POMIAR, JEGO OPRACOWANIE I INTERPRETACJA

Transkrypt

1 POMIAR, JEGO OPRACOWANIE I INTERPRETACJA N wynik kżdego pomiru wpływ duż ilość czynników. Większość z nich jest nieidentyfikowln, sił ich oddziływni zmieni się w sposób przypdkowy. Z tego względu, chociż niemożliwe jest ustlenie prwdziwej wrtości wyniku pomiru, teori pomiru zjmuje się ustlniem zsd prowdzeni pomiru i oprcowywni wyników w sposób zpewnijący ustlenie wrtości mierzonej jk njbrdziej zbliżonej do wrtości rzeczywistej. Pomiry mogą być bezpośrednie i pośrednie. Bezpośredni pomir przeprowdzny jest z pomocą przyrządu przeznczonego do pomiru jednej tylko wielkości, ntomist pomir pośredni poleg n pomirch kilku wielkości i zstosowniu odpowiedniej formuły mtemtycznej do obliczeni wyniku Pomiry bezpośrednie O dokłdności wyniku decydują czynniki tkie jk: jkość przyrządu, ilość powtrznych pomirów, wrunki pomiru, tkże - w dużym stopniu - umiejętności osoby przeprowdzjącej pomir. Istotne jest tkże, by wyeliminowć tzw. błąd systemtyczny; dltego przyrząd musi być poprwnie wyjustowny (np. w Urzędzie Mir i Wg). Zkłd się, że jeżeli n wrtość wyniku pomiru wpływ duż ilość nieidentyfikowlnych czynników, rozkłd wrtości wyniku zbliżony jest do centrlnej części tzw. rozkłdu Guss wyrżonego funkcją gdzie: σ - odchylenie stndrdowe m - wrtość średni f ( x m 1 σ ( x) e σ π σ m i 1 n gdzie: p i prwdopodobieństwo wystąpieni wyniku x i n i p p i x i ) (10.1) 1 (10.) i x i m (10.3) Mksimum rozkłdu możn utożsmić ze średnią z wielokrotnie powtrznych pomirów, odchylenie stndrdowe z szerokości rozkłdu n poziomie około 0,6 jego mksymlnej wrtości (rys. 10.1). Rys Rozkłd Guss.

2 Funkcj Guss jest gęstością prwdopodobieństw wrtości wyniku pomiru. Funkcj pozwl obliczyć prwdopodobieństwo P(x 1, x ), że wynik zwier się w określonym przedzile x 1 x : P( x1, x ) x f ( x) dx x (10.4) Prwdopodobieństwo że wynik pomiru znjdzie się w przedzile [m-σ; m+σ] wynosi 69,5 % (zkreskowny obszr n wykresie) Prwdopodobieństwo że wynik pomiru znjdzie się w przedzile [m-σ; m+σ] wynosi 95,7 % Prwdopodobieństwo że wynik pomiru znjdzie się w przedzile [m-3σ; m+3σ] wynosi 99,6 % Odchylenie stndrdowe przyjmuje się często jko wskźnik błędu bezwzględnego. Znczenie prktyczne funkcji Guss poz przedziłem [m-3σ; m+3σ] jest nieistotne, poniewż prwdopodobieństwo wyniku poz tym przedziłem jest znikome - mniejsze od 0,4 %. Powyższe rozwżni dotyczą wyniku pojedynczego pomiru. Możn tkże ustlić funkcję opisującą rozkłd dl średniej z określonej ilości pomirów. Odchylenie stndrdowe tkiego rozkłdu estymuje się inczej... (zgdnieni dotyczące przypdkowości bdne są w obrębie dziedziny sttystyki) Pomiry pośrednie Pomiry pośrednie prowdzi się w jk njszerszym zkresie wrunków pomiru, przy czym wrunki te nie mogą wykrczć poz rmy stosowlności określonej formuły mtemtycznej wynikjącej z przyjętej teorii. Kontrol stosowlności teorii jest stosunkowo łtw, jeżeli zleżność teoretyczn może być zlineryzown. Tkie włśnie przypdki wykorzystuje się w dydktyce fizyki. Lineryzcj jest możliw np. przy wyznczniu ntężeni pol grwitcyjnego z wykorzystniem idei whdł mtemtycznego, lbo w wyznczniu ntężeni źródł świtł metodą Lmbert, wyznczniu współczynnik tłumieni kmertonu, czy wyznczniu ciepł prowni (rys. 10..). W przykłdch pokznych n rys. 10. współczynnik kierunkowy prostej (nie tngens kąt nchyleni!!!) stnowi szukną wielkość. Podczs wykreślni prostej trzeb kierowć się zsdą, by przebiegł on jk njbliżej punktów pomirowych; le uwzględnimy tylko punkty ukłdjące się wzdłuż prostej, czyli w przedzile stosowlności teorii. () (b) (c) (d) Rys. 10. Przykłdy wyznczni wielkości fizycznych: () ntężeni pol grwitcyjnego g, (b) ntężeni źródł świtł I, (c) współczynnik tłumieni drgń β, (d) ciepł prowni q.

