ZWĄIZEK REKURENCYJNY ORAZ ZALEŻNOŚCI I RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE DLA WIELOMIANÓW LEGENDRE A

Transkrypt

1 Polska Problemy Nauk Stosowaych, 4, Tom, s Szczeci dr Adrzej Atoi CZAJKOWSKI Uiversity of Szczeci, Faculty of Mathematics ad Physics, Departmet of Iformatics ad Techical Educatio Uiwersytet Szczeciński, Wydział Matematyczo-Fizyczy, Katedra Edukacji Iformatyczej i Techiczej Higher School of Techology ad Ecoomics i Szczeci, Iformatics ad Techical Educatio Wyższa Szkoła Techiczo-Ekoomicza w Szczeciie, Edukacja Techiczo-Iformatycza ZWĄIZEK REKURENCYJNY ORAZ ZALEŻNOŚCI I RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE DLA WIELOMIANÓW LEGENDRE A Streszczeie Wstęp i cel: W pracy przedstawioo związek rekurecyjy, zależości różiczkowe i rówaie różiczkowe dla wielomiaów Legedre a. Celem rozważań było przeprowadzeie dowodów omawiaych własości. Materiał i metody: Materiał staowiły wybrae zależości rekurecyje i rówaie różiczkowe uzyskae z literatury przedmiotu. W przeprowadzoych dowodach zastosowao metodę dedukcji. Wyiki: Pokazao dowód twierdzeia o fukcji tworzącej dla wielomiaów Legedre a stosując metodę residuum fukcji. Przeprowadzoo dowód związku rekurecyjego, czterech zależości różiczkowych oraz rówaia różiczkowego dla wielomiaów Legedre a. Wioski: Pochodą wielomiau Legedre a wyrażoą przez wielomiay Legedre a moża określić z rówaia ( z )P (z) = P (z) zp (z) dla =,,. Wielomia Legedre a u=p (z) jest całką szczególą rówaia [( z )u ] +(+)u = dla =,,,. Słowa kluczowe: Wielomiay Legedre a, związek rekurecyjy, zależości różiczkowe, rówaie różiczkowe. (Otrzymao: 5.8.4; Zrecezowao: 5.9.4; Zaakceptowao:..4) RECURRENCE FORMULA, DIFFERENTIAL PROPERTIES AND DIFFERENTIAL EQUATON FOR LEGENDRE POLYNOMIALS Abstract Itroductio ad aim: The paper presets a recurrece formula, some differetial compouds ad differetial equatio for Legedre polyomials. The aim of the discussio was to give some proofs of preseted depedeces. Material ad methods: Selected material based o a recurrece formula, some differetial compouds ad differetial equatio has bee obtaied from the right literature. I preseted proofs of theorems was used a deductio method. Results: Has bee show some proof of the theorem of the geeratig fuctio for Legedre polyomials by usig the method of fuctio residue. It has bee doe the proof of recurrece formula, some proofs of four differetial compouds ad differetial equatio for Legedre polyomials. Coclusios: Some derivative of Legedre polyomial expressed by Legedre polyomials ca be determied from the equatio ( z )P (z) = P (z) zp (z) for =,,. Legedre polyomial u=p (z) is the particular itegral solutio of the equatio [( z )u ] +(+)u = for =,,,. Key-words: Legedre polyomials, recurrece formula, differetial compouds, differetial equatio. (Received: 5.8.4; Revised: 5.9.4; Accepted:..4) A.A. Czajkowski 4 Aaliza zespoloa / Complex aalysis

