VI. OBLICZANIE WYZNACZNIKA I ODWRACANIE MACIERZY

Transkrypt

1 VI OBLICZANIE WYZNACZNIKA I ODWRACANIE MACIERZY Metody obliczaia wyzaczików, które polegaą a rozwiaiu względe koluy lub wiersza są praktyczie bezużytecze, gdy korzystay z koputera Na przykład, przy rozwiaiu względe wiersza w celu obliczeia wyzaczika acierzy stopia trzeba wykoać! działań (dla ay prawie 5@0 działań) Dlatego lepie skorzystać z rozkładu acierzy A a iloczy LU (rozkład taki oża otrzyać a przykład za poocą algorytu eliiaci Gaussa, przy czy ie dla każde acierzy taki rozkład istiee, gdyż w ogólości ay LU PA, gdzie P ozacza acierz perutaci acierzy A zob p ) Jeżeli A LU, to det A det LU det L det U det U, bo eleety a główe przekąte acierzy dolotrókąte L są rówe, czyli det L Wyzaczik acierzy U (górotrókąte) est rówy iloczyowi eleetów a główe przekąte i oża go wyzaczyć za poocą! ożeń Obliczoa w arytetyce zieopozycye wartość wyzaczika ie est wyzaczikie acierzy A, lecz acierzy zaburzoe A + )A Moża pokazać, że stosuąc algoryt Gaussa z częściowy wybore eleetu podstawowego do wyzaczeia rozkładu A LU ay A A 8 eps ( ) dla ory (ora będąca aksyalą suą odułów w koluie) oraz A A 8 eps ( + ) dla ory (ora będąca aksyalą suą odułów w wierszu), gdzie eps ozacza dokładość aszyową (zob p ) Nora zaburzeia oże więc być ała, ale ie ozacza to, że rówież błąd względy obliczaia wartości det A est ały Przykład Niech A ε, gdzie g ozacza aieszą liczbę dodatią, którą oża zapisać w arytetyce koputera Jeśli zastosuey rozkład A LU, to otrzyay ε

2 VI Obliczaie wyzaczika i odwracaie acierzy 8 U 0 ε ε ε ε ε Obliczeie wartości wyrażeia ε a koputerze da wartość ε, bo wartość w koputerze est rówa 0 Otrzyay zate det U g, czyli obliczyy det A ze 00% błęde Tyczase A LU A ε, skąd wyika, że A A ε << dla ory # Powyższy przykład pokazue, że ałe zaburzeia eleetów acierzy ogą spowodować duże ziay wartości wyzaczika Do wyzaczeia acierzy A! stosue się zwykle etodę eliiaci Gaussa z częściowy wybore eleetu podstawowego Algoryt składa się z dwóch podstawowych etapów:! wyzaczay rozkład LU acierzy A (uwzględiaąc ewetuale przestawieia wierszy acierzy A),! rozwiązuey razy układ rówań () i i LUx e (), i K,,,, gdzie e (i) ozacza i-ty wersor w przestrzei R, t e i [, 0 K,, K, 0] T i ta pozyca Rozwiązaia x (i) są koluai acierzy A!, przy czy ależy ustawić e w koleości wyikaące z przestawień wierszy acierzy Moża też rówocześie rozwiązywać układów rówań z prawyi stroai rówyi e (i) (i,,, ) Przykład Wyzaczy acierz A Zgodie z poday algoryte w pierwszy etapie rozkładay acierz A a iloczy LU Napierw wykouey przestawieia wierszy (uery wierszy będziey zapisywać w oddziele koluie) May zate

3 VI Obliczaie wyzaczika i odwracaie acierzy 88 a po przestawieiu wierszy otrzyuey Stosuąc etodę Gaussa w wyiku eliiaci pierwsze ziee z drugiego i trzeciego rówaia za poocą ożików otrzyuey acierz (ożiki zapisuey w te l l 0 i acierzy por algoryt poday a końcu p ) skąd po przestawieiu wierszy drugiego i trzeciego ay Po eliiaci drugie ziee z trzeciego rówaia za poocą ożika dostaey l Zate W drugi etapie rozwiązuey rówaia Dla i rówaia te aą postać 0 0 0, , L U , LUx e i i i () (),,,

4 VI Obliczaie wyzaczika i odwracaie acierzy 89 Otrzyay Nuer w wektorze przestawień zaue trzecią pozycę, więc ako pierwszą koluę acierzy A! ależy przyąć x () Nuer zadue się a pozyci pierwsze, więc drugą koluą acierzy A! est x () Wreszcie, uer zaue drugą pozycę, zate trzecią koluą est x () Ostateczie otrzyuey # A Zadaia Zaleźć rozkład LU acierzy Obliczyć wyzaczik acierzy T z zadaia Stosuąc etodę Gaussa wyzaczyć A!, eżeli x () x x x () ( ) ( ),, T A

