ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol"

Transkrypt

1 ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol

2 Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego 7 6. Granica funkcji 9 7. Ciągłość funkcji 8. Pochodna funkcji 9. Reguła de l Hospitala 0. Zastosowania rachunku różniczkowego. Liczby zespolone 6

3 . ELEMENTY LOGIKI. Elementy logiki Zadanie.. Ustalić które ze zdań są zdaniami w sensie logicznym. Podać wartość logiczną tych zdań. () Symbolem Lublina jest koziołek. w= () Obecnie w Lublinie mieszka dwa miliony osób. w=0 () Dwa plus dwa jest równe cztery. w= (4) Czy dwa plus dwa wynosi cztery? (5) Czy jest to zdanie w sensie logicznym? (6) Ucz się pilnie! (7) Jutro będzie padał deszcz. (8) Krowa jest zwierzęciem parzystokopytnym. w= (9) Okrąg jest brzegiem koła. w= (0) π jest liczbą wymierną. w=0 Zadanie.. Sprawdzić czy następujące formuły są prawami rachunku zdań: () (p q) ( p = q) N () (p = q) = [(r q) = (r p)] T () (p = q) = ( q = r) N (4) [(p q) = r] [p (q = r)]} = (p q r) N (5) [(p q) (p = q)] = (q = p) N (6) [(p = q) (q = p)] = (p q) N (7) [(p q) = r] = [(p r) = ( q)] T (8) [(p = q) (r = q)] = [(p r) = q] T (9) [(p = q) p] = q T (0) [(p q) (r = q)] [(p r) = q] N Zadanie.. Napisać zaprzeczenia następujących zdań lub form zdaniowych: () > 0 <. () 0. () Dziecko założyło lewą i prawą rękawiczkę. (4) Tu możemy skręcić w lewo lub w prawo. (5) < 5 < 5. (6) Jeżeli pada deszcz to idę pod parasolem. (7) + = 0 ( = = ). (8) W = P = R = 0. (9) Jeżeli liczba jest podzielna przez 9 to jest podzielna przez. (0) Okrąg jest bryłą wtedy i tylko wtedy gdy jest kwadratem liczby rzeczywistej. Zadanie.4. Sprawdzić że formuła (p q) ( p q) jest tautologią. Zastosować tę formułę do poniższych form zdaniowych. () + = 0 ( = = ). () Liczba dzieli się przez 6 wtedy i tylko wtedy gdy dzieli się przez i dzieli się przez. > 0 [( > > ) ( < < )] () Zadanie.5. Wskazać warunki konieczne oraz warunki dostateczne. Napisać implikację odwrotną przeciwną i przeciwstawną do danej: () Jeżeli liczba dzieli się przez 4 to jest liczbą parzystą. () Jeżeli koło ma promień o długości to jego pole wynosi 4π. () Jeżeli kąty wpisane są oparte na tym samym łuku to mają równe miary. (4) Jeżeli czworokąt jest kwadratem to jest rombem. (5) Jeżeli liczba pierwsza jest większa od to nie jest jej dzielnikiem.

4 . FUNKCJE ZDANIOWE I KWANTYFIKATORY. 4. Elementy rachunku zbiorów Zadanie.. Dane są zbiory A = R : } i B = R : }. Znaleźć zbiory A B A B oraz A \ B. Zadanie.. Dane są zbiory A = R : } i B = R : > }. Zaznaczyć zbiory (A B) A B oraz A \ B. Zadanie.. Dane są zbiory A = R : } i B = R : + A B oraz A B. Zadanie.4. Dane są zbiory A = R : } i B = R : A B oraz A B. > }. Znaleźć zbiory < }. Znaleźć zbiory Zadanie.5. Dane są zbiory A = ( y) R : y+ } i B = ( y) R : y +0}. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów. Zadanie.6. Dane są zbiory A = ( y) R : y 4} i B = ( y) R : y }. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów. Zadanie.7. Dane są zbiory A = ( y) R : y } i B = ( y) R : + y 4}. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów. Zadanie.8. Dane są zbiory A = ( y) R : y sin } i B = ( y) R : > 0 y log }. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów. Zadanie.9. Wiadomo że B = R : ( )}. Podać przykład zbioru A spełniającego równość: A B = R : ( 4) ( 4 (4 )}. Zadanie.0. Wiadomo że A = R : ( 4 0 )}. Podać przykład zbioru B dla którego prawdziwa jest równość: A B = R : ( ) ( ( 0) ( )}. Zadanie.. Ocenić wartość logiczną zdań:. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. () R( > 0 sin < 0) w = 0 () y N( y N) w = () t N(t + t = 0 t < t ) w = 0 (4) z R(z < z z + > 0) w = (5) (a + a 0) w = a R + (6) R( > 0 cos > 0). w = Napisać zaprzeczenia powyższych zdań. Zadanie.. Ocenić wartość logiczną zdań: () ( + y) = + y + y w = R y R () y = w = 0 R y R () (m > n m n) w = m N n N (4) R (5) R + ( + y > n y < n) w = y N n N y R + (y > y > ). w = Napisać zaprzeczenia powyższych zdań.

