ASYMPTOTYCZNIE EFEKTYWNA STRATEGIA ODRZUCANIA GIER OBARCZONYCH ZBYT DUŻYM RYZYKIEM

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ASYMPTOTYCZNIE EFEKTYWNA STRATEGIA ODRZUCANIA GIER OBARCZONYCH ZBYT DUŻYM RYZYKIEM"

Transkrypt

1 PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LVII ZESZYT 00 EWA DRABIK ASYMPTOTYCZNIE EFEKTYWNA STRATEGIA ODRZUCANIA GIER OBARCZONYCH ZBYT DUŻYM RYZYKIEM. WSTĘP W iektórych grach bilas ryzyka, strat i zagrożeń przewyższa wszelkiego rodzaju korzyści, które gracz może czerpać z gry. W takiej sytuacji gracz powiie raczej zrezygować z uczestictwa w rozgrywkach, oczywiście jeśli ie jest hazardzistą. Hazardzista jest to bowiem specyficzy rodzaj gracza, który a ogół ie zachowuje się racjoalie i raczej ie ma awersji do ryzyka. Iaczej sprawa wygląda w przypadku racjoalie zachowujących się uczestików ryku, którzy w wielu różych sytuacjach ekoomiczych utożsamiai są z graczami. Przykładem może być uczestictwo w grach o charakterze społeczym, a z tymi bardzo często mamy do czyieia współdziałając z grupą jedostek mających wspóle cele, p. w zakładzie pracy. W tym przypadku gra się może toczyć o zasoby, o strukturę formalą i miejsca poszczególych graczy w owej strukturze. Jeżeli ie uczesticzy się w grze, świadomie lub ie, to moża wypaść z tej struktury. Podobie jak w przypadku wielu iych struktur rykowych, których istieie uzależioe jest główie od zachowań uczestików tychże struktur. Zwyczajowo przyjmuje się, że racjoalie działający gracz ma awersję do ryzyka. Awersja do ryzyka jest kocepcją zaą od dawa, a przykład z ekoomii, teorii gier, fiasów i psychologii i dotyczy oa zachowań kosumetów, graczy oraz iwestorów działających w warukach iepewości. Stopień awersji do ryzyka moża wyrazić liczbowo. Najbardziej zae miary awersji do ryzyka zostały wprowadzoe przez Joha W. Pratta (964) oraz Keetha Arrowa (965). Awersja do ryzyka jest jedą z ważiejszych charakterystyk zjawisk ekoomiczych, które były dyskutowae w ostatich latach. Bardzo waży jest problem uczestictwa w przedsięwzięciach, iwestycjach lub grach, w tym rykowych, które charakteryzują się dużym ryzykiem. Z puktu widzeia gracza (p. uczestika ryku) iezwykle istote jest ustaleie maksymalej straty oraz miimalego zysku, przy których warto uczesticzyć w grze. Problemami tymi w ostatich latach zajmowało się wieku autorów [9], [0], [3]. Problem awersji do ryzyka został poruszoy, a astępie rozwiięty przy okazji omawiaia teorii perspektywy (prospect theory) przez Daiela Kahemaa i Amosa Tversky ego (979). Teoria ta stwierdza, m.i., że gospodarka to ie tylko prawidłowości, ale rówież ludzie, którzy ie zawsze zachowują się racjoalie. Pokazali oi rówież, że uczesticy ryku iaczej odbierają stratę, a iaczej taki sam co do wartości

2 54 Ewa Drabik bezwzględej zysk. Iymi słowy, poczucie straty bywa bardziej bolese iż radość z takiego samego co do wartości bezwzględej zysku. W 99 r. Kahema i Tversky ustalili i przebadali empiryczie, że ajbardziej pożądaym stosukiem straty do zysku jest : (loss aversio to gai attractio) [3]. Wielu autorów, takich jak Rabi, Thaler (00), Segal, Spivak (990), Epstei (99) prowadziło rozważaia dotyczące uczestictwa w grach o zróżicowaych stawkach, a także rozważało stosuek do ryzyka uczestików takich gier w różych kotekstach, przy różych fukcjach użyteczości. W 000 r. Matthew Rabi sformułował jedo z ważiejszych twierdzeń odoszące się do graczy z awersją do ryzyka, którzy maksymalizują swoją fukcję użyteczości, tzw. calibratio theorem [0]. W uproszczeiu mówi oo, że przy ustaloym poziomie zamożości możliwe jest ustaleie zysku i straty, przy których gracz powiie zrezygować z gry. Poadto grę ależy odrzucić rówież wówczas, gdy zysk jest miejszy od założoego (wyliczoego), zaś strata większa od założoej. Problem odrzucaia tzw. złych gier był rówież przedmiotem rozważań Igacio Palacios Huerty oraz Roberta Serrao [9]. Zaprezetowali oi pewe cechy bezpieczych gier. Sformułowali przy tym bardzo istote twierdzeie pozwalające ustalić graiczą wartość zysku i straty, przy których gra może być uzaa za bezpieczą zostaie oo sformułowae w dalszej części pracy. Robert Auma oraz wspomiay Serrao (007) w oparciu o miary awersji do ryzyka Arrowa Pratta zdefiiowali tzw. Ideksy riskiess, których własości scharakteryzowali, m.i., przy użyciu aksjomatów. Rozważaia prowadzoe były wyłączie w odiesieiu do gier jedoetapowych. Celem iiejszej pracy jest zaprezetowaie strategii wyzaczającej graicze zyski i straty w grach rozgrywaych wielokrotie, a kokretie wieloetapowych. W tym celu została zaadoptowaa asymptotyczie efektywa strategia, która po raz pierwszy została wykorzystaa do rozwiązaia problemu jedorękiego badyty (oe armed badit problem) przez T.L. Lai i Herberta Robbisa [5]. Praca została zorgaizowaa w astępujący sposób. W pukcie drugim przedstawioo elemety teorii związaej ze zróżicowaym stosukiem do ryzyka uczestików ryku, a także zaprezetowao twierdzeie Palacios Huerty oraz Serrao z 006 roku dotyczące wyzaczaia graiczych wartości zysku i straty, przy których ależy zrezygować z uczestictwa w grze rozgrywaej tylko jede raz. W pukcie trzecim przedstawioo strategię dotyczącą obliczaia graiczych wartości zysku i straty, przy których ależy odrzucić grę wieloetapową w kokretej z faz.. PODSTAWOWE INFORMACJE ZWIĄZANE ZE ZRÓŻNICOWANYM STOSUNKIEM DO RYZYKA UCZESTNIKÓW RYNKU.. ELEMENTY TEORII OCZEKIWANEJ UŻYTECZNOŚCI Wiele ważych zagadień związaych z podejmowaiem decyzji w warukach iepewości zawiera elemet ryzyka. Przez wiele lat obowiązywało w ekoomii założeie, że uczesticy ryku mają awersję do ryzyka, a decyzje przez ich podejmowae są racjoale. Awersja do ryzyka jest założeiem zaym ie tylko z ekoomii, ale

