SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

Transkrypt

1 SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

2 Weryfikacja hipotez statystyczych

3 WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą populację geeralą. Podstawą uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą populację geeralą jest tzw. statystycza próba losowa będąca podzbiorem populacji geeralej, który podlega bezpośrediej obserwacji statystyczej ze względu a iteresujący as rozkład cechy. Na podstawie wyików (cech) obserwowaych dla próby moża obliczyć p. takie charakterystyki rozkładu jak: średia arytmetycza czy odchyleie stadardowe. Te charakterystyki azywae są parametrami z próby lub statystykami. Statystyka to dowola charakterystyka rozkładu obliczoa a podstawie wyików próby losowej (może być opisaa za pomocą zapisu fukcyjego f(x)). Statystyka jest zmieą losową i posiada swój rozkład, który zależy od: schematu losowaia, liczebości próby, rozkładu zbiorowości, z której wylosowao próbę.

4 Próba losowa prosta PRÓBA LOSOWA Jeżeli dokoujemy eksperymetów to próbę losową tworzy realizacji zmieej losowej X, bądź mówiąc iaczej próbę losową tworzy ciąg zmieych losowych X, X,..., X. Jeżeli zmiee X, X,..., X są iezależe i mają taki sam rozkład jak zmiea X, to - elemetowy ciąg tych zmieych tworzy próbę losową prostą. Taka próba jest podstawą wioskowaia statystyczego. Próbą prostą wylosowaą z populacji geeralej o określoym rozkładzie azywamy taką próbę losową, której wyiki są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowych rozkładach prawdopodobieństwa, idetyczych z rozkładem populacji geeralej. Próby możemy podzielić a proste i złożoe. Próbę prostą otrzymujemy w wyiku losowaia iezależego (zwrotego). Próby złożoe uzyskuje się w wyiku zastosowaia schematów losowaia p. złożoego, czy warstwowego.

5 SPOSOBY POBIERANIA PRÓBY LOSOWEJ Schemat losowaia próby, to praktyczy sposób pobieraia elemetów populacji geeralej do próby. Wyróżić moża a przykład losowaie: zależe i iezależe (ze zwracaiem), warstwowe (proporcjoale, optymale), idywiduale i zespołowe, jedostopiowe i wielostopiowe, ograiczoe i ieograiczoe. Do wyboru próby moża wykorzystać p. astępujące techiki losowaia: tablice liczb losowych to zbiory, 3, 4 cyfrowych liczb o zupełie przypadkowej kolejości cyfr (określoej w iezależym losowaiu), geeratory liczb losowych to specjale programy komputerowe geerujące liczby losowe.

6 SPOSOBY POBIERANIA PRÓBY LOSOWEJ Losowaie iezależe polega a zachowaiu tych samych waruków podczas losowaia kolejych jedostek do próby. W wyiku takiego losowaia każda wylosowaa jedostka jest poowie włączaa do populacji geeralej, zatem ta sama jedostka może być wylosowaa awet kilkukrotie (losowaie iezależe jest typowe dla populacji ieskończoych, losowaie zależe jedostka raz wylosowaa ie bierze udziału w dalszym losowaiu - jest stosowae dla populacji skończoych). W przypadku liczej zbiorowości losowaia zależe i iezależe dają praktyczie takie same wyiki. W losowaiu idywidualym losujemy pojedycze elemety populacji, a w zespołowym (grupowym) losowaą jedostką jest pewie zespół badaych jedostek (próbę tworzą wszystkie elemety z wylosowaych grup). Losowaie jedostopiowe cechuje się jedym stadium losowaia (elemety populacji są od razu wylosowywae ostateczie). Losowaie azywamy wielostopiowym, gdy występuje kilka stopi losowaia. Losowaie ieograiczoe odbywa się się z całej populacji geeralej, a ograiczoe dokouje się z poszczególych części populacji p. losowaie warstwowe. Losowaie warstwowe polega a tym, że całą zbiorowość geeralą dzieli się a jedorode wewętrzie części, a astępie z każdej z ich dokouje się losowaia.

