MATEMATYCZNY OPIS NIEGŁADKICH CHARAKTERYSTYK KONSTYTUTYWNYCH CIAŁ ODKSZTAŁCALNYCH

Transkrypt

1 XLIII Sympozjon Modelowanie w mechanice 004 Wieław GRZESIKIEWICZ, Intytut Pojazdów, Politechnika Warzawka Artur ZBICIAK, Intytut Mechaniki Kontrukcji Inżynierkich, Politechnika Warzawka MATEMATYCZNY OPIS NIEGŁAKICH CHARAKTERYSTYK KONSTYTUTYWNYCH CIAŁ OKSZTAŁCALNYCH Strezczenie. W pracy ą prezentowane cztery modele ciał odkztałcalnych, których charakterytyki kontytutywne opiywane ą za pomocą nierówności wariacyjnych. Rozważono dwa ciała prężyte, których tan odkztałceń jet oaniczony (ciało z lockingiem) lub jet oaniczony tan naprężenia (ciało peudoprężyte). Przedtawiono wariacyjny opi dyypacyjnych cech ciała platycznego i nieholonomicznego. Pokazano, iż opi cech rozważanych ciał można przedtawić przy użyciu nieróżniczkowalnych funkcjonałów energii lub dyypacji. Rozważane formy opiu właściwości prężyto-dyypacyjnych umożliwiają modelowanie cech wielu nieklaycznych materiałów toowanych w budownictwie lub budowie mazyn. 1. WSTĘP Zatoowanie pojęć niegładkiej analizy wypukłej [1] do opiu prężytych i dyypacyjnych cech ośrodków ciągłych umożliwia odwzorowanie cech różnorodnych materiałów o nieklaycznych właściwościach. Materiały takie wykorzytywane ą w budownictwie i budowie mazyn. W rozważanych właściwościach ciał zczególna uwaga będzie zwrócona na cechy materiału związane ze zjawikami platyczności i deadacją właności prężytych. Ponadto będziemy rozpatrywać zjawiko peudoprężytości, które określa cechy materiałów z pamięcią kztałtu (SMA). Materiały takie charakteryzują ię dobrymi włanościami tłumiącymi tąd też wykorzytywane ą m. in. do ochrony kontrukcji inżynierkich przed zkodliwymi kutkami drgań.. OPIS ZJAWISK SPRĘŻYSTOŚCI I YSSYPACJI W pracy rozważone zotaną opiy właściwości ciał powiązane ze zjawikami akumulowania energii (prężytość) i jej rozprazania (dyypacja), w trakcie odkztałcania ciała. Zjawika te określane ą za pomocą wielkości fizycznych, które wyznaczają tany odkztałcenia i naprężenia, opiywane ymetrycznymi tenorami drugiego rzędu σ, ε, ε, (1) gdzie σ oznacza tenor naprężenia, ε jet tenorem odkztałcenia, natomiat tenor ε wyznacza prędkość odkztałcenia. Symbole, i oznaczają przetrzenie liniowe, których elementami ą wymienione tenory.

