ASYMPTOTYCZNIE EFEKTYWNA STRATEGIA ODRZUCANIA GIER OBARCZONYCH ZBYT DUŻYM RYZYKIEM

Transkrypt

1 PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LVII ZESZYT 00 EWA DRABIK ASYMPTOTYCZNIE EFEKTYWNA STRATEGIA ODRZUCANIA GIER OBARCZONYCH ZBYT DUŻYM RYZYKIEM. WSTĘP W iektórych grach bilas ryzyka, strat i zagrożeń przewyższa wszelkiego rodzaju korzyści, które gracz może czerpać z gry. W takiej sytuacji gracz powiie raczej zrezygować z uczestictwa w rozgrywkach, oczywiście jeśli ie jest hazardzistą. Hazardzista jest to bowiem specyficzy rodzaj gracza, który a ogół ie zachowuje się racjoalie i raczej ie ma awersji do ryzyka. Iaczej sprawa wygląda w przypadku racjoalie zachowujących się uczestików ryku, którzy w wielu różych sytuacjach ekoomiczych utożsamiai są z graczami. Przykładem może być uczestictwo w grach o charakterze społeczym, a z tymi bardzo często mamy do czyieia współdziałając z grupą jedostek mających wspóle cele, p. w zakładzie pracy. W tym przypadku gra się może toczyć o zasoby, o strukturę formalą i miejsca poszczególych graczy w owej strukturze. Jeżeli ie uczesticzy się w grze, świadomie lub ie, to moża wypaść z tej struktury. Podobie jak w przypadku wielu iych struktur rykowych, których istieie uzależioe jest główie od zachowań uczestików tychże struktur. Zwyczajowo przyjmuje się, że racjoalie działający gracz ma awersję do ryzyka. Awersja do ryzyka jest kocepcją zaą od dawa, a przykład z ekoomii, teorii gier, fiasów i psychologii i dotyczy oa zachowań kosumetów, graczy oraz iwestorów działających w warukach iepewości. Stopień awersji do ryzyka moża wyrazić liczbowo. Najbardziej zae miary awersji do ryzyka zostały wprowadzoe przez Joha W. Pratta (964) oraz Keetha Arrowa (965). Awersja do ryzyka jest jedą z ważiejszych charakterystyk zjawisk ekoomiczych, które były dyskutowae w ostatich latach. Bardzo waży jest problem uczestictwa w przedsięwzięciach, iwestycjach lub grach, w tym rykowych, które charakteryzują się dużym ryzykiem. Z puktu widzeia gracza (p. uczestika ryku) iezwykle istote jest ustaleie maksymalej straty oraz miimalego zysku, przy których warto uczesticzyć w grze. Problemami tymi w ostatich latach zajmowało się wieku autorów [9], [0], [3]. Problem awersji do ryzyka został poruszoy, a astępie rozwiięty przy okazji omawiaia teorii perspektywy (prospect theory) przez Daiela Kahemaa i Amosa Tversky ego (979). Teoria ta stwierdza, m.i., że gospodarka to ie tylko prawidłowości, ale rówież ludzie, którzy ie zawsze zachowują się racjoalie. Pokazali oi rówież, że uczesticy ryku iaczej odbierają stratę, a iaczej taki sam co do wartości

2 54 Ewa Drabik bezwzględej zysk. Iymi słowy, poczucie straty bywa bardziej bolese iż radość z takiego samego co do wartości bezwzględej zysku. W 99 r. Kahema i Tversky ustalili i przebadali empiryczie, że ajbardziej pożądaym stosukiem straty do zysku jest : (loss aversio to gai attractio) [3]. Wielu autorów, takich jak Rabi, Thaler (00), Segal, Spivak (990), Epstei (99) prowadziło rozważaia dotyczące uczestictwa w grach o zróżicowaych stawkach, a także rozważało stosuek do ryzyka uczestików takich gier w różych kotekstach, przy różych fukcjach użyteczości. W 000 r. Matthew Rabi sformułował jedo z ważiejszych twierdzeń odoszące się do graczy z awersją do ryzyka, którzy maksymalizują swoją fukcję użyteczości, tzw. calibratio theorem [0]. W uproszczeiu mówi oo, że przy ustaloym poziomie zamożości możliwe jest ustaleie zysku i straty, przy których gracz powiie zrezygować z gry. Poadto grę ależy odrzucić rówież wówczas, gdy zysk jest miejszy od założoego (wyliczoego), zaś strata większa od założoej. Problem odrzucaia tzw. złych gier był rówież przedmiotem rozważań Igacio Palacios Huerty oraz Roberta Serrao [9]. Zaprezetowali oi pewe cechy bezpieczych gier. Sformułowali przy tym bardzo istote twierdzeie pozwalające ustalić graiczą wartość zysku i