7 Aby moża było odieść wyiki badaia próby do zbiorowości geeralej PRÓBA MUSI BYĆ REPREZENTATYWNA. Reprezetatywość próby zależy od sposobu wyboru próby (losowy, celowy) oraz liczebości próby. Moża mówić, że próba jest reprezetatywa, jeżeli spełia waruki: ) elemety populacji pobierae są do próby w sposób losowy, ) próba jest dostateczie licza. Jeżeli próba została wybraa w sposób losowy i jest dostateczie licza, to mówimy, że próba jest reprezetatywa. Ozacza to, że z dużym prawdopodobieństwem moża sądzić, iż struktura próby będzie zbliżoa do struktury zbiorowości. Iaczej mówiąc, aby wyiki badaia moża było uogólić a całą populację geeralą struktura próbki musi być możliwie ajbardziej zbliżoa do struktury badaej populacji (musi być oa miiaturą populacji geeralej) i mieć określoą liczebość (dostateczą).

8 REPREZENTATYWNOŚĆ PRÓBY Przyjmując, że rozkład próby jest rozkładem empiryczym, a rozkład populacji jest rozkładem teoretyczym, to wzajemą relację pomiędzy tymi rozkładami moża wyrazić za pomocą dystrybuaty empiryczej i dystrybuaty teoretyczej (twierdzeie Gliwieki). Ozaczeie: sup x Wiosek: G(x) F(x) Rozkład cechy w populacji geeralej azywamy rozkładem teoretyczym, atomiast rozkład cechy w próbie azywamy rozkładem empiryczym. - kres góry bezwzględej różicy między dystrybuatą empiryczą a dystrybuatą teoretyczą. Tw. : Niech F(x) będzie dystrybuatą teoretyczą, a G(x) dystrybuatą empiryczą w - elemetowej próbie. Jeżeli wyiki losowaia elemetów do próby są zdarzeiami iezależymi, to: Psup G(x) F(x) 0 x Gdy próba losowa jest dostateczie licza, to moża uważać z prawdopodobieństwem bliskim jedości, że rozkład empiryczy mało różi się od rozkładu teoretyczego. Iaczej mówiąc próba jest tym bardziej reprezetatywa, im jest licziejsza a wioskowaie jest bardziej precyzyje.

9 ROZKŁADY Z PRÓBY Ze względu a liczebość próby rozkłady statystyk możemy podzielić a rozkłady: dokłade i graicze. Rozkładem dokładym statystyki U azywamy jej rozkład prawdopodobieństwa wyzaczoy dla każdej liczby aturalej. Rozkłady te dotyczą badań reprezetacyjych, dla których liczba obserwacji jest mała. Rozkłady dokłade azywae są rówież rozkładami z małych prób. Rozkładem graiczym statystyki U azywamy taki rozkład prawdopodobieństwa tej statystyki, do którego przybliża się jej rozkład przy.!!! Nie ma jedej liczby od której moża uzać daą próbę za dużą. Zależy to od szybkości zbieżości rozkładu daej statystyki U do jej rozkładu graiczego. Dla iektórych statystyk rozkład jest dokłady już przy > 30, ale iekiedy dopiero dla > 00 daje dobre przybliżeie rozkładu statystyki z jej rozkładem graiczym. W badaiach statystyczych rolę rozkładu graiczego spełia rozkład ormaly. Natomiast rozkłady dokłade są róże w zależości od tego, jaką statystyką U posługujemy się w procesie wioskowaia statystyczego.

10 ELEMENTY PROCESU WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO ESTYMACJA PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH ZBIOROWOŚCI GENERALNEJ Estymacją azywamy szacowaie wartości parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej a podstawie rozkładu empiryczego, uzyskaego z próby losowej pobraej z tej populacji. Wyróżia się estymację parametrów puktową oraz przedziałową. Moża rówież mówić o estymacji parametryczej i ieparametryczej. Estymacja puktowa - polega a wybraiu jedej liczby, która a podstawie wyików uzyskaych z próby ma być ajlepszym oszacowaiem daego parametru w populacji geeralej. Precyzję tego estymatora mierzy średi błąd szacuku estymatora, którym jest odchyleie stadardowe błędów szacuku jakie popełia się szacując parametr Q a podstawie wielu -elemetowych prób. Estymacja przedziałowa - polega a kostrukcji a podstawie wyików uzyskaych w próbie pewego przedziału liczbowego, który z prawdopodobieństwem bliskim jedości (z góry zadaym) zawierałby prawdziwą wartość parametru w populacji geeralej. Zadae z góry prawdopodobieństwo azywae jest współczyikiem ufości i ozacza się -, a cały wyzaczoy (oszacoway) przedział azywa się przedziałem ufości.

