WIELOKRYTERIALNY MODEL WIELKOŚCI ZAMÓWIENIA W KOPALNI WĘGLA KAMIENNEGO 1

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE z. XX XXXX Nr kol. XXXX Katarzyna JAKOWSKA-SUWALSKA, Adam SOJDA, Maciej WOLNY Politechnika Śląka Wydział Organizacji i Zarządzania Intytut Ekonomii i Informatyki WIELOKRYTERIALNY MODEL WIELKOŚCI ZAMÓWIENIA W KOPALNI WĘGLA KAMIENNEGO Strezczenie. W pracy przedtawiono wielokryterialny model wielkości zamówienia przy założeniu, że wielkość zużycia materiału jet zmienną loową o znanym rozkładzie prawdopodobieńtwa. W modelu przyjęto dwa kryteria, minimalizacji wielkości zamówienia oraz minimalizacji prawdopodobieńtwa braku materiału w proceie produkcyjnym. Rozważono dwa pooby kalaryzacji i pokazano na przykładzie zatoowanie zbudowanych modeli dla wyznaczenie wielkości zamówienia kleju poliuretanowego zużywanego do uzczelniania wyrobik w kopalni. MULTI CRITERIA MODEL O LARGENESS O MATERIAL ORDERS IN CARBON MINE Summary. The paper preent multi-criteria model of largene of order providing that need i random variable with continuou probability ditribution. In model two criteria are aumed, minimization of largene of order and in minimization of probability of lack of material in productive proce. Two calarization method and hown in eample employment of model for aignment of largene of order of polyurethane adheive in carbon mine are conidered. Praca powtała w ramach realizacji projektu badawczego nr N N Wielokryterialne wpomaganie planowania i kontrolowania potrzeb materiałowych w przediębiortwie górniczym finanowanego przez Minitertwo Nauki i Szkolnictwa Wyżzego.

2 K. Jakowka-Suwalka, A. Sojda, M. Wolny. Wprowadzenie W teorii terowania zapaami wytępuje wiele modeli, które pozwalają utalić politykę utalania zapaów i wyznaczania wielkości zamówienia. W więkzości modeli jako kryterium oceny rozwiązań używa ię funkcji koztów (zamawiania i utrzymania zapaów) [0],[7]. W pracach ([], [3]) przedtawiono wielokryterialne modele na podtawie, których można wyznaczyć wielkości: zamówienia, terminu zamówienia, wielkości zapaów magazynowych, gdzie jako funkcji kalaryzujacej użyto funkcji koztów związanych z wielkością zamówienia, zapaów magazynowych oraz braku materiału do produkcji. W kopalniach węgla kamiennego wchodzących w kład Kompanii Węglowej S.A. wielkość zamówienia podlegającego utawie o zamówieniach publicznych planuje ię około roku wcześniej. Związane jet to z czaem utalenia planów zakupów dla wzytkich kopalni oraz z czaem potępowania przetargowego. Zatem wielkość zamówienia materiału dla kopalni należy wyznaczyć jednorazowo na podtawie planów kopalni na natępny rok. Do rozwiązania tego problemu zaproponowano wielokryterialny model wielkości zamówienia dla materiałów, których zużycie a więc także zapotrzebowanie jet zmienną loową o znanym rozkładzie prawdopodobieńtwa.. Kontrukcja wielokryterialnego modelu wielkości zamówienia Niech X będzie zmienną loową oznaczającą wielkość zużycia materiału o znanej dytrybuancie, natomiat to wielkość zamówienia. Zgodnie z teorią zapaów należy zamówić taką ilość materiału, aby z jak najwiękzym prawdopodobieńtwem pokryła popyt na ten materiał. Wiadomo, że zamrożony w magazynie materiał zwiękza kozty przediębiortwa. Należy więc zamawiać taką ilość materiału aby prawdopodobieńtwo pokrycia popytu było jak najwiękze, natomiat kozty zakupu jak najmniejze. Ponieważ kozty zakupu zależą od wielkości zakupu tąd należy minimalizować wielkość zakupu. Jako funkcje kryteria przyjęto więc: minimalizację wielkości zamówienia, minimalizację prawdopodobieńtwa braku materiału do wykonania robót. Jak widać kryteria te ą przeczne.