straty, przy których gra może być uzaa za bezpieczą zostaie oo sformułowae w dalszej części pracy. Robert Auma oraz wspomiay Serrao (007) w oparciu o miary awersji do ryzyka Arrowa Pratta zdefiiowali tzw. Ideksy riskiess, których własości scharakteryzowali, m.i., przy użyciu aksjomatów. Rozważaia prowadzoe były wyłączie w odiesieiu do gier jedoetapowych. Celem iiejszej pracy jest zaprezetowaie strategii wyzaczającej graicze zyski i straty w grach rozgrywaych wielokrotie, a kokretie wieloetapowych. W tym celu została zaadoptowaa asymptotyczie efektywa strategia, która po raz pierwszy została wykorzystaa do rozwiązaia problemu jedorękiego badyty (oe armed badit problem) przez T.L. Lai i Herberta Robbisa [5]. Praca została zorgaizowaa w astępujący sposób. W pukcie drugim przedstawioo elemety teorii związaej ze zróżicowaym stosukiem do ryzyka uczestików ryku, a także zaprezetowao twierdzeie Palacios Huerty oraz Serrao z 006 roku dotyczące wyzaczaia graiczych wartości zysku i straty, przy których ależy zrezygować z uczestictwa w grze rozgrywaej tylko jede raz. W pukcie trzecim przedstawioo strategię dotyczącą obliczaia graiczych wartości zysku i straty, przy których ależy odrzucić grę wieloetapową w kokretej z faz.. PODSTAWOWE INFORMACJE ZWIĄZANE ZE ZRÓŻNICOWANYM STOSUNKIEM DO RYZYKA UCZESTNIKÓW RYNKU.. ELEMENTY TEORII OCZEKIWANEJ UŻYTECZNOŚCI Wiele ważych zagadień związaych z podejmowaiem decyzji w warukach iepewości zawiera elemet ryzyka. Przez wiele lat obowiązywało w ekoomii założeie, że uczesticy ryku mają awersję do ryzyka, a decyzje przez ich podejmowae są racjoale. Awersja do ryzyka jest założeiem zaym ie tylko z ekoomii, ale

3 Asymptotyczie efektywa strategia odrzucaia gier rówież teorii gier, fiasów, psychologii. Mówiąc o awersji do ryzyka warto wspomieć o teorii oczekiwaej użyteczości oraz iych pojęciach związaych z tym zagadieiem. Oczekiwaą użyteczość w sesie vo Neumaa Morgestera moża zapisać w postaci V = / p^xhu^xh () gdzie: u: X R jest elemetarą fukcją użyteczości w sesie Beroulliego, p prawdopodobieństwem zajścia określoego zdarzeia, X jest zbiorem zdarzeń. x Prostym przykładem, którym moża posłużyć się podczas omawiaia kolejych pojęć jest loteria (simple lottery). Prawdopodobieństwo p i reprezetuje w tym przypadku prawdopodobieństwo zajścia zdarzeia i, zaś -tka L = (p,, p ), p i ³ 0 określa loterię przy czym i =,, oraz / p =. Loterię moża rówież zilustrować w postaci geometryczej jako pukt wymiarowego simpleksu i i T = " p d : p + f + p =,. Niech F z (x) = P {z x} będzie dystrybuatą odpowiadającą zmieej losowej z. Gracz dokouje wyboru zgodie z astępującą wskazówką F z jest bardziej preferowaa iż F y, tj. F z ( F y wtedy, i tylko wtedy, gdy V (F z ) ³ V (F y ), gdzie V^F h = # u^xhdf ^xh lub rówoważie VF ^ h = / pxux ^ h ^ h; z z (aalogiczie określa się V (F y )). W dalszym ciągu zakłada się, że zmiea losowa z przyjmuje dwie wartości z lub z. Niech p ozacza prawdopodobieństwo zajścia zdarzeia z, zaś ( p) prawdopodobieństwo zajścia zdarzeia z. Przez u w dalszym ciągu ozaczaa będzie elemetara fukcja użyteczości, której oczekiwaą wartość moża określić astępująco Eu ^ h = puz ^ h + ^ -puz h ^ h. Dochód z loterii zway rówież ekwiwaletem pewości (certaity equivalet) ozacza się jako C (z); V (C (z)) = E (u). Z kolei Õ (z) = E (z) C (z) jest premią za ryzyko. Premia ta określa dochód, który może uzyskać gracz podejmujący ryzyko. Przyjmuje się, że gracz wykazuje: awersję do ryzyka (risk aversio) jeżeli C (z) < E (z) dla każdego z Î M, jest eutraly wobec ryzyka (risk eutral) jeżeli C (z) = E (z) dla każdego z Î M, ie ma awersji do ryzyka (kocha ryzyko risk lovig) C (z) > E (z) dla każdego z Î M, gdzie M jest zbiorem zmieych losowych odpowiadających badaemu zjawisku. z x