3 Asymptotyczie efektywa strategia odrzucaia gier rówież teorii gier, fiasów, psychologii. Mówiąc o awersji do ryzyka warto wspomieć o teorii oczekiwaej użyteczości oraz iych pojęciach związaych z tym zagadieiem. Oczekiwaą użyteczość w sesie vo Neumaa Morgestera moża zapisać w postaci V = / p^xhu^xh () gdzie: u: X R jest elemetarą fukcją użyteczości w sesie Beroulliego, p prawdopodobieństwem zajścia określoego zdarzeia, X jest zbiorem zdarzeń. x Prostym przykładem, którym moża posłużyć się podczas omawiaia kolejych pojęć jest loteria (simple lottery). Prawdopodobieństwo p i reprezetuje w tym przypadku prawdopodobieństwo zajścia zdarzeia i, zaś -tka L = (p,, p ), p i ³ 0 określa loterię przy czym i =,, oraz / p =. Loterię moża rówież zilustrować w postaci geometryczej jako pukt wymiarowego simpleksu i i T = " p d : p + f + p =,. Niech F z (x) = P {z x} będzie dystrybuatą odpowiadającą zmieej losowej z. Gracz dokouje wyboru zgodie z astępującą wskazówką F z jest bardziej preferowaa iż F y, tj. F z ( F y wtedy, i tylko wtedy, gdy V (F z ) ³ V (F y ), gdzie V^F h = # u^xhdf ^xh lub rówoważie VF ^ h = / pxux ^ h ^ h; z z (aalogiczie określa się V (F y )). W dalszym ciągu zakłada się, że zmiea losowa z przyjmuje dwie wartości z lub z. Niech p ozacza prawdopodobieństwo zajścia zdarzeia z, zaś ( p) prawdopodobieństwo zajścia zdarzeia z. Przez u w dalszym ciągu ozaczaa będzie elemetara fukcja użyteczości, której oczekiwaą wartość moża określić astępująco Eu ^ h = puz ^ h + ^ -puz h ^ h. Dochód z loterii zway rówież ekwiwaletem pewości (certaity equivalet) ozacza się jako C (z); V (C (z)) = E (u). Z kolei Õ (z) = E (z) C (z) jest premią za ryzyko. Premia ta określa dochód, który może uzyskać gracz podejmujący ryzyko. Przyjmuje się, że gracz wykazuje: awersję do ryzyka (risk aversio) jeżeli C (z) < E (z) dla każdego z Î M, jest eutraly wobec ryzyka (risk eutral) jeżeli C (z) = E (z) dla każdego z Î M, ie ma awersji do ryzyka (kocha ryzyko risk lovig) C (z) > E (z) dla każdego z Î M, gdzie M jest zbiorem zmieych losowych odpowiadających badaemu zjawisku. z x

4 56 Ewa Drabik Słusze jest astępujące twierdzeie. Twierdzeie. Niech u : R R będzie mootoiczie rosącą elemetarą fukcją użyteczości (Beroulliego) reprezetującą relację preferecji ³ h a zbiorze M, która jest fukcją mootoiczie rosącą. Wówczas (i) u jest wklęsła wtedy, i tylko wtedy, gdy relacja preferecji ³ h związaa jest z awersję do ryzyka, (ii) u jest wypukła wtedy, i tylko wtedy, gdy relacja preferecji ³ h związaa jest z brakiem awersji do ryzyka, (iii) u jest liiowa wtedy, i tylko wtedy, gdy relacja preferecji ³ h związaa jest z eutralym stosukiem do ryzyka. Wiadomo rówież, że wraz ze zmiaą zamożości w gracz, którego użyteczość wyosi u wykazuje malejącą bezwzględą awersję do ryzyka (decreasig absolute risk aversio DARA) i ma to miejsce wówczas, gdy Õ (w, u) > Õ (w + a, u) dla każdego a > 0, rosącą absolutą awersję do ryzyka (icreasig absolute risk aversio IARA): Õ (w, u) < Õ (w + a, u) dla każdego a > 0, stałą absolutą awersję do ryzyka (costat absolute risk aversio CARA): Õ (w, u) < Õ (w + a, u) dla każdego a > 0, gdzie Õ (.) jest opisaą wcześiej awersją do ryzyka. Najbardziej zae miary awersji do ryzyka zostały wprowadzoe w latach 60. przez Arrowa i Pratta... MIARY AWERSJI DO RYZYKA Niech w ozacza zamożość (p. bogactwo, dochód, stopę zwrotu). Defiicja. Współczyik Arrowa Pratta bezwzględej awersji do ryzyka (absolute risk aversio ARA) względem bogactwa w określa się astępująco u" ^wh ra ^w, uh =- u' ^wh () gdzie u jest podwójie różiczkowalą elemetarą fukcją użyteczości. Współczyik względej awersji do ryzyka (relative risk aversio RRA) określa się w astępujący sposób r ^w, uh = w$ r ^w, uh. (3) r A