11 ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA PARAMETRÓW Iterpretacja poziomu ufości (współczyika ufości) jest astępująca: przy wielokrotym pobieraiu prób -elemetowych z populacji i wyzaczaiu a ich podstawie graic przedziałów ufości, średio w ( - α) 00% przypadków otrzymujemy przedziały pokrywające iezaą wartość szacowaego parametru. Poziom ufości ( - α) jest bliski jedości i zwykle przyjmuje się: 0,90, 0,95, 0,98, 0,99. Sposób kostrukcji przedziału ufości związay jest z rozkładem odpowiediego estymatora. Rozkład te jest zależy z kolei od założeń dotyczących rozkładu cechy w zbiorowości geeralej oraz od liczebości próby.

12 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARTOŚCI PRZECIĘTNEJ DUŻA PRÓBA Jeżeli liczebość próby jest duża ( > 30) to kostrukcję przedziału ufości opiera się a statystyce: P{ x u x m σ(x) lub u x m s(x) Wzór a przedział ufości moża wtedy zapisać w astępujący sposób: lub gdzie: P{ x ( x) ( x) u x u } s( x) s( x) u x u } x - średia arytmetycza z próby, u α - wielkość (parametr) odczytaa z tablic dystrybuaty rozkładu ormalego, σ(x) odchyleie stadardowe z populacji, s(x) - odchyleie stadardowe z próby, liczebość próby.

13 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARTOŚCI PRZECIĘTNEJ MAŁA PRÓBA Jeżeli liczebość próby jest < 30, wówczas podstawą kostrukcji przedziału ufości jest statystyka: x m mająca rozkład t-studeta o - stopiach t s(x) swobody. Wzór a przedział ufości moża wtedy zapisać w astępujący sposób: gdzie: t,- - P s( x) s( x) x t, } { x t, wartość odczytaą z tablic rozkładu t-studeta przy odpowiedim (poziomie istotości) i liczbie stopi swobody.

14 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA ODCHYLENIA STANDARDOWEGO Jeżeli liczebość próby jest duża ( 30) wzór a przedział ufości moża zapisać astępująco: s( x) s( x) P{ s( x) u ( x) s( x) u } Jeżeli liczebość próby jest mała ( < 30) estymację odchyleia stadardowego przeprowadza się pośredio, z wykorzystaiem przedziału ufości dla wariacji. Czyli dla odchyleia stadardowego otrzymujemy:, - s P (x),s P s (x) (x), s (x) (x),s s (x), wielkości odczytae z tablicrozkladu chi - kwadrat jeśli S ( x i x)

15 PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WSKAŹNIKA STRUKTURY (PRAWDOPODOBIEŃSTWA SUKCESU, ODSETKA, FRAKCJI) Przedział ufości dla frakcji buduje się a podstawie dużej próby ( 0 ) wg wzoru: Pw i w i ( wi ) wi ( wi ) u p wi u : i gdzie w, i i liczba wystąpieńsukcesu w - elemetowej próbie. w i moża utożsamiać z prawdopodobieństwem sukcesu (częstość występowaia sukcesu).

16 MINIMALNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY W badaiach statystyczych często pojawia się problem określeia miimalej liczebości próby potrzebej do wyzaczeia określoego parametru z zadaym z góry maksymalym błędem szacuku (d). Problem ustaleia miimalej wielkości próby może być rozstrzygay:. Przed badaiem, jako określeie miimalej wielkości próby,. Po badaiu, gdy chodzi o odpowiedź a pytaie, czy ustaloa liczebość próby jest wystarczająca, tz. czy jest zgoda z poziomem żądaej precyzji wyików estymacji.

