f(a) fb f(b) h b a output a, b, fa, fb if sg(fa) = sg(fb) the stop for k = 1 to M do h h/2 c a + h fc f(c) output k, c, fc, h if abs(e) < d or... abs(fc) < e the stop if sg(fc) sg(fa) the b c fb fc else a c fa fc edif eddo 8/25

9 Metoda bisekcji Aaliza błędu Ozaczmy koleje otrzymywae przedziały symbolami [a 0, b 0 ], [a 1, b 1 ] itd. Wtedy: a a a b, b b b a, b 1 a1 b a dla 0, 2 b a 2 b a, 0 0 lim b lim a lim b a lim 2 b a 0, lim b lim a r, c a b 2, 1 1 r c b a 2 b0 a /25

10 Metoda Newtoa Rozważmy fukcję f, która ma zero w r (f(r) = 0), atomiast x jest przybliżeiem r. Na mocy twierdzeia Taylora 0 = f(r) = f(x+h) = f(x) + hf (x) + O(h 2 ), gdzie h = r x. Jeśli h jest małe to wyraz O(h 2 ) możemy pomiąć. wtedy rozwiązując rówaie względem h otrzymujemy 10/25

11 Metoda Newtoa Wtedy rozwiązując rówaie względem h otrzymujemy: 0 = f(x) + hf (x) x f(x) = hf (x) h ' x f x f 1 x f x f ' x 11/25

12 Metoda Newtoa ' f x f x x x /25

13 Metoda Newtoa ' f x f x x x /25

14 Metoda Newtoa Algorytm iput x0, M, d, e v f(x0) output 0, x0, v if abs(v) < e the stop for k = 1 to M do x1 x0 v/f (x0) v f(x1) output k, x1, v if abs(x1 x0) < d or abs(v) < e the stop x0 x1 eddo 14/25

15 Metoda Newtoa 15/25

16 Metoda Newtoa Aaliza błędu Przez błąd rozumiemy wielkość e = x r. Załóżmy, że f jest ciągła, i że r jest zerem pojedyczym fukcji f, tj. f(r) = 0 f (r). fx e1 x1 r x r f' x ' f x e f ' x f x e f ' x f x 16/25

17 Metoda Newtoa Aaliza błędu e 1 f' x e f ' x f x Ze wzoru Taylora 1 0 f r f x e f x ef ' x ef '' ef ' x f x ef 2 2 '' 1 f '' 1 f '' r e e e Ce f ' x 2 f ' r 17/25

18 Metoda Newtoa Aaliza błędu 1 f '' 1 f '' r e e e Ce f ' x 2 f ' r Określmy wielkość c d max f'' 1 xr d 2 mi f' xr d x x limc d 0 d 1 f'' 2 f' r r Wybieramy d a tyle małe, aby miaowik był dodati, a dodatkowo, jeśli to koiecze zmiejszamy d tak, żeby spełioe było dc d 1 18/25

19 Metoda Newtoa Aaliza błędu Przypuśćmy, że zaczyamy iteracje metody Newtoa od x0 : x0 r d e0 d, 0 r d Wobec defiicji c 1 f '' 2 f' x 0 0 c d 1 f '' e e c e e e c d f' x0 d e dc d e e d /25

20 Metoda Newtoa Aaliza błędu e e 1 0 e e e e e Niech r będzie zerem pojedyczym fukcji f i iech jej druga pochoda będzie ciągła. Wtedy istieje takie otoczeie puktu r i taka stała C, że jeśli metoda Newtoa startuje z tego otoczeia, to koleje pukty są coraz bliższe r i takie, że 2 x 1 r C x r 0 20/25

21 Metoda Newtoa Przykład W oparciu o metodę Newtoa możemy sformułować ciąg przybliżeń pierwiastka kwadratowego x R x 2 R 0 2 f x x R x x x R 2x x R x R 1 x R x 2x 2x 2 x 21/25

22 Metoda Newtoa Zastosowaie do układów rówań ieliiowych f f x, x 0 x, x 0 J f 0 f x h, x h f x, x h h x1 x2 f 0 f x h, x h f x, x h h f f x1 x2 f f x x f f x x f 1 1 x1, x 2 h J h f x, x /25

23 Metoda sieczych x 1 x f x f ' x x x f x 1 x f x 1 f x x 1 23/25

24 Metoda sieczych Algorytm iput a, b, M, d, e fa f(a), fb f(b) output 0, a, fa output 1, b, fb for k = 2 to M do eddo if abs(fa) > abs(fb) the a b, fa fb edif s (b-a)/(fb-fa) b a fb fa a a fa*s fa f(a) output k, a, fa if abs(fa) < e or abs(b-a) < d the stop 24/25

25 Metoda sieczych Aaliza błędu r r f'' e e e Ce e 2 f' e A e /25