4 56 Ewa Drabik Słusze jest astępujące twierdzeie. Twierdzeie. Niech u : R R będzie mootoiczie rosącą elemetarą fukcją użyteczości (Beroulliego) reprezetującą relację preferecji ³ h a zbiorze M, która jest fukcją mootoiczie rosącą. Wówczas (i) u jest wklęsła wtedy, i tylko wtedy, gdy relacja preferecji ³ h związaa jest z awersję do ryzyka, (ii) u jest wypukła wtedy, i tylko wtedy, gdy relacja preferecji ³ h związaa jest z brakiem awersji do ryzyka, (iii) u jest liiowa wtedy, i tylko wtedy, gdy relacja preferecji ³ h związaa jest z eutralym stosukiem do ryzyka. Wiadomo rówież, że wraz ze zmiaą zamożości w gracz, którego użyteczość wyosi u wykazuje malejącą bezwzględą awersję do ryzyka (decreasig absolute risk aversio DARA) i ma to miejsce wówczas, gdy Õ (w, u) > Õ (w + a, u) dla każdego a > 0, rosącą absolutą awersję do ryzyka (icreasig absolute risk aversio IARA): Õ (w, u) < Õ (w + a, u) dla każdego a > 0, stałą absolutą awersję do ryzyka (costat absolute risk aversio CARA): Õ (w, u) < Õ (w + a, u) dla każdego a > 0, gdzie Õ (.) jest opisaą wcześiej awersją do ryzyka. Najbardziej zae miary awersji do ryzyka zostały wprowadzoe w latach 60. przez Arrowa i Pratta... MIARY AWERSJI DO RYZYKA Niech w ozacza zamożość (p. bogactwo, dochód, stopę zwrotu). Defiicja. Współczyik Arrowa Pratta bezwzględej awersji do ryzyka (absolute risk aversio ARA) względem bogactwa w określa się astępująco u" ^wh ra ^w, uh =- u' ^wh () gdzie u jest podwójie różiczkowalą elemetarą fukcją użyteczości. Współczyik względej awersji do ryzyka (relative risk aversio RRA) określa się w astępujący sposób r ^w, uh = w$ r ^w, uh. (3) r A

5 Asymptotyczie efektywa strategia odrzucaia gier Bezwzględa awersja do ryzyka jest miarą reakcji gracza a iepewość związaą z bezwzględymi zmiaami zamożości. Względa awersja do ryzyka wyraża stosuek gracza względem iepewości związaej ze względymi (procetowymi) zmiaami poziomu jego zamożości. Gracz z malejącą awersją do ryzyka wraz ze wzrostem zamożości będzie przezaczał coraz większą kwotę a ryzykową grę. Gracze mogą mieć rówież zróżicoway stopień awersji do ryzyka. Niech u (.), u (.) będą dwiema elemetarymi fukcjami użyteczości. Słusze jest astępujące twierdzeie, które stwierdza, m.i., że waruki (i)-(iv) są rówoważe [7]. Twierdzeie. Gracz, którego użyteczość wyosi u (.) ma większą awersję do ryzyka iż gracz, którego użyteczość wyosi u (.) jeśli spełioy jest jede z astępujących waruków. (i) ra ^w, uh > ra ^w, uh dla każdego poziomu zamożości w, (ii) istieje taka wklęsła fukcja Y (.), że u (w) = Y (u (w)) dla każdego w (u (.) jest bardziej wklęsła iż u (.)), (iii) CZ ^, uh # CZ ^, uh dla pewej zmieej losowej z Î M. (iv) Õ (w, u ) ³ Õ (w, u ) dla pewego w, gdzie C (.) jest ekwiwaletem pewości, Õ (.) premią za ryzyko. Gracz wykazuje bezwzględą awersję do ryzyka jeśli r A (w, u) jest malejącą fukcją dla określoej postaci u (.). Dobór u (.) jest zatem bardzo ważym problemem merytoryczym omawiaej teorii. W tabeli zostały zaprezetowae przykładowe fukcje użyteczości i ich klasyfikacja pod względem zmia bezwzględej i względej awersji do ryzyka. Przykładowe fukcje użyteczości i ich klasyfikacja pod względem zmia bezwzględej i względej awersji do ryzyka Tabela Fukcja użyteczości Bezwzględa awersja do ryzyka Względa awersja do ryzyka u (w) = l w malejąca stała -c uw ^ h = ^w+ Ch c> 0, c d ^0, h malejąca rosąca uw = - e -c ^ h w c > 0 stała rosąca uw e w ^ h = malejąca malejąca Źródło: za pracą [8]. Niektórzy autorzy zalecają, aby pojęcie iepewości wyraźie odróżić od pojęcia ryzyka. Kahema i Tversky w stworzoej przez siebie teorii perspektywy stwierdzili, że istotym elemetem zachowań uczestików ryku jest asymetria związaa ze sposobem podejmowaia tych decyzji, w wyiku których moża spodziewać się strat oraz tych, które mogą przyieść zyski. Poadto gracze są skłoi wybrać ryzyko, bez względu a okoliczości, jeśli uważają swoje postępowaie za właściwe. W związku z tym autorzy twierdzą, że gracze mają raczej awersję do strat iż do ryzyka.