3 Wielokryterialny model wielkości zamówienia 3 Model ten można zapiać w potaci: min ( ma 0 Przyjmijmy oznaczenie f celu ( = ( (; -. W celu wyznaczenia rozwiązań efektywnych wielokryterialnego problemu najczęściej wprowadza ię kalaryzację zagadnienia ([], [4], [5], [6]. W przypadku rozważanego modelu będzie ona miała potać: ma( ( u, fcelu ( ) : Q) u U gdzie u to wektor parametrów terujących, : U Y Rto funkcja kalaryzująca, Q to zbiór ograniczeń. W pracy przyjęto dwa pooby kalaryzacji: ( f celu ( ) ( oraz celu ( u, f ( ) u (, u, 0, u Rozważane więc będą dwa odrębne modele: min ( Q () u( u ma, u Q, u, 0, u () gdzie u to zunitaryzowane [6] wartości. Za pomocą obu modeli znajdowany jet punkt równowagi pomiędzy wielkością zamówienia oraz prawdopodobieńtwem ( = P(X, że wielkość zamówienie będzie w jak najwiękzym topniu pokrywała popyt na zamawiany materiał. W modelu drugim dodatkowo decydent może utalić takie wartości parametrów terujących, aby znalezione rozwiązanie było atyfakcjonujące to znaczy aby wartość nie przekraczała pewnej zadanej przez niego wartości a prawdopodobieńtwo ( było odpowiednio duże. W zależności od potaci rozkładu zmiennej X modele () i () będą miały różną potać zbioru ograniczeń Q... Modele wielkości zamówienia dla wielkości zużycia o rozkładzie normalnym Niech wielkość zużycia materiału będzie zmienną loową o rozkładzie normalnym z parametrami:

4 4 K. Jakowka-Suwalka, A. Sojda, M. Wolny wartością oczekiwaną m odchyleniem tandardowym, oraz dytrybuantą i funkcją gętości f. Stwierdzono, że przy zadanej wielkości m potać funkcji celu wielkości odchylenia. zagadnienia () zależy od Na ryunkach i. pokazano przy zadanej wartości przykładowe kztałty funkcji celu zagadnienia () dla różnych wartości odchylenia Ry.. Kztałt funkcji dla parametrów m = 5, = ig.. orm of function for parameter m = 5, =

5 Wielokryterialny model wielkości zamówienia 5 Ry.. Kztałt funkcji 5,(,( ) dla parametrów m = 5, = 0. ig.. orm of function for parameter m = 5, = 0. 5 Z potaci funkcji celu ( wynika, że przy ograniczeniu 0 przyjmuje ona wartość minimalną w punkcie = 0. Aby otrzymać rozwiązanie optymalne 0 należy w zagadnieniu () jako zbiór rozwiązań dopuzczalnych przyjąć Q = { R : lower } gdzie lower to najmniejza dopuzczalna wartość. W tym celu decydent może zadać wartość p lower minimalnego prawdopodobieńtwa pokrycia zapotrzebowania. Zagadnienie () przyjmie wtedy potać: Potać funkcji min ( ( p lower, 0 (.) zależy od wielkości odchylenia tandardowego. Jak widać ( ) w przypadku gdy funkcja celu jet tale niemalejąca (ma potać jak na ryunku.) to rozwiązaniem optymalnym zagadnienia (.) jet wartość dla, której ( p lower. Wynika tąd, że w powyżzym przypadku nie ma potrzeby toowania modelu () do znalezienia wielkości zamówienia.