5 . FUNKCJE ZDANIOWE I KWANTYFIKATORY. 5 Zadanie.. Określić wartość logiczną poniższego zdania. Odpowiedź uzasadnić. (a ) + (a + ) + < 0. a R R Zadanie.4. Określić wartość logiczną poniższego zdania. Odpowiedź uzasadnić. (b + ) + (b ) + b > 0. b R R Zadanie.5. Przekształcając wyrażenie (y 0 = y y 0) y wprowadzić kwantyfikator o zasięgu ograniczonym oraz ocenić wartość logiczną otrzymanego zdania. Zadanie.6. Zbadać dla jakich zbiorów A X R prawdziwe jest zdanie log a < 0. a A X w = 0 w = (A = ( + ) X = (0 )) (A = (0 ) X = ( + )) Zadanie.7. Zbadać dla jakich zbiorów A X R prawdziwe jest zdanie a <. t T R a A X (A = ( + ) X = ( 0)) (A = (0 ) X = (0 + )) Zadanie.8. Wyznaczyć zakres T zmienności zmiennej t tak by prawdziwe było zdanie ( sin + < t + t ). T = ( ) ( + ) Zadanie.9. Zapisać przy użyciu kwantyfikatorów oraz ocenić wartość logiczną poniższych zdań. Odpowiedź uzasadnić. () Suma dowolnych dwóch liczb rzeczywistych jest większa od ich różnicy. () Iloczyn pewnych dwóch liczb rzeczywistych jest mniejszy od ich ilorazu. () Istnieją liczby nie będące kwadratem żadnej liczby rzeczywistej. (4) Nie istnieje liczba rzeczywista której kwadrat byłby mniejszy od zera. (5) Układ równań: + y = + y = nie ma rozwi azań. (6) Liczby 5 i 7 nie mają wspólnego dzielnika. Odpowiedzi: () ( + y > y) w = 0 np. liczby i R y R () (y < y ) w = np. liczby i 4 R y R () ( y ) w = np. liczba R y R (4) R( < 0) w = (5) R ( + y = + = ) w = 0 y R (6) Z( 5 Z 7 Z). w = 0 wspólnym dzielnikiem tych liczb jest

6 4. FUNKCJA ZŁOŻONA I ODWROTNA 6 4. Funkcja złożona i odwrotna Zadanie 4.. Dana jest funkcja f określona warunkiem f() =. Wyznaczyć f f oraz f f f. Zadanie 4.. Dane są funkcje f oraz g określone przy pomocy warunków f() = 4 oraz g() = + 4. W jakim zbiorze określone są funkcje: f g oraz g f. Zadanie 4.. Dane są funkcje f i g określone przy pomocy warunków f() = oraz g() =. Wyznaczyć o ile istnieją następujące funkcje złożone: f g g f g g f f f. Zadanie 4.4. Dane są funkcje f g i h określone wzorami f() = log g() = oraz h() =. Dostosowując ewentualnie dziedziny wykonać wszelkie możliwe złożenia wszystkich funkcji f g i h. Dokonać ponadto następujących złożeń: g f g h h h f f f. Zadanie 4.5. Z jakich funkcji elementarnych złożone są funkcje określone wzorami: () f() = log( + ) () f() = cos () f() = + (4) f() = 5 (+)? Zadanie 4.6. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f określonej wzorem:. () f() = + f () = + () f() = 5 f () = 5 () f() = + f () = (4) f() = +4 f () = 4+ + (5) f() = + f () = log (6) f() = + f () = log (7) f() = log 5 ( + 5) dla > 0 f () = 5 5 (8) f() = log 5 ( + 5) dla < 0 f () = 5 5 (9) f() = + f () = log (0) f() = 4 log (+4) dla > f () = log 4 () f() = sin dla π 6 π 6 f () = arc sin () f() = cos dla ( ) 0 π. f () = arc cos Zadanie 4.7. Obliczyć: () arc cos π () arc tg π 4 () arc sin ( ) π 6 (4) arc ctg ( ) π 4 (5) arc cos ( + arc tg ( ) (6) arc cos ) + arc tg 4 arc sin + arc ctg ( tg π 4 ) arc sin ( sin π Zadanie 4.8. Wyrazić bez użycia funkcji trygonometrycznych: 7 6 π ). 9 4 π () cos(arc sin ) () tg(arc sin ) () ctg(arc cos ) (4) cos(arc tg ) + (5) sin(arc ctg ) + (6) ctg(arc tg ). Zadanie 4.9. Niech f : R R oraz g : R R będą funkcjami określonymi wzorami: (a) f() = + dla < oraz g() = + + dla

