ZASTOSOWANIE PRZYBLIŻONYCH RÓWNAŃ NIEUSTALONEGO PRZENOSZENIA CIEPŁA DLA CIAŁ O RÓŻNYCH KSZTAŁTACH

Transkrypt

1 MONIKA GWADERA, KRZYSZTOF KUPIEC, TADEUSZ KOMOROWICZ * ZASTOSOWANIE PRZYBLIŻONYCH RÓWNAŃ NIEUSTALONEGO PRZENOSZENIA CIEPŁA DLA CIAŁ O RÓŻNYCH KSZTAŁTACH APPLICATION OF APPROXIMATE EQUATIONS OF TRANSIENT HEAT TRANSFER FOR BODIES OF VARIOUS SHAPES Strezczenie Abtract Zaprezentowano przybliżone równanie kinetyki nieutalonego przenozenia ciepła (lub may), mające potać równania różniczkowego zwyczajnego. Proponowana zależność może być toowana dla ciał o kztałcie płyty, cylindra lub kuli. Równanie przetetowano numerycznie dla przypadku chłodzenia radiacyjnego, otrzymując dobrą zgodność z wynikami modelu ściłego. Słowa kluczowe: przybliżone równanie kinetyczne, nieutalone przenozenie ciepła, chłodzenie radiacyjne An approximate kinetic equation for tranient heat (or ma) tranfer procee ha been preented. It ha the form of an ordinary differential equation o it can be eaily integrated. The propoed relation may be applied to bodie in the hape of a plate, cylinder or phere. The equation ha been teted numerically for the cae of radiative cooling and a good agreement with reult of an exact model ha been obtained. Keyword: approximate kinetic equation, tranient heat tranfer, radiative cooling * Mgr inż. Monika Gwadera, doktorantka, dr hab. inż. Krzyztof Kupiec, prof. PK, dr inż. Tadeuz Komorowicz, Intytut Inżynierii Chemicznej i Proceowej, Wydział Inżynierii Chemicznej i Proceowej, Politechnika Krakowka.

2 76 Oznaczenia A bezwymiarowa temperatura c p ciepło właściwe [J/(kg K)] k wpółczynnik przewodzenia ciepła [W/(m K)] m parametr geometryczny N rc parametr promienito-przewodnościowy wymiar charakterytyczny [m] t cza [] T temperatura [K] T b temperatura uputu [K] x wpółrzędna położenia [m] Symbole greckie α dyfuzyjność cieplna (= k/(c p ρ)) [m /] ε wpółczynnik emiji η bezwymiarowa wpółrzędna położenia ρ gętość [kg/m 3 ] σ tała Stefana-Boltzmanna (= 5,67-8 [W/(mK 4 )]) τ cza bezwymiarowy Indeky powierzchnia ciała i wartość początkowa wartość średnia. Wtęp W modelach nieutalonych proceów przenozenia ciepła i may wytępują równania różniczkowe czątkowe, w których zmienne niezależne to wpółrzędne położenia i cza. Rozwiązywanie tego typu zależności jet czaochłonne. Uprozczenie modelu można uzykać przez wyeliminowanie zmiennej położenia i zatoowanie przybliżonych równań kinetycznych, mających potać równań różniczkowych zwyczajnych. Przybliżone równania kinetyczne ą toowane m.in. w modelowaniu kinetyki adorpcji [ 4]. Określają one zybkość proceu w funkcji jego iły napędowej. Z uwagi na analogię pomiędzy tranportem ciepła i may mogą być również wykorzytane do modelowania proceów związanych z nieutalonym przewodzeniem ciepła [5 8]. Ze względu na warunki, w jakich zachodzą procey przenozenia, można wyróżnić układy, w których zewnętrzne opory przenozenia ą znaczące lub też mogą być pominięte. Zewnętrzne opory przenozenia mogą wynikać z konwekcji bądź promieniowania (pierwzy przypadek dotyczy zarówno proceów cieplnych, jak i dyfuzyjnych). Artykuł ten dotyczy przypadku, gdy zewnętrzne opory przenozenia ą związane z promieniowaniem cieplnym. Rozważono proce chłodzenia radiacyjnego. Taki proce zachodzi w przypadku chłodzenia ciał znajdujących ię w próżni. Warto podkreślić, że był on już analizowany w pracach [5 6]