6 6 K. Jakowka-Suwalka, A. Sojda, M. Wolny... Analiza właności funkcji ( Lemat. Niech zmienna Z ma tandardowy rozkład normalny N(0;) z dytrybuantą oraz funkcją gętości f. unkcja g ( jet funkcją ronącą dla 0. ( ' Dowód. Wykażemy, że g ( 0a więc, że G( ( f ( 0. ' Mamy G ( e 0 dla > 0. Ponieważ G( 0) (0) 0, 5oraz G jet funkcją ronącą dla > 0 zatem funkcja g ( jet ronąca dla 0 unkcja ( Z nierówności G( ( f ( 0 dla 0wynika, że. f ( ( przyjmuje więc wartość minimalną w punkcie = 0. f ( (0) 0,5 Oznaczmy SK, f (0) Twierdzenie. Niech zmienna X ma rozkład normalny N( m; ) z dytrybuantą m ( ) oraz funkcją gętości f m ( ). Jeśli, ronącą dla 0., Dowód. Niech 0. unkcja ( f ( 0. Ze związków : f ( f m SK funkcja g ( jet funkcją ( g ( jet ronąca gdy ( m ( ), m ( ( ) m m Wynika, że ( f ( ( ) f ( ). Podtawiając Ponieważ m ( z) m z otrzymujemy ( ), ( ) ( )., ( ) m f m f z z f z m pełniona jet nierówność m, ( f ( 0 co dowodzi, że funkcja SK g m ( ) jet ronąca,

7 Wielokryterialny model wielkości zamówienia 7... Analiza właności funkcji u ( u Aby prowadzić wartości do potaci porównywalnej z m ( ) w modelu () należy zatoować unitaryzację. Wykorzytana zotanie do tego reguła [6] min u, 0. (3) ma min, Ponieważ w modelu założono, że 0, można przyjąć, że min = 0. Korzytając z reguły 3 przyjęto ma = m + 3. Stąd u, 0. m 3 Kztałt funkcji celu modelu () zależy od wielkości parametrów terujących u,. Na ryunkach 3,4 i 5. pokazano przykładowe kztałty funkcji celu zagadnienia () dla parametrów rozkładu m = 5, = 5 przy różnych wartościach parametrów terujących u,u. Ry.3. Kztałt funkcji u 5,5( u dla parametrów u 0,, 0, 8 ig.3. orm of function ( u with parameter u,, u 0, 8 u 5,5 ) u 0

8 8 K. Jakowka-Suwalka, A. Sojda, M. Wolny Ry.4. Kztałt funkcji u 5,5( u dla parametrów u 0,5, 0, 5 ig.4. orm of function ( u with parameter u,5, u 0, 5 u 5,5 ) u 0 Ry.5. Kztałt funkcji u 5,5( u dla parametrów u 0,99, 0, 0 ig.5. orm of function ( u with parameter u,99, u 0, 0 u 5,5 ) u 0 Ponieważ funkcja u ( u może mieć różny kztałt, aby zawze można było znaleźć rozwiązanie optymalne należy określić potać zbioru Q rozwiązań dopuzczalnych. Można w tym celu przyjąć wartości: - p lower minimalnego prawdopodobieńtwa pokrycia zapotrzebowania, - p upper makymalnego prawdopodobieńtwa pokrycia zapotrzebowania. Zagadnienie () przyjmie potać u m, ( u ma, pupper ( plower, u, 0, u (.) Przyjmijmy oznaczenia:

9 Wielokryterialny model wielkości zamówienia 9 U, m 3 P = { 0 : p, ( p } upper model (.) przyjmie potać u m, ( U ma, P, (.) m lower Jeśli funkcja celu jet ronąca to jej wartość makymalna jet przyjmowana w punkcie = upper, dla którego ( pupper, W przypadku gdy funkcja celu jet malejąca to jej wartość makymalna jet przyjmowana w punkcie lower, dla którego ( p. lower unkcja celu h( = u ( U jet ronąca w zbiorze P jeśli h ( = u f m, ( U > 0. u m Stąd f ( ) U 0. Zatem funkcja celu jet ronąca gdy f m U m U ( ) P, natomiat malejąca gdy f ( ) P. u u Mamy: Przyjmijmy oznaczenia: R lower R lower min( f ma( f ( m ), f lower ( m ), f lower ( m )), upper ( m ), f U. Jeżeli R lower to funkcja celu h( jet ronąca w całym obzarze P u upper (0)). i rozwiązaniem optymalnym zagadnienia (.) jet punkt m ( ),, upper U. Jeżeli R lower to funkcja celu h( jet malejąca w całym obzarze P u i rozwiązaniem optymalnym zagadnienia (.) jet punkt m ( )., lower Z powyżzych rozważań wynika, że rozwiązanie optymalne zagadnienia (.) zależy od wielkości parametru terującego u oraz wartości p lower p upper zadawanych przez decydenta. Przy rozwiązywaniu problemu wielkości zamówienia za pomocą modelu (.) należy polecić metodę interaktywną. Spoób znalezienia rozwiązania przedtawiono na poniżzym chemacie.