7 5. GRANICA CIĄGU LICZBOWEGO 7 dla < (b) f() = dla + dla (c) f() = dla > Utworzyć g f. oraz dla g() = + dla 0 > 0 oraz + dla g() = + dla < Granica ciągu liczbowego Zadanie 5.. Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać że () liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = n n () liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = 7 n 6n () liczba 0 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = n 5n (4) liczba 4 7 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = 8 n +4 n (5) liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = 8n n (6) liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = 5n 5n +. Zadanie 5.. Wykazać że ciągi o wyrazach ogólnych () a n = n () b n = n () c n = log n są zbieżne do +. Zadanie 5.. Wykazać że ciągi o wyrazach ogólnych () a n = n () b n = n () log 0 n są zbieżne do. Zadanie 5.4. Wykazać rozbieżność ciągów o wyrazach ogólnych () a n = ( ) n+ () b n = cos n π () c n = (cos π) 5n+ (4) d n = n ( )n. Zadanie 5.5. Obliczyć następujące granice: 0n () lim n n () lim n 7 () lim (4) lim n + 6 n 4n + 0 n n + (5) lim (6) lim (7) lim (n ) 99 (n n + ) 00 0 (n ) 50 (n ) 5 (n + ) 49 (n )(n 4 )(n 5 + ) (n 6 + 7)(n + )(n + 7) (8) lim ( n + 6n + ). Zadanie 5.6. Obliczyć następujące granice: () lim ( n + 4 n) 0 () lim ( n n + 4 n + 8n ) 9 () lim ( 4n 5n + 4 n) 5 4 (4) lim ( n n n) 0 (5) lim ( n n + n) (6) lim (7) lim 4 n4 + n n 4 n + n n n + 7n n Zadanie 5.7. Obliczyć następujące granice: 5 n 00 () lim 00 5 n+ 5

8 5. GRANICA CIĄGU LICZBOWEGO 8 n + n+ () lim n + 4 n 0 () lim (4) lim (5) lim (6) lim (n ) (n + ) n n n n ( + ) ( )n (n + )! n! n (n + )! + n!. + Zadanie 5.8. Obliczyć następujące granice: ( () lim + n e 6 ( n) () lim 4 ) n ( n n + ) n+ () lim e n + ( n + n + ) n (4) lim e 4 n n + ( n + n + ) n (5) lim + n n + ( n + n + ) n + (6) lim 0 n n + ( 5n ) n + 7n + +n (7) lim 5n + + n + ( n ) n+5 + 6n + (8) lim n. e + n + 6 Zadanie 5.9. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice następujących ciągów: () a n = n n + sin n () b n = n n + 5 n + 7 n 7 () c n = n + n sin(n ) 0 (4) d n = n + n cos n π n (5) e n = n + + n n + n (6) f n = n + + n n n + n Zadanie 5.0. Obliczyć (o ile istnieją) następujące granice: log( n + n + 6 n ) () lim log ( n 4 () lim n4 + n n) n + n () lim + n ( n4 + n n (4) lim 8n 5n 8n + n 4) 7 ( n + 4 ) n + (5) lim e n + n (6) lim n + n + ( 5n + ) n (7) lim e 5 5n + 6 n + n + n (8) lim n n + n + 6 n n 5n + (9) lim (0) lim n ln n + 0n ( ) n + n

