ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol"

Transkrypt

1 ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol

2 Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego 7 6. Granica funkcji 9 7. Ciągłość funkcji 8. Pochodna funkcji 9. Reguła de l Hospitala 0. Zastosowania rachunku różniczkowego. Liczby zespolone 6

3 . ELEMENTY LOGIKI. Elementy logiki Zadanie.. Ustalić które ze zdań są zdaniami w sensie logicznym. Podać wartość logiczną tych zdań. () Symbolem Lublina jest koziołek. w= () Obecnie w Lublinie mieszka dwa miliony osób. w=0 () Dwa plus dwa jest równe cztery. w= (4) Czy dwa plus dwa wynosi cztery? (5) Czy jest to zdanie w sensie logicznym? (6) Ucz się pilnie! (7) Jutro będzie padał deszcz. (8) Krowa jest zwierzęciem parzystokopytnym. w= (9) Okrąg jest brzegiem koła. w= (0) π jest liczbą wymierną. w=0 Zadanie.. Sprawdzić czy następujące formuły są prawami rachunku zdań: () (p q) ( p = q) N () (p = q) = [(r q) = (r p)] T () (p = q) = ( q = r) N (4) [(p q) = r] [p (q = r)]} = (p q r) N (5) [(p q) (p = q)] = (q = p) N (6) [(p = q) (q = p)] = (p q) N (7) [(p q) = r] = [(p r) = ( q)] T (8) [(p = q) (r = q)] = [(p r) = q] T (9) [(p = q) p] = q T (0) [(p q) (r = q)] [(p r) = q] N Zadanie.. Napisać zaprzeczenia następujących zdań lub form zdaniowych: () > 0 <. () 0. () Dziecko założyło lewą i prawą rękawiczkę. (4) Tu możemy skręcić w lewo lub w prawo. (5) < 5 < 5. (6) Jeżeli pada deszcz to idę pod parasolem. (7) + = 0 ( = = ). (8) W = P = R = 0. (9) Jeżeli liczba jest podzielna przez 9 to jest podzielna przez. (0) Okrąg jest bryłą wtedy i tylko wtedy gdy jest kwadratem liczby rzeczywistej. Zadanie.4. Sprawdzić że formuła (p q) ( p q) jest tautologią. Zastosować tę formułę do poniższych form zdaniowych. () + = 0 ( = = ). () Liczba dzieli się przez 6 wtedy i tylko wtedy gdy dzieli się przez i dzieli się przez. > 0 [( > > ) ( < < )] () Zadanie.5. Wskazać warunki konieczne oraz warunki dostateczne. Napisać implikację odwrotną przeciwną i przeciwstawną do danej: () Jeżeli liczba dzieli się przez 4 to jest liczbą parzystą. () Jeżeli koło ma promień o długości to jego pole wynosi 4π. () Jeżeli kąty wpisane są oparte na tym samym łuku to mają równe miary. (4) Jeżeli czworokąt jest kwadratem to jest rombem. (5) Jeżeli liczba pierwsza jest większa od to nie jest jej dzielnikiem.

4 . FUNKCJE ZDANIOWE I KWANTYFIKATORY. 4. Elementy rachunku zbiorów Zadanie.. Dane są zbiory A = R : } i B = R : }. Znaleźć zbiory A B A B oraz A \ B. Zadanie.. Dane są zbiory A = R : } i B = R : > }. Zaznaczyć zbiory (A B) A B oraz A \ B. Zadanie.. Dane są zbiory A = R : } i B = R : + A B oraz A B. Zadanie.4. Dane są zbiory A = R : } i B = R : A B oraz A B. > }. Znaleźć zbiory < }. Znaleźć zbiory Zadanie.5. Dane są zbiory A = ( y) R : y+ } i B = ( y) R : y +0}. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów. Zadanie.6. Dane są zbiory A = ( y) R : y 4} i B = ( y) R : y }. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów. Zadanie.7. Dane są zbiory A = ( y) R : y } i B = ( y) R : + y 4}. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów. Zadanie.8. Dane są zbiory A = ( y) R : y sin } i B = ( y) R : > 0 y log }. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć iloczyn tych zbiorów. Zadanie.9. Wiadomo że B = R : ( )}. Podać przykład zbioru A spełniającego równość: A B = R : ( 4) ( 4 (4 )}. Zadanie.0. Wiadomo że A = R : ( 4 0 )}. Podać przykład zbioru B dla którego prawdziwa jest równość: A B = R : ( ) ( ( 0) ( )}. Zadanie.. Ocenić wartość logiczną zdań:. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. () R( > 0 sin < 0) w = 0 () y N( y N) w = () t N(t + t = 0 t < t ) w = 0 (4) z R(z < z z + > 0) w = (5) (a + a 0) w = a R + (6) R( > 0 cos > 0). w = Napisać zaprzeczenia powyższych zdań. Zadanie.. Ocenić wartość logiczną zdań: () ( + y) = + y + y w = R y R () y = w = 0 R y R () (m > n m n) w = m N n N (4) R (5) R + ( + y > n y < n) w = y N n N y R + (y > y > ). w = Napisać zaprzeczenia powyższych zdań.

