ILOCZYNY WEKTORÓW. s równoległe wtedy i tylko wtedy. b =

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ILOCZYNY WEKTORÓW. s równoległe wtedy i tylko wtedy. b ="

Mariusz Orzechowski
6 lat temu
Przeglądów:

1 St Kowls Włd mtemt dl studentów erunu Mehn włd ILOZYNY WEKTORÓW 3 { : } trówmrow prestre tór mon nterpretow n tr sposo: Jo ór puntów W te nterpret element prestren 3 nw s puntm Nps on e punt m współrdne Jo ór wetorów eponh w pune O W te nterpret est to trówmrow prestre rtes Jo ór wssth wetorów swoodnh odnów serownh Jel punt est potem wetor punt ego oem to ] ] 0 0 0] 0 0] 0 ] Wetor ] s równoległe wted tlo wted λ l wted tlo wted gd m proporonlne współrdne l wted tlo wted gd Ilonem slrnm wetorów ] nwm l rewst orelon worem ] ] Z pomo lonu slrnego wnm: Długo wetor: Ztem Kt pomd wetorm : ros Prostopdło wetorów: 0 Wnn Grm udown n wetorh : G Wnn Grm udown n wetorh : G Wnn Grm udown n dwu wetorh est wdrtem pol równoległoou udownego n th wetorh W prestren wnn Grm udown n dwu wetorh uprs s do post G Wnn Grm udown n treh wetorh est wdrtem oto równoległonu udownego n th wetorh W prestren 3 wnn Grm udown n treh wetorh uprs s do post G Wnn wstpu po prwe strone równo wr lon mesn wetorów Oto równoległonu roptego n treh wetorh w prestren 3 wgodne est l w opru o wór Vol s Ilonem wetorowm wetorów ] nwm wetor orelon worem

2 Wetor est prostopdł równo do do ; el ne s równoległe to wn płsn do tóre est prostopdł Wetor m długo równ polu równoległoou o dwu ssednh oh ; tem sn G Tr wetor s omplnrne współpłsnowe wted tlo wted gd 0 oto udownego n nh równoległonu est równ ero ] Olm pole trót o werhołh ; ;3 8; Rowne Pole trót est połow pol odpowednego równoległoou 3 ] 4] 8 ] 6 ] Do olen pol równoległoou stosuem wnn Grm G Pole równoległoou udownego n wetorh wnos G 6 4 pole trót est równe 4 Pole równoległoou 4 6 ] Olm pole trót o werhołh ;; 4 ; ;3 7;; 3 Rowne Pole trót est połow pol odpowednego równoległoou 0 7] 5 7] Do olen pol równoległoou stosuem wnn Grm G Pole równoległoou udownego n wetorh wnos 776 pole trót est równe 766 Pole równoległoou e e e3 e e e3 0 7 e 35e 0e3 35 0] 5 7 Pole ] Olm t md wetorm 0 ] 0] Rowne Ponew wetor s neerowe w osϕ Std ϕ 3 π 4] Sprwd e trót o werhołh 3; ;5 ;; 3 5;; est ostrotn Rowne Ponew 53 8] 3 6] > 0 w t pr werhołu w tróe est ostr St Kowls Włd mtemt dl studentów erunu Mehn włd

3 Z wrunów 5 38] 70 ] > 0 70 ] 36] 4 0 > 0 wn e poostłe t tego trót s ostre 5] Sprwd e wetor ] 3] 3 47] s omplnrne lee w edne płsne Rowne Tr wetor s omplnrne el oto udownego n nh równoległonu est równ ero ponew Vol s w wstr stwerd e ] Ol oto równoległonu udownego n wetorh ] 3] 0 ] Rowne 3 Vol s s 0 7] Ol pole powerhn łowte równoległonu udownego n wetorh ] 3] 0 ] 6 0 G G 0 G 4 4 Pole powerhn łowte tego równoległonu wnos 84 4 Zn werhołe 53 or wetor 4 ] 3 5] wn poostłe werhoł trót Ol lon el 473 ] 3 5] 3 Dne s tr olene werhoł równoległoou D : 6; 3; ;7 równoległoou 4 Ol pole trót o werhołh Ol pole trót o werhołh Ol t md wetorm 0 ] 0 ] 7 Sprwd e trót o werhołh est ostrotn 8 Ol oto równoległonu udownego n wetorh ] 3 ] 0 ] 9 Sprwd e wetor ] 3] 3 47] s omplnrne Wn werhołe D or pole tego 0 Ol pole powerhn łowte równoległonu udownego n wetorh ] 3] 0 ] Sprwd e trót o werhołh est rowrtotn Ol ego pole Sprwd e trót o werhołh 40 est prostotn Ol ego pole ] 3 D 6 Pole 0 4 Pole 0 5 Pole Kt 3 π 8 Vol St Kowls Włd mtemt dl studentów erunu Mehn włd 3