3 77 Ry.. Kztałty podtawowe wraz z rozkładami temperatury podcza chłodzenia Fig.. Baic hape and temperature profile during cooling dla ciał o kztałcie kulitym. W pracy [7] zaproponowano uogólnione uprozczone równanie kinetyczne łuzne dla ciał o różnych kztałtach: dla płyty niekończonej, cylindra niekończonego oraz dla kuli (ry. ). Celem niniejzego artykułu jet przedtawienie ściłych oraz przybliżonych zależności kinetycznych w uogólnionej potaci, z wykorzytaniem parametru geometrycznego m charakteryzującego pozczególne kztałty ciał. Przybliżone równanie zaproponowane w pracy [7] przetetowano numerycznie, porównując wyniki otrzymane poprzez jego rozwiązanie z wynikami modelu ściłego oraz wynikami otrzymanymi w oparciu o klayczne przybliżone równanie kinetyczne LDF (Linear Driving Force [, 9 ]). Ponadto przedtawiono przykład obliczeniowy ilutrujący poób korzytania z uprozczonych równań.. Model ściły Do dokładnego opiu nieutalonych proceów przenozenia ciepła i may łużą odpowiednio równanie przewodzenia ciepła Fouriera oraz równanie dyfuzji Ficka. Równania te mają dla pozczególnych kztałtów ciał potaci bezwymiarowe przedtawione w trzecim wierzu tabeli [3]. Po wprowadzeniu parametru geometrycznego m, równania można prowadzić do potaci ogólnej: A = m A m τ η η η η przy czym η jet bezwymiarową wpółrzędną położenia: () η= x () natomiat τ jet bezwymiarowym czaem:

4 78 α τ = t (3) Zmienna A to bezwymiarowa temperatura ciała tanowiąca tounek lokalnej ilości przekazanego ciepła do całkowitej ilości ciepła możliwej do przekazania. Na początku proceu wielkość A zawze wynoi. Definiowana jet ona wzorem: A T T i = T T i b (4) Tabela Zależności dla płyty niekończonej, cylindra niekończonego i kuli Wielkość/ Wyrażenie Kztałt ciała Płyta Cylinder Kula m = 3 = połowa grubości promień promień Nr zależności w tekście A τ = A η η η η A η η η η A η () A x = A płyta * πxl 4πx V ciała = A płyta S π L 4 π 3 A x /V ciała = / x/ 3x / 3 (8) 3 T = Tdx xt dx 3 xtdx 3 (9) A = A τ = A = τ LDF Adη ηadη 3 η Adη () A A A 3 (7) η η η η η η 3 A = = ( A) 8 A A = ( ) 5( A A) (8) N rc ( A ) 4 = 3 A A ( ) 4( A A) 5( A A) (3) * A plyta powierzchnia jednej trony płyty, L długość cylindra

5 Wprowadzając do wzoru (4) średnią temperaturę ciała T, można zdefiniować średnią temperaturę bezwymiarową A, charakteryzującą tounek ilości ciepła przekazanego przez ciało od początku proceu do całkowitej ilości ciepła możliwej do przekazania: 79 A T T i = T T Wartość średniej temperatury wynika z natępującego równania bilanu cieplnego: V ρ ciala cp( T Tref )= A ρ x cp( T Tref ) dr gdzie: V ciała objętość ciała, A x powierzchnia protopadła do kierunku przepływu ciepła, T ref dowolna temperatura odnieienia. Po przekztałceniu otrzymuje ię: i b (5) (6) T = V ciala ATdr x Wartości V ciala, A x oraz A x /V ciala dla rozważanych kztałtów ciał przedtawiono w tabeli. Po uogólnieniu otrzymuje ię: m Ax mx = (8) m V kąd wynika uogólniona zależność na temperaturę średnią (tabela ): ciala m T = m Bezwymiarową temperaturę dla różnych kztałtów ciał przedtawiono w wierzu ómym tabeli. Uogólniona zależność ma potać: x m Tdx m A = m η Ad η Analogicznie do zmiennych A i A można zdefiniować bezwymiarową temperaturę powierzchni ciała A : Ti T A = () T T Do ściłego rozwiązania równania () konieczne jet przyjęcie warunków początkowych i brzegowych. Warunek początkowy ma potać: i b (7) (9) () A = dla τ = ()