17 MINIMALNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY. Jeśli szacujemy średią μ ze zbiorowości geeralej (X: N(μ,σ) z błędem ie większym iż zaday (d) i zae jest σ w populacji geeralej, to wzór a miimalą liczebość próby przybiera postać: u α σ d x (x), d x - maksymaly błąd szacuku. Dla iezaego σ(x) i s(x) wyzaczoego a podstawie dużej próby pilotażowej moża zapisać: u s (x) α d x 3. Jeśli σ ie jest zae, a próba pilotażowa była mała, to wzór a miimalą liczebość próby przybierze postać: t α, ŝ d x (x), ŝ (x) (x i x)

18 MINIMALNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY 4. Gdy szacujemy wskaźik struktury iezbędą liczbę elemetów w próbie dla oszacowaia p a poziomie ufości ( α) z maksymalym błędem szacuku (d) wyzaczymy za pomocą wzoru: a) jeśli rząd wielkości szacowaego prawdopodobieństwa p jest zay lub możemy go oceić a podstawie wstępej próby ( 0): upiq d pi i u w i( w i) d pi b) jeśli ie zamy rzędu wielkości szacowaego parametru p, to wówczas zakładając wstępie, że p i = q i = 0,5 otrzymujemy: α 4d p i U!!! Jeśli obliczoa liczebość próby jest ze względów praktyczych zbyt duża, to miejszą liczebość otrzymamy zwiększając maksymaly błąd szacuku (zmiejszamy tym samym dokładość oszacowaia). U!!! Jeśli ie jest liczbą całkowitą, to zaokrąglamy w górę. u

19 WERYFIKACJA (TESTOWANIE) HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Testowaie hipotez statystyczych obejmuje zasady i metody określoych przypuszczeń (założeń) dotyczących parametrów lub postaci rozkładu cech statystyczych populacji geeralej a podstawie wyików z próby. Hipotezą statystyczą azywamy każdy sąd o zbiorowości geeralej (rozkładu cechy w populacji geeralej - hipotezy ieparametrycze lub wartości jego parametrów - hipotezy parametrycze) wyday bez przeprowadzeia badaia całkowitego, jej prawdziwość orzeka się a podstawie próby losowej. Iaczej mówiąc sądy (przypuszczeia) dotyczące populacji geeralej wydawae a podstawie próby azywamy hipotezami statystyczymi. Wioskowaie o słuszości prezetowaych sądów azywamy sprawdzaiem lub weryfikacją hipotez statystyczych. Proces weryfikacji hipotezy przebiega według pewego schematu postępowaia azywaego testem statystyczym. Testy a podstawie wyików z próby losowej pozwalają podjąć decyzję o odrzuceiu lub ie postawioej hipotezy. Rodzaje hipotez statystyczych: parametrycze - dotyczą wartości parametrów populacji geeralej, takich jak wartość przecięta, wariacja czy składik struktury, ieparametrycze - dotyczą rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej (cechy statystyczej, współzależości cech, losowości próby).

20 WERYFIKACJA (TESTOWANIE) HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza zerowa (H 0 ) hipoteza sprawdzaa (weryfikowaa) formulowaa często w taki sposób, aby a podstawie wyików z próby moża było ją łatwo odrzucić (wbrew zdrowemu rozsądkowi), p. H 0 : μ = μ 0 (hipoteza prosta) lub H 0 : μ μ 0, albo H 0 : μ μ (hipotezy złożoe). Hipoteza alteratywa (H ) hipoteza, którą jesteśmy skłoi przyjąć, gdy odrzucimy hipotezę zerową. Narzędziem umożliwiającym weryfikację hipotezy statystyczej jest tzw. test statystyczy. Testem statystyczym azywamy regułę postępowaia określającą, przy jakich wyikach próby sprawdzaą hipotezę moża przyjąć oraz przy jakich wyikach próby ależy ją odrzucić. Błąd I rodzaju (α) polega a odrzuceiu hipotezy H 0, mimo że jest oa prawdziwa. Błąd II rodzaju (β ) polega a przyjęciu H 0, gdy jest oa fałszywa. W statystyczej kotroli jakości α określae jest często jako ryzyko produceta, β zaś jako ryzyko odbiorcy. Wartości α i β są wzajemie powiązae, a zmiejszeie jedej powoduje zwiększeie drugiej. Poziomem istotości α azywamy prawdopodobieństwo popełieia błędu I rodzaju. Najczęściej przyjmuje się wartości α rówe: 0,0, 0,0, 0,05, 0,.