10 0 K. Jakowka-Suwalka, A. Sojda, M. Wolny Moduł decydenta Podać wartości p lower, p upper NIE ( Czy warunek ) ( lower upper jet akceptowany przez decydenta ), TAK Moduł decydenta Podać wartość u Podać decydentowi rozwiązanie optymalne zagadnienia (.) Czy rozwiązanie jet akceptowane przez decydenta NIE TAK Koniec Koniec Ry.6. Schemat interaktywnej metody modelowania preferencji decydenta. ig.6. Scheme of method of appointment of preference of interactive deciion-maker... Modele wielkości zamówienia dla rozkładu wykładniczego Niech wielkość zużycia materiału jet zmienną loową o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną m. Dytrybuanta rozkładu ma potać m ( e.

11 Wielokryterialny model wielkości zamówienia Zatem funkcja celu zagadnienia () jet funkcją ronącą i minimum przyjmuje w punkcie = 0. Stąd wynika, że toowanie jej do rozwiązywania problemu optymalnej wielkości zamówienia jet bezzaadne. Na ry. 7. pokazano kztałt funkcji celu zagadnienia () Ry.7. Kztałt funkcji u ( u ig.7. orm of function ( u u ) Zagadnienie () w przypadku rozkładu wykładniczego będzie mieć potać u u u ma, 0, u, u 0, u u. (.3) (.3. Modele wielkości zamówienia dla rozkładu jednotajnego w przedziale [a, b] W przypadku rozkładu jednotajnego w przedziale [a,b] funkcja celu modelu () ma ( b a) potać, a a minimalną równą b przyjmuje w punkcie = b. i jet funkcją nieronącą na całym przedziale [a, b], a więc wartość unkcja celu modelu () jet funkcją liniową ronącą. Zatem w powyżzym przypadku żaden z modeli () i () nie nadaje ię do wyznaczania optymalnej wielkości zamówienia. a b Jako wielkość zamówienia można przyjąć wartość oczekiwaną m, która pokrywa wielkość zapotrzebowania z prawdopodobieńtwem. Można także wyznaczyć wartość gdy decydent uważa, że prawdopodobieńtwo pokrycia zapotrzebowania powinno wynoić p. Wielkość zamówienia wynoić wtedy będzie = p (ba)+a.

12 K. Jakowka-Suwalka, A. Sojda, M. Wolny 3. Przykład zatoowania wielokryterialnego modelu dla utalenia wielkości zamówienia kleju poliuretanowego Modele () oraz () zatoowane zotaną do utalenia wielkości zamówienia dla kleju poliuretanowego w jednej z kopalń Kompanii Węglowej SA. Klej poliuretanowy w formie nabojów lub dwukładnikowej jet używany do uzczelniania ścian w trakcie robót przygotowawczych[7]. Zużycie jego zależy od warunków geologicznych w kopalni i wzwiązku z tym wykazuje dużą zmienność. Wykre wielkości mieięcznego zużycia kleju w kilogramach na metr robót w latach 008, 009, 00 przedtawiono na ry. 8. Ry. 8. Zużycie kleju w kolejnych mieiącach ig. 8. In coneecutive month glue epandable W dalzej części pracy przyjęto, że wielkość zamówienia jet równa wielkości zapotrzebowania na klej. Na podtawie wielkości zużycia kleju (w kilogramach na metr robót) w otatnich trzech latach twierdzono (na poziomie itotności α = 0,05), że jet ona zmienną loową o rozkładzie normalnym N(5,6;,98). Do wyznaczenia wielkości zamówienia zatoowano model (). Niech wartość p lower = 0,5. Kztałt funkcji celu zagadnienia () przedtawiono na ry. 9.