5 Asymptotyczie efektywa strategia odrzucaia gier Bezwzględa awersja do ryzyka jest miarą reakcji gracza a iepewość związaą z bezwzględymi zmiaami zamożości. Względa awersja do ryzyka wyraża stosuek gracza względem iepewości związaej ze względymi (procetowymi) zmiaami poziomu jego zamożości. Gracz z malejącą awersją do ryzyka wraz ze wzrostem zamożości będzie przezaczał coraz większą kwotę a ryzykową grę. Gracze mogą mieć rówież zróżicoway stopień awersji do ryzyka. Niech u (.), u (.) będą dwiema elemetarymi fukcjami użyteczości. Słusze jest astępujące twierdzeie, które stwierdza, m.i., że waruki (i)-(iv) są rówoważe [7]. Twierdzeie. Gracz, którego użyteczość wyosi u (.) ma większą awersję do ryzyka iż gracz, którego użyteczość wyosi u (.) jeśli spełioy jest jede z astępujących waruków. (i) ra ^w, uh > ra ^w, uh dla każdego poziomu zamożości w, (ii) istieje taka wklęsła fukcja Y (.), że u (w) = Y (u (w)) dla każdego w (u (.) jest bardziej wklęsła iż u (.)), (iii) CZ ^, uh # CZ ^, uh dla pewej zmieej losowej z Î M. (iv) Õ (w, u ) ³ Õ (w, u ) dla pewego w, gdzie C (.) jest ekwiwaletem pewości, Õ (.) premią za ryzyko. Gracz wykazuje bezwzględą awersję do ryzyka jeśli r A (w, u) jest malejącą fukcją dla określoej postaci u (.). Dobór u (.) jest zatem bardzo ważym problemem merytoryczym omawiaej teorii. W tabeli zostały zaprezetowae przykładowe fukcje użyteczości i ich klasyfikacja pod względem zmia bezwzględej i względej awersji do ryzyka. Przykładowe fukcje użyteczości i ich klasyfikacja pod względem zmia bezwzględej i względej awersji do ryzyka Tabela Fukcja użyteczości Bezwzględa awersja do ryzyka Względa awersja do ryzyka u (w) = l w malejąca stała -c uw ^ h = ^w+ Ch c> 0, c d ^0, h malejąca rosąca uw = - e -c ^ h w c > 0 stała rosąca uw e w ^ h = malejąca malejąca Źródło: za pracą [8]. Niektórzy autorzy zalecają, aby pojęcie iepewości wyraźie odróżić od pojęcia ryzyka. Kahema i Tversky w stworzoej przez siebie teorii perspektywy stwierdzili, że istotym elemetem zachowań uczestików ryku jest asymetria związaa ze sposobem podejmowaia tych decyzji, w wyiku których moża spodziewać się strat oraz tych, które mogą przyieść zyski. Poadto gracze są skłoi wybrać ryzyko, bez względu a okoliczości, jeśli uważają swoje postępowaie za właściwe. W związku z tym autorzy twierdzą, że gracze mają raczej awersję do strat iż do ryzyka.

6 58 Ewa Drabik Należy podkreślić, że zaprezetowae w tabeli fukcje użyteczości charakteryzują iwestora wykazującego awersję do ryzyka. Ii autorzy, p. Rabi [0] zaprezetowali ie fukcje użyteczości, takie jak a przykład a także uw = w - c ^ h - c c $ 0, w uw ^ h = - b l dla wz ^9, 0h uw ^ h = - b l + ; b l -b l E ^w-9h dla w d 69, Problem doboru u (.) jest szeroko dyskutoway, gdyż przyjmuje się, że ie każdy gracz z taką samą siłą uika ryzyka. Podczas rozważań dotyczących różych zagadień stosowae są ie fukcje użyteczości, tz. o różych postaciach aalityczych i różych własościach wyikających ze zaków pierwszej i drugiej pochodej [9], [0], [3]. Geeralie jedak stwierdzoo, że podstawowe charakterystyki tejże fukcji, przy założeiu, że gracze maksymalizują swoją oczekiwaą użyteczość, są słabo wrażliwe a rodzaj idywidualej skłoości do ryzyka reprezetowaej przy pomocy bezwzględej i względej awersji do ryzyka. Oprócz wymieioych miar Arrowa Pratta istieją ie metody pomiaru awersji do ryzyka. W 98 r. Ross wprowadził pojęcie silej miary awersji do ryzyka (stroger risk aversio measuremet). Idea kostrukcji wspomiaej miary jest astępująca. Niech u i v będą elemetarymi fukcjami użyteczości. Przyjmuje się, że u odpowiada siliejszej awersji do ryzyka iż v jeśli istieje l > 0 takie, że dla każdych dwóch poziomów zamożości w i w zachodzi u" ^wh v" ^wh $ m $ u' ^w v' ^w h. h (3) Jeżeli w = w to mamy do czyieia z miarami Arrowa Pratta. Tak więc sila awersja do ryzyka (SRAM) implikuje awersję do ryzyka w sesie Arrowa Pratta. Odwrota implikacja ie zachodzi. Ross sformułował rówież poiższe twierdzeie. Twierdzeie 3. Niech u i v będą podwójie różiczkowalymi elemetarymi fukcjami użyteczości. Następujące waruki są rówoważe. u" ^wh u' ^wh (i) $ m $ v" ^wh v' ^w dla każdych dwóch poziomów zamożości w i w h. (i) istieje l > 0 oraz taka malejąca, wklęsła fukcja G : R R (G' < 0 oraz G" < 0), że vw ^ h = muw ^ h+ Gw ^ h dla każdego poziomu zamożości w Î R. (i) Õ (w, u) ³ Õ (w, v) dla każdego poziomu zamożości w Î R.