4 Płsn w 3 Równne ogólne wrte w 3 płsn σ est post D 0 gde prnmne edn l lu est rón od er Wetor n ] nwm wetorem normlnm płsn σ n Równne płsn σ prehode pre punt P P P P prostopdłe do wetor n ] m post σ : P P P 0 Płsn prehod pre tr newspółlnowe punt wnm ednego e worów 0 Odległo puntu P P P P od płsn σ: D 0 nlepe est ol e woru P P P D d Płsn σ : D 0 σ : D 0 s równoległe wted tlo wted gd h wetor normlne n ] n ] s równoległe l wted tlo wted gd n ] λ ] λ n Jel pondto D λ D to płsn te porw s Płsn σ : D 0 σ : D 0 s prostopdłe wted tlo wted gd h wetor normlne n ] n ] s prostopdłe l wted tlo wted gd n n 0 0 Kt md płsnm Ktem md płsnm nwm t ostr md wetorm normlnm th płsn n n σ σ ros n n ] Nps równne ogólne płsn prehode pre punt prostopdłe do wetor n ] Rowne Równne płsn σ prehode pre punt P P P P prostopdłe do wetor n ] m post σ : P P P 0 Płsn σ rown w tm dnu m równne σ : 0 Osttene po prestłenu σ : 0 St Kowls Włd mtemt dl studentów erunu Mehn włd 4

5 ] Nps równne ogólne płsn σ prehode pre punt J est odległo potu ułdu od te płsn? Rowne Sorstm e woru σ : 0 P P P D σ : σ : d Zdn Nps równne płsn prehode pre tr punt M ; ; M ;; ;0; 7 Ol odległo puntu M 3 od płsn P : Znle odległo med płsnm P : P : M 3 4 Nps równne płsn prehode pre punt M prostopdłe do dwóh płsn P : 0 P : 0 5 Znle t md płsn 5 0 płsn O 6 Nps równne płsn prehode pre punt M ;; M ;; or prostopdłe do płsn P : 0 7 Nps równne płsn równoległe do płsn P : odległe od ne o 3 8 Nps równne płsn równoodległe od płsn P : 0 P : Wn płsn prehod pre o pre punt M ; ; 0 Wn płsn prehod pre punt M ;3; 4 równoległ do płsn Ol oto ostrosłup ogrnonego płsn π : 3 0 płsnm ułdu współrdnh Punt M ; ; est rutem potu ułdu współrdnh n płsn Wn e równne 3 Znd t md płsnm π : 0 π : Wn płsn do tóre nle punt: ; ; ;0; 0;0; 5 Wn płsn do tóre nle punt: 0;; ;0;0 ; ;0 6 Wn płsn prehod pre punt P ; 3; 7 równoległ do płsn σ : Wn płsn prehod pre punt P ;3; Q ;5;3 prostopdł do płsn σ : Wn płsn prehod pre punt P ; 3; 7 równoległ do wetorów: 3 ] 3 ] 9 Wn płsn prehod pre punt P ;0;4 ego rut n płsn: π : 7 0 σ : Ol długo wsoo ostrosłup poprowdone werhoł S ;4; n n wer werhoł 0; ; 3;5; ; 3; Ol oto woronu o werhołh ;; 0;; ;;3 D ;;3 3 0 ; 3 ; 3 3 ; ; 5 60 ; 6 0 ; ; 8 0 ; 9 0 ; 0 0 ; 9 ; 7 0 ; 3 ros ; ; ; ; ; ; ; St Kowls Włd mtemt dl studentów erunu Mehn włd 5

Podobne dokumenty

1. Algebra wektorów. Rys Wektor w układzie współrzędnych (jego współrzędne i kąty)

1. Algebra wektorów. Rys Wektor w układzie współrzędnych (jego współrzędne i kąty) 1. Alger wetorów Welość wetorową chrterue wrtość, cl moduł, erune, wrot. Możn ą predstwć w sposó grfcn o odcne serown o długośc proporconlne do modułu lu te w sposó nltcn. Sposó nltcn poleg n podnu rutów,,