9 n+ 5 n () lim () lim (6) lim 6. GRANICA FUNKCJI 9 n + 7 n n + n + n n n + n n () lim n + n + ( (4) lim + n n + cos nπ ) nie istnieje (5) lim 4 n ) ( + ( ) n + ( ) n(n+) nie istnieje n + ( ) n (7) lim 5 n 0 ( n ) + n + n + (8) lim n e + n + n (9) lim + ( )n n n (0) lim n ( ) n n () lim 0 n + 7 n + ( ) n () lim n nie istnieje () lim n [ln(n + ) ln(n + )] Granica funkcji Zadanie 6.. Naszkicować przykładowe wykresy funkcji spełniających warunek: () lim f() = 7 f() = () lim () lim f() = (4) lim f() = + (5) lim f() = 0 (6) lim f() = + + (7) lim f() = 4 Zadanie 6.. Obliczyć następujące granice: () lim ( ) () lim 8 () lim ( + )e (4) lim 0 cos (8) lim f() = 0 (9) lim f() = + 0 (0) lim f() = () lim f() = () lim f() = + () lim f() = + (4) lim + f() =. ( (5) lim 7 ) 7 ( (6) lim + ) (7) lim (8) lim. + 0 Zadanie 6.. Obliczyć następujące granice:

10 6. GRANICA FUNKCJI 0 5 () lim () lim () lim (4) lim (5) lim 8 5 (6) lim 0 (7) lim 6 (8) lim ( ) + Zadanie 6.4. Sprawdzić czy istnieją następujące granice: () lim nie istnieje () lim ( ) + () lim nie istnieje (4) lim ( ) + (5) lim (6) lim ( + nie istnieje ) (7) lim e nie istnieje 0 (8) lim nie istnieje 0 ( ) (9) lim 9 nie istnieje 7 cos (0) lim nie istnieje 0 sin () lim nie istnieje 4 () lim e cos () lim 0 + ln. 0 Zadanie 6.5. Obliczyć następujące granice: sin + sin () lim π 6 sin sin + cos sin () lim π 4 cos + cos () lim 0 sin 8 sin 7 (4) lim 0 7 tg 5 (5) lim 0 tg 5 Zadanie 6.6. Obliczyć następujące granice: (6) lim ( ) tg π π ( ) (7) lim sin + + cos (8) lim 0 4 tg( π (9) lim ) π cos sin( ) (0) lim. ln( + ) () lim 0 ( ) + + () lim e + + () lim ( sin ) e 0 (4) lim (cos ) sin 0 (5) lim e 0

11 7. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI (6) lim + sin (7) lim + 0 sin 0 sin(sin ) (8) lim 0 sin sin α (9) lim. cos α α α Zadanie 6.7. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej wzorem: () f() = ( ) () f() = 4 + () f() = 4 (4) f() = + (5) f() = + (6) f() = sin (7) f() = + sin. Naszkicować przykładowe wykresy funkcji mających takie asymptoty. 7. Ciągłość funkcji Zadanie 7.. Zbadać ciągłość funkcji określonych poniższymi wzorami: + + dla 0 cos π () f() = (7) f() = dla + dla > 0 dla > () f() = + dla R \ } dla dla } (8) f() = log + dla < < dla 0 dla 0 cos () f() = dla 0 < e dla 0 + dla > (9) f() = dla 0 < sin( ) dla 0 4 dla > 5 sin(+) (4) f() = dla 0 < < 6 dla < dla 5 dla = ( + ) (5) f() = + 6 dla R \ } (0) f() = + dla < 0 ( ) 5 dla } log + dla 0 < (6) f() = 9 dla < 0 i arc ctg dla > dla 0 lub = + Zadanie 7.. Dla jakich wartości parametrów a b c poniższe funkcje są ciągłe na całym zbiorze liczb rzeczywistych: dla () f() = a dla sin a () f() = dla 0 a dla = dla R \ } () f() = ln a ln a dla = sin b dla = sin a dla < 0 (4) f() = + dla 0 < c dla = +(b ) b dla > Zadanie 7.. Wykazać że poniższe równania mają rozwiązania:

12 8. POCHODNA FUNKCJI () + = 0 () 5 + = 0 () = (4) log( + ) = (5) sin + = (6) e = (7) arc tg ( )( ) + arc cos ( ) = 0. Zadanie 7.4. Wykazać że dla a > 0 i b > 0 równanie pierwiastek w przedziale ( ). a + b Zadanie 7.5. Wykazać że funkcja określona wzorem f() = + ma miejsce zerowe w prze- ( ) dziale ( + ). = 0 ma przynajmniej jeden Zadanie 7.6. Uzasadnić że funkcja o równaniu f() = ln + w przedziale e przyjmuje wartość π. Zadanie 7.7. Wykazać że funkcje f oraz g określone przy pomocy równości f() = e oraz g() = mają punkt wspólny. Zadanie 7.8. Wykazać że funkcje f oraz g określone przy pomocy równości f() = ln oraz g() = mają punkt wspólny. 8. Pochodna funkcji Zadanie 8.. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () f() = sin () f() = ln + () f() = cos( ) (4) f() = +. w dowolnym punkcie należącym do jej dziedziny. Zadanie 8.. Obliczyć f () jeśli () f() = () f() = arc cos () f() = + e (4) f() = arc tg (5) f() = sin (6) f() = tg + + ctg π 4 (7) f() = cos + (8) f() = e e + (9) f() = ln e (0) f() = ln () f() = + 4 ln () f() = cos ( + ) + () f() = + 8 ctg ( + ) + cos( + ) (4) f() = + arc tg( ) (5) f() = ln( ) + (6) f() = arc cos 4 4 ( + ) ln + (7) f() = arc ctg (8) f() = sin (9) f() = (sin ) cos (0) f() = (ln ). 4 + Zadanie 8.. Napisać równania stycznych do wykresu funkcji f w punkcie 0 gdy () f() = 0 = 0 () f() = 0 = () f() = tg 0 = π 8 (4) f() = tg π 0 = (5) f() = ln( + 4 ) 0 = 0 (6) f() = e 0 = 0 (7) f() = arc tg( ) 0 =.

13 0. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO Zadanie 8.4. Zbadać różniczkowalność funkcji f określonej równością e + dla < () f() = + dla < 0 sin dla 0 < π. sin dla π < < 0 () f() = dla 0 < dla. ( + ) dla () f() = dla < 0 cos ( ) + π dla 0 < < π. Zadanie 8.5. Dobrać wartości parametrów a oraz b tak aby funkcja f : R R określona warunkiem a + dla < f() = dla < + + b dla była ciągła w całym zbiorze R. Czy f może być różniczkowalna w R? Zadanie 9.. Obliczyć następujące granice: ( () lim ) ln ( ) () lim ctg π + ( () lim 0 ) 0 sin π tg (4) lim ( ) e 4 π (5) lim ctg 0 (6) lim ln 0 0 arc tg (7) lim 0 tg 9. Reguła de l Hospitala (8) lim (tg ) tg π 4 (9) lim π Zadanie 9.. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej równością: () f() = ( )e () f() = ln ( ) e ( π ) tg (0) lim (e + sin ) e 0 e () lim + + () lim ln () lim ln( ) ln( ). 0 + ( ) () f() = ln + e (4) f() = e. 0. Zastosowania rachunku różniczkowego Zadanie 0.. Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji f zdefiniowanej równością () f() = + 9 na przedziale () f() = sin () na przedziale π π () f() = + cos na przedziale π π (4) f() = e (+) na przedziale (5) f() = na przedziale ( (6) f() = e na przedziale ( (7) f() = na przedziale e

14 0. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO 4 (8) f() = ln na przedziale e (9) f() = ( ) na przedziale. Zadanie 0.. Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji f określonej wzorem + < f() = = 7 + > na przedziale 4. Zadanie 0.. Zbadać monotoniczność funkcji f zdefiniowanej równością: () f() = ln ( + ) () f() = ln ( + ) ln ( + ) () f() = log ( ++) (4) f() = log ( +). Zadanie 0.4. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji: () f() = 4 + () f() = ( ) () f() = (4) f() = sin (5) f() = ( ) (6) f() = 4 (7) f() = (8) f() = + (9) f() = ln (0) f() = e () f() = ln( + ) () f() = e () f() = ln (4) f() = ln ln. a+b ( )( 4) Zadanie 0.5. Funkcja f określona wzorem f() = osiąga w punkcie o odciętej = ekstremum lokalne równe. Wyznaczyć a i b oraz rozstrzygnąć czy jest to minimum czy maksimum lokalne. Zadanie 0.6. Wyznaczyć ekstrema funkcji f określonej wzorem f() = log ( +). Zadanie 0.7. Napisać równanie stycznej do krzywej y = + 5 wiedząc że współczynnik kierunkowy tej stycznej jest równy. Zadanie 0.8. W którym punkcie prosta styczna do paraboli y = jest równoległa do prostej y = +? Zadanie 0.9. Pod jakim kątem przecinają się krzywe o równaniach f() = + oraz g() =? Zadanie 0.0. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f danej wzorem f() = (+) dla R \ }. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej 0 =. Zadanie 0.. Na wykresie funkcji (a) f() = (b) f() = sin wyznaczyć punkty w których styczna jest równoległa do prostej y =. Zadanie 0.. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem f() = ( ) dla < ( ) dla na przedziale 0 4.