7 Asymptotyczie efektywa strategia odrzucaia gier BEZPIECZNE GRY We wstępie zostało wspomiae, że w trakcie rozważań dotyczących zachowań graczy, iwestorów, kosumetów czy też iych uczestików ryku, w sposób aturaly asuął się problem ich uczestictwa w zbyt ryzykowych przedsięwzięciach. Gracze ie są skłoi do uczestictwa w grach przyoszących zbyt małe zyski lub zbyt duże straty. W 99 r. Kahema i Tversky stwierdzili, że zamiast o awersji do ryzyka ależy raczej mówić o awersji do strat (loss aversio) [3]. W 006 r. Palocious Huerta oraz Serrao zapropoowali i udowodili twierdzeie pozwalające za pomocą obliczeń ustalić graiczą wartość straty do zysku, przy których grę moża uzać za bezpieczą i w iej uczesticzyć [9]. Niech U ozacza zysk, m stratę. Gracz odrzuca grę jeśli przegraa jest większa od μ, zaś wygraa miejsza od U. Twierdzeie 4. Niech u będzie rosącą elemetarą fukcją użyteczości odpowiadającą awersji do ryzyka. Niech I będzie przedziałem określoym a zbiorze liczb rzeczywistych. Dla każdego poziomu zamożości w Î I uw ^ + Uh+ uw ^ -h < uw ^ h (4) oraz istieje takie a* > 0, że współczyik bezwzględej awersji do ryzyka r A (w, u) jest większy iż a* dla każdego w Î I. Największe takie a* jest rozwiązaiem rówaia fa = e a + e-au ^ h - = 0. (5) Nie sposób przeceić wartości merytoryczej twierdzeia 3. Należy jedak zazaczyć, że dotyczy oo wyłączie gier rozgrywaych tylko jede raz. W kolejym rozdziale zostaie zapropoowaa metoda, która pozwoli wyzaczyć graicze wartości U i m w grach wieloetapowych (rozgrywaych wielokrotie). 3. ASYMPTOTYCZNIE EFEKTYWNA REGUŁA ALOKACJI Załóżmy, że gracze uczesticzący w określoej grze mają awersję do ryzyka. Z puktu widzeia teorii perspektywy stworzoej przez Kahemaa i Tversky ego, opartej a ajowszych osiągięciach psychologii pozawczej wiadomo, że gracze o wiele boleśiej odczuwają stratę iż czerpią zadowoleie z takiego samego co do wartości bezwzględej zysku. W związku z tym ważym problemem staje się ustaleie wartości graiczych zysków i strat, które satysfakcjoowałyby uczestików gier rozgrywaych wielokrotie. W celu rozwiązaia tego problemu celowa wydaje się kostrukcja takiej strategii uczestictwa w grze, która ie przyosi zbyt dużych strat i ie daje zbyt małych zysków. W tym celu zostaie zaadoptowaa asymptotyczie efektywa strategia stworzoa w latach 80. XX wieku przez Lai i Robbisa, która została wykorzystaa do rozwiązaia jedo- i wielorękich badytów [5]. W iiejszej pracy zostaie wykorzystaa do gier rozgrywaych wielokrotie.

8 60 Ewa Drabik Literatura dotycząca problemów jedo- i wielorękich badytów jest obszera (zobacz p. bibliografię w pracy [5]). Nazwa jedoręki badyta pochodzi od azwy automatu do gry (slot machie), wyposażoego ajczęściej w trzy bęby do gry ozdobioe kolorowymi obrazkami oraz dźwigię lub przycisk. Po wrzuceiu pewej kwoty i uruchomieiu dźwigi lub aciśięciu przycisku umieszczoe a bębach symbole ustawiają się w różych układach, co daje określoą wygraą. Problemem tym zaiteresowali się także aukowcy, którzy wykorzystali zae metody statystycze do opisu różych wariatów tej gry (w uproszczeiu rzecz ujmując), po czym rozważaia swoje przeieśli a grut teorii sterowaia, biologii a także ekoomii. Zaadoptoway przez badaczy problem decyzyjy geeralie polega a tym, że a podstawie obserwacji wyików gry, gracz podejmuje decyzję, czy w kokretej fazie będzie grał czy też ie, zaś jego celem jest maksymalizacja całkowitej (lub średiej) wygraej. W dalszym ciągu zakłada się, że w i (i =, ) ozacza odpowiedią stratę lub zysk w fazie i dowolej gry rozgrywaej wielokrotie (iekoieczie jedorękiego badyty). Niech (w, q i ) będzie fukcją gęstości dla w odpowiadającą pewej mierze probabilistyczej v, gdzie fukcja (.,.) jest zaa, zaś q i są iezaymi parametrami ależącymi do przestrzei iezaych parametrów Q. Zakłada się rówież, że spełioy jest waruek 3 # wfw ^, ihdvw ^ h < 3 dla każdego q Î Q. -3 W trakcie gry sekwecyjie zbierae są iformacje dotyczące przeszłych zysków i strat w, w Iymi słowy, zbierae są dae historycze, a podstawie których podejmowae są decyzje dotyczące uczestictwa w kolejej fazie gry. Regułę gry j moża traktować jako ciąg zmieych losowych j, j,, przy czym j t = 0, kiedy gracz rezyguje z gry, j t =, kiedy gracz decyduje się a kotyuację gry, W każdej z faz obliczae są statystyki m t, U t odpowiadające średim zyskom i stratom. Własości tych statystyk zostały zaprezetowae w pracy [5]. Niech S = w + + w. Celem gracza jest osiągiecie ajwiększej z możliwych oczekiwaej wartości sumy wygraych S przy. Niech + 3 i ^ h # wf^w; ihdv^wh (6) -3 będzie oczekiwaą wypłatą w grze. Oczekiwaą sumę wypłat S w grze do fazy moża zapisać astępująco ES = Eaw I I k = i ^ ht ^ j h j = 0 i = i "{ i = j, i- / / / (7) j = 0

