Czynnik niezawodności w modelowaniu podróży i prognozowaniu ruchu

Transkrypt

1 Problemy Kolejnictwa Zezyt 165 (grudzień 2014) 53 Czynnik niezawodności w modelowaniu podróży i prognozowaniu ruchu Szymon KLEMBA 1 Strezczenie W artykule rozważano możliwości uwzględniania czynnika niezawodności technicznej w modelach przewozów paażerkich. Scharakteryzowano czteroetapowe podejście do modelowania podróży i prognozowania ruchu. Przedtawiono model międzygałęziowego podziału przewozów, który jet potencjalnym miejcem do powiązania zagadnień niezawodności i modelowania przewozów. Opiano również poób uwzględnienia czynnika niezawodności przez wpółczynnik gotowości technicznej. Całość zilutrowano przykładem prezentującym wpływ czynnika niezawodności na uzykiwane wyniki udziału w pracy przewozowej. Artykuł zakończono podumowaniem, z którego wynika, że w modelowaniu przewozów paażerkich można uwzględniać czynnik niezawodności technicznej, zwłazcza w przypadku itotnego wpływu tego czynnika na zjawika dotyczące badanego ytemu tranportowego. Słowa kluczowe: modelowanie podróży, niezawodność, przewozy paażerkie, cza podróży 1. Wtęp Sytem tranportowy jet złożony z wielu obiektów technicznych i może być przedmiotem zaintereowań dycypliny jaką jet teoria niezawodności. Pojęcie ytemu jet definiowane jako celowo określony zbiór elementów oraz relacji zachodzących pomiędzy tymi elementami i ich właściwościami [8]. Aby lepiej zbadać właściwości i poób zachowania ię ytemu tranportowego lub jego pozczególnych elementów, tworzy ię modele tych ytemów. Model jet odwzorowaniem fragmentu rzeczywitości i jet narzędziem proceu modelowania. Wykorzytywany jet zatem do badań nad rzeczywitymi obiektami. Rzeczywite obiekty techniczne charakteryzują ię wieloma cechami określającymi ich funkcje. Jedną z nich jet niezawodność techniczna rozumiana jako prawdopodobieńtwo pełnienia przez obiekt (w tym wypadku ytem tranportowy) tawianych mu wymagań [7]. Spełnianie przez ytem techniczny woich funkcji jet tak naprawdę 1 Mgr inż.; Intytut Kolejnictwa; klemba@ikolej.pl.

2 54 Klemba S. itotą jego itnienia. Wydaje ię, że modelowanie czynnika niezawodności powinno mieć miejce podcza modelowania ytemów tranportowych (np. modelowania podróży lub prognozowania ruchu), a nie tylko podcza budowy modeli ściśle przeznaczonych do badań niezawodności danego obiektu (ytemu). W niniejzym artykule podjęto próbę odpowiedzi na pytanie, w jaki poób można uwzględniać czynnik niezawodności podcza modelowania ytemu tranportu paażerkiego, a ściślej modelowania przewozów paażerkich. 2. Czynniki uwzględniane w modelach przewozów Modele o jakich mowa w tym artykule, ą modelami matematycznymi w odróżnieniu od modeli fizycznych lub opiowych. Jednym z etapów modelowania matematycznego jet wybór kategorii modelu i określenie jego truktury [2, 4], czyli między innymi utalenie, jakie czynniki będą brane pod uwagę podcza proceu modelowania, i przez jakie zmienne będą uwzględnione w modelu. Modele matematyczne można podzielić na różne kategorie [4], w zależności od kryterium przyjętego podziału. Modele mogą być tatyczne lub dynamiczne, jeśli ich parametry ulegają zmianie wraz z upływem czau. Prawdopodobieńtwo przyjmowania wartości przez pozczególne parametry różnicują modele na determinityczne (wartość pewna, określona) i tochatyczne (zmienne loowe). Spoób powiązania pozczególnych zmiennych za pomocą funkcji różnicuje modele liniowe i nieliniowe. Praktyka modelowania pokazuje, że najczęściej powtają modele hybrydowe, które łączą w obie cechy różnych kategorii. Przykładowo można także przyjąć, że uwzględnienie choćby jednego parametru opianego proceami tochatycznymi, powoduje uznanie całego modelu za tochatyczny. Modelowanie przewozów paażerkich zaadniczo opiera ię na zatoowaniu czteroetapowego podejścia, kładającego ię z natępujących etapów: generowanie podróży, dytrybucja potoków, podział międzygałęziowy oraz rozłożenie potoków na ieć tranportową [5]. Na różnych etapach budowy modelu czteroetapowego bierze ię pod uwagę inne czynniki opiane przez zmienne, które uważa ię za itotne z punktu widzenia celu modelowania (znaczenie pozczególnych zmiennych i ich oddziaływanie na końcowe wyniki można badać metodami tatytycznymi). Mogą to być czynniki demograficzne, ekonomiczne, połeczne jak również polityczne [5]. Pozczególnymi etapami modelu zatem ą: etap generowania podróży, etap dytrybucji podróży, etap podziału modalnego (międzygałęziowego), etap wyboru drogi w ieci tranportowej [3]. Etap pierwzy etap generowania podróży, ma na celu utworzenie matematycznego opiu uzależniającego liczbę podróży rozpoczynających ię lub kończących ię w danym obzarze (rejonie tranportowym) od wybranych czynników (zmiennych) opiujących ten obzar. Czynniki te różnicuje ię w zależności od typu