6 58 Ewa Drabik Należy podkreślić, że zaprezetowae w tabeli fukcje użyteczości charakteryzują iwestora wykazującego awersję do ryzyka. Ii autorzy, p. Rabi [0] zaprezetowali ie fukcje użyteczości, takie jak a przykład a także uw = w - c ^ h - c c $ 0, w uw ^ h = - b l dla wz ^9, 0h uw ^ h = - b l + ; b l -b l E ^w-9h dla w d 69, 0@. Problem doboru u (.) jest szeroko dyskutoway, gdyż przyjmuje się, że ie każdy gracz z taką samą siłą uika ryzyka. Podczas rozważań dotyczących różych zagadień stosowae są ie fukcje użyteczości, tz. o różych postaciach aalityczych i różych własościach wyikających ze zaków pierwszej i drugiej pochodej [9], [0], [3]. Geeralie jedak stwierdzoo, że podstawowe charakterystyki tejże fukcji, przy założeiu, że gracze maksymalizują swoją oczekiwaą użyteczość, są słabo wrażliwe a rodzaj idywidualej skłoości do ryzyka reprezetowaej przy pomocy bezwzględej i względej awersji do ryzyka. Oprócz wymieioych miar Arrowa Pratta istieją ie metody pomiaru awersji do ryzyka. W 98 r. Ross wprowadził pojęcie silej miary awersji do ryzyka (stroger risk aversio measuremet). Idea kostrukcji wspomiaej miary jest astępująca. Niech u i v będą elemetarymi fukcjami użyteczości. Przyjmuje się, że u odpowiada siliejszej awersji do ryzyka iż v jeśli istieje l > 0 takie, że dla każdych dwóch poziomów zamożości w i w zachodzi u" ^wh v" ^wh $ m $ u' ^w v' ^w h. h (3) Jeżeli w = w to mamy do czyieia z miarami Arrowa Pratta. Tak więc sila awersja do ryzyka (SRAM) implikuje awersję do ryzyka w sesie Arrowa Pratta. Odwrota implikacja ie zachodzi. Ross sformułował rówież poiższe twierdzeie. Twierdzeie 3. Niech u i v będą podwójie różiczkowalymi elemetarymi fukcjami użyteczości. Następujące waruki są rówoważe. u" ^wh u' ^wh (i) $ m $ v" ^wh v' ^w dla każdych dwóch poziomów zamożości w i w h. (i) istieje l > 0 oraz taka malejąca, wklęsła fukcja G : R R (G' < 0 oraz G" < 0), że vw ^ h = muw ^ h+ Gw ^ h dla każdego poziomu zamożości w Î R. (i) Õ (w, u) ³ Õ (w, v) dla każdego poziomu zamożości w Î R.