9 Asymptotyczie efektywa strategia odrzucaia gier... 6 gdzie T ^jh = / I ^j = 0, h jest liczbą mometów, podczas których gracz prowadził i = "{ i = j, grę do fazy (jeśli j = ) lub też liczbą mometów, podczas których gracz zrezygował z gry do fazy (jeśli j = 0), I {.} jest idykatorem zdarzeia. Zdarzeie {j = j} ależy do s- ciała J geerowaego przez poprzedie wartości j, w,, j, w. Problem maksymalizacji ES jest rówoważy miimalizacji astępującego kosztu gry R ^ ih = * - ES = / * _ -_ i iiet ^ j h (8) gdzie j j: i _ ji < * * = max $ ^i h, ^i h. = ^i * h dla i* d " i, i,. 0 0 Pomociczo wprowadza się tzw. liczbę Kulbacka Leiblera I(q, l), którą określa się za pomocą formuły I^i, mh = 3 fw ^ ; ih # log $ f w; i dv w fw ^ ; m ^ h ^ h (9) h -3 przy czym 0 < I (q, l) <, jeżeli m (l) > m (q). Lai Robbis pokazali, że koszt wyrażoy za pomocą formuły (8) moża przedstawić jako ([5], Twierdzeie, str. 7) * * R ^ ih. / _ - _ ijii/ I_ ij, i i log przy " 3. (0) * 4 j: i _ ji < * Autorzy pracy [3] pokazali rówież, że R (q) przy zbiega do asymptoty (jest zbieży asymptotyczie). Skostruowali rówież regułę gry j miimalizującą R (q), którą astępie azwali asymptotyczie efektywą regułą alokacji (asymptotically efficiet allocatio rule). Zostaie oa zaprezetowaa poiżej w odiesieiu do zysków i strat w dowolej grze. Wcześiej jedak omówioe zostaą własości, które powiy spełiać statystyki pomocicze m, U., które wykorzystywae są przy kostrukcji strategii j. Poday będzie także przykład, który zilustruje jaką postać przyjmują te statystyki oraz liczba Kulbacka Leiblera dla kokretego rozkładu (.;.), p. ormalego. Niech w, w, będą iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie o fukcji gęstości (w; q) z odpowiadającą miarą probabilistyczą v, gdzie q Î Q ozacza iezay parametr. Górą graicę przedziału ufości dla iezaej średiej m (q) moża zdefiiować za pomocą fukcji g t :R t R ( =,, ; t =,, ), która to fukcja dla każdego q Î Q spełia astępujące waruki.

10 6 Ewa Drabik - (W) P " r # g ^w, f, w h dla wszystkich t #, = -o^ h dla każdego r < m (q), i t t gdzie o ( ) jest pewą małą wartością zależą od / przy. (W) lim flim sup Pi $ gt ^w, f, wth $ m ^ h - f. / log p # / I^im, h jeżeli m (l) > m (q). f " 0 " 3 t = / (W3) g t jest fukcją iemalejącą gdy ³ t dla każdego t =,, Dodatkowo defiiuje się estymator puktowy h t (w,, w t ) dla średiej m (q), h t : R t R. Spełia o waruki (W4) h t g t dla każdego q Î Q. - (W5) P % max h ^w, f, w h - i ^ h > f/ = o^ h dla każdego e > 0. i t t t Moża zauważyć, że waruek W5 jest spełioy dla średiej, tj. dla ht ^w, f, wth = ^w+ f+ wth / t, gdy Ei wi < 3 ^i =, f, th. Przykład. Przyjmijmy, że w i (i =,, ) będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie ormalym i zaej wariacji s > 0 oraz iezaej wartości oczekiwaej Ew i = q, m (q) = q, q = (, ), v jest miarą Lesbegu e. Fukcja gęstości jest postaci w - / ^ fw; i = rv exp - - i h ^ h ^ h ) 3. v Z prostych obliczeń wyika, że liczba Kulbacka Leiblera przyjmuje postać ^i m I i, m = - h ^ h. v Po podstawieiu I (q, l) do wzoru (0) i dokoaiu odpowiedich przekształceń otrzymujemy rówość lim - " 3 ES = *. A zatem średia wypłata a jedostkę czasu może być rówa oczekiwaej wypłacie w dowolej z faz gry. Estymator puktowy h t (w,, w t ) odpowiada średiej h ^w, f, w h = ^w + f+ w h/ t = wr. t t t t

11 Asymptotyczie efektywa strategia odrzucaia gier Z kolei górą graicę przedziału ufości dla średiej moża wyrazić za pomocą formuły g w,, w w a / ^ f h = r +v^ h dla $ t t t t t gdzie s jest odchyleiem stadardowym, a t ( =,, ; t =,..., ) jest dodatią stałą taką, że dla każdego t, a t jest iemalejąca dla ³ t oraz istieje e 0 takie, że spełioa jest ierówość a log - t log # f ^ h t / t / dla każdego t. Aaliza dotycząca iych rozkładów fukcji (.,.) została zaprezetowaa w pracy [3]. W dalszym ciągu iech w,, w T (j) ozacza sukcesywe obserwacje zysków i strat do fazy. Należy zauważyć, że w przypadku rozważań prowadzoych w iiejszej pracy, T (0) + T () =, przy czym T (0) ozacza liczbę chwil do fazy, podczas których gracz zgodie ze strategią ie uczesticzył w grze, zaś T () ozacza liczbę chwil do fazy, podczas których gracz prowadził grę. Wspomiae wcześiej statystyki pomocicze to ^ j h = ht w,, w ^jh^ f T^jhh U ^ jh = ht j ^w, f + wt j h. ^ h Strategia gry j jest astępująca. ) Przez dwie pierwsze fazy gry gracz prowadzi grę i zbiera iformacje o wygraych lub stratach w, w. ) W fazie ( + ) ( ³ ) gracz podejmuje decyzję dotyczącą dalszej gry: j + = decyduje się a grę, j + = 0 rezyguje z gry. a) jeżeli m U to j + =, b) jeżeli m > U to j + = 0. Strategia j jest asymptotyczie efektywa, co ozacza, że koszt takiej gry przy zbiega do asymptoty. Jest to szczególie waże, gdy udział w grze jest obowiązkowy, a moża jedyie zrezygować z uczestictwa w pojedyczych fazach gry. Autorka iiejszej pracy zastosowała powyższą, aczkolwiek ieco iaczej sformułowaą strategię do gry a giełdzie k ³ akcjami spółek (akcje odpowiadały k ramioom). Przeprowadzoe symulacje komputerowe dla giełd: NYSE (New York Stock Exchage) oraz Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie pokazały, że w dłuższym okresie czasu, po przetestowaiu akcji dużej liczby spółek oraz uwzględieiu kosztów trasakcji ależałoby raczej zrezygować z dywersyfikacji portfela (przy dużym ) i zdecydować się a grę akcjami iewielkiej liczby spółek, przyoszących w dłuższym horyzocie czasowym ajwyższe dochody. Szczegółowe badaia pokazały, że czasami ajlepiej, aby była to jeda spółka [3]. Strategia zaprezetowaa w iiejszej pracy w zamyśle odosi się do iych iż jedoręki badyta, czy też giełda gier powtarzaych wielokrotie. Przeprowadzeie ^ h