3 Czynnik niezawodności w modelowaniu podróży i prognozowaniu ruchu 55 rozważanych podróży, wśród których można wyróżnić podróże z / do pracy lub miejca nauki, podróże związane z zakupami, podróże związane z rekreacją lub prawami oobitymi. Jako czynniki związane z generowaniem podróży można wkazać gętość zaludnienia, trukturę gopodartw domowych, przychód, wartość terenu, użytkowanie amochodów. Jednym z najprotzych poobów na powiązanie czynników z liczbą generowanych lub aborbowanych (pochłanianych) podróży jet wkaźnikowy model wzrotu, gdzie wkaźniki ą określane na zaadzie liniowej zależności z rozważanymi czynnikami. Nieco bardziej wyrafinowanym poobem jet badanie regreji liniowej funkcji wielu zmiennych i badanie wpółczynnika dopaowania R 2 opiującego zgodność modelu z danymi rzeczywitymi. W takim przypadku liczbę podróży oblicza ię za pomocą dobranej funkcji na podtawie wartości pozczególnych zmiennych [9]. Etap drugi dytrybucja podróży, ma na celu powiązanie potoków generowanych i pochłanianych, w wyniku czego uzykuje ię macierz źródło cel podróży. Na tym etapie utala ię, ile podróży mających początek w danym rejonie tranportowym ma wój cel w pozotałych rejonach tranportowych. Służy do tego model grawitacyjny. Jako czynnik odpowiadający odległości z klaycznego modelu newtonowkiego, bierze ię pod uwagę całkowity uogólniony kozt podróży. Kozt ten kłada ię z kilku kładowych z parametrami dobranymi podcza kalibracji modelu: czau jazdy w pojeździe, czau dotarcia na przytanek i z przytanku, czau oczekiwania na pojazd, koztu przejazdu, koztów związanych z jakością podróży (np. komfortem). Maie i tałej G z modelu newtonowkiego odpowiadają dobrane wielkości, takie jak liczba miezkańców oraz inne charakteryzujące rejon tranportowy wraz ze wpółczynnikami. Rozwiązanie modelu grawitacyjnego wyznacza trukturę podróży źródło cel. Oddzielnym problemem jet wyznaczanie zmian liczby podróży w pozczególnych relacjach przewozowych (pomiędzy pozczególnymi rejonami tranportowymi) dla kolejnych analizowanych okreów (horyzontów prognozy). Stouje ię tutaj trzy metody: metodę jednego wpółczynnika wzrotu (zakładającą tały wpółczynnik wzrotu dla wzytkich elementów macierzy), metodę z jednym ograniczeniem (zachowującą dokładne wartości wpółczynników dla wielkości generowanych albo pochłanianych podróży) i metodę z dwoma ograniczeniami (zachowującą wartości wpółczynników wzrotu zarówno dla wielkości generowanych i pochłanianych podróży) [9, tłumaczenie autora]. Etap trzeci podziału międzygałęziowego określa udziały pozczególnych środków tranportu w całkowitej wielkości przewozów w pozczególnych relacjach przewozowych. Jednym z najczęściej toowanych modeli jet wielomianowy model logitowy, którego prote przykłady zatoowania przedtawiono w [5, 10]. Wymaga on zdefiniowania czynników wpływających na wybór środka tranportu. Najczęściej jet to cza i kozt podróży uzupełnione zmiennymi związanymi z dotępnością danego środka tranportu lub jakością przewozów.