6 8 Warunek brzegowy dla środka ciała wynika z ymetrii profilu temperatury (ry. ): A η = dla η = (3) Warunek brzegowy dla powierzchni ciała zależy od warunków, w jakich natępuje przenozenie ciepła pomiędzy powierzchnią ciała a otoczeniem i związanych z tym oporów zewnętrznych. Jeśli opory zewnętrzne nie wytępują, to temperatura powierzchni T równa jet temperaturze uputu T b. Zgodnie z wzorem () dla T = T b temperatura powierzchni A przyjmuje wartość i warunek brzegowy dla powierzchni ma potać: A = dla η = (4) Dla radiacyjnych oporów zewnętrznych i zerowej temperatury uputu T b warunek brzegowy dla powierzchni przyjmuje potać [5, 6]: A = N rc ( A ) η przy czym parametr promienito-przewodnościowy N rc jet definiowany wzorem: 4 (5) N rc Ti = εσ 3 (6) k Parametr N rc to tounek oporu cieplnego przewodzenia do oporu promieniowania, który pełni analogiczną rolę jak liczba Biota w przypadku konwekcyjnych oporów zewnętrznych. Przyjmuje on wyokie wartości dla ciał będących złymi przewodnikami, a nikie dla ciał dobrze przewodzących ciepło. Gdy ciało jet dokonałym przewodnikiem, tzn. opór przewodzenia jet zerowy, to o zybkości proceu przenozenia ciepła decyduje jedynie opór promieniowania, a N rc =. W drugim krajnym przypadku N rc dąży do niekończoności, opór promieniowania jet zerowy, a zybkość tranportu ciepła zależy wyłącznie od oporu przewodzenia. Dla N rc zamiat warunku brzegowego (5) obowiązuje warunek (4). Różniczkując równanie () po czaie oraz uwzględniając wzór (), można wyprowadzić zależność pomiędzy zybkością przenozenia ciepła lub may a gradientem bezwymiarowej temperatury A na powierzchni. Dla pozczególnych kztałtów ciał zależność ta jet przedtawiona w wierzu dziewiątym tabeli. Po uogólnieniu ma ona potać: da m da dτ = d η η = (7) 3. Modele oparte na przybliżonych równaniach kinetycznych Pierwzym przybliżonym równaniem kinetycznym było opracowane przez Glueckaufa równanie LDF dla ciał kulitych []. Równanie LDF można również przedtawić dla ciał o innych kztałtach. Odpowiednie zależności zetawiono w dzieiątym wierzu tabeli. Uogólniona zależność LDF łuzna dla płyty, cylindra i kuli ma potać [4]:

7 8 da m m A A dτ = ( + ) ( ) (8) Równanie (8) zotało wyprowadzone dla dyfuzji w ciałach tałych przy założeniu parabolicznego profilu tężenia w ziarnie. Dzięki wej protocie jet nadal zeroko toowane, np. w modelowaniu adorpcji lub proceów cieplnych opartych na przewodzeniu [5 8]. Jednakże w wielu przypadkach równanie LDF daje wyniki niezgodne z rozwiązaniem ściłym, co potwierdzono w niniejzej pracy. W oparciu o równanie kinetyczne dla kuli przedtawione w pracy [6], opracowana zotała ogólna potać przybliżonego równania kinetycznego, która może być toowana także w przypadku ciał o kztałcie płyty i cylindra [7]: 3 da i i = β + ca i ( A A) ( A A) dτ A A i= Wartości tałych c i (i =,, 3) oraz parametru β podano w tabeli. (9) Tabela Wartości tałych we wzorze (9) Kztałt c c c 3 β Płyta,53,849,7738,578 Cylinder,5449 3,6558,5644,448 Kula,359 9,6 3,75 3,46 Zależności (8) i (9) dotyczą przypadków, w których wytępują zewnętrzne opory przenozenia (A ). W przypadku zaniedbywalnie małych oporów zewnętrznych, czyli dla N rc, należy przyjąć, że A =. Równanie LDF przyjmuje wtedy potać: natomiat równanie (9) należy zapiać w formie: da m m A dτ = ( + ) ( ) () 3 da i = β + ci ( A) A dτ A i ( ) () = 4. Weryfikacja zaproponowanego modelu przybliżonego (algorytmy obliczeń) Wyniki obliczeń dla modelu opartego na równaniu (9) porównano z wynikami modelu ściłego oraz modelu LDF. Weryfikację równania (9) przeprowadzono dla proceu chłodzenia radiacyjnego.