12 64 Ewa Drabik symulacji wymaga jedak sporych akładów. Należałoby bowiem uwzględić w celach porówawczych opisae po części w rozdziale drugim ajowsze osiągięcia psychologii pozawczej oraz badaia przeprowadzoe przez Palacios Huertę i Serrao [9]. Politechika Warszawska LITERATURA [] Auma R.J., Serrao R., [007], A Ecoomic Idex of Riskiess, 3 th Spai Italy Netherlads Meetig o Game Theory (SING 3), Amsterdam July 4-6, p. 37. [] Drabik E., [009], Asymptotically Efficiet Adaptive Allocatio Rule as a Method of Rejectig Low ad Excessively High Risk, 5 th Spai Italy Netherlads Meetig o Game Theory (SING 5), Amsterdam July -3, p. 5. [3] Drabik E., [000], Zastosowaia teorii gier do iwestowaia w papiery wartościowe, str. 5, Wydawictwo Uiwersytetu w Białymstoku, Białystok. [4] Epstei L.G., [99], Behavior Uder Risk: Recet Developmets, [i:] Theory ad Applicatios i Advaces i Ecoomic Theory, Vol. II, edited by J.L. Laffot, Cambridge Uiversity Press, s [5] Lai T.L., Robbis H., [985], Asymptotically Efficiet Adaptive Allocatio Rules, Advaced i Applied Mathematics 6, s. 4-. [6] Kimball. M.S., [99], Stadard risk aversio, NBER Techical Workig Paper, No. 99. [7] Mass-Colell A., Whisto M.D., Gree J.R., [995], Microecoomic theory, Oxford Uiversity Press, New York. [8] Michalska E., Gołąbowska B., [998], Użyteczość a Ryzyko w Problemie Wyboru Portfela Akcji, [w:] Modelowaie preferecji a ryzyko 98, red. T. Trzaskalik, s , Wydawictwo Akademii Ekoomiczej w Katowicach, Katowice. [9] Palacios Huerta I., Serrao R., [006], Rejectig Small Gambles Uder Expected Utility, Ecoomics Letters 9, s [0] Rabi M., [000], Risk Aversio ad Expected Utility: a Calibratio Theorem, Ecoometrica 68, s [] Rabi M., Thaler R.H., [00], Aomalies Risk Aversio, Joural of Ecoomic Properties 5(), s [] Segal U., Spivak A., [990], First Order versus Secod Order Risk Aversio, Joural of Ecoomic Theory 5, s. -5. [3] Tversky A., Kahema R., [99], Loss Aversio i Riskless Choice a Referece -Depedet Model, Quarterly Joural of Ecoomics 06, s Praca wpłyęła do redakcji we wrześiu 009 r. ASYMPTOTYCZNIE EFEKTYWNA STRATEGIA ODRZUCANIA GIER OBARCZONYCH ZBYT DUŻYM RYZYKIEM Streszczeie Wiele decyzji ekoomiczych podejmowaych w warukach iepewości zawiera w sobie elemet ryzyka, a uczesticy ryku mogą mieć zróżicoway do iego stosuek, przy czym przez wiele lat obowiązywało założeie, że mają oi awersję do ryzyka. Awersja do ryzyka jest kocepcją zaą ie tylko z ekoomii, ale rówież teorii gier, fiasów i psychologii, a dotyczy oa zachowań kosumetów, graczy, iwestorów działających w warukach iepewości. Rówież awersja do strat jest kocepcją szeroko dys-

13 Asymptotyczie efektywa strategia odrzucaia gier kutowaą w ostatich latach. Zauważoo bowiem, że uczesticy ryku o wiele itesywiej odczuwają stratę iż czerpią radość z takiego samego co do wartości bezwzględej zysku. Wielu autorów aalizowało problem opłacalości uczestictwa w grach z określoą wartością zysku lub straty. Kahema i Tversky (99) ustalili awet, że warto brać udział w grach, w których stosuek ewetualego zysku do ewetualej straty ma się tak jak :. Ii autorzy prezetowali cechy tzw. bezpieczych gier. Celem pracy jest zaprezetowaie asymtotyczie efektywej strategii stosowaej w grach wieloetapowych, która umożliwia iteraktywe wyzaczaie graiczych wartości straty i zysku przy jakich warto kotyuować grę. Słowa kluczowe: asymptotyczie efektywa strategia, awersja do ryzyka, awersja do strat, gry wieloetapowe ASYMPTOTICALLY EFFICIENT ADAPTIVE STRATEGY OF REJECTING GAMES WITH TOO HIGH RISK Summary May importat ecoomic decisios ivolve a elemet of risk. Risk aversio is a cocept i ecoomic, game theory, fiace ad psychology related to the behavior of cosumers, players ad ivestors uder ucertaity. Loss aversio is a importat compoet of a pheomeo that has bee discussed a lot i recet years. Loss aversio is a tedecy to feel the pai of a loss more acutely tha pleasure of the equal sized gai. May scietists have aalyzed the problem of profitability i the game. Some authors preseted certai features, by which safe games played oce should be characterized. Kahema ad Tversky (99) showed that loss aversio to gai attractio ratio should amout to :. The aim of this paper is to show a asymptotically effective strategy which eables the risk aversive player to establish boudary variables loss ad gai at each stage of the repeated game. Key words: asymptotically efficiet strategy, risk aversio, loss aversio, repeated game

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Łukasz WOJCIECHOWSKI, Tadeusz CISOWSKI, Piotr GRZEGORCZYK ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Streszczeie W artykule zaprezetowao algorytm wyzaczaia optymalych parametrów

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 573 Ekoomia XXXIX 2001 BŁAŻEJ PRUSAK Katedra Ekoomii i Zarządzaia Przedsiębiorstwem METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Celem artykułu jest przedstawieie metod

Bardziej szczegółowo

1. Metoda zdyskontowanych przyszłych przepływów pieniężnych

1. Metoda zdyskontowanych przyszłych przepływów pieniężnych Iwetta Budzik-Nowodzińska SZACOWANIE WARTOŚCI DOCHODOWEJ PRZEDSIĘBIORSTWA STUDIUM PRZYPADKU Wprowadzeie Dochodowe metody wycey wartości przedsiębiorstw są postrzegae, jako ajbardziej efektywe sposoby określaia