5 . FUNKCJE ZDANIOWE I KWANTYFIKATORY. 5 Zadanie.. Określić wartość logiczną poniższego zdania. Odpowiedź uzasadnić. (a ) + (a + ) + < 0. a R R Zadanie.4. Określić wartość logiczną poniższego zdania. Odpowiedź uzasadnić. (b + ) + (b ) + b > 0. b R R Zadanie.5. Przekształcając wyrażenie (y 0 = y y 0) y wprowadzić kwantyfikator o zasięgu ograniczonym oraz ocenić wartość logiczną otrzymanego zdania. Zadanie.6. Zbadać dla jakich zbiorów A X R prawdziwe jest zdanie log a < 0. a A X w = 0 w = (A = ( + ) X = (0 )) (A = (0 ) X = ( + )) Zadanie.7. Zbadać dla jakich zbiorów A X R prawdziwe jest zdanie a <. t T R a A X (A = ( + ) X = ( 0)) (A = (0 ) X = (0 + )) Zadanie.8. Wyznaczyć zakres T zmienności zmiennej t tak by prawdziwe było zdanie ( sin + < t + t ). T = ( ) ( + ) Zadanie.9. Zapisać przy użyciu kwantyfikatorów oraz ocenić wartość logiczną poniższych zdań. Odpowiedź uzasadnić. () Suma dowolnych dwóch liczb rzeczywistych jest większa od ich różnicy. () Iloczyn pewnych dwóch liczb rzeczywistych jest mniejszy od ich ilorazu. () Istnieją liczby nie będące kwadratem żadnej liczby rzeczywistej. (4) Nie istnieje liczba rzeczywista której kwadrat byłby mniejszy od zera. (5) Układ równań: + y = + y = nie ma rozwi azań. (6) Liczby 5 i 7 nie mają wspólnego dzielnika. Odpowiedzi: () ( + y > y) w = 0 np. liczby i R y R () (y < y ) w = np. liczby i 4 R y R () ( y ) w = np. liczba R y R (4) R( < 0) w = (5) R ( + y = + = ) w = 0 y R (6) Z( 5 Z 7 Z). w = 0 wspólnym dzielnikiem tych liczb jest