4 56 Klemba S. Zmienne te kładają ię na funkcję użyteczności danego środka tranportu, za pomocą której określa ię prawdopodobieńtwa wyboru pozczególnych środków tranportu. Model logitowy opiano w dalzej części artykułu, przy okazji rozważań na temat implementacji czynnika niezawodności. Etap czwarty modelowania, czyli etap rozkładu potoków paażerkich na ieć tranportową, wymaga określenia kryteriów, według których przydzielana jet ścieżka (droga w ieci tranportowej) dla danej podróży. Itnieje wiele metod wykonywania rozkładów potoków na ieć tranportową, w tym przeznaczonych zwłazcza dla tranportu indywidualnego, jak i publicznego. Wśród nich można wymienić metodę rozłożenia równowagi [4, 9], metodę przyrotów [9], metodę kolejnych średnich [9], metodę wzytko albo nic [9]. Metody te nie ą przedmiotem niniejzego artykułu, dlatego zotały jedynie wpomniane. Po charakteryzowaniu tandardowego podejścia do modelowania przewozów, dalzym przedmiotem rozważań jet odpowiedź na pytanie, w jaki poób uwzględniać w modelu czynnik niezawodności. 3. Miejce czynnika niezawodności w modelach przewozów Odpowiedź na pytanie, na którym etapie modelowania czteroetapowego należałoby uwzględniać zagadnienie niezawodności, może ułatwić potawienie dodatkowego pytania: na którym etapie podróży, od chwili pojawienia ię potrzeby przemiezczenia do oiągnięcia jej celu, niezawodność techniczna ma duże znaczenie. Jednoznacznie można twierdzić, że ma ona znaczenie na etapie amego przewozu, kiedy wykorzytywane ą środki techniczne. Zatem niezawodność przewozu odbycia podróży zależy przede wzytkim od środka tranportu, który wykorzytuje ię do przemiezczenia. Wynika tąd, że czynnik niezawodności należy uwzględniać na etapie podziału międzygałęziowego. Ważną kwetią jet to, którą z charakterytyk niezawodności zaimplementować w takim modelu. Mogą to być zarówno charakterytyki funkcyjne (funkcja niezawodności, funkcja intenywności uzkodzeń, funkcja wiodąca), jak i charakterytyki liczbowe (oczekiwany cza zdatności, wpółczynnik gotowości) [1]. Model podziału międzygałęziowego określa prawdopodobieńtwo wyboru danego środka tranportu podcza podróży w określonej relacji przewozu. Prawdopodobieńtwo to jet zazwyczaj wyrażane z zatoowaniem tzw. modelu logitowego [5, 8, 10]. Zatem prawdopodobieńtwo p(, i j ) wyboru środka tranportu podcza podróży w relacji (i,j) można wyrazić wzorem: p(, i j ) V( i, j) e =, V ( i, j) e

5 Czynnik niezawodności w modelowaniu podróży i prognozowaniu ruchu 57 gdzie: (i, j) relacja przewozu, środek tranportu, e liczba Eulera, V(, i j ) funkcja użyteczności -tego środka tranportu podcza podróży w relacji (i,j). Funkcja użyteczności V(, i j ) może mieć potać [6]: V(, i j) = γ ( GC(, i j) ), gdzie: γ parametr kalibracji, kozt uogólniony (ang. generalized cot) podróży. GC(, i j ) Uogólniony kozt podróży może kładać ię z wielu kładników, wśród których podtawowymi ą: cza podróży pomnożony przez wartość tego czau oraz kozt podróży. Zatem kozt ten można wyrazić jako: GC(, i j) = C(, i j) + Wo τ wh(, i j) τ hij (, ), gdzie: C(, i j ) kozt przejazdu -tym środkiem tranportu, W oτ wartość czau (ang. value of time), τ hij (, ) cza trwania h-tego elementu podróży z wykorzytaniem -tego środka tranportu w relacji przewozu (i,j), w hij (, ) waga czau trwania h-tego elementu podróży z wykorzytaniem -tego środka tranportu w relacji przewozu (i,j). Jednym z elementów podróży jet średni cza oczekiwania na połączenie. Zakładając jednotajny (równomierny) rozkład zgłozenia ię podróżnych na przytanku, można przyjąć średni cza oczekiwania jako połowę czętotliwości kurowania, wtedy τ hij (, ) oznacza średni odtęp czaowy pomiędzy pozczególnymi kurami umożliwiającymi podróż w relacji (i,j), a wielkość w hij (, ) przyjmuje wartość 0,5. Warto zauważyć, że w przypadku równodotępowego (cyklicznego) rozkładu jazdy τ hij (, ) jet równy połowie cyklu takiego rozkładu. Proponowaną charakterytyką, którą można uwzględniać w modelach podziału międzygałęziowego jet wpółczynnik gotowości technicznej obiektu, konkretniej danego środka tranportu (autobuu, tramwaju, pociągu, amochodu oobowego). Od gotowości technicznej zależy między innymi to, czy dany kur środka tranportu publicznego jet realizowany. Brak realizacji danego kuru wpływa na całkowity cza podróży (konieczność dodatkowego oczekiwania na h