7 Asymptotyczie efektywa strategia odrzucaia gier BEZPIECZNE GRY We wstępie zostało wspomiae, że w trakcie rozważań dotyczących zachowań graczy, iwestorów, kosumetów czy też iych uczestików ryku, w sposób aturaly asuął się problem ich uczestictwa w zbyt ryzykowych przedsięwzięciach. Gracze ie są skłoi do uczestictwa w grach przyoszących zbyt małe zyski lub zbyt duże straty. W 99 r. Kahema i Tversky stwierdzili, że zamiast o awersji do ryzyka ależy raczej mówić o awersji do strat (loss aversio) [3]. W 006 r. Palocious Huerta oraz Serrao zapropoowali i udowodili twierdzeie pozwalające za pomocą obliczeń ustalić graiczą wartość straty do zysku, przy których grę moża uzać za bezpieczą i w iej uczesticzyć [9]. Niech U ozacza zysk, m stratę. Gracz odrzuca grę jeśli przegraa jest większa od μ, zaś wygraa miejsza od U. Twierdzeie 4. Niech u będzie rosącą elemetarą fukcją użyteczości odpowiadającą awersji do ryzyka. Niech I będzie przedziałem określoym a zbiorze liczb rzeczywistych. Dla każdego poziomu zamożości w Î I uw ^ + Uh+ uw ^ -h < uw ^ h (4) oraz istieje takie a* > 0, że współczyik bezwzględej awersji do ryzyka r A (w, u) jest większy iż a* dla każdego w Î I. Największe takie a* jest rozwiązaiem rówaia fa = e a + e-au ^ h - = 0. (5) Nie sposób przeceić wartości merytoryczej twierdzeia 3. Należy jedak zazaczyć, że dotyczy oo wyłączie gier rozgrywaych tylko jede raz. W kolejym rozdziale zostaie zapropoowaa metoda, która pozwoli wyzaczyć graicze wartości U i m w grach wieloetapowych (rozgrywaych wielokrotie). 3. ASYMPTOTYCZNIE EFEKTYWNA REGUŁA ALOKACJI Załóżmy, że gracze uczesticzący w określoej grze mają awersję do ryzyka. Z puktu widzeia teorii perspektywy stworzoej przez Kahemaa i Tversky ego, opartej a ajowszych osiągięciach psychologii pozawczej wiadomo, że gracze o wiele boleśiej odczuwają stratę iż czerpią zadowoleie z takiego samego co do wartości bezwzględej zysku. W związku z tym ważym problemem staje się ustaleie wartości graiczych zysków i strat, które satysfakcjoowałyby uczestików gier rozgrywaych wielokrotie. W celu rozwiązaia tego problemu celowa wydaje się kostrukcja takiej strategii uczestictwa w grze, która ie przyosi zbyt dużych strat i ie daje zbyt małych zysków. W tym celu zostaie zaadoptowaa asymptotyczie efektywa strategia stworzoa w latach 80. XX wieku przez Lai i Robbisa, która została wykorzystaa do rozwiązaia jedo- i wielorękich badytów [5]. W iiejszej pracy zostaie wykorzystaa do gier rozgrywaych wielokrotie.

8 60 Ewa Drabik Literatura dotycząca problemów jedo- i wielorękich badytów jest obszera (zobacz p. bibliografię w pracy [5]). Nazwa jedoręki badyta pochodzi od azwy automatu do gry (slot machie), wyposażoego ajczęściej w trzy bęby do gry ozdobioe kolorowymi obrazkami oraz dźwigię lub przycisk. Po wrzuceiu pewej kwoty i uruchomieiu dźwigi lub aciśięciu przycisku umieszczoe a bębach symbole ustawiają się w różych układach, co daje określoą wygraą. Problemem tym zaiteresowali się także aukowcy, którzy wykorzystali zae metody statystycze do opisu różych wariatów tej gry (w uproszczeiu rzecz ujmując), po czym rozważaia swoje przeieśli a grut teorii sterowaia, biologii a także ekoomii. Zaadoptoway przez badaczy problem decyzyjy geeralie polega a tym, że a podstawie obserwacji wyików gry, gracz podejmuje decyzję, czy w kokretej fazie