6 4. FUNKCJA ZŁOŻONA I ODWROTNA 6 4. Funkcja złożona i odwrotna Zadanie 4.. Dana jest funkcja f określona warunkiem f() =. Wyznaczyć f f oraz f f f. Zadanie 4.. Dane są funkcje f oraz g określone przy pomocy warunków f() = 4 oraz g() = + 4. W jakim zbiorze określone są funkcje: f g oraz g f. Zadanie 4.. Dane są funkcje f i g określone przy pomocy warunków f() = oraz g() =. Wyznaczyć o ile istnieją następujące funkcje złożone: f g g f g g f f f. Zadanie 4.4. Dane są funkcje f g i h określone wzorami f() = log g() = oraz h() =. Dostosowując ewentualnie dziedziny wykonać wszelkie możliwe złożenia wszystkich funkcji f g i h. Dokonać ponadto następujących złożeń: g f g h h h f f f. Zadanie 4.5. Z jakich funkcji elementarnych złożone są funkcje określone wzorami: () f() = log( + ) () f() = cos () f() = + (4) f() = 5 (+)? Zadanie 4.6. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f określonej wzorem:. () f() = + f () = + () f() = 5 f () = 5 () f() = + f () = (4) f() = +4 f () = 4+ + (5) f() = + f () = log (6) f() = + f () = log (7) f() = log 5 ( + 5) dla > 0 f () = 5 5 (8) f() = log 5 ( + 5) dla < 0 f () = 5 5 (9) f() = + f () = log (0) f() = 4 log (+4) dla > f () = log 4 () f() = sin dla π 6 π 6 f () = arc sin () f() = cos dla ( ) 0 π. f () = arc cos Zadanie 4.7. Obliczyć: () arc cos π () arc tg π 4 () arc sin ( ) π 6 (4) arc ctg ( ) π 4 (5) arc cos ( + arc tg ( ) (6) arc cos ) + arc tg 4 arc sin + arc ctg ( tg π 4 ) arc sin ( sin π Zadanie 4.8. Wyrazić bez użycia funkcji trygonometrycznych: 7 6 π ). 9 4 π () cos(arc sin ) () tg(arc sin ) () ctg(arc cos ) (4) cos(arc tg ) + (5) sin(arc ctg ) + (6) ctg(arc tg ). Zadanie 4.9. Niech f : R R oraz g : R R będą funkcjami określonymi wzorami: (a) f() = + dla < oraz g() = + + dla

7 5. GRANICA CIĄGU LICZBOWEGO 7 dla < (b) f() = dla + dla (c) f() = dla > Utworzyć g f. oraz dla g() = + dla 0 > 0 oraz + dla g() = + dla < Granica ciągu liczbowego Zadanie 5.. Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać że () liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = n n () liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = 7 n 6n () liczba 0 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = n 5n (4) liczba 4 7 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = 8 n +4 n (5) liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = 8n n (6) liczba jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym a n = 5n 5n +. Zadanie 5.. Wykazać że ciągi o wyrazach ogólnych () a n = n () b n = n () c n = log n są zbieżne do +. Zadanie 5.. Wykazać że ciągi o wyrazach ogólnych () a n = n () b n = n () log 0 n są zbieżne do. Zadanie 5.4. Wykazać rozbieżność ciągów o wyrazach ogólnych () a n = ( ) n+ () b n = cos n π () c n = (cos π) 5n+ (4) d n = n ( )n. Zadanie 5.5. Obliczyć następujące granice: 0n () lim n n () lim n 7 () lim (4) lim n + 6 n 4n + 0 n n + (5) lim (6) lim (7) lim (n ) 99 (n n + ) 00 0 (n ) 50 (n ) 5 (n + ) 49 (n )(n 4 )(n 5 + ) (n 6 + 7)(n + )(n + 7) (8) lim ( n + 6n + ). Zadanie 5.6. Obliczyć następujące granice: () lim ( n + 4 n) 0 () lim ( n n + 4 n + 8n ) 9 () lim ( 4n 5n + 4 n) 5 4 (4) lim ( n n n) 0 (5) lim ( n n + n) (6) lim (7) lim 4 n4 + n n 4 n + n n n + 7n n Zadanie 5.7. Obliczyć następujące granice: 5 n 00 () lim 00 5 n+ 5

8 5. GRANICA CIĄGU LICZBOWEGO 8 n + n+ () lim n + 4 n 0 () lim (4) lim (5) lim (6) lim (n ) (n + ) n n n n ( + ) ( )n (n + )! n! n (n + )! + n!. + Zadanie 5.8. Obliczyć następujące granice: ( () lim + n e 6 ( n) () lim 4 ) n ( n n + ) n+ () lim e n + ( n + n + ) n (4) lim e 4 n n + ( n + n + ) n (5) lim + n n + ( n + n + ) n + (6) lim 0 n n + ( 5n ) n + 7n + +n (7) lim 5n + + n + ( n ) n+5 + 6n + (8) lim n. e + n + 6 Zadanie 5.9. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice następujących ciągów: () a n = n n + sin n () b n = n n + 5 n + 7 n 7 () c n = n + n sin(n ) 0 (4) d n = n + n cos n π n (5) e n = n + + n n + n (6) f n = n + + n n n + n Zadanie 5.0. Obliczyć (o ile istnieją) następujące granice: log( n + n + 6 n ) () lim log ( n 4 () lim n4 + n n) n + n () lim + n ( n4 + n n (4) lim 8n 5n 8n + n 4) 7 ( n + 4 ) n + (5) lim e n + n (6) lim n + n + ( 5n + ) n (7) lim e 5 5n + 6 n + n + n (8) lim n n + n + 6 n n 5n + (9) lim (0) lim n ln n + 0n ( ) n + n