6 58 Klemba S. alternatywne połączenie). Gotowością techniczną obiektu technicznego nazywa ię prawdopodobieńtwo znajdowania ię obiektu w tanie zdatności [1]. Innymi łowy jet to prawdopodobieńtwo, że obiekt jet w danej chwili gotowy do pełnienia wych funkcji [7]. Gotowość techniczna może być wyrażana przez aymptotyczny wpółczynnik gotowości technicznej [7]: ET K = lim K( t) = t ET + EΘ, gdzie: K aymptotyczny wpółczynnik gotowości, K(t) funkcja gotowości technicznej obiektu, ET oczekiwany cza zdatności obiektu, EΘ oczekiwany cza odnowy obiektu. Wpółczynnik gotowości technicznej K teoretycznie może przyjmować wartości od 0 (teoretyczny przypadek obiektu całkowicie zawodnego) do 1 (w przypadku teoretycznym, obiektów całkowicie niezawodnych). Wartość oczekiwana zmiennej loowej T, określającej cza zdatności oraz wartości oczekiwania zmiennej loowej Θ czau odnowy obiektu, zależą od przyjętej truktury niezawodnościowej obiektu (środka tranportu) oraz rozkładów prawdopodobieńtwa, którymi ą opiywane. Charakterytykę niezawodnościową środka tranportu można także wyznaczyć doświadczalnie na podtawie danych o czaach pracy reprezentatywnej próby pojazdów danego typu do momentu kolejnych uzkodzeń. W kolejnym kroku należy powiązać opi niezawodności środka tranportu z modelem podziału zadań przewozowych. Ponieważ niezawodność pojazdu wpływa na fakt realizacji kuru (przewozu), to można ją uwzględnić w funkcji określającej uogólniony kozt podróży jako czynnik zwiękzający jeden z elementów kładowych podróży jaką jet cza oczekiwania na pojazd. Przy n elementach podróży, kozt uogólniony podróży zdefiniowany w modelu podziału zadań przewozowych miałby potać (k-ty element czay podróży określa cza oczekiwania na połączenie): 05, GC(, i j) = C(, i j) + Wot w1 (, i j) τ1 (, i j) τ k(, i j) w nij (, ) τ nij (, ), K gdzie: 0,5 waga czętotliwości kurowania określająca średni cza oczekiwania na pojazd, K aymptotyczny wpółczynnik gotowości dla -tego środka tranportu, pozotałe oznaczenia bez zmian.