2 A.A. Czajkowski. Fukcje aalitycze Defiicja.. Fukcję f(z) zmieej zespoloej z określoą w pewym obszarze D azywamy fukcją aalityczą w tym obszarze, jeżeli w każdym pukcie obszaru D ma pochodą f (z). Defiicja.. Mówimy, że fukcja f(z) jest aalitycza w pukcie z jeżeli jest aalitycza w pewym otoczeiu tego puktu. Defiicja.3. Fukcję aalityczą w pukcie z (w obszarze D) azywamy fukcją holomorficzą w pukcie z (w obszarze D). Defiicja.4. Mówimy, że fukcja f(z) zmieej zespoloej z jest regulara w obszarze otwartym D, jeżeli jest holomorficza w sąsiedztwie każdego puktu tego zbioru. Defiicja.5. Szeregiem Laureta o środku w pukcie z i współczyikach a dla C azywamy szereg [6]-[8]: + a = (z z ). (.) Defiicja.6. Pukt z, w którego otoczeiu z z <R fukcja f(z) jest aalitycza, azywamy puktem regularym fukcji. Defiicja.7. Jeżeli fukcja f(z) jest aalitycza w otoczeiu pierścieiowym < z z <R, to mówimy że z jest puktem osobliwym odosobioym fukcji f(z). Twierdzeie.. Jeżeli fukcja f(z) jest fukcją aalityczą w pierścieiu r< z z <R, to daje się w im przedstawić szeregiem Laureta, gdzie współczyiki tego szeregu wyrażają się wzorami: a f( ζ) = dζ i (.) π (ζ z ) K + dla a =, ±, ±,, gdzie K jest dowolym okręgiem o środku z, zorietowaym dodatio i zawartym w pierścieiu r < z z <R (dowód [5] s. 6). Z twierdzeia tego wyika, że fukcja f(z), aalitycza w pierścieiu r < z z <R, daje się w tym pierścieiu przedstawić jako suma dwóch fukcji [5]: f(z) = a (z z ) + a (z z ), (.3) = = z których pierwsza jest aalitycza w kole z z <R, a druga jest aalitycza dla z z >r. 6

3 Związek rekurecyjy oraz zależości i rówaie różiczkowe dla wielomiaów Legedre a W rozwiięciu postaci (.3) fukcji f(z) pierwszy szereg osi azwę części regularej fukcji f(z), a drugi szereg osi azwę części osobliwej tej fukcji. Defiicja.8. Jeżeli część osobliwa redukuje się do zera to jest a = dla =,, wówczas mówimy, że z jest puktem pozorie osobliwym albo że f(z) ma w pukcie z osobliwość usuwalą. Istieje wtedy graica: lim f(z) = a z z (.4) a przyjmując f(z )=a otrzymujemy fukcję aalityczą w całym kole z z <R, a pukt z staje się puktem regularym []-[3], [5]. Defiicja.9. Jeżeli część osobliwa składa się ze skończoej liczby wyrazów to jest: a m a a + m+ + K + (.5) m m (z z ) (z z ) (z z ) wówczas pukt z azywamy bieguem m-krotym lub bieguem rzędu m fukcji f(z), a wyrażeie (.5) częścią główą biegua [5]. Defiicja.. Jeżeli część osobliwa fukcji f(z) zawiera ieskończeie wiele wyrazów, wówczas z azywamy puktem istotie osobliwym fukcji f(z). Twierdzeie.. Jeżeli gdzie fukcje h(z) i g(z) są holomorficze oraz h(z ) i h(z) f(z) =, (.6) g(z) ( ) g(z ) = g (z ) = g (z) = K = g (z) =, (.7) ale g () (z ), to fukcja f(z) ma w pukcie z biegu -kroty (dowód [5] s. 43). Defiicja.. Niech fukcja f(z) będzie fukcją aalityczą w otoczeiu pierścieiowym < z a <r puktu a, w którym jest rozwijala w szereg [3]: + = f(z) = a (z a), (.8) poadto ozaczymy przez C dowoly kotur zawarty w daym otoczeiu i zawierający w swym wętrzu pukt a. Wówczas wartość całki: f(z) dz = a πi (.9) C czyli współczyik a - rozwiięcia (.8) azywamy residuum fukcji f(z) w pukcie a i ozaczamy res a f(z). 6

4 A.A. Czajkowski Twierdzeie.3. (dowód [5] s. 34) Niech C będzie brzegiem obszaru ograiczoego D złożoym z jedej lub kilku krzywych zamkiętych zorietowaych dodatio względem wętrza obszaru. Jeżeli fukcja f(z) jest aalitycza wewątrz obszaru D i a jego brzegu C poza skończoą liczbą puktów z, z,, z leżących wewątrz D, w których fukcja ma odpowiedio residua A, A,, A, to Mamy zatem πi C C f(z) dz = f(z)dz = πi res f(z). j= z= z j= z= z j res f(z). Twierdzeie.4. (dowód [5] s. 4) Jeżeli fukcja f(z) ma w pukcie z biegu -kroty, to. Wielomiay Legedre a Defiicja.. res f(z) = = z ( )! lim z z z d dz j [(z z ) f(z) ]. Wielomiay Legedre a P (z) dla wartości zmieej z mają postać [4]: (.) (.) (.) d P (z) = (z ) dla =,,, K. (.)! dz Obliczoe wielomiay Legedre a wprost z defiicji (.) dają astępujący układ fukcji: P (z) =, (.) P (z) = z, (.3) P (z) 3 3 = (5z 3z), (.5) P (z) 4 4 = (35z 3z + 3), (.6) 8 d P (z) = (z ), (.7) ( )! P (z) = (z ), (.4) dz d P (z) = (z ), (.8)! dz Twierdzeie.. (O fukcji tworzącej) Fukcja w(z, t) = (.9) tz + t 6