21 WERYFIKACJA (TESTOWANIE) HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Sprawdzia testu zmiea losowa o określoym rozkładzie z próby, której wartość wpada lub ie do obszaru odrzuceia hipotezy zerowej (H 0 ), w zależości od tego, jaka będzie krytycza wartość testu. Dla hipotez parametryczych sprawdziaami są estymatory odpowiedich parametrów, atomiast dla hipotez ieparametryczych rolę sprawdziaów pełią mieriki rozbieżości między rozkładem empiryczym a teoretyczym (sformułowaym w H 0 ). Wartość krytycza testu wartość zmieej losowej o określoym rozkładzie, która przy daym α (poziomie istotości) jest porówywaa z wartością statystyki testu, dla ustaleia tego czy hipotezę zerową powio się odrzucić czy przyjąć. Zbiorem krytyczym azywamy zbiór wartości sprawdziau testu, które przemawiają za odrzuceiem H 0. Rozkład sprawdziau hipotezy określa, z jakich tablic ależy odczytać wartość krytyczą wyzaczającą zbiór krytyczy. Zbiór krytyczy zależy zatem rówież od liczebości próby, od tego, czy zamy parametry (μ lub σ) w zbiorowości geeralej oraz od poziomu istotości α.

22 WERYFIKACJA (TESTOWANIE) HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Test jedostroy sytuacja, w której zbiór krytyczy hipotezy zerowej zajduje się tylko a lewo lub tylko a prawo od wartości oczekiwaej daej zmieej losowej. Zbiór krytyczy testu jest zatem usytuoway po jedej stroie wartości oczekiwaej. Test dwustroy sytuacja, w której zbiór krytyczy hipotezy zerowej umieszczoy jest symetryczie a lewo i a prawo od wartości oczekiwaej daej statystyki testu. Moc testu prawdopodobieństwo odrzuceia hipotezy zerowej, gdy hipoteza alteratywa jest prawdziwa. Moc testu zapisuje się astępująco: M = β. Zatem w procesie weryfikacji ajlepszy byłby taki test, który zapewia miimalizację i, a maksymalizuje moc testu. Taki test osi azwę testu ajmociejszego. Poszukiwaie testów ajmociejszych ie jest łatwe, dlatego w praktyce badawczej wykorzystuje się testy, które uwzględiają tylko poziom istotości, czyli prawdopodobieństwo popełieia błędu I rodzaju. Takie testy oszą azwę testów istotości, gdy sprawdza się hipotezę parametryczą, bądź testów zgodości, gdy sprawdzaa hipoteza jest ieparametrycza. W kosekwecji uwzględieie tylko poziomu istotości sprawia, że decyzja weryfikacyja musi być ostrożiejsza. Ostrożość ta polega a tym, że a podstawie wyików próby ie podejmuje się decyzji w sposób kategoryczy typu: przyjmujemy H 0 lub odrzucamy H 0, lecz raczej odrzucamy H 0 a korzyść H, ie ma podstaw do odrzuceia H 0.