7 Czynnik niezawodności w modelowaniu podróży i prognozowaniu ruchu 59 Z przytoczonych rozważań wynika, że przy ronącej niezawodności (rozumianej tutaj jako wzrot wpółczynnika gotowości technicznej) wartość wagi przy czaie określającym czętotliwość kurowania maleje. A zatem zmniejzeniu ulega wartość uogólnionego koztu podróży, co zwiękza pozytywną ocenę przez podróżnych danego pojazdu (środka tranportu): w efekcie zwiękza także prawdopodobieńtwo jego wyboru. Przykład W celu zobrazowania możliwości wykorzytania przedtawionego podejścia, wykonano wykrey funkcji podziału międzygałęziowego dla przykładowej relacji przewozu, w której paażer ma do wyboru dwa środki tranportu: pociąg lub amochód oobowy. W celu uprozczenia przyjęto kozt uogólniony w potaci: GC 05, (, i j) = Wot τ k(, i j), gdzie Wot =1. K Przyjęto takie wartości czaów podróży, aby na wykreie uzykać wzytkie teoretycznie możliwe ytuacje: od zerowego udziału tranportu kolejowego w przewozach do całkowitego wyeliminowania wyboru tranportu amochodowego. Funkcję prawdopodobieńtwa wyboru danego środka tranportu określono dla trzech przykładowych wpółczynników gotowości technicznej K kolej : 1,0, 0,9 oraz 0,8 (ry. 1). Dla amochodu oobowego przyjęto gotowość techniczną równą K amochód = 1. Udział kolei w przewozach - p kolej 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 A 0,4 B 0,3 0,2 C 0,1 0,0 Stounek: Kozt podróży koleją do koztu podróży amochodem p kolej (K=1) p kolej (K=0,9) p kolej (K=0,8) Ry. 1. Funkcja prawdopodobieńtwa wyboru tranportu kolejowego [źródło: opracowanie włane] Przyjęcie gotowości technicznej K kolej = 1 wynika z faktu, że w praktyce odwołanie pociągu wytępuje bardzo rzadko, a ewentualne problemy techniczne ta-

8 60 Klemba S. boru lub infratruktury kutkują opóźnieniami. W przypadku amochodu oobowego, kierowca (właściciel) również uznają, że K amochód = 1. Ewentualna niezdolność pojazdu do jazdy jet znana wcześniej. Nowoczene kontrukcje pojazdów amochodowych charakteryzują ię bardzo wyokim poziomem niezawodności. Na ryunku 1 widać, że funkcja prawdopodobieńtwa wyboru tranportu kolejowego wykreślona dla K kolej = 1 (przy K amochód = 1) przy równym kozcie przejazdu tranportem kolejowym i amochodowym (tounek koztów równy 1, zaznaczony na ryunku przerywaną linią) przyjmuje wartość 0,5 punkt A na wykreie. W przypadku mniejzej niezawodności tranportu kolejowego, dla równego tounku koztów przejazdu obydwoma środkami tranportu, prawdopodobieńtwo wyboru tranportu kolejowego pada i wynoi około 0,38 (dla K kolej = 0,9, punkt B na wykreie) lub 0,23 (K kolej = 0,8 punkt C na wykreie). W tablicy 1 przedtawiono dane wejściowe do porządzenia wykreu i wyniki obliczeń. Tablica 1 Dane wejściowe i wyniki obliczeń dla przykładu fikcyjnego t kolej t amochód p kolej (K = 1) p kolej (K = 0,9) p kolej (K=0,8) 7,8 1,3 0,002 0,001 0,000 7,6 1,5 0,002 0,001 0,000 7,4 1,7 0,003 0,001 0,001 7,2 1,9 0,005 0,002 0, ,1 0,007 0,003 0,001 6,8 2,3 0,011 0,005 0,002 6,6 2,5 0,016 0,008 0,003 6,4 2,7 0,024 0,012 0,005 6,2 2,9 0,036 0,018 0, ,1 0,052 0,027 0,012 5,8 3,3 0,076 0,041 0,019 5,6 3,5 0,109 0,062 0,029 5,4 3,7 0,154 0,091 0,045 5,2 3,9 0,214 0,133 0, ,1 0,289 0,189 0,104 4,8 4,3 0,378 0,262 0,154 4,6 4,5 0,475 0,352 0,223 4,4 4,7 0,574 0,453 0,310 4,2 4,9 0,668 0,558 0, ,1 0,750 0,658 0,525 3,8 5,3 0,818 0,746 0,634 3,6 5,5 0,870 0,818 0,731 3,4 5,7 0,909 0,872 0,810

