Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :

Transkrypt

1 Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 3. Sąsiedztwo prawostronne 0 R o promieniu r > 0: S + 0, r = 0, 0 + r Uwaga. Jeżeli w rozważaniach wartość r > 0 nie jest istotna, piszemy krótko: S 0, S 0, lub S Sąsiedztwo : każdy zbiór postaci S =, b, b R 5. Sąsiedztwo : każdy zbiór postaci S = a,, a R Niech a i A oznaczają symbole a A g Definicja. granicy funkcji w punkcie w sensie Heinego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na pewnym sąsiedztwie Sa. Mówimy, że f ma granicę A, gdy a, co symbolicznie zapisujemy w postaci równości f = A, wtedy i tylko wtedy, gdy a { n} { n} Sa W przypadku [ n = a f n = A. a = 0, A = g mówimy o granicy właściwej funkcji w punkcie a 2. a = 0, A = g mówimy o granicy właściwej lewostronnej funkcji w punkcie a, piszemy w skrócie f 0 3. a = + 0, A = g mówimy o granicy właściwej prawostronnej funkcji w punkcie a, piszemy w skrócie f + 0 ]

2 4. A = lub mówimy odpowiednio o granicy niewłaściwej 5. a = lub, A = g mówimy o granicy funkcji w Przykład. Niech { sin f = dla 0 0 dla = 0, 0 = 0. Wtedy f = 0. Uzasadnienie. Niech n 0. Ponieważ f n = n sin / n, wystarczy zauważyć, że ciąg sin / n jest ograniczony. W takim przypadku f n = 0, co należało udowodnić. rys.. y = sin / Twierdzenie o nieistnieniu granicy funkcji w punkcie 0 Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S 0. Jeżeli istnieją ciągi { n}, { n} spełniające warunki:. n = 0, przy czym n 0 dla każdego n N, 2. n = 0, przy czym n 0 dla każdego n N, 3. f n f n, to granica f właściwa ani niewłasciwa nie istnieje. Przykład 2.

3 Niech f = { sin dla 0 0 dla = 0, 0 = 0. Wtedy funkcja f nie ma granicy, 0. Uzasadnienie. Rozpatrzmy dwa ciągi. n = nπ ; 2. n = 2nπ+π/2 W przypadku. f n = 0, n N, więc ciąg f n jest zbieżny do 0. W przypadku 2. f n =, n N, więc ciąg f n jest zbieżny do. Te spostrzeżenia oznaczają, że f nie ma granicy, gdy 0. rys. 2. y = sin / Twierdzenie 2 o nieistnieniu granicy funkcji w nieskończoności Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S. Jeżeli istnieją ciągi { n}, { n} spełniające warunki:. n =, 2. n =, 3. f n f n, to granica f właściwa ani niewłasciwa nie istnieje.

4 Twierdzenie 3 warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy Funkcja f ma w punkcie 0 granicę włściwą lub niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy 0 f = f. + 0 wspólna wartość granic jednostronnych jest wtedy granicą funkcji. Twierdzenie 4 o arytmetyce granic Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie 0, to. f + g = f + g, 2. f g = f g, 3. f g = f g, f 4. = f 0 g g 0, o ile 0 g 0, 5. f g = f g 0, Twierdzenie 5 o granicy funkcji złożonej Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:. f = y 0, 2. f y 0 dla każdego S 0, 3. y y0 gy = q, to gf = q. Twierdzenie 6 o trzech funkcjach Jeżeli funkcje f, g, h spełniają warunki:. f g h dla każdego S 0, 2. f = h = p, to g = p. Twierdzenie 7 o dwóch funkcjach Jeżeli funkcje f, g spełniają warunki:

5 . f g dla każdego S 0, 2. f =, to g =. Uwaga. Twierdzenie o dwóch funkcjach jest prawdziwe także dla granic jednostronnych oraz dla granic w nieskończonności. Ponadto prawdziwe sa analogiczne twierdzenia dla granicy niewłaściwej funkcji równej. Przykład 3. Ważne granice ciągów a a =, gdzie a >, k N n k b n! =, gdzie a > 0 a n c sin = 0 n d n sin = n e n ln + n = f n log a + n =, gdzie a > 0, a Uzasadnienie a Niech a = + y, y > 0. Wtedy ze wzoru Newtona dla n > k otrzymujemy n n n n a n = + y n = + y + y y k+ + + y n > 2 k + n n y k+ = k + k +! yk+ nn n 2... n k Stąd a n n > k k +! nn n 2... n k yk+ n k Zauważamy, że k +! nn n 2... n k yk+ = n k 2... n n k +! yk+ k n n =,

6 stąd wynika żądana granica. b Wybieramy n 0 takie, że a 2 < n 2 dla n > n 0. Wtedy zachodzi a 2 < n 2, a2 < n 2 +, a2 < n 2 + 2,..., a2 < n; n n n; a n = a 2 n 2 < n 2 n! n a > n 2!, gdy n. c z nierówności 0 sin dla 0 < < π 2 mamy 0 sin n n. Istnienie i wartość granicy wynikają teraz z twierdzenia o trzech ciągach. d z nierówności cos sin dla 0 < < π 2 mamy cos n = sin 2 n n sin n. Istnienie i wartość granicy wynikają teraz z twierdzenia o trzech ciągach. e Pamiętamy, że ciąg e n = + n n ma następujące własności. e n jest niemalejący 2. < e n < e, n N 3. e n = e Zastosujemy metodę nie wprost a contrario. Zakładamy, że istnieje ɛ > 0 takie, że dla nieskończenie wielu n, wyrazy n ln + n = ln en leżą poza przedziałem ɛ,, tzn. n ln + < ɛ, dla nieskończenie wielu n N n Stąd e n = + n n < e ɛ, dla nieskończenie wielu n N

7 Ostatnie stwierdzenie nie może być prawdziwe, bo ciąg e n e = e. Uzyskana sprzeczność dowodzi prawdziwości naszego twierdzenia. Przykład 4. Granice podstawowych funkcji a a = a 0, gdzie a, 0 > 0 b sin = sin 0 ; cos = cos 0 c a = a 0, gdzie a, 0 > 0 d log a = log a 0, gdzie a, 0 > 0, a e + = e; Uzasadnienie. a Przypadek 0 +. Metoda dowodu nie wprost a contrario. Załóżmy, przeciwnie, że a a 0. Wtedy istnieje ciąg n taki, że n 0 + i a n a 0, gdy n. Z ostatniego warunku wynika, że istnieje taki ɛ > 0, że nieskończenie wiele wyrazów ciągu a n jest poza przedziałem a 0, a 0 + ɛ, inaczej dla nieskończenie wielu n zachodzi nierówność a 0 < a 0 + ɛ < a n lub równoważnie 0 < a 0 + ɛ a < n. Ostatnia nierówność jest sprzeczna z założeniem, że n 0 +. Uzyskana sprzeczność dowodzi prawdziwości naszego twierdzenia. Przypadek 0, sprowadzamy do rozpatrzonego wyżej zauważając, że wtedy 0 + i stąd a = czyli a a 0 również w tym przypadku. a a =, 0 a 0 b Przypadek 0+. Zachodzi nierówność 0 sin dla 0 < < π. Z twierdzenia o trzech funkcjach wynika 2 sin = 0 +