5 VII APROKSYMACJA Wprowadzeie W zagadieiu aproksyaci fukcę F(x), określoą tablicą wartości lub o zae postaci aalitycze, będziey aproksyować, czyli zastępować ią fukcą f(x), zwaą fukcą aproksyuącą lub przybliżeie fukci F(x) Przybliżeie powodue powstaie błędów, zwaych błędai aproksyaci Gdy zbiór, a który ierzyy błąd aproksyaci, est zbiore dyskrety, wówczas ówiy o aproksyaci puktowe, gdy zaś est to przedział aproksyacę azyway itegralą Niech F(x) ozacza fukcę, którą chcey aproksyować, X pewą przestrzeń uorowaą (skończeie lub ieskończeie wyiarową), taką że F(x) 0 X, a X iech ozacza -wyiarową podprzestrzeń liiową przestrzei X Defiica Aproksyaca fukci F(x) polega a wyzaczeiu takich współczyików a 0, a,, a fukci f ( x) a ϕ ( x) + a ϕ ( x) + K + a ϕ ( x), () 0 0 gdzie ϕ0, ϕ, K, ϕ ozaczaą fukce bazowe ( + )-wyiarowe podprzestrzei X +, aby fukca f(x) iializowała orę f ( x) F( x) Aproksyaca określoa wzore () azywa się aproksyacą liiową Czasai stosue się też aproksyacę wyierą określoą wzore a x a x a x f ( x) 0ϕ0( ) + ϕ( ) + K + ϕ ( ) b ψ ( x) + bψ ( x) + K + b ψ ( x), 0 0 gdzie fukce ϕi i ψ są eleetai te sae bazy k-wyiarowe podprzestrzei liiowe (k ax(, )), a wielkości a i i b są współczyikai, które ależy wyzaczyć Aproksyaca średiokwadratowa Dla fukci F(x) określoe a przedziale [a, b] poszukuey iiu całki b F( x) f ( x) w( x)[ F( x) f ( x)] dx, a gdzie w(x) ozacza fukcę wagową, a dla fukci F(x) dae a dyskrety zbiorze arguetów poszukuey iiu suy

6 Aproksyaca średiokwadratowa 9 F( x) f ( x) w( x )[ F( x ) f ( x )], i 0 i i i () przy czy w(x i ) $ 0 dla i 0,,, Niech fukca y F(x) przyue a pewy zbiorze X {x 0, x,, x } wartości y 0, y,, y Będziey poszukiwali takie fukci f(x) przybliżaące daą fukcę F(x), która uożliwi wygładzeie fukci F(x) Niech ϕ i ( x), i 0,,,, ozacza układ fukci bazowych podprzestrzei X + Poszukay wieloiau uogólioego () będącego alepszy przybliżeie średiokwadratowy fukci F(x) a zbiorze X, t fukci f ( x) aiϕi( x), gdzie współczyiki a i są tak określoe, by wyrażeie () było iializowae Ozaczy i 0 i i 0 i 0 0 Ha (, a, K, a ) wx ( )[ Fx ( ) aϕ ( x )] wx ( ) R, () 0 gdzie fukca wagowa w(x) est ustaloa z góry i taka, że w(x ) > 0 dla 0,,,, a R ozacza odchyleie w pukcie x Aby zaleźć współczyiki a i, obliczay pochode fukci H względe a i : H 0, k 0,, K, () a k Z waruku () otrzyay wówczas układ + rówań liiowych z + iewiadoyi a i : H a k wx ( )[ Fx ( ) aϕ ( x )] ϕ ( x ) 0, 0 i i k i 0 k 0,, K,, (5) zway układe oraly Moża wykazać, że eśli układ (5) a wyzaczik róży od zera, to rozwiązaie tego układu dae iiu fukci H Jeżeli ako fukce bazowe przyiey ciąg edoiaów {x i } (i 0,,, ), to wzór (5) przyie postać (zakładay, że w(x) / ) 0 i i i 0 k [ F( x ) a x ] x 0, k 0,, K, Stąd Ozaczy a i+ k i x k F x x k ( ), 0,, K, i α ik i + k k k 0 0 x, β F( x ) x