9 Czynnik niezawodności w modelowaniu podróży i prognozowaniu ruchu 61 t kolej t amochód p kolej (K = 1) p kolej (K = 0,9) p kolej (K=0,8) 3,2 5,9 0,937 0,912 0, ,1 0,957 0,941 0,913 2,8 6,3 0,971 0,960 0,943 2,6 6,5 0,980 0,974 0,963 2,4 6,7 0,987 0,983 0,976 2,2 6,9 0,991 0,989 0, ,1 0,994 0,992 0,990 1,8 7,3 0,996 0,995 0,994 1,6 7,5 0,997 0,997 0,996 1,4 7,7 0,998 0,998 0,997 1,2 7,9 0,999 0,999 0, ,1 0,999 0,999 0,999 0,8 8,3 0,999 0,999 0,999 0,6 8,5 1,000 1,000 1,000 0,4 8,7 1,000 1,000 1,000 [Źródło: opracowanie włane] Z przykładu wynika, że w modelu podziału międzygałęziowego można uwzględnić wpływ czynnika niezawodności technicznej. Model uwzględniający ten czynnik mui być w odpowiedni poób kalibrowany. 4. Podumowanie W artykule przedtawiono przykład pokazujący możliwość uwzględniania zagadnień związanych z teorią niezawodności w modelowaniu przewozów paażerkich na trzecim etapie modelu czteroetapowego. Nie jet to jedyna możliwość. Wynika to z faktu, że czynnik niezawodności można uwzględniać również na innych etapach modelu, na przykład na etapie generowania podróży, w którym to modelu, zwykle grawitacyjnym, można uwzględniać zwiękzenie odległości podróży wkutek malejącej niezawodności. W modelu podziału zadań przewozowych można uwzględniać nie tylko kwetię gotowości technicznej pojazdów, ale także gotowości technicznej infratruktury. W przypadku infratruktury kolejowej można uwzględnić na przykład jej potępujące zużycie techniczne przez zatoowanie jako charakterytyki niezawodnościowej tzw. funkcji wiodącej. Ponadto niezawodność nie mui wiązać ię jedynie z obiektami technicznymi, lecz może dotyczyć również człowieka, od którego w dużej mierze zależy realizacja przewozu. Można próbować uwzględniać i ten czynnik w trukturze niezawodnościowej ytemu, wykorzytywanej do określania jego charakterytyk niezawodności.

10 62 Klemba S. Czynnik niezawodności można uwzględniać w rozważanych modelach jako dodatkową zmienną lub zagnieżdżać go przy jednej z podtawowych zmiennych (np. przy zmiennej czau trwania podróży, jak w przedtawionym przykładzie). Pierwze podejście wymaga odpowiedniej, trudniejzej, kalibracji parametrów modelu (dodatkowa zmienna). Drugi poób, bez wprowadzania dodatkowej zmiennej, może poprawić zgodność uzykiwanych wyników teoretycznych z pomiarami rzeczywitymi bez konieczności kalibracji modelu z więkzą liczbą zmiennych. Wprowadzanie czynnika niezawodności ma en zczególnie wtedy, kiedy daną relację przewozu obługują środki tranportu o różnej niezawodności, wyrażającej ię zróżnicowanymi wpółczynnikami gotowości technicznej. Pozwala to na odzwierciedlenie oddziaływania tego czynnika na wybór dokonywany przez paażerów. W przeciwnym razie, przy podobnych niezawodnościach, może niepotrzebnie komplikować budowany model przewozów, powodując więkze nakłady pracy, bez lepzych jej efektów. Literatura 1. Bobrowki D.: Modele i metody matematyczne teorii niezawodności, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warzawa, Gutenbaum J.: Modelowanie matematyczne ytemów, PWN, Warzawa Łódź, Henher D.A. Button K.J.: Handbook of tranport modelling, Second Edition, Amterdam; London; Elevier, Jacyna M.: Wybrane zagadnienia modelowania ytemów tranportowych, OWPW, Warzawa, Klemba S.: Wybrane zagadnienia prognozowania potoków paażerkich, Problemy Kolejnictwa, zezyt nr 152, , Warzawa López-Pita A. i inni: Threat and opportunitie for high peed rail tranport in competition with the low-cot air operator, The 9th International Conference on Competition and Ownerhip in Land Paenger Tranport, Libona, 2005 [dotęp dn ], dotępny na 7. Migdalki J. i inni: Poradnik niezawodności Podtawy matematyczne, Wydawnictwa Przemyłu Mazynowego WEMA, Warzawa, Mynarki S.: Elementy teorii ytemów i cybernetyki, PWN, Warzawa, Ortúzar J. D., Willumen L.G.: Modelling Tranport, 4 th Edition, Żurkowki A.: Modelowanie przewozów aglomeracyjnych, Problemy Kolejnictwa, Zezyt 148,. 5 48, Warzawa, 2009.