3 N rys. 10. możn zuwżyć, iż n osich odłożone bywją nie tylko pojedyncze wielkości le tkże cłe wyrżeni lgebriczne. Istotne jest, by prwidłowo określić przedziły ich nieokreśloności (błędy bezwzględne). Jeżeli wyrżenie jest funkcją tylko jednej zmiennej, wtedy nieokreśloność zmiennej niezleżnej przenosi się funkcyjnie n nieokreśloność zmiennej zleżnej (rys. 10.3). Ntomist w przypdkch gdy zmienn zleżn jest funkcją kilku zmiennych, jej nieokreśloność oszcowywn jest metodą różniczki zupełnej (rys. 10.4). Rys Nieokreśloność wyrżeni Yf(X) wyznczni sposobem podstwowym. Rys Nieokreśloność wyrżeni Yf(X) wyznczn metodą różniczki. Przykłd różniczki funkcji dwóch i więcej zmiennych - tzw. różniczk zupełn: f (, l ) + l (10.5) l df (, l) d + dl d + dl Przykłd obliczni błędu bezwzględnego metodą różniczki zupełnej dl (10.6) f (, l) + l l gdzie: niepewność (uchyb) pomiru wielkości l niepewność (uchyb) pomiru wielkości l + l l (10.7) Przykłd obliczni błędu względnego metodą różniczki zupełnej f f + b l (10.8) Przy brku możliwości zminy wrunków pomirów, czyli gdy pomir musi być jednorzowy, wynik musi być podny ntychmist, o jego jkości/użyteczności świdczy błąd względny. N błąd

4 ów wpływją uchyby poszczególnych pomirów bezpośrednich i zstosown teori (reguł mtemtyczn). Przykłdem może być populrne w dydktycznych prcownich fizyki ćwiczenie polegjące n wyznczniu równowżnik elektrochemicznego miedzi w elektrolizie wodnego roztworu sircznu miedzi. W ćwiczeniu tym korzyst się z prw elektrolizy, czyli ze stwierdzeni, że ilość substncji wydzielonej n elektrodzie jest proporcjonln do łdunku elektrycznego jki przepłynął przez elektrolit. W przypdku gdy ilość wydzielonej substncji wyrżon jest msą m, wówczs współczynnikiem proporcjonlności jest tzw. równowżnik elektrochemiczny k. Zleżność tę wyrż równnie... m k Q Jeżeli przez elektrolit płynie prąd stły, wtedy iloczyn jego ntężeni I i czs przepływu t stnowi przepuszczony łdunek Q. Wyrżenie n równowżnik elektrochemiczny k przyjmuje ztem postć funkcji: wyrżenie n błąd względny: k k (m, I, t, k ( m, I, t) m, I, t) m I t m I t + + m I t (10.9) (10.10) W wyrżeniu poszczególne skłdniki informują o błędch, jkie wnoszą poszczególne pomiry (msy, prądu i czsu). Pomir jest poprwnie przygotowny, jeżeli poszczególne skłdniki wnoszą podobne błędy. Błąd względny wyliczony z zleżności jest teoretycznym błędem mksymlnym - złożono bowiem, że błędy z poszczególnych pomirów bezpośrednich kumulują się ( w prktyce mogą się częściowo wzjemnie znosić, poniewż jedne wielkości mogą być zmierzone z ndmirem, inne z niedomirem). Jeżeli znn jest tblicow wrtość wyniku Y tbl, możn wyliczyć względny błąd pomirowy δ (...). δ Y Y tbl Y zmierzone tbl (10.11) Oczywiste jest, że błąd względny teoretyczny wyliczony z zleżności powinien być większy od względnego błędu pomirowego wyrżonego zleżnością Sytucj odwrotn jest dowodem n to, że n błąd wpływją jeszcze czynniki inne, niż uwzględnione przy obliczniu błędu teoretycznego. Jest to dobry sposób n testownie stnowisk pomirowych i systemów kontrolnopomirowych. Rys Rozróżnienie określeń błąd i niepewność.

5 Oprócz określeni błąd pomirowy spotyk się również określenie niepewność pomirow orz tolerncj. Niepewność pomirow (bezwzględn lub względn) jest njczęściej kojrzon z podwojoną wrtością błędu względnego (rys. 10.5). Tolerncj to jednowyrzowy synonim niepewności pomirowej Interpretcj wyników Możn wyróżnić dw nstępujące zsdnicze cele pomirów: wyznczenie wrtości określonej wielkości sprwdzenie teoretycznej zleżności. W pierwszym przypdku rezulttem pomiru jest wynik liczbowy wrz z jego dokłdnością. W drugim opini o stosowlności teoretycznej zleżności. Wyprcownie tej opinii jest łtwe, jeżeli teoretyczn zleżność jest lineryzowln. Przykłdem może być przypdek zilustrowny n rys () (b) Rys Przykłdy wykresów sporządznych w rmch procedury sprwdznie. Jeżeli n wykresie możn poprowdzić prostą przechodzącą przez pol niepewności (rys.10.6) nie m podstw do stwierdzeni odstępstw od teoretycznej zleżności w cłym zkresie wrunków pomiru. Jeżeli w określonym zkresie wrunków pomiru prost wykrcz poz pol niepewności (rys. 10.6b) wtedy formuł nie m podstw do stwierdzeni odstępstw od teoretycznej zleżności odnosi się tylko do przedziłu, w jkim prost przechodzi przez prostokąty. Poz grnicmi tego przedziłem stwierdz się odstępstwo od teoretycznej zleżności. Możn ztem w określonym przedzile zmienności wrunków sformułowć jeden z dwóch nstępujących wniosków: wykryto odstępstwo od teorii; nie m podstw do stwierdzeni odstępstw od teorii. Z formlno-logicznego punktu widzeni nie możn nigdy ze stuprocentową pewnością stwierdzić, że wyniki potwierdzją teorię. Teori jest bowiem wynikiem złożeń idelnych, które w świecie mterilnym nie są możliwe do spełnieni.