15 0. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO 5 Zadanie 0.. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem ln f() = + dla < ( ) dla na przedziale. Zadanie 0.4. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem ln + f() = dla < ( 4) dla na przedziale 4. Zadanie 0.5. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem ( + 4) f() = dla ( ) dla > na przedziale 4. Zadanie 0.6. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem ( + ) f() = dla 0 dla > 0 na przedziale 4. Zadanie 0.7. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji: ( + ) () f() = + () f() = 4 () f() = 8 (4) f() = + (5) f() = + (6) f() = (7) f() = ( ) ( + ) (8) f() = ( ) ( + ) (9) f() = + (0) f() = () f() = ln () f() = e () f() = ln( + ) (4) f() = e (5) f() = ln (6) f() = ln ln. Zadanie 0.8. Walec o promieniu i wysokości h oraz półkula o promieniu złączone podstawami tworzą bryłę o objętości V. Dla jakiego pole powierzchni tej bryły jest najmniejsze? Zadanie 0.9. Koszt eksploatacji statku pełnomorskiego w ciągu godziny pływania wyraża się wzorem k(v) = a+bv gdzie a i b są pewnymi stałymi dodatnimi obliczonymi dla każdego statku oddzielnie natomiast v jest prędkością statku wyrażoną w kilometrach na godzinę. Dla jakiej prędkości v statek przepłynie dowolną drogę s przy najmniejszych kosztach? Zadanie 0.0. Znaleźć wysokość stożka obrotowego o najmniejszej objętości opisanego na kuli o promieniu R. Zadanie 0.. Jaka powinna być wysokość stożka wpisanego w kulę o promieniu R żeby jego powierzchnia boczna była największa? Zadanie 0.. Należy wykonać ogrodzenie prostokątnego skweru o powierzchni 00 m którego jeden bok przylega do granicy posiadłości. Koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia na granicy posiadłości wynosi 0 zł a koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia z pozostałych trzech boków jest równy 0 zł za metr bieżący. Jakie powinny być wymiary skweru by koszt ogrodzenia był najmniejszy?

16 . LICZBY ZESPOLONE 6. Liczby zespolone Zadanie.. Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( i)( + i) + (5 i)( i) z = 5i z = 4 i i z 4 = i + i + i i. Zadanie.. Dla jakich liczb y R zachodzą równości: () ( + yi)( i) = i; ( = y = 0 ) ( = 5 y = ) () + yi = i? = 5 y = 7 i Zadanie.. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania: + i () z + 4i = i z + i ; z = 7 6 i () z 4z + = 0; z = i z = + i () z + z + = 0; z = i z = + i (4) 4z = z + 4; z = (5) zz + ( i)z = zi; z = z = 0 (6) ( + i)z + z = z + + i. z = z = i.. Miejsca geometryczne. Zadanie.4. Wyznaczyć miejsca geometryczne liczb zespolonych z spełniających warunki: () z z = 5 z + z ; i () Re (iz + ) 0; () Im (z ) < 0; (4) z i = z ; (5) 4 z = z; (6) z z + (5 + i) z + = 0; (7) Im + iz iz = ; (8) Re z + zi > ; Zadanie.5. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór A = (9) z + i = ; (0) z + i < 4; () z + z i ; () π 6 < Arg z π ; () Arg(z + i) = π; (4) π Arg[( + i)z] π; ( ) i (5) Arg = π z 4 ; (6) Arg( + i) Arg z Arg( i). z C : Arg z Arg ( i ) Im[( z) ] Zadanie.6. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór A = z C : Arg z Arg( i) Im[(z + ) ] Zadanie.7. Przedstawić interpretację geometryczną zbioru: A = z C : Re(z ) = [Im(z + i)] = }. Zadanie.8. Przedstawić interpretację geometryczną zbioru: B = z C : z i Arg(z + ) π } Zadanie.9. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór A = z C : Re[( z + )(z )] 8 z i π } Arg (zi) π. Zadanie.0. Podać interpretację geometryczną zbioru liczb zespolonych o module równym dla których z + ( + i)z jest liczbą czysto urojoną. Zadanie.. Naszkicować zbiór A złożony z tych liczb zespolonych z dla których liczba ω = z+ z 4i jest czysto urojona. }. }.