2 W. Grzeikiewicz, A. Zbiciak Wykorzytywany będzie rozkład przetrzeni naprężeń i odkztałceń na umę protą, ortogonalną dwóch podprzetrzeni: tenorów kulitych i dewiatorów (rozkład Stokea) d o o o, σ : σ σ 0, σ o d o 1 d o o o, : ε : ε I, R, ε : ε ε 0, ε o d o, : σ : σ I R 1, gdzie I, I - tenory jednotkowe. :, (a) :, (b) Zjawiko prężytości opiuje ię za pomocą wypukłej funkcji E, wyznaczającej objętościową gętość energii w zależności od tenora odkztałcenia. Znajomość tej funkcji pozwala na utalenie związku kontytutywnego między tenorem odkztałcenia i naprężenia σ Eε lub σ Eε, (3) przy czym lewy wzór dotyczy funkcji E, która jet różniczkowalna, a prawy funkcji nieróżniczkowalnej. Symbolami E i E oznaczono odpowiednio tenor pochodnej i ubróżniczkę [1], [4], [5] funkcji energii odkztałcenia. o opiania prężytych właności ciał można również wykorzytać przężoną (komplementarną) funkcję energii odkztałcenia, określoną na i zdefiniowaną jako σ ε E : up σ ε E, (4) ε gdzie kropką oznaczono operację pełnego naunięcia tenorów. Korzytając z tej funkcji związek kontytutywny prężytości można zapiać w formie ε E σ lub ε σ E. (5) W przypadku ciała Hooke a funkcjonały energetyczne i związki kontytutywne ą natępujące E ε : ε Cε, E σ : σ C σ, (6a) 1 σ Cε, ε C σ, (6b) jeśli C jet tenorem czwartego rzędu nazywanym tenorem ztywności. Natępnie przechodzimy do opiu zjawika dyypacji energii w ciałach odkztałcalnych. Zjawiko to opiuje ię za pomocą funkcji dyypacji, określonej na elementach przetrzeni lub za pomocą komplementarnej funkcji dyypacji określonej na. Na podtawie opianych funkcji utala ię związek kontytutywny między tenorami naprężenia σ i prędkości odkztałcenia ε σ ε lub σ ε ε σ lub ε σ, (7a). (7b)

3 Matematyczny opi niegładkich charakterytyk... Ciało, dla którego związki (7) ą liniowe, jet nazywane cieczą Newtona. Funkcjonały energetyczne i związki kontytutywne takiego ciał mają potać gdzie B jet tenorem tałych lepkości ε : ε B ε, σ : σ B σ, (8a) 1 σ Bε, ε B σ, (8b) 3. PRZYKŁAY CIAŁ SPRĘŻYSTYCH O NIEGŁAKICH CHARAKTERYSTYKACH Ciałem prężytym o niegładkiej charakterytyce nazywane jet ciało, dla którego funkcja opiująca energię potencjalną jet nieróżniczkowalna. Jako pierwzy przykład ciała o takiej charakterytyce rozpatrzymy tzw. materiał z lockingiem, którego cechy opiuje ię zbiorem dopuzczalnych odkztałceń S oraz zaadą kontytutywną w formie nierówności wariacyjnej ε S, (9a) σ ε σ ~ ε, ~ ε. (9b) W przypadku materiału z lockingiem funkcjonały wyznaczające energię potencjalną mają potać 0, gdy ε, E ε ε, jeśli ε : (10a), gdy ε. σ σ, jeśli σ : up σ ~ ε E. (10b) ~ ε Relację (9b) można teraz zapiać w alternatywnej formie jeśli ε, σ ε, (11a) : σ: σ ε ~ ε 0 ε, ~ ε. (11b) Według powyżzych związków naprężenie σ należy do tożka, który jet ortogonalny do zbioru dopuzczalnych odkztałceń w punkcie ε. Jednowymiarową charakterytykę ciała z lockingiem dla zbioru :,, przedtawiono na ry. 1a. opianego relacją Kolejnym przykładem ciała prężytego o niegładkiej charakterytyce jet ciało peudoprężyte. Ciało to opiujemy zbiorem dopuzczalnych naprężeń oraz odpowiednią zaadą kontytutywną σ, (1a) σ ε σ~ ε, σ~. (1b)

4 W. Grzeikiewicz, A. Zbiciak Funkcjonały energii potencjalnej ciała peudoprężytego wyznaczają wzory E ε ε, σ σ E, (13) gdzie wykorzytano oznaczenia zdefiniowane w związkach (11). Podobnie jak poprzednio relację kontytutywną (1b) zapiujemy w alternatywnej formie jeżeli σ σ, ε (14a) : ε : ε σ σ~ σ, σ~ (14b) 0 Zgodnie z powyżzymi relacjami tenor odkztałcenia ε należy do tożka, który jet ortogonalny do zbioru dopuzczalnych naprężeń w punkcie σ. Na ry. 1b przedtawiono jednowymiarową charakterytykę ciała peudoprężytego dla zbioru :,. opianego relacją Ry. 1. Jednowymiarowe charakterytyki kontytutywne ciała z lockingiem (a) i ciała peudoprężytego (b) 4. CIAŁA YSSYPACYJNE O NIEGŁAKICH CHARAKTERYSTYKACH Ciałem dyypacyjnym o niegładkiej charakterytyce nazywamy ciało, dla którego funkcja dyypacji jet nieróżniczkowalna. Na początku rozpatrzone zotanie ciało nazywane idealnie platycznym, którego cechy określa zbiór dopuzczalnych naprężeń oraz zaada kontytutywna opiująca związek między tenorem naprężenia σ a tenorem prędkości odkztałcenia ε σ, (15a) σ ε σ~ ε, σ~. (15b) Funkcjonały dyypacji ciała idealnie platycznego wyznaczają relacje ε ε, σ σ. (16)