będzie grał czy też ie, zaś jego celem jest maksymalizacja całkowitej (lub średiej) wygraej. W dalszym ciągu zakłada się, że w i (i =, ) ozacza odpowiedią stratę lub zysk w fazie i dowolej gry rozgrywaej wielokrotie (iekoieczie jedorękiego badyty). Niech (w, q i ) będzie fukcją gęstości dla w odpowiadającą pewej mierze probabilistyczej v, gdzie fukcja (.,.) jest zaa, zaś q i są iezaymi parametrami ależącymi do przestrzei iezaych parametrów Q. Zakłada się rówież, że spełioy jest waruek 3 # wfw ^, ihdvw ^ h < 3 dla każdego q Î Q. -3 W trakcie gry sekwecyjie zbierae są iformacje dotyczące przeszłych zysków i strat w, w Iymi słowy, zbierae są dae historycze, a podstawie których podejmowae są decyzje dotyczące uczestictwa w kolejej fazie gry. Regułę gry j moża traktować jako ciąg zmieych losowych j, j,, przy czym j t = 0, kiedy gracz rezyguje z gry, j t =, kiedy gracz decyduje się a kotyuację gry, W każdej z faz obliczae są statystyki m t, U t odpowiadające średim zyskom i stratom. Własości tych statystyk zostały zaprezetowae w pracy [5]. Niech S = w + + w. Celem gracza jest osiągiecie ajwiększej z możliwych oczekiwaej wartości sumy wygraych S przy. Niech + 3 i ^ h # wf^w; ihdv^wh (6) -3 będzie oczekiwaą wypłatą w grze. Oczekiwaą sumę wypłat S w grze do fazy moża zapisać astępująco ES = Eaw I I k = i ^ ht ^ j h j = 0 i = i "{ i = j, i- / / / (7) j = 0

9 Asymptotyczie efektywa strategia odrzucaia gier... 6 gdzie T ^jh = / I ^j = 0, h jest liczbą mometów, podczas których gracz prowadził i = "{ i = j, grę do fazy (jeśli j = ) lub też liczbą mometów, podczas których gracz zrezygował z gry do fazy (jeśli j = 0), I {.} jest idykatorem zdarzeia. Zdarzeie {j = j} ależy do s- ciała J geerowaego przez poprzedie wartości j, w,, j, w. Problem maksymalizacji ES jest rówoważy miimalizacji astępującego kosztu gry R ^ ih = * - ES = / * _ -_ i iiet ^ j h (8) gdzie j j: i _ ji < * * = max $ ^i h, ^i h. = ^i * h dla i* d " i, i,. 0 0 Pomociczo wprowadza się tzw. liczbę Kulbacka Leiblera I(q, l), którą określa się za pomocą formuły I^i, mh = 3 fw ^ ; ih # log $ f w; i dv w fw ^ ; m ^ h ^ h (9) h -3 przy czym 0 < I (q, l) <, jeżeli m (l) > m (q). Lai Robbis pokazali, że koszt wyrażoy za pomocą formuły (8) moża przedstawić jako ([5], Twierdzeie, str. 7) * * R ^ ih. / _ - _ ijii/ I_ ij, i i log przy " 3. (0) * 4 j: i _ ji < * Autorzy pracy [3] pokazali rówież, że R (q) przy zbiega do asymptoty (jest zbieży asymptotyczie). Skostruowali rówież regułę gry j miimalizującą R (q), którą astępie azwali asymptotyczie efektywą regułą alokacji (asymptotically efficiet allocatio rule). Zostaie oa zaprezetowaa poiżej w odiesieiu do zysków i strat w dowolej grze. Wcześiej jedak omówioe zostaą własości, które powiy spełiać statystyki pomocicze m, U., które wykorzystywae są przy kostrukcji strategii j. Poday będzie także przykład, który zilustruje jaką postać przyjmują te statystyki oraz liczba Kulbacka Leiblera dla kokretego rozkładu (.;.), p. ormalego. Niech w, w, będą iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie o fukcji gęstości (w; q) z odpowiadającą miarą probabilistyczą v, gdzie q Î Q ozacza iezay parametr. Górą graicę przedziału ufości dla iezaej średiej m (q) moża zdefiiować za pomocą fukcji g t :R t R ( =,, ; t =,, ), która to fukcja dla każdego q Î Q spełia astępujące waruki.