17 . LICZBY ZESPOLONE 7 Zadanie.. Podać interpretację geometryczną zbioru B = z C : z + Re z < }. Zadanie.. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór z + i A = π z + i Arg z } i π. Zadanie.4. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór z i B = z + i 0 Arg z π }. Zadanie.5. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór A = z C : Im z [Re(z + )] Arg z π } 4 + Arg( i)... Potęgowanie i pierwiastkowanie. Zadanie.6. Obliczyć () () ( ( i i () ( i ) 5 (+i) 0 ) 6 ) (4) ( + cos π + i sin π (5) 4 + i i (6) 6 i i (7) +i ) 6 Zadanie.7. (a) Obliczyć w = ( i) 0. (b) Wyznaczyć w. Zadanie.8. Liczba i jest jednym z pierwiastków stopnia z liczby zespolonej z. Znaleźć pozostałe pierwiastki i wyznaczyć z. Sporządzić rysunek... Równania i wielomiany. Zadanie.9. W zbiorze liczb zespolonych C rozłożyć na czynniki liniowe wielomian () w(z) = z z + z () w(z) = z 8 () w(z) = z 4 4z + 4z + 4z 5 (4) w(z) = z (5) w(z) = z + z + z + Zadanie.0. W zbiorze C rozwiązać równania: () z 4 + z + = 0 () z 4 z + 4 = 0 () z 4 z + = 0 (4) (z + i )(z + 7) = 0 (5) z ( + i)z i = 0 (6) z 5z i = 0 (7) z + z + z = 0 (8) z + z + z = 0 (9) z i = 0 (0) z + i = 0 Zadanie.. W zbiorze liczb zespolonych C wyznaczyć pierwiastki wielomianu: () w(z) = (z 8)(z 6 ) () w(z) = (z 7)(z 6 + ) () w(z) = (z 4 6)(z + ) (4) w(z) = z 5 + z 4 + 6z + (5) w(z) = z 5 z 4 + 4z Zadanie.. W zbiorze C rozwiązać równanie:

18 . LICZBY ZESPOLONE 8 () z 4 z + z = 0 () z 4 + z + z + = 0 () z 6 z + = 0 (4) z 6 + z + = 0 a następnie każdy z pierwiastków tego równania przedstawić w postaci trygonometrycznej. Zadanie.. Dane jest równanie: ( ) : z z = + i. a) Znaleźć liczbę (z ) 98 gdzie z jest pierwiastkiem równania ( ) takim że Rez <. b) Korzystając z definicji pierwiastka znaleźć z gdzie z jest tym pierwiastkiem ( ) że Rez >. Zadanie.4. Znaleźć liczbę z0 5 gdy z 0 jest pierwiastkiem równania: z z = + i. ( ) a Zadanie.5. Znaleźć liczbę z 0 gdzie a = + i zaś z 0 jest tym z pierwiastków równania z + 7 = 0 którego argument główny jest najmniejszy. Zadanie.6. Rozwiązać równanie: () + = 0 } () = 0 } () = } (4) = 0 } (5) = 0 } (6) = 0 4} (7) = 0 } (8) = 0 } (9) = 0 0 } (0) = 0 + i i + i i } () = 0 + i i} () = 0 i + i} Zadanie.7. Wiedząc że z jest pierwiastkiem wielomianu w(z) obliczyć pozostałe pierwiastki tego wielomianu: () w(z) = z 4 + z + 9z + 8z + 0 z = i () w(z) = z 4 z + z + 9z 0 z = + i () w(z) = z 4 + z + z + z + z = i (4) w(z) = z 4 5z + 0z 0z + 4 z = + i (5) w(z) = z 4 6z + 5z 8z + 0 z = + i (6) w(z) = z 4 z + 8z 6z + 5 z = i. Zadanie.8. Obliczyć pierwiastki wielomianu w(z): () w(z) = z + 7z + 7z + 6 () w(z) = z + 9z + 9z 0 () w(z) = z 6 + z 4 + z 4 (4) w(z) = z 4 6z + 5z 8z + 0 (5) w(z) = z z + 6 (6) w(z) = z 5 z 4 + z z + z. Powyższe wielomiany rozłożyć na: (a) nierozkładalne czynniki rzeczywiste (b) czynniki liniowe.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres rozszerzony) klasa 2.

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres rozszerzony) klasa 2. 1. Wielomiany Wielomian jednej zmiennej rzeczywistej Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów Równość wielomianów Podzielność wielomianów Dzielenie wielomianów. Dzielenie wielomianów z resztą Dzielenie

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014 I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY IMIĘ I NAZWISKO UCZNIA NUMER UCZNIA W DZIENNIKU PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). Ewentualny

Bardziej szczegółowo

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych MATEMATYKA - klasa 3 gimnazjum kryteria ocen według treści nauczania (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wszystkich wymagań na oceny niższe.) Dział programu

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... Rozwiązania zadań. Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... Rozwiązania zadań. Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE Rozwiązania zadań Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Miejski Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli w Opolu Publiczne Liceum

Bardziej szczegółowo

Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki

Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki Poziom Podstawowy 2 kwietnia 2010 r. Czas trwania 170min. Arkusz przygotowany przez serwis www.akademiamatematyki.pl Zadanie 1. ( 1 pkt. ) Liczba jest o większa

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata.