5 Związek rekurecyjy oraz zależości i rówaie różiczkowe dla wielomiaów Legedre a jest fukcją tworzącą dla wielomiaów Legedre a, czyli dla małych wartości t zachodzi rozwiięcie w szereg [4]: w(z, t) = P (z) t. (.) tz + t = Poieważ fukcja w(z,t) rozpatrywaa jako fukcja zmieej t jest fukcją regularą w kole t <r, to istieje rozwiięcie postaci: w(z, t) = p (z) t. (.) tz + t = Współczyiki p (z) mogą być wyrażoe przez całki krzywoliiowe postaci: dt p (z) =, πi tz + t t + (.) D które są wzięte wzdłuż dowolego koturu zamkiętego D obejmującego pukt t= i leżącego w obszarze regularości fukcji w(z,t). Powyższe całki przekształcimy w całki fukcji wymierych za pomocą podstawieia: tz + t = tu, (.3) skąd u z t =. u (.4) Wtedy podstawieie (.3) otrzymuje postać: (u z) tz + t =. u (.5) Po wykoaiu różiczkowaia rówości (.4) otrzymujemy: u + zu dt = du. (.6) (u ) Uzyskae wyrażeia (.5) i (.6) podstawiamy do całki (.): (u )[(u z)] ( u + uz ) p (z) = du, πi ( u + uz ) (u ) (u ) która po uproszczeiach przyjmuje postać: D p (z) = πi D (u ) + (u z) du. (.7) (.8) Całka (.8) wzięta jest wzdłuż koturu zamkiętego D, otaczającego pukt u=z. Zauważmy, że pukt t= odpowiada puktowi u=z, a kotur D odpowiada koturowi D, gdyż po obiegu wzdłuż D pierwiastek przyjmuje swą poprzedią wartość. Fukcja podcałkowa: (u ) f (u) = (.9) + (u z) 63

6 A.A. Czajkowski spełia założeia twierdzeia (.3) i twierdzeia (.4). Wobec tego: p (u ) (u ) (u ) (z) = i res res. du = π = πi + i u z + u z + (u z) π = (u z) = (u z) (.) D Obliczamy residuum fukcji f(u): + d (u ) + (u ) res lim (u z), u z ( )! z du p (z) = = (.) = (u z) (u z) co daje d (u ) d p (z) = lim = [ ] P (z).! z (u ) (.) du! du Zatem zostało wykazae, że = = co kończy dowód twierdzeia (.). w(z, t) p (z) t dla t < r, (.3) 3. Rówaie rekurecyje dla wielomiaów Legedre a Twierdzeie 3.. (Rówaie rekurecyje dla wielomiaów Legedre a) [4] Jeżeli P (z), P (z), P + (z) są wielomiaami Legedre a, to [4]: ( + )P + (z) ( + )zp (z) + P (z) = dla =,, K. (3.) Podstawiamy szereg (.) do tożsamości: Wówczas otrzymujemy: Wobec czego: w ( tz + t ) + (t z) w =. (3.) t ( tz + t ) P (z)t + (t z) P (z)t =. (3.3) t = = 3 [ P (z) + P (z)t + P (z)t + P (z)t + + P (z)t ] + (t z) P (z)t =. + ( tz t ) 3 K t = (3.4) Różiczkując względem zmieej t wyraz po wyrazie mamy dalej: [ + P (z) + P (z)t + 3P (z)t + + P (z)t ] + (t z) P (z)t =. + ( tz t ) 3 K = (3.5) Wobec tego: Skąd po przekształceiu: Zak ozacza koiec dowodu. ( tz + t ) P (z)t + (t z) P (z)t =. (3.6) = = 64