7 9 VII Aproksyaca Otrzyay wówczas układ oraly w postaci αikai βk, k 0,, K, () i 0 Moża wykazać, że eżeli pukty x 0, x,, x są róże i #, to wyzaczik układu () est róży od zera, a więc układ te a edozacze rozwiązaie Jeżeli, to wieloia aproksyacyy f(x) pokrywa się z wieloiae iterpolacyy dla puktów x 0, x,, x i wówczas H 0 Uwaga: W praktyce powio być << (stopień wieloiau powiie być zaczie ieszy od liczby puktów), gdyż wówczas korzystay z duże liczby iforaci (p poiarów) uzyskuąc edocześie prostsze fukce aproksyuące Przykład [] Niech dae będą wyiki poiarów, ak w poiższe tabelce x 8 9 y Poszukay zależości iędzy wartościai x i y postaci ax + by, () przy czy zadaie polega a zalezieiu alepszych współczyików a i b Przy tak sforułoway zadaiu poawia się proble: czy rozpatrywać odchyleia wartości x, czy wartości y? Przedyskutuey obydwa przypadki i pokażey, że prowadzą oe do różych wyików Gdy przyiey, że wartości y są obarczoe pewyi błędai, wówczas iializuey wyrażeie 0 ( y y ), (8) gdzie, zgodie z wzore (), ax + by, 0,, K, Jeśli atoiast przyiey, że wartości x są obarczoe błędai, to powiiśy iializować wyrażeie 0 ( x x ), (9) przy czy ax + by, 0,, K, W przypadku iializaci wyrażeia (8) otrzyuey układ oraly postaci

8 Aproksyaca edostaa 9 w który a!a/b, a 0 /b i stąd a x a y, a a x a x a xy, y x x x y x x 0 0 x y x y x x 0 0 Dla daych z tabelki otrzyuey a 0 / i a /, a stąd rówaie () a postać y x Miializuąc w taki sa sposób wyrażeie (9), otrzyay rówaie x y Jak widać, otrzyaliśy róże rówaia, chociaż ich wykresy prawie pokrywaą się #, Aproksyaca edostaa W aproksyaci edostae dla fukci F(x) określoe a przedziale [a, b] poszukuey fukci f(x) daące aiesze aksiu różicy iędzy F(x) i f(x) a cały przedziale [a, b], czyli F( x) f ( x) sup F( x) f ( x) W przypadku aproksyaci fukci wieloiaai i aproksyaci fukci okresowe wieloiaai trygooetryczyi ay astępuące twierdzeia (ich dowody oża zaleźć p w podręcziku[]): Twierdzeie (Weierstrassa) Jeżeli fukca F(x) est ciągła a skończoy przedziale [a, b], to dla każdego g > 0 oża dobrać takie, że est ożliwe utworzeie wieloiau P (x) stopia, przy czy (g), który spełia ierówość a cały przedziale [a, b] x [ a, b] F( x) P ( x) <ε

9 9 VII Aproksyaca Twierdzeie Jeżeli fukca F(x) est fukcą ciągłą i okresową o okresie B, to dla każdego g > 0 istiee wieloia trygooetryczy S ( x) a + ( a coskx + b si kx), ( ε), 0 k k k spełiaący dla wszystkich wartości x ierówość F( x) S ( x) ε Pierwsze twierdzeie zapewia, że dowolą fukcę F(x) ciągłą w przedziale [a, b] ożey aproksyować edostaie za poocą wieloiaów z dowolie dużą dokładością Jeżeli fukcę F(x) oża w przedziale [a, b] rozwiąć w szereg Taylora, to przybliżeie oże być odpowiedio obcięty szereg Taylora, w który liczba wyrazów est uzależioa od żądae dokładości Niech fukca F(x) będzie rozwiala w otoczeiu Q(x 0, *) i określoa a przedziale [a, b], przy czy x0 δ < a < b< x0 + δ Rozpatrzy wieloia który est przybliżeie fukci F(x) a przedziale [a, b] Korzystaąc z wzoru Taylora z resztą Lagrage a ay gdzie c ozacza pukt leżący iędzy puktai x i x 0 Stąd gdzie F ( x ) F ( x ) F ( x ) W ( x) F( x ) + 0 ( x x ) ( x x0) + K + ( xx0),!!! ( + F ) ( x) M + F () c + F( x) W ( x) ( x x0 ), ( + )! Fx ( ) W( x) dla x 0 [a, b] ( + ) M ( + )! δ + + Przykład Zadźy przybliżeie fukci F(x) si x a przedziale [0, B/] wieloiae stopia drugiego Przyiy, że x 0 B/ May π π π π π W ( x) si + cos x si x 0, 5x +, 5x0, 0, ( ) Poieważ F ( x) cosx dla x 0 [0, B/] i * B/, więc F( x) W ( x) π < 008,!

10 Aproksyaca edostaa 95 Zate aksyaly błąd aproksyaci est ie większy od 0,08 Na przykład, dla x 0 ay W (x)!0,0, co ieści się w graicach obliczoego błędu # Zadaia Dla fukci y F(x), które wartości są określoe w poiższe tabelce x 0 5 y zaleźć wieloia aproksyacyy stopia pierwszego Fukca y F(x) est określoa poiższą tabelką (est to tabelka wartości fukci y si x) x 0 π π π π y 0 Zaleźć wieloia aproksyuący stopia drugiego Dla fukci y * x * zaleźć w przedziale [!, ] wieloia aproksyacyy stopia trzeciego