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata. Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz 1. Wzajemne położenia prostych, płaszczyzn w przestrzeni. 2. Graniastosłupy- podział, pole powierzchni i objętość. 3. Ostrosłupy- podział,

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009 MATURA EUROPEJSKA 2009 MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY DATA : 8 czerwca 2009 CZAS TRWANIA EGZAMINU: 4 godziny (240 minut) DOZWOLONE POMOCE : Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez możliwości

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2016 poziom podstawowy M A T E M A T Y K A 09 MARCA Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2016 poziom podstawowy M A T E M A T Y K A 09 MARCA Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut M A T E M A T Y K A 09 MARCA 016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron (zadania 1-4). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin..

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Kryteria oceniania z matematyki KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Arytmetyka: Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który potrafi : - określić pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 17 stron

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 40092 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Największa wartość

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ Klasa POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 18 stron.. W zadaniach od 1. do 0. są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa.

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Centralna Komisja Egzaminacyjna ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 01 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz ćwiczeniowy zawiera strony (zadania 1 ).. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 2011 w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA oraz WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH 2 Próbny egzamin maturalny

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 03 WPISUJE ZJĄY KO PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI POZIOM POSTWOWY MJ

Bardziej szczegółowo

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli semestr I 2007 / 2008r. klasa I Liczby wymierne Dział Główne wymagania edukacyjne Forma Obliczenia procentowe Umiejętność rozpoznawania podzbiorów zbioru liczb wymiernych. Umiejętność przybliżania i zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY PO KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY PO KLASIE II GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY PO KLASIE II GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia roku Instrukcja dla ucznia W zadaniach o numerach od do są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D Dokładnie jeden z nich jest poprawny

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

1. Oblicz miarę kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku równym 1/10 długości okręgu. 2. Wyznacz kąty x i y. Odpowiedź uzasadnij.

1. Oblicz miarę kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku równym 1/10 długości okręgu. 2. Wyznacz kąty x i y. Odpowiedź uzasadnij. lb. Oblicz miarę kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku równym /0 długości okręgu.. Wyznacz kąty i y. Odpowiedź uzasadnij. 3. Wyznacz miary kątów α i β. 4. Wyznacz miary kątów α i β. 5.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 2013/2014

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 2013/2014 ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 013/014 WIELOMIANY Tematyka: Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Dodawanie, odejmowanie

Bardziej szczegółowo

Semestr Pierwszy Potęgi

Semestr Pierwszy Potęgi MATEMATYKA KL. II 1 Semestr Pierwszy Potęgi zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym, umie zapisać potęgę w postaci iloczynu, umie zapisać iloczyn jednakowych czynników w postaci potęgi, umie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016 opracowała: mgr Anna Przybylska I. CELE EDUKACJI MATEMATYCZNEJ w zakresie rozwoju intelektualnego ucznia (cele związane z kształceniem):

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-P_P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 5 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w klasie II gimnazjum

Kryteria ocen z matematyki w klasie II gimnazjum Kryteria ocen z matematyki w klasie II gimnazjum Na ocenę dopuszczającą uczeń: zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu roku szkolnego na lekcjach matematyki zna i rozumie pojęcie

Bardziej szczegółowo

1. Funkcja liniowa. a, gdzie A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) są punktami należącymi do wykresu tej funkcji; Wymagania podstawowe: Uczeń:

1. Funkcja liniowa. a, gdzie A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) są punktami należącymi do wykresu tej funkcji; Wymagania podstawowe: Uczeń: 1. Funkcja liniowa Tematyka: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej. Własności funkcji liniowej Znaczenie współczynników we wzorze funkcji liniowej

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum. Klasa I. Liczby i działania

Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum. Klasa I. Liczby i działania Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum Klasa I Liczby i działania obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych, w których występują liczby wymierne skracać i rozszerzać ułamki zwykłe porównywać dwa ułamki

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny III klasy gimnazjum

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny III klasy gimnazjum Wymagania z matematyki na poszczególne oceny III klasy gimnazjum Opracowano na podstawie planu realizacji materiału nauczania matematyki Matematyka Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja Praca zbiorowa pod

Bardziej szczegółowo