8 8 Model ściły Równanie () z warunkiem początkowym () i warunkami brzegowymi (3) i (5) dla chłodzenia radiacyjnego rozwiązano przy użyciu procedury opartej na chemacie Cranka- Nicolon, otrzymując przebiegi zależności zmiennej A od czau τ. Korzytając z wzoru (), wyznaczano wartości A. Całkowanie wykonano metodą Simpona. Wartości funkcji obliczono z wzoru interpolacyjnego Lagrange a. Model oparty na proponowanym przybliżonym równaniu kinetycznym Do rozwiązania równania (9) wykorzytano metodę Runge-Kutta, przy czym konieczne było wyznaczenie wartości A. W tym celu porównano prawe trony równań (7) i (9) oraz uwzględniono warunek brzegowy (5). Otrzymano zależność: β + ( ) 3 i i 4 ca i A A A A mn ( A ) AA i= ( )= rc () Równanie algebraiczne () rozwiązywano względem A metodą Newtona. Model LDF Równanie (8) całkowano numerycznie metodą Runge-Kutta, przy czym do wyznaczania A wykorzytano zależność otrzymaną z równań (5), (7) i (8): 4 ( m+ ) ( A A)= Nrc ( A) (3) Na ryunku a, b i c przedtawiono wyniki dotyczące chłodzenia radiacyjnego płyty, cylindra i kuli. Można zauważyć, że wraz ze wzrotem wartości N rc rośnie wartość A, czyli ciało jet zybciej chłodzone. Jet to związane ze wzrotem iły napędowej proceu, tj. różnicy pomiędzy bezwymiarową temperaturą powierzchni A a temperaturą średnią A. W przypadku dużych wartości N rc opór przewodzenia jet duży, a opór promieniowania mały. Mały opór promieniowania powoduje, że temperatura powierzchni zmienia ię zybko. Znaczny opór przewodzenia przyczynia ię do powolnej zmiany temperatury średniej. Z tych względów różnica pomiędzy A i A jet znaczna. Dla nikich wartości N ta różnica jet mniejza. rc Opór przewodzenia jet mały, a opór promieniowania duży, dzięki czemu temperatura średnia zmienia ię zybko, a temperatura powierzchni powoli. W oparciu o ry. można twierdzić, że zgodność wyników uzykanych na podtawie proponowanego równania i wyników modelu ściłego jet dobra w całym zakreie czau i w całym zakreie zmienności parametru N rc, a więc zaproponowana zależność może być toowana zarówno dla ciał dobrze, jak i źle przewodzących ciepło. Równanie LDF daje mało dokładne wyniki, zczególnie dla krótkich czaów i wyokich wartości N rc. Zatoowanie modelu LDF ograniczone jet zatem do dobrych przewodników ciepła czyli nikich wartości N rc.

9 83 a) b) c) Ry.. Zależność pomiędzy A i τ dla chłodzenia radiacyjnego: a) płyta, b) cylinder, c) kula Fig.. Relation between A and τ for radiative cooling: a) lab, b) cylinder, c) phere

10 84 5. Przykład obliczeniowy Ilutracją zaprezentowanego materiału jet natępujący przykład obliczeniowy: Wyznaczyć krzywe chłodzenia płyty niekończonej umiezczonej w próżni. Obliczenia przeprowadzić dla trzech różnych materiałów o natępujących wpółczynnikach przewodzenia ciepła: k =,784 W/(m K), k =,79 W/(m K), k 3 =,896 W/(m K). Przyjąć natępujące wartości liczbowe: wpółczynnik emiji: ε =,8, temperatura początkowa: T i = 973 K, grubość płyty: =,3 m. Wykorzytując zależność (6), obliczono wartości parametru N rc, odpowiadające pozczególnym wpółczynnikom przewodzenia ciepła: N rc = 8, N = 3,5, N =,7. Wyniki rc rc3 obliczeń przedtawiono graficznie we wpółrzędnych wymiarowych: temperatura cza. Krzywe chłodzenia, tanowiące czaowe zmiany średniej temperatury ciała T oraz temperatury jego powierzchni T, zobrazowano na ry. 3. Ze względu na to, że rozpatrywane jet chłodzenie ciała, temperatura średnia jet wyżza od temperatury powierzchni. Zgodnie z przewidywaniami różnica pomiędzy nimi, tanowiąca iłę napędową proceu chłodzenia, rośnie wraz ze wzrotem wartości parametru N rc. Przebiegi krzywych chłodzenia, wyznaczone w oparciu o równanie (9), wykazują bardzo dobrą zgodność z przebiegami ściłymi. Przebiegi przybliżone i ściłe ą niemal nierozróżnialne. Równanie LDF wykazuje więkze odtęptwa od rozwiązania ściłego, zczególnie dla temperatur powierzchni i krótkich czaów trwania proceu. Ry. 3. Zależność temperatury średniej płyty i temperatury jej powierzchni od czau Fig. 3. Temporal variation of average temperature and urface temperature for a lab