13 Wielokryterialny model wielkości zamówienia 3 Ry.9. Kztałt funkcji ig.9. orm of function 5,6;,98( ) 5,6;,98( Rozwiązaniem optymalnym zagadnienia () jet = 36,8. Prawdopodobieńtwo pokrycia zapotrzebowania przy takim zamówieniu jet równe 0,8. W przypadku zatoowania funkcji () dla p lower = 0,5, p upper = 0,95, u = u = 0,5 rozwiązaniem optymalnym jet = 39,8 a prawdopodobieńtwo pokrycia zapotrzebowania jet równe 0,84. Kztałt funkcji celu przedtawiono na ry. 0. Ry.0. Kztałt funkcji u 5,6;,98( u dla parametrów u 0, 5. ig.6. orm of function u 5,6;,98( u with parameter u 0, 5. Dla wartości u = 0,4, u = 0,6 rozwiązaniem jet = 33,99, natomiat prawdopodobieńtwo pokrycia zapotrzebowania wynoi wtedy 0,76. Znając więc roczny plan wielkości robót przygotowawczych WP metrów można wyznaczyć roczny plan zużycia kleju. Wielkość zamówienia Z na klej poliuretanowy Z = WP kilogramów.

14 4 K. Jakowka-Suwalka, A. Sojda, M. Wolny 4. Podumowanie Na podtawie analizy przykładu można twierdzić, że wielkość rocznego zamówienia zależy od modelu, który zotał wybrany oraz od parametrów terujących. Stąd zaproponowane metody powinny być toowane w potaci interaktywnej, w której decydent określi minimalne i makymalne prawdopodobieńtwa pokrycia zapotrzebowania oraz wielkości parametrów terujących u i u. Propozycja metody interaktywnej zotała przedtawiona na chemacie przedtawionym na ry. 7. BIBLIOGRIA. Ameljańczyk A.: Optymalizacja wielokryterialna w problemach terowania i zarządzania. Oolineu Jakowka-Suwalka K., Wolny M., Sojda A.: Wielokryterialny model terowania zapaami. ZN Politechniki Śląkiej eria Organizacja i Zarządzanie (oddane do druku 00). 3. Jakowka-Suwalka K., Wolny M., Sojda A.: Wielokryterialne terowanie zapaami jako element wpomagania potrzeb materiałowych. Zezyty Naukowe GWSP (oddane do druku 00) 4. Konarzewka-Gubała E.: Programowanie przy wielorakości celów. PWN, Nowak M. (008): Interaktywne wielokryterialne wpomaganie decyzji w warunkach ryzyka. Metody i zatoowania, Akademia Ekonomiczna, Katowice. 6. Kukuła K.: Metoda unitaryzacji zerowej. PWN, Krzyżaniak S., Cyplik P.: Zapay i magazynowanie. Biblioteka logityka, Poznań Ogryczak W.: Wielokryterialna optymalizacja liniowa i dykretna. Wydawnictwa Uniwerytetu Warzawkiego Pruek S., Stałęga S., Stochel D.: Metody i środki przeznaczone do uzczelniania i wzmacniania górotworu oraz obudowy wyrobik, Prace Naukowe Głównego Intytutu Górnictwa nr 863, Sarjuz-Wolki Z.: Sterowanie zapaami w przediębiortwie. Polkie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warzawa, 000. Recenzent: Prof. dr hab. inż. rancizek Marecki

15 Wielokryterialny model wielkości zamówienia 5 Abtract In the paper there i preented multi-criteria model of largene of material order. min ( ma 0 where there i largene of order of material, however, need i random variable with continuou probability ditribution and cumulative ditribution function. It analyze attribute of model: min Q () ( u( u ma, u Q, u, 0, u () behind aitance of two calarization method, where u are value after unitarization. Employment of model () and () how for aignment of largene of need to polyurethane adheive in the mine to Kompania Węglowa S.A.