8 Przypadek 0 sprowadzamy do wcześniejszego przyjmując y =. Wtedy sin = sin y i y 0+, więc sin = sin y = 0. y 0+ Dla cos otrzymujemy cos = sin 2 = = cos Ogólny przypadek dla sin sprowadzimy do już rozpatrzonego korzystając ze wzoru trygonometrycznago sin = sin[ ] = sin 0 cos 0 + sin 0 cos 0 Przyjmując y = 0, otrzymujemy 0 sin = cos 0 y 0 sin y + sin 0 y 0 cos y = sin 0, co należało udowodnić. W przypadku funkcji cos skorzystamy ze wzoru cos = sin 2. c Przypadek a >, 0+. Pamiętamy, że a n = n a = Niech ɛ > 0 i n 0+, tzn. 2 n = 0, n > 0 Wtedy z wynika, że istnieje n > 0 takie, że 3 < a n < + ɛ, dla n n, Podobnie z 2 wynika, że istnieje n 0 > 0 takie, że 4 0 < n < n, dla n > n 0 Z nierówności 3 i 4 wynika, że < a n < a n < + ɛ, inaczej a n < ɛ dla n > ma{n 0, n }, co dowodzi prawdziwości naszego twierdzenia.

9 W przypadku ogólnym, gdy 0, zauważamy na wstępie, że a = a 0 a 0 = a 0 a y, gdzie y = 0 0. Teraz możemy skorzystać z rozpatrzonego już przypadku. d Przypadek ln + = 0. Udowodnimy najpierw nierówność + ln + 5 n n, dla n N Uzasadnienie. Pamiętamy, że ciąg e n = + n 6 n jest niemalejący stąd < e n = + n n e i po zlogarytmowaniu funkcja ln jest rosnąca! otrzymujemy 0 < ln e n < n ln + n <, Stąd już wynika 5. Niech n 0+ i niech ɛ > 0. Wtedy istnieją n 0, n N takie, że 0 < n 0 < ɛ 0 < n < n 0, dla n > n Stąd otrzymujemy 0 < ln + n < ln + n0 < < ɛ, dla n > ma{n 0, n }, n 0 co oznacza, że ln + = 0. + Przechodzimy do uzasadnienia granic 7 8 ln = ln log a = log a 0 0 +

10 Granicę 7 otrzymamy zauważając, że ln = ln 0 = ln 0 + ln + y, gdzie y = 0 0 ln = ln 0 + ln + y = ln 0 0 y 0+ Granicę 8 otrzymamy zuważając, że log a = ln ln a e Na początku rozpatrzymy przypadek 0+. Zaczniemy od udowodnienia nastęującego faktu Fakt 8. Niech m n będzie ciągiem liczb naturalnych takim, że m n =. Wtedy + mn = e m n Uwaga. Podane stwierdzenie nabiera podstawowego znaczenia w sytuacji, gdy ciąg m n nie jest podciągiem ciągu liczb naturalnych {n}. W tym drugim przypadku wystarczy powołać się na twierdzenie, że każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do granicy ciągu. Np. w przypadku ciągu m n = n 2 wystarczy powołać się na twierdzenie o granicy podciągu, natomiast w przypadku ciągu {m n } = {, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5,... }, który nie jest podciągiem ciągu liczb naturalnych {, 2, 3, 4, 5,... } nie możemy się powołać na to twierdzenie. Mamy wykazać, że zdanie + mn e m n < ɛ ɛ>0 n 0 n>n 0 jest prawdziwe. Wcześniej był badany ciąg e n = + n n, dla którego otrzymaliśmy. ciąg e n jest ograniczony, + n n 3, n N 2. ciąg e n jest niemalejący, e n e m, n m, n, m N 3. e n = e

11 Niech ɛ > 0. Wtedy istnieje n takie, że dla n > n zachodzi + n n e < ɛ, n n Ponieważ m n, istnieje n 0 takie, że m n > n dla n > n 0. Wtedy dla n > n 0 otrzymujemy + n + mn e n m n stąd + mn e m n + n e n < ɛ, n > ma{n0, n }, co dowodzi prawdziwości naszego faktu. Przechodzimy do dowodu właściwej granicy. Niech n. Zachodzą nierówności n n n + dla przypomnienia, n jest częścią całkowitą. Stąd otrzymujemy oszacowania + n + n + n + n + n n Dla ciągów skrajnych w tych nierównosciach mamy a n = b n = + n = + n + n + n + + n + = + n + n n n + n + Do obliczenia granic ciągów a n i b n zastosujemy Fakt 8 otrzymując a n = b n = e Teraz z twierdzenia o trzech ciagach wynika, że + n = e n co kończy tę część dowodu.