11 6. Wnioki 85. Stoowanie przybliżonych równań kinetycznych nieutalonego przenozenia ciepła (i may) znacznie kraca cza obliczeń numerycznych związanych z rozwiązywaniem równań modelu proceu w tounku do rozwiązania modelu ściłego. W zaproponowanym równaniu obniżenie dokładności otrzymywanych wyników, związane z uprozczeniem, jet minimalne. Skrócenie czau obliczeń ma zczególne znaczenie w przypadkach, gdy rozwiązywanie równań modelu jet wykonywane wielokrotnie w ramach złożonej procedury.. Przybliżone równania kinetyczne mają zatoowanie zarówno w proceach przenozenia ciepła, jak i przenozenia may. Mogą być toowane w każdym przypadku nieutalonego tranportu: zarówno przy itnieniu, jak również przy braku oporów zewnętrznych. 3. Przybliżone równania kinetyczne można toować dla ciał o różnych kztałtach. 4. W radiacyjnym chłodzeniu płyty, cylindra i kuli twierdzono, że przybliżone równanie kinetyczne (9) daje wyniki zgodne z rozwiązaniem ściłym i znacznie dokładniejze od wyników otrzymanych przy zatoowaniu równania LDF, zczególnie dla krótkich czaów trwania proceu i ciał źle przewodzących ciepło. Literatura [] G l u e c k a u f A., Theory of chromatography : formula for diffuion into phere and their application to chromatography, Tran. Faraday Soc., 955, Vol. 5, [] Z h a n g R., R i t t e r J.A., New approximate model for nonlinear adorption and diffuion in a ingle particle, Chemical Engineering Science, No. 8, Vol. 5, 997, [3] A l v a r e z - R a m i r e z J., F e r n a n d e z - A n a y a G., Va l e - P a r a d a F., O c h o a - T a p i a J.A., Phyical Conitency of Generalized Linear Driving Force Model for Adorption in a Particle, Ind. Eng. Chem. Re., 5, Vol. 44 (7), [4] G e o r g i o u A., K u p i e c K., Nonlinear driving force approximation of intraparticle ma tranfer in adorption procee, International Communication in Heat and Ma Tranfer, 996, Vol. 3, [5] S u J., Improved lumped model for tranient radiative cooling of a pherical body, International Communication in Heat and Ma Tranfer, 4, Vol. 3, [6] K u p i e c K., K o m o r o w i c z T., Simplified model of tranient radiative cooling of pherical body, International Journal of Thermal Science,, Vol. 49, [7] K u p i e c K., G w a d e r a M., On the application of an approximate kinetic equation of heat and ma tranfer procee: the effect of body hape, Heat and Ma Tranfer, DOI:.7/ [8] K u p i e c K., Przybliżone równania kinetyczne w proceach przenozenia ciepła i may, Monografia Potępy w Inżynierii i Technologii Chemicznej, Wydawnictwo PK, Kraków, 9-9. [9] K i m D.H, Linear driving force formula for diffuion and reaction in porou catalyt, AIChE Journal, 989, Vol. 35,

12 86 [] K i m D.H., Approximation for unteady-tate diffuion and reaction in porou catalyt and their application to packed-bed reactor, AIChE Journal, 8, Vol. 54, [] C r u z P., M e n d e A., M a g a l h a e F.D., High-order approximation for intraparticle ma tranfer, Chemical Engineering Science, 4, Vol. 59, [] S z u k i e w i c z M. K., Approximate model for diffuion and reaction in a porou catalyt with ma-tranfer reitance, AIChE Journal,, Vol. 47, [3] C r a n k J., The mathematic of diffuion, Clarendon Pre, Oxford 975. [4] M a r c i n i a k A., G r e g u l e c D., K a c z m a r e k J., Baic Numerical Procedure in Turbo Pacal for your PC, Nakom, Poznań 99.