23 WERYFIKACJA (TESTOWANIE) HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Etapy weryfikacji hipotez statystyczych:. Ustaleie poziomu istotości. Postawieie H 0 i H (w zależości od jej postawieia test może być jedo- lub dwustroy) 3. Wybór testu 4. Ustaleie sprawdziau testu (statystyki) i jego wartości a podstawie dostępych iformacji o zbiorowości geeralej i próbie 5. Odczytaie wartości krytyczej sprawdziau testu (ajczęściej z tablic rozkładu ormalego, t-studeta lub chikwadrat) oraz ustaleie obszaru krytyczego 6. Podjęcie decyzji weryfikacyjej (a podstawie porówaia wartości statystyki testu z wartością krytyczą) o odrzuceiu lub braku podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej (Jeżeli obliczoa wartość testu zajduje się w obszarze krytyczym, to a poziomie istotości α H 0 ależy odrzucić a korzyść hipotezy H. Moża wtedy wioskować, że wyiki badaia empiryczego różią się istotie od założeia wyrażoego hipotezą zerową. Jeśli jedak obliczoa wartość testu ie zajduje się w obszarze krytyczym, to ie ma podstaw do odrzuceia H 0. W tym przypadku moża sądzić, że różice między wyikami badaia empiryczego, a założeiami daej hipotezy zerowej są statystyczie ieistote).

24 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH DOTYCZĄCYCH JEDNEJ ZBIOROWOŚCI GENERALNEJ Test istotości dla iezaej średiej (wartości przeciętej) w populacji geeralej Stawiamy odpowiedią hipotezę: H 0 : μ = μ 0 H : μ μ 0 lub H : μ > μ 0 albo H : μ < μ 0 Zakładamy, ze rozkład cechy w zbiorowości geeralej jest N(μ, σ). Wybór sprawdziau hipotezy zależy od liczebości próby oraz od tego, czy parametr σ w zbiorowości geeralej jest zay. Jeśli zae jest (x) lub gdy 30 (wtedy = s), to sprawdziaem H 0 jest statystyka: x μ0 x μ0 u lub u σ(x) s(x) gdzie: μ 0 - przypuszczala średia w populacji geeralej, s(x) - odchyleie stadardowe z próby, u - empirycza wartość testu, którą porówuje się z wartością krytyczą u odczytaą z tablic dystrybuaty rozkładu ormalego a poziomie istotości, x - ocea 0 uzyskaa z próby.

25 U!!! WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH DOTYCZĄCYCH JEDNEJ ZBIOROWOŚCI GENERALNEJ Test istotości dla iezaej średiej (wartości przeciętej) w populacji geeralej Test istotości dla średiej (wartości przeciętej) gdy < 30 t x 0 s(x) t - empirycza wartość testu, którą ależy porówać z wartością krytyczą t,- odczytaą z tablic rozkładu t-studeta dla poziomu istotości i - stopi swobody.!!! Jeśli relacja t > t α jest spełioa, to H 0 ależy odrzucić a korzyść H, w przeciwym wypadku ie ma podstaw do odrzuceia H 0. W badaiu zawsze zakładamy, że populacja ma określoy rozkład. Najczęściej jest to rozkład ormaly ze średią μ i odchyleiem stadardowym σ. N(μ, σ)

26 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH DOTYCZĄCYCH JEDNEJ ZBIOROWOŚCI GENERALNEJ Stawiamy odpowiedie hipotezy: H 0 : p = p 0 H : p p 0 lub H : p > p 0 albo H : p < p 0 Test istotości dla wskaźika struktury gdzie: Sprawdziaem H 0 jest statystyka: u w i p p0q - liczebość próby, p 0 - hipotetyczy wskaźik struktury w populacji, - wskaźik struktury w próbie, w i 0 0 w i i u - empirycza wartość testu, którą porówuje się z krytyczą wartością u q 0 = p 0.!!! Jeśli relacja u > u α jest spełioa, to H 0 ależy odrzucić a korzyść H, w przeciwym wypadku ie ma podstaw do odrzuceia H 0.