10 6 Ewa Drabik - (W) P " r # g ^w, f, w h dla wszystkich t #, = -o^ h dla każdego r < m (q), i t t gdzie o ( ) jest pewą małą wartością zależą od / przy. (W) lim flim sup Pi $ gt ^w, f, wth $ m ^ h - f. / log p # / I^im, h jeżeli m (l) > m (q). f " 0 " 3 t = / (W3) g t jest fukcją iemalejącą gdy ³ t dla każdego t =,, Dodatkowo defiiuje się estymator puktowy h t (w,, w t ) dla średiej m (q), h t : R t R. Spełia o waruki (W4) h t g t dla każdego q Î Q. - (W5) P % max h ^w, f, w h - i ^ h > f/ = o^ h dla każdego e > 0. i t t t Moża zauważyć, że waruek W5 jest spełioy dla średiej, tj. dla ht ^w, f, wth = ^w+ f+ wth / t, gdy Ei wi < 3 ^i =, f, th. Przykład. Przyjmijmy, że w i (i =,, ) będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie ormalym i zaej wariacji s > 0 oraz iezaej wartości oczekiwaej Ew i = q, m (q) = q, q = (, ), v jest miarą Lesbegu e. Fukcja gęstości jest postaci w - / ^ fw; i = rv exp - - i h ^ h ^ h ) 3. v Z prostych obliczeń wyika, że liczba Kulbacka Leiblera przyjmuje postać ^i m I i, m = - h ^ h. v Po podstawieiu I (q, l) do wzoru (0) i dokoaiu odpowiedich przekształceń otrzymujemy rówość lim - " 3 ES = *. A zatem średia wypłata a jedostkę czasu może być rówa oczekiwaej wypłacie w dowolej z faz gry. Estymator puktowy h t (w,, w t ) odpowiada średiej h ^w, f, w h = ^w + f+ w h/ t = wr. t t t t

11 Asymptotyczie efektywa strategia odrzucaia gier Z kolei górą graicę przedziału ufości dla średiej moża wyrazić za pomocą formuły g w,, w w a / ^ f h = r +v^ h dla $ t t t t t gdzie s jest odchyleiem stadardowym, a t ( =,, ; t =,..., ) jest dodatią stałą taką, że dla każdego t, a t jest iemalejąca dla ³ t oraz istieje e 0 takie, że spełioa jest ierówość a log - t log # f ^ h t / t / dla każdego t. Aaliza dotycząca iych rozkładów fukcji (.,.) została zaprezetowaa w pracy [3]. W dalszym ciągu iech w,, w T (j) ozacza sukcesywe obserwacje zysków i strat do fazy. Należy zauważyć, że w przypadku rozważań prowadzoych w iiejszej pracy, T (0) + T () =, przy czym T (0) ozacza liczbę chwil do fazy, podczas których gracz zgodie ze strategią ie uczesticzył w grze, zaś T () ozacza liczbę chwil do fazy, podczas których gracz prowadził grę. Wspomiae wcześiej statystyki pomocicze to ^ j h = ht w,, w ^jh^ f T^jhh U ^ jh = ht j ^w, f + wt j h. ^ h Strategia gry j jest astępująca. ) Przez dwie pierwsze fazy gry gracz prowadzi grę i zbiera iformacje o wygraych lub stratach w, w. ) W fazie ( + ) ( ³ ) gracz podejmuje decyzję dotyczącą dalszej gry: j + = decyduje się a grę, j + = 0 rezyguje z gry. a) jeżeli m U to j + =, b) jeżeli m > U to j + = 0. Strategia j jest asymptotyczie efektywa, co ozacza, że koszt takiej gry przy zbiega do asymptoty. Jest to szczególie waże, gdy udział w grze jest obowiązkowy, a moża jedyie zrezygować z uczestictwa w pojedyczych fazach gry. Autorka iiejszej pracy zastosowała powyższą, aczkolwiek ieco iaczej sformułowaą strategię do gry a giełdzie k ³ akcjami spółek (akcje odpowiadały k ramioom). Przeprowadzoe symulacje komputerowe dla giełd: NYSE (New York Stock Exchage) oraz Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie pokazały, że w dłuższym okresie czasu, po przetestowaiu akcji dużej liczby spółek oraz uwzględieiu kosztów trasakcji ależałoby raczej zrezygować z dywersyfikacji portfela (przy dużym ) i zdecydować się a grę akcjami iewielkiej liczby spółek, przyoszących w dłuższym horyzocie czasowym ajwyższe dochody. Szczegółowe badaia pokazały, że czasami ajlepiej, aby była to jeda spółka [3]. Strategia zaprezetowaa w iiejszej pracy w zamyśle odosi się do iych iż jedoręki badyta, czy też giełda gier powtarzaych wielokrotie. Przeprowadzeie ^ h