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

OCENA WARIANTÓW DECYZYJNYCH O ROZKŁADACH CIĄGŁYCH NA GRUNCIE TEORII PERSPEKTYWY

OCENA WARIANTÓW DECYZYJNYCH O ROZKŁADACH CIĄGŁYCH NA GRUNCIE TEORII PERSPEKTYWY Reata Dudzińska-Baryła Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Wydział Iformatyki i Komuikacji Katedra Badań Operacyjych reata.dudziska-baryla@ue.katowice.pl OCENA WARIANTÓW DECYZYJNYCH O ROZKŁADACH CIĄGŁYCH

Bardziej szczegółowo

STRATEGIA STOP-LOSS & PROFIT OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO

STRATEGIA STOP-LOSS & PROFIT OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO Studia Ekoomicze. Zeszyty Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 221 2015 Współczese Fiase 1 Tadeusz Czerik Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Wydział Fiasów i Ubezpieczeń Katedra

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW . ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Mirosław Wójciak

Ekonometria Mirosław Wójciak Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SKORELOWANIA WYNIKÓW POMIAROWYCH W OCENACH STANU ZAGROŻEŃ HAŁASOWYCH ŚRODOWISKA

ANALIZA SKORELOWANIA WYNIKÓW POMIAROWYCH W OCENACH STANU ZAGROŻEŃ HAŁASOWYCH ŚRODOWISKA SYSTEMY WSPOMAGANIA W INŻYNIERII PRODUKCJI Środowisko i Bezpieczeństwo w Iżyierii Produkcji 2013 5 ANALIZA SKORELOWANIA WYNIKÓW POMIAROWYCH W OCENACH STANU ZAGROŻEŃ HAŁASOWYCH ŚRODOWISKA 5.1 WPROWADZENIE

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Metody analizy długozasięgowej

Metody analizy długozasięgowej Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter Metody aalizy długozasięgowej Adrzej Zacharewicz Warsztat aalizy zależości długotermiowej jest wciąż rozwijay i udoskoalay. Od czasów Hursta (95) i jego aalizy

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego doi:1.15199/48.215.4.38 Eugeiusz CZECH 1, Zbigiew JAROZEWCZ 2,3, Przemysław TABAKA 4, rea FRYC 5 Politechika Białostocka, Wydział Elektryczy, Katedra Elektrotechiki Teoretyczej i Metrologii (1), stytut

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM

ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM Katarzya Zeug-Żebro Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Katedra Matematyki katarzya.zeug-zebro@ue.katowice.pl ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM Wprowadzeie Zjawisko starzeia

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu

Bardziej szczegółowo

Czynnik czasu a modyfikacja dynamicznych miar oceny efektywności inwestycji

Czynnik czasu a modyfikacja dynamicznych miar oceny efektywności inwestycji ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO r 803 Fiase, Ryki Fiasowe, Ubezpieczeia r 66 (2014) s. 111 121 Czyik czasu a modyfikacja dyamiczych miar ocey efektywości iwestycji Jarosław Kaczmarek * Streszczeie:

Bardziej szczegółowo

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie MODELE SCORINGU KREDYTOWEGO Z WYKORZYSTANIEM NARZĘDZI DATA MINING ANALIZA PORÓWNAWCZA Przemysław Jaśko Wydział Ekoomii i Stosuków Międzyarodowych, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie 1 WROWADZENIE Modele aplikacyjego

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 (09.05.2007) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny

Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 (09.05.2007) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki olitechika Białostocka - Wydział Elektryczy Elektrotechika, seestr II, studia stacjoare Rok akadeicki 006/007 la wykładu r 9 Obliczaie liczby π etodą

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS Ekoomia Meedżerska 2011, r 10, s. 161 172 Jacek Wolak *, Grzegorz Pociejewski ** Aaliza popytu a alkohol w Polsce z zastosowaiem modelu korekty błędem AIDS 1. Wprowadzeie Okres trasformacji, zapoczątkoway

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki 52 Sławomir Herma Sławomir HERMA atedra Iżyierii Produkcji, ATH w Bielsku-Białej E mail: slawomir.herma@gmail.com Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia cyfrowej fabryki Streszczeie: W

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

Okresy i stopy zwrotu nakładów inwestycyjnych w ocenie efektywności inwestycji rzeczowych

Okresy i stopy zwrotu nakładów inwestycyjnych w ocenie efektywności inwestycji rzeczowych Ekoomia Meedżerska 2009, r 5, s. 45 62 Marek Łukasz Michalski* Okresy i stopy zwrotu akładów iwestycyjych w oceie efektywości iwestycji rzeczowych 1. Wprowadzeie Podstawowym celem przedsiębiorstwa, w długim

Bardziej szczegółowo

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne D o u ż y t k u w e w ę t r z e g o Katedra Iżyierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego POMIARY WARSZTATOWE Ćwiczeia laboratoryje Opracowaie: Urszula Goik, Maciej Kabziński Kraków, 2015 1 SUWMIARKI Suwmiarka

Bardziej szczegółowo

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszy Istrukcja do zajęć laboratoryjych z przedmiotu: EKSPLOATACJA MASZYN Wpływ waruków eksploatacji pojazdu a charakterystyki

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu

Bardziej szczegółowo

2.2 Funkcje wyceny. Wśród autorów przeważa pogląd, iż wycenie można przypisać cztery podstawowe funkcje:

2.2 Funkcje wyceny. Wśród autorów przeważa pogląd, iż wycenie można przypisać cztery podstawowe funkcje: . Cele wycey przedsiębiorstw. Przedsiębiorstwa w rozwiiętej gospodarce rykowej są powszechie przedmiotem różorakich trasakcji hadlowych co implikuje potrzebę uzyskaia szacuków ich wartości przy pomocy

Bardziej szczegółowo

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia..

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia.. Projekt z dia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dia.. w sprawie szczegółowego zakresu obowiązku uzyskaia i przedstawieia do umorzeia świadectw efektywości eergetyczej i uiszczaia

Bardziej szczegółowo

Podstawowe cechy podzielności liczb.