27 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH DOTYCZĄCYCH DWÓCH ZBIOROWOŚCI GENERALNYCH Test istotości dla dwóch średich (wartości przeciętych) Chcemy zweryfikować hipotezę: H 0 : μ = μ wobec hipotezy: H : μ μ lub μ > μ albo μ < μ U!!! Jeśli zae są odchyleia stadardowe w populacjach σ σ i gdy próby liczą < 30, < 30 lub gdy odchyleia stadardowe w populacjach σ σ ie są zae i próby liczą 30, 30, to do sprawdziau hipotezy zerowej wykorzystujemy statystykę: u x x (x) (x) x s (x) x s(x) U!!! W iektórych źródłach uzaje się, że gdy + > mamy do czyieia z dużą próbą. gdzie : x,x -średie wpróbie pierwszej i drugiej (i ) μ, μ - hipotetycze średie w populacji i, - liczebości próby i (x), (x) - s (x), s (x) - wariacje w populacji wariacje w próbiei i

28 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH DOTYCZĄCYCH DWÓCH ZBIOROWOŚCI GENERALNYCH Test istotości dla dwóch średich (wartości przeciętych) U!!! Jeśli iezae są odchyleia stadardowe w populacjach i liczebość prób wyosi: < 30, < 30), to do sprawdziau hipotezy zerowej wykorzystujemy statystykę: t x x s (x) s(x) Statystyka ta (zmiea t) ma rozkład t-studeta określoy poziomem istotości i liczbą stopi swobody ss = + -!!! Jeśli relacja t > t α jest spełioa, to H 0 ależy odrzucić a korzyść H, w przeciwym wypadku ie ma podstaw do odrzuceia H 0.

29 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH DOTYCZĄCYCH DWÓCH ZBIOROWOŚCI GENERALNYCH Należy zweryfikować hipotezę: przy H H 0 : : Sprawdziaem hipotezy jest statystyka: U!!! sˆ ˆ s Test istotości dla dwóch wariacji F sˆ sˆ ŝ (x) (x i Zmiea F ma rozkład F-Sedecora określoy poziomem istotości i liczbą stopi swobody ss = - i ss = -.!!! Jeśli relacja F > F α jest spełioa, to H 0 ależy odrzucić a korzyść H, w przeciwym wypadku ie ma podstaw do odrzuceia H 0. F α odczytae z tablic obliczae są dla prawostroego obszaru krytyczego, dlatego ie ależy podwajać poziomu istotości. Przedstawioy powyżej test wykorzystuje się ajczęściej do sprawdzeia prawdziwości założeia: σ = σ, które musi być spełioe (jest koiecze), aby moża było testować hipotezę o rówości wartości przeciętych w dwóch populacjach, gdy < 30, < 30, a σ i σ są iezae.!!! Jeśli w zadaiach dae są wartości wariacji s, to wartości, z których korzystamy w teście wyzacza się z rówości: sˆ ŝ s ( x) x)

30 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH DOTYCZĄCYCH DWÓCH ZBIOROWOŚCI GENERALNYCH Test istotości dla dwóch wskaźików struktury Należy zweryfikować hipotezę: H 0 : p = p przy H : p p lub H : p > p albo H : p < p Sprawdziaem hipotezy H 0 jest statystyka: w w u pq gdzie: w,w - wskaźiki struktury w próbie i, p, p - wskaźiki struktury w populacji i p m m m - liczba wyróżioych elemetów w próbie m - liczba wyróżioych elemetów w próbie - liczebość próby - liczebość próby mi wi Obydwie próby musza być duże, tz. > 00 i > 00. i

31 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH WYBRANE TESTY Nieparametrycze testy istotości dzielimy a trzy zasadicze grupy: testy zgodości, testy iezależości, testy losowości próby. Testy ieparametrycze, w przeciwieństwie do testów parametryczych, mają tę zaletę, że ie wymagają założeń w odiesieiu do postaci rozkładu cechy w zbiorowości geeralej.

32 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH WYBRANE TESTY Test zgodości Test zgodości chi-kwadrat służy do weryfikacji hipotezy, że zaobserwowaa cecha X w zbiorowości geeralej ma określoy typ rozkładu p. dwumiaowy, Poissoa, ormaly. Narzędziem weryfikującym hipotezę, że cecha ma określoy typ rozkładu jest test zgodości. Hipotezę zerową moża formułować wykorzystując astępujące sposoby: H 0 : cecha X ma rozkład określoy dystrybuatą F(x) = F 0 (x), H 0 : cecha X ma rozkład N(μ, σ), H 0 : cecha X ma rozkład N(0, ), H 0 : cecha X ma rozkład Poissoa itp. Stawiamy odpowiedie hipotezy: H H 0 :F(x) :F(x) F F 0 0 (x) (x) F(x) - dystrybuata rozkładu populacji, F 0 (x) - dystrybuata zakładaego typu rozkładu