12 Przypadek 0 sprowadzimy do już rozpatrzonego. Niech y =. Wtedy + = y y y = = + y y y y Przyjmujemy z = y y, y = + = [ + z z z, stąd z+ ] z+ Teraz wystarczy zauwazyć, że jeśli 0, to z 0+ i skorzystać z granicy funkcji fz gz, gdzie fz = + z z, gz = z + fz = e, z 0+ gz = z 0+ Twierdzenie 9 o granicach niewłaściwych funkcji. p + = dla < p 2. p = dla 0 < p p 3. = 0 dla < p < 4. p = dla 0 < p p = 0 dla 0+ p < 6. p = dla < p 7. q = 0 dla q < 0 8. q = dla 0 < q Uwaga. Równości podane w tabelce są symboliczną formą zapisu twierdzeń o granicy funkcji. Np. równość p = 0, gdzie 0 + p <, jest skróconą postacią twierdzenia f > 0 dla każdego S 0, f <, g = Wyrażenia nieoznaczone 0 f g = Przykład 5. Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych

13 sin tg a = b = c arc sin = d arctg = sh e = f tgh = ln+ log g = h a + =, gdzie 0 < a ln a i = j = ln a, gdzie a > 0 e k ± + m a a + = e l ± = a, gdzie a R + a = e a, gdzie a R Uzasadnienie. Wskazówki : Przypadek g. Zauważamy, że y = + e, gdy 0 ln + = ln y ln + = ln y = ln e =. y e Przypadek h. Zauważamy, że + = a log a +, ln + = ln a log a + log a + = ln + ln a Przypadek i. Przyjmujemy y = e, = ln + y i zauważamy, że jeśli 0, to y 0 e y = y 0 ln + y = Przypadek j. Zauważamy, że a = e ln a a = ey = ey y ln a, gdzie y = ln a

14 Przypadek k. Przyjmujemy y = i zauważamy, że jeśli ±, to y 0. W końcu + = + y y = e. y 0 ± Przypadek l. Przyjmujemy y = a. Zauważamy, że + a [ ] = + y a y = e a. y 0 Przypadek m. Przyjmujemy y = + a i zauważamy, że ln + = ln + y oraz jeśli 0, to y 0. a Dalej + a = y ln + ln + = ln + y ln + y a Przykład 6. Korzystając z granic wyrażeń nieoznaczonych obliczyć podane granice: sin 7 e a b c sin 5 sin 2 d e g ln 2 3 h j sin 3ctg 5 i k sin π l m ln+ e n π f tg π π ln+cos ln cos o ln+cos 3 2 Przypadek k Za pomocą kolejnych podstawień y = 3 i y = + z doprowadzamy do postaci, gdzie łatwo wyliczymy granicę 7 3 sin π 7 y sin πy = 7 y sin π3 y = + z 7 = z z sin πz + z 7 πz = z sin πz π Przypadek o Zauważamy, że cos = 2 cos 2 2 = 2 cos2 2. Za pomocą kolejnych podstawień y = 2 cos 2 2 = 2 sin2 2 i z = y

15 doprowadzamy do postaci, gdzie łatwo wyliczymy granicę ln cos 2 = 2 ln + z z ln y 2 sin2 2 = y 2 sin 2 2 /2 Przypadek n Za pomocą kolejnych podstawienia = π 2 + y doprowadzamy do postaci, gdzie łatwo wyliczymy granicę ln + cos ln + cos 3 ln sin y sin y ln sin y sin y = ln sin y ln + sin 3y = sin y sin 3y sin y y sin 3y ln + sin 3y = 3y sin 3y 3 sin 3y ln + sin 3y