Podstawowe cechy podzielności liczb. Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

PERSPECTIVES OF STATISTICAL METHODS IN DESIGN OF TRADING STRATEGIES FOR FINANCIAL MARKETS USING HIERARCHICAL STRUCTURES AND REGULARIZATION

PERSPECTIVES OF STATISTICAL METHODS IN DESIGN OF TRADING STRATEGIES FOR FINANCIAL MARKETS USING HIERARCHICAL STRUCTURES AND REGULARIZATION STUDIA INFORMATICA 2013 Volume 34 Number 2A (111) Alia MOMOT Politechika Śląska, Istytut Iformatyki Michał MOMOT Istytut Techiki i Aparatury Medyczej ITAM PERSPEKTYWY ZASTOSOWAŃ METOD STATYSTYCZNYCH W

Bardziej szczegółowo

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2.

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2. Katarzya JARZYŃSKA ABB Sp. z o.o. PRODUKTY NISKONAPIĘCIOWE W INSTALACJI PV Streszczeie: W ormalych warukach pracy każdy moduł geeruje prąd o wartości zbliżoej do prądu zwarciowego I sc, który powiększa

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA?

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA? EKONOMETRIA Temat wykładu: Co to jest model ekoometryczy? Dobór zmieych objaśiających w modelu ekoometryczym Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapata Tarapata@isi.wat..wat.edu.pl http://

Bardziej szczegółowo

Efektywność projektów inwestycyjnych. Statyczne i dynamiczne metody oceny projektów inwestycyjnych

Efektywność projektów inwestycyjnych. Statyczne i dynamiczne metody oceny projektów inwestycyjnych Efekywość projeków iwesycyjych Saycze i dyamicze meody ocey projeków iwesycyjych Źródła fiasowaia Iwesycje Rzeczowe Powiększeie mająku rwałego firmy, zysk spodzieway w dłuższym horyzocie czasowym. Fiasowe

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo

WYGRYWAJ NAGRODY z KAN-therm

WYGRYWAJ NAGRODY z KAN-therm Regulami Kokursu I. POSTANOWIENIA OGÓLNE. 1. Regulami określa zasady KONKURSU p. Wygrywaj agrody z KAN-therm (dalej: Kokurs). 2. Orgaizatorem Kokursu jest KAN Sp. z o.o. z siedzibą w Białymstoku- Kleosiie,

Bardziej szczegółowo

Mirosława Gazińska. Magdalena Mojsiewicz

Mirosława Gazińska. Magdalena Mojsiewicz STUDIA DEMOGRAFICZNE 1(145) 2004 Mirosława Gazińska Katedra Ekoometrii i Statystyki Magdalea Mojsiewicz Katedra Ubezpieczeń i Ryków Kapitałowych Uiwersytet Szczeciński MODELOWANIE CZASU TRWANIA ŻYCIA BEZ

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Czyiki wpływające a zmiaę watości pieiądza w czasie:. Spadek siły abywczej. 2. Możliwość iwestowaia. 3. Występowaie yzyka. 4. Pefeowaie bieżącej kosumpcji pzez człowieka. Watość

Bardziej szczegółowo

Analiza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych

Analiza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych zaiteresowaia wykorzystaiem tej metody w odiesieiu do iych droboziaristych materiałów odpadowych ze wzbogacaia węgla kamieego ależy poszukiwać owych, skutecziej działających odczyików. Zdecydowaie miej

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych Opracował: Leszek Jug Wydział Ekoomiczy, ALMAMER Szkoła Wyższa Meody ocey efekywości projeków iwesycyjych Niezbędym warukiem urzymywaia się firmy a ryku jes zarówo skuecze bieżące zarządzaie jak i podejmowaie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie błądzenia przypadkowego do testowania generatorów liczb pseudolosowych

Zastosowanie błądzenia przypadkowego do testowania generatorów liczb pseudolosowych Uiwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Iformatyki Istytut Iformatyki Grzegorz Łoś Zastosowaie błądzeia przypadkowego do testowaia geeratorów liczb pseudolosowych Praca magisterska apisaa pod kierukiem

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Kluczowy aspekt wyszukiwania informacji:

Kluczowy aspekt wyszukiwania informacji: Wyszukiwaieiformacjitoproceswyszukiwaiawpewymzbiorze tychwszystkichdokumetów,którepoświęcoesąwskazaemuw kweredzietematowi(przedmiotowi)lubzawierająiezbędedla Wg M. A. Kłopotka: użytkowikafaktyiiformacje.

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

Andrzej Pogorzelski Materiały pomocnicze do studiowania przedmiotu FINANSE PRZEDSIEBIORSTWA

Andrzej Pogorzelski Materiały pomocnicze do studiowania przedmiotu FINANSE PRZEDSIEBIORSTWA . CHARAKTERYSTYKA PIENIĄDZA JAKO TWORZYWA FINANSÓW.. Fukcje pieiądza Najwygodiejszym sposobem defiiowaia pieiądza jest wymieieie jego główych, klasyczych fukcji. I tak pieiądz jest: mierikiem wartości

Bardziej szczegółowo

Entropia w układach dynamicznych

Entropia w układach dynamicznych Etropia w układach dyamiczych Wstęp Środowiskowe studia doktorackie Uiwersytet Jagielloński Kraków, marzec-kwiecień 203 Tomasz Dowarowicz Część II Etropia topologicza i zasada wariacyja Zaczijmy od początku.

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

KOMPETENCJE EKSPERTÓW W INFORMATYCZNYM SYSTEMIE WSPOMAGANIA DECYZJI

KOMPETENCJE EKSPERTÓW W INFORMATYCZNYM SYSTEMIE WSPOMAGANIA DECYZJI KOMPETENCJE EKSPERTÓW W INFORMATYCZNYM SYSTEMIE WSPOMAGANIA DECYZJI Ryszard Budziński, Marta Fukacz, Jarosław Becker, Uiwersytet Szczeciński, Wydział Nauk Ekoomiczych i Zarządzaia, Istytut Iformatyki w

Bardziej szczegółowo