7 Związek rekurecyjy oraz zależości i rówaie różiczkowe dla wielomiaów Legedre a = [ tz + t )P (z)t + (t z)p (z)] t =. ( (3.7) Przyrówując współczyik przy t do zera uzyskujemy: Skąd po przekształceiach mamy: tz + t )P (z)t + (t z)p (z) =. (3.8) ( P (z)t zp (z) + P (z)t + tp (z) zp (z) =. (3.9) Z czego wyika, że: ( + )P + (z) zp (z) + ( )P (z) + P (z) zp (z) =. (3.) Skąd ostatecziec otrzymujemy: ( + )P + (z) ( + )zp (z) + P (z) = dla =,, K, (3.) co kończy dowód twierdzeia (3.). 4. Zależości różiczkowe dla wielomiaów Legedre a Twierdzeie 4.. Jeżeli P (z), P (z), P + (z) są wielomiaami Legedre a, to: P + (z) zp (z) + P (z) P ( z) = (4.) dla N [4]. Podstawiamy szereg (.) do tożsamości: Wówczas otrzymujemy: Wobec czego: w ( tz + t ) tw =. (4.) z ( tz + t ) P (z)t tp (z)t =. (4.3) z = = 3 [ P (z) + P (z)t + P (z)t + P (z)t + + P (z)t ] t) P (z)t =. + ( tz t ) 3 K z = (4.4) Różiczkując względem zmieej z wyraz po wyrazie mamy dalej: 3 [ P (z) + P (z)t + P (z)t + P (z)t + + P (z)t ] t P (z)t =. + ( tz t ) 3 K = (4.5) Wobec tego: Skąd po przekształceiu: = = ( tz + t ) P (z)t t P (z)t =. (4.6) = [ tz + t )P (z) t P (z)] t =. ( (4.7) Przyrówując współczyik przy t do zera uzyskujemy: 65

8 A.A. Czajkowski Skąd po przekształceiach mamy: Z czego wyika, że: tz + t )P (z) t P (z) =. (4.8) ( P (z) tzp (z) + t P (z) t P (z) =. (4.9) P Ostatecziec otrzymujemy: (z) zp (z) + P (z) P (z) = dla =, 3, K. (4.) P + (z) zp (z) + P (z) P (z) = dla =,, K, (4.) co kończy dowód twierdzeia (4.). Dążymy do uzyskaia rówaia różiczkowego liiowego rzędu drugiego dla wielomiaów Legedre a. W tym celu udowodimy jeszcze trzy twierdzeia. Twierdzeie 4.. Jeżeli P + (z), P (z) są wielomiaami Legedre a, to [4]: P + (z) zp (z) = ( + ) P (z) (4.) dla =,,,. Różiczkujemy rówość (3.) względem zmieej z i otrzymujemy: [( + )P + (z)] [ ( + )zp (z)] + [ P (z)] =. (4.3) Skąd uzyskujemy: ( + )P + (z) ( + )P (z) ( + )zp (z) + P (z) =. (4.4) Wyzaczamy z rówaia (4.) i (4.4) wielomia P (z): P (z) = zp (z) P + (z) + P (z), (4.5) P (z) = [( + )P (z) + ( + )zp (z) ( + )P + (z) ]. (4.6) Porówując stroami rówaia (4.5) i (4.6) otrzymujemy: zp (z) P + (z) + P ( z) = [( + )P (z) + ( + )zp (z) ( + )P + (z) ]. (4.7) Po odpowiedich przekształceiach mamy: zp (z) P + (z) + P (z) = P (z) + P (z) + zp (z) + zp (z) P + (z) P + (z). (4.8) A zatem po redukcji odpowiedich wyrazów uzyskujemy: P + (z) zp (z) = P (z) P (z) P (z). (4.9) Skąd po ostateczie mamy: + P + (z) zp (z) = ( + )P (z) dla =,,, K, (4.) co kończy dowód twierdzeia (4.). Twierdzeie 4.3. Jeżeli P (z), P (z) są wielomiaami Legedre a, to [4]: z P (z) P (z) = P (z) dla =,,. (4.) K 66