33 gdzie: Sprawdziaem hipotezy H 0 jest statystyka: ˆ i - które oblicza siê korzystaj¹c WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH WYBRANE TESTY Test zgodości liczebośi i teoretycze w rozkłozkła teoretyczym dla i - tego wariatu zmieej, ze wzoru o postaci : i p i Zmiea w przypadku prawdziwości H 0 ma rozkład określoy liczbą stopi swobody ss = k - r - gdzie: k - liczba przedziałów klasowych (wymóg co ajmiej 5 elemetów w każdym z przedziałów), r - liczba parametrów, które ależy wstępie wyzaczyć a podstawie próby.!!! Jeśli relacja χ > χ α jest spełioa, to H 0 ależy odrzucić a korzyść H, w przeciwym wypadku ie ma podstaw do odrzuceia H 0. ˆ k ˆ ˆ i i i - liczebości empirycze w rozkładzie empiryczym dla i-tego wariatu cechy, ( i i ) ˆ i p i We wzorze p i ozacza, że cecha X przyjmuje wartość ależącą do i-tego przedziału klasowego (gdy rozkład cechy jest zgody z H 0 ), p i zaś ozacza liczbę jedostek, które powiy zaleźć się w i-tym przedziale, przy założeiu, że cecha ma rozkład zgody z hipotetyczym (określa się je jako liczebości teoretycze). Statystyka χ jest miarą rozbieżości między rozkładem empiryczym a teoretyczym, (duże wartości χ powodują odrzuceie H 0.)

34 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH WYBRANE TESTY Test losowości próby - test serii Serią azywamy każdy podciąg złożoy z kolejych elemetów jedego rodzaju, utworzoy w ciąg uporządkowaych w dowoly sposób elemetów dwojakiego rodzaju. Stawiamy odpowiedie hipotezy: H 0 : próba jest losowa, H : próba ie jest losowa Procedura testowa opiera się a astępujących krokach:. Wyiki losowaia porządkujemy by wyzaczyć mediaę.. Każdemu wyikowi losowaia uwzględiając chroologię wyboru przypisuje się symbol a, jeżeli x i < M e, bądź symbol b, jeżeli x i > Me. Wyik x i = Me pomija się. 3. Dla ciągu symboli a i b podaje się liczbę serii k, która ma zay i stablicoway rozkład zależy od i i liczebości elemetów a oraz b. 4. Z tablic rozkładu serii dla poziomu istotości oraz liczebości i odczytuje się dwie wartości krytycze: k, dla której P(k k ) = ½ i k, dla której P(k k ) = - ½. 5. Podejmowaie decyzji: jeżeli k k lub k k, to H 0 odrzuca się. Natomiast jeżeli k < k < k, ie ma podstaw do odrzuceia H 0, co ozacza, że próba jest losowa.

35 Przykład: WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH WYBRANE TESTY Test losowości próby - test serii Maszya produkuje detale o określoej średicy. Do kotroli dokładości wymiarów wylosowao kolejo 6 sztuk, otrzymując astępujące wyiki pomiarów (w mm): 8,8 9, 0, 0,0 9,7 0,6,8 0,5,,5 9,9,6,4,8 3,0,7. Na poziomie istotości 0,05 sprawdzić hipotezę, że wybór dał próbę losową. Rozwiązaie: Me dla uporządkowaych daych wyosi: (0,6 +,5): =,05 Ciąg symboli a i b jest astępujący: aaaaaababbabbbbb, stąd k = 6. Z tablic rozkładu serii przy = 8 i = 8 odczytujemy: k = 4, a k =3. Poieważ k = 4 < k=6 < k = 3, ie ma podstaw do odrzuceia H 0, co ozacza, że a poziomie istotości 0,05 wylosowaa próba jest losowa.

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47