12 64 Ewa Drabik symulacji wymaga jedak sporych akładów. Należałoby bowiem uwzględić w celach porówawczych opisae po części w rozdziale drugim ajowsze osiągięcia psychologii pozawczej oraz badaia przeprowadzoe przez Palacios Huertę i Serrao [9]. Politechika Warszawska LITERATURA [] Auma R.J., Serrao R., [007], A Ecoomic Idex of Riskiess, 3 th Spai Italy Netherlads Meetig o Game Theory (SING 3), Amsterdam July 4-6, p. 37. [] Drabik E., [009], Asymptotically Efficiet Adaptive Allocatio Rule as a Method of Rejectig Low ad Excessively High Risk, 5 th Spai Italy Netherlads Meetig o Game Theory (SING 5), Amsterdam July -3, p. 5. [3] Drabik E., [000], Zastosowaia teorii gier do iwestowaia w papiery wartościowe, str. 5, Wydawictwo Uiwersytetu w Białymstoku, Białystok. [4] Epstei L.G., [99], Behavior Uder Risk: Recet Developmets, [i:] Theory ad Applicatios i Advaces i Ecoomic Theory, Vol. II, edited by J.L. Laffot, Cambridge Uiversity Press, s [5] Lai T.L., Robbis H., [985], Asymptotically Efficiet Adaptive Allocatio Rules, Advaced i Applied Mathematics 6, s. 4-. [6] Kimball. M.S., [99], Stadard risk aversio, NBER Techical Workig Paper, No. 99. [7] Mass-Colell A., Whisto M.D., Gree J.R., [995], Microecoomic theory, Oxford Uiversity Press, New York. [8] Michalska E., Gołąbowska B., [998], Użyteczość a Ryzyko w Problemie Wyboru Portfela Akcji, [w:] Modelowaie preferecji a ryzyko 98, red. T. Trzaskalik, s , Wydawictwo Akademii Ekoomiczej w Katowicach, Katowice. [9] Palacios Huerta I., Serrao R., [006], Rejectig Small Gambles Uder Expected Utility, Ecoomics Letters 9, s [0] Rabi M., [000], Risk Aversio ad Expected Utility: a Calibratio Theorem, Ecoometrica 68, s [] Rabi M., Thaler R.H., [00], Aomalies Risk Aversio, Joural of Ecoomic Properties 5(), s [] Segal U., Spivak A., [990], First Order versus Secod Order Risk Aversio, Joural of Ecoomic Theory 5, s. -5. [3] Tversky A., Kahema R., [99], Loss Aversio i Riskless Choice a Referece -Depedet Model, Quarterly Joural of Ecoomics 06, s Praca wpłyęła do redakcji we wrześiu 009 r. ASYMPTOTYCZNIE EFEKTYWNA STRATEGIA ODRZUCANIA GIER OBARCZONYCH ZBYT DUŻYM RYZYKIEM Streszczeie Wiele decyzji ekoomiczych podejmowaych w warukach iepewości zawiera w sobie elemet ryzyka, a uczesticy ryku mogą mieć zróżicoway do iego stosuek, przy czym przez wiele lat obowiązywało założeie, że mają oi awersję do ryzyka. Awersja do ryzyka jest kocepcją zaą ie tylko z ekoomii, ale rówież teorii gier, fiasów i psychologii, a dotyczy oa zachowań kosumetów, graczy, iwestorów działających w warukach iepewości. Rówież awersja do strat jest kocepcją szeroko dys-

13 Asymptotyczie efektywa strategia odrzucaia gier kutowaą w ostatich latach. Zauważoo bowiem, że uczesticy ryku o wiele itesywiej odczuwają stratę iż czerpią radość z takiego samego co do wartości bezwzględej zysku. Wielu autorów aalizowało problem opłacalości uczestictwa w grach z określoą wartością zysku lub straty. Kahema i Tversky (99) ustalili awet, że warto brać udział w grach, w których stosuek ewetualego zysku do ewetualej straty ma się tak jak :. Ii autorzy prezetowali cechy tzw. bezpieczych gier. Celem pracy jest zaprezetowaie asymtotyczie efektywej strategii stosowaej w grach wieloetapowych, która umożliwia iteraktywe wyzaczaie graiczych wartości straty i zysku przy jakich warto kotyuować grę. Słowa kluczowe: asymptotyczie efektywa strategia, awersja do ryzyka, awersja do strat, gry wieloetapowe ASYMPTOTICALLY EFFICIENT ADAPTIVE STRATEGY OF REJECTING GAMES WITH TOO HIGH RISK Summary May importat ecoomic decisios ivolve a elemet of risk. Risk aversio is a cocept i ecoomic, game theory, fiace ad psychology related to the behavior of cosumers, players ad ivestors uder ucertaity. Loss aversio is a importat compoet of a pheomeo that has bee discussed a lot i recet years. Loss aversio is a tedecy to feel the pai of a loss more acutely tha pleasure of the equal sized gai. May scietists have aalyzed the problem of profitability i the game. Some authors preseted certai features, by which safe games played oce should be characterized. Kahema ad Tversky (99) showed that loss aversio to gai attractio ratio should amout to :. The aim of this paper is to show a asymptotically effective strategy which eables the risk aversive player to establish boudary variables loss ad gai at each stage of the repeated game. Key words: asymptotically efficiet strategy, risk aversio, loss aversio, repeated game