9 Związek rekurecyjy oraz zależości i rówaie różiczkowe dla wielomiaów Legedre a Wyzaczamy z rówaia (4.) i (4.4) wielomia P + (z): P + (z) = zp (z) P (z) + P (z), (4.) P + (z) = [( + )P (z) + ( + )zp (z) P (z) ]. (4.3) + Porówując stroami rówaia (4.) i (4.3) otrzymujemy: zp (z) P (z) + P ( z) = [( + )P (z) + ( + )zp (z) P (z) ]. (4.4) + Skąd dostajemy: ( + )zp (z) ( + ) P (z) + ( + ) P (z) = ( + )P (z) + ( + )zp (z) P (z). (4.5) Po odpowiedich przekształceiach mamy: zp (z) + zp (z) P (z) P (z) + P = P (z) + P (z) + zp (z) + zp (z) P (z) + P (z). (z) = (4.6) Skąd po redukcji odpowiedich wyrazów ostateczie mamy: zp (z) P (z) = P (z) dla =,,K (4.7) co kończy dowód twierdzeia (4.3). Twierdzeie 4.4. (Wyrażeie pochodej wielomiau Legedre a przez wielomiay Legedre a)[4] Jeżeli P (z), P (z) są wielomiaami Legedre a, to: ( z )P (z) = P (z) zp (z) dla =,, K. (4.8) Zastępujemy w rówaiu (4.) a i wtedy mamy: P (z) zp (z) = P (z). (4.9) Wyzaczamy z rówaia (4.) i (4.9) wielomia P (z): P (z) = zp (z) P (z), (4.3) P (z) = [ P (z) P (z) ]. z (4.3) Po porówaiu stroami związków (4.9) i (4.3) otrzymujemy: z P (z) P (z) = [ P (z) P (z) ]. z (4.3) Skąd po odpowiedim uporządkowaiu ostateczie mamy: (z )P (z) = P (z) zp (z) dla =,, K, (4.33) co kończy dowód twierdzeia (4.4). 5. Rówaie różiczkowe dla wielomiaów Legedre a Twierdzeie 5.. (Rówaie różiczkowe rzędu drugiego dla wielomiaów Legedre a) [4] Jeżeli P (z) są wielomiaami Legedre a, to: [( z )P (z)] + ( + ) P (z) = dla =,,, K. (5.) 67

10 A.A. Czajkowski Różiczkujemy obustroie rówaie (4.8) względem zmieej z i wtedy mamy: [( z )P (z)] = [ P (z) zp (z)]. (5.) Skąd mamy z P (z) + ( z )P (z) = P (z) P (z) zp (z). (5.3) Z rówań (4.) i (5.3) wyzaczamy wielomia P (z): P (z) = zp (z) P (z), (5.4) P (z) = [( z )P (z) + P (z) + zp (z) zp (z)]. (5.5) Skąd po porówaiu stro rówań (5.4) i (5.5) mamy: z P (z) P (z) = [( z )P (z) + P (z) + zp (z) zp (z)]. (5.6) Skąd otrzymujemy: z P (z) P (z) = ( z )P (z) + P (z) + zp (z) zp (z). (5.7) Po redukcji odpowiedich wyrazów uzyskujemy: Ostateczie otrzymujemy: ( z )P (z) zp (z) = P (z) P (z). (5.8) [( z )P (z)] + ( + ) P (z) = dla =,,, K. (5.9) co kończy dowód twierdzeia (5.). 6. Wioski Pochodą wielomiau Legedre a wyrażoą przez wielomiay Legedre a moża określić z rówaia ( z )P (z) = P (z) zp (z) dla =,,. Wielomia Legedre a u = P (z) jest całką szczególą rówaia [( z )u ] + (+)u = dla =,,,. Literatura [] Fichteholtz G.M.: Rachuek różiczkowy i całkowy, Tom, PWN Warszawa 976, w. 5. [] Fichteholtz G.M.: Rachuek różiczkowy i całkowy, Tom 3, PWN Warszawa 969, w. 3. [3] Krysicki W., Włodarski L.: Aaliza matematycza w zadaiach, Część, PWN Warszawa 97, w. 7. [4] Лебедев Н.Н.: Специальные функци и их приложения, Государственное Издательсто Физико-Математческой Литературы, Москва-Ленинград 963, издание второе. [5] Leja F.: Fukcje zespoloe, Biblioteka Matematycza Tom 9, PWN Warszawa 973, w. 3. [6] Sikorski R: Fukcje rzeczywiste, Tom, PWN Warszawa 959, w.. [7] Smirow W.I.: Matematyka wyższa, Tom 3, Część, PWN Warszawa 965, w.. [8] Whittaker E.T, Watso G.N.: Kurs aalizy współczesej, Część, PWN Warszawa 968, w.. 68