5 Matematyczny opi niegładkich charakterytyk... Wykorzytując (16) zapiujemy relację (15b) w alternatywnej formie jeżeli σ σ, ε, (17a) : ε : ε σ σ~ 0 σ, σ~. (17b) Ciało, którego cechą charakterytyczną jet oaniczona prędkość odkztałcania nazywane jet nieholonomicznym. Właściwości tego ciała określa ię zbiorem dopuzczalnych prędkości odkztałcenia oraz odpowiednią relacją kontytutywną ε, (18a) σ ε σ ~ ε, ~ ε, (18b) Funkcjonały dyypacji dla tak opianego ciała wyznaczają wzory ε ε σ σ,. (19) Wzory (19) wykorzytamy do alternatywnego zapiu relacji kontytutywnej (18b) jeśli ε, σ ε, (0a) ε : σ : σ ε ~ ε 0, ~ ε. (0b) Wykrey na ry. przedtawiają jednowymiarowe charakterytyki kontytutywne ciała idealnie platycznego i ciała nieholonomicznego w przypadku anicznych zbiorów :, :,. opianych odpowiednio relacjami: oraz Ry.. Jednowymiarowe charakterytyki kontytutywne ciała idealnie platycznego (a) i ciała nieholonomicznego (b)

6 6. ZAKOŃCZENIE W. Grzeikiewicz, A. Zbiciak Przedtawione w pracy wyidealizowane modele materiałów można wykorzytać do budowy bardziej złożonych ciał, w których cechy prężytości i dyypacji objawiają ię jednocześnie. Proponowana procedura formułowania związków fizycznych polega na łączeniu cech podtawowych ciał i budowie chematów reologicznych. Otrzymane w ten poób relacje, uzupełnione o pozotałe równania problemu brzegowo-początkowego, można wykorzytać bezpośrednio do analizy dynamicznej elementów kontrukcji [3]. LITERATURA [1] Aubin J. P., Ekeland I.: Applied nonlinear analyi. John Wiley & Son, New York, [] Grzeikiewicz W.: ynamika układów mechanicznych z więzami. Prace Naukowe Politechniki Warzawkiej, Mechanika z WPW, Warzawa, [3] Grzeikiewicz W., Wojewódzki W., Zbiciak A.: Non-mooth dynamic problem formulation for elatic-perfectly platic olid. Theoretical Foundation of Civil Engineering, Polih-Ukrainian Tranaction. OWPW, , Warzawa, 003. [4] Panagiotopoulo P..: Inequality Problem in Mechanic and Application. Convex and Nonconvex Energy Function. Birkhäuer, Boton, [5] Panagiotopoulo P..: Hemivariational Inequalitie. Application in Mechanic and Engineering. Springer-Verlag, Berlin, [6] Woźniak C.: Więzy w mechanice ciał odkztałcalnych. Oolineum, Wrocław, MATHEMATICAL ESCRIPTION OF NON-SMOOTH CONSTITUTIVE CHARACTERISTICS OF EFORMABLE BOIES Summary. In the paper we preent four different model of deformable bodie. The contitutive characteritic of each one are decribed uing variational inequalitie. Two variou model of elatic material are preented in the paper. In the firt one the train tate i contrained (locking material). In the cae of the econd one the tre tate i contrained (peudoelatic material). Additionally the variational decription of two diipative material i preented - platic material and non-holonomic material. It wa proved that the decription of thee four model can be done uing non-differentiable functional of energy or diipation. The method we propoe can be ued in order to formulate contitutive relation of variou material ued in civil and mechanical engineering.