9 n+ 5 n () lim () lim (6) lim 6. GRANICA FUNKCJI 9 n + 7 n n + n + n n n + n n () lim n + n + ( (4) lim + n n + cos nπ ) nie istnieje (5) lim 4 n ) ( + ( ) n + ( ) n(n+) nie istnieje n + ( ) n (7) lim 5 n 0 ( n ) + n + n + (8) lim n e + n + n (9) lim + ( )n n n (0) lim n ( ) n n () lim 0 n + 7 n + ( ) n () lim n nie istnieje () lim n [ln(n + ) ln(n + )] Granica funkcji Zadanie 6.. Naszkicować przykładowe wykresy funkcji spełniających warunek: () lim f() = 7 f() = () lim () lim f() = (4) lim f() = + (5) lim f() = 0 (6) lim f() = + + (7) lim f() = 4 Zadanie 6.. Obliczyć następujące granice: () lim ( ) () lim 8 () lim ( + )e (4) lim 0 cos (8) lim f() = 0 (9) lim f() = + 0 (0) lim f() = () lim f() = () lim f() = + () lim f() = + (4) lim + f() =. ( (5) lim 7 ) 7 ( (6) lim + ) (7) lim (8) lim. + 0 Zadanie 6.. Obliczyć następujące granice:

10 6. GRANICA FUNKCJI 0 5 () lim () lim () lim (4) lim (5) lim 8 5 (6) lim 0 (7) lim 6 (8) lim ( ) + Zadanie 6.4. Sprawdzić czy istnieją następujące granice: () lim nie istnieje () lim ( ) + () lim nie istnieje (4) lim ( ) + (5) lim (6) lim ( + nie istnieje ) (7) lim e nie istnieje 0 (8) lim nie istnieje 0 ( ) (9) lim 9 nie istnieje 7 cos (0) lim nie istnieje 0 sin () lim nie istnieje 4 () lim e cos () lim 0 + ln. 0 Zadanie 6.5. Obliczyć następujące granice: sin + sin () lim π 6 sin sin + cos sin () lim π 4 cos + cos () lim 0 sin 8 sin 7 (4) lim 0 7 tg 5 (5) lim 0 tg 5 Zadanie 6.6. Obliczyć następujące granice: (6) lim ( ) tg π π ( ) (7) lim sin + + cos (8) lim 0 4 tg( π (9) lim ) π cos sin( ) (0) lim. ln( + ) () lim 0 ( ) + + () lim e + + () lim ( sin ) e 0 (4) lim (cos ) sin 0 (5) lim e 0

11 7. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI (6) lim + sin (7) lim + 0 sin 0 sin(sin ) (8) lim 0 sin sin α (9) lim. cos α α α Zadanie 6.7. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej wzorem: () f() = ( ) () f() = 4 + () f() = 4 (4) f() = + (5) f() = + (6) f() = sin (7) f() = + sin. Naszkicować przykładowe wykresy funkcji mających takie asymptoty. 7. Ciągłość funkcji Zadanie 7.. Zbadać ciągłość funkcji określonych poniższymi wzorami: + + dla 0 cos π () f() = (7) f() = dla + dla > 0 dla > () f() = + dla R \ } dla dla } (8) f() = log + dla < < dla 0 dla 0 cos () f() = dla 0 < e dla 0 + dla > (9) f() = dla 0 < sin( ) dla 0 4 dla > 5 sin(+) (4) f() = dla 0 < < 6 dla < dla 5 dla = ( + ) (5) f() = + 6 dla R \ } (0) f() = + dla < 0 ( ) 5 dla } log + dla 0 < (6) f() = 9 dla < 0 i arc ctg dla > dla 0 lub = + Zadanie 7.. Dla jakich wartości parametrów a b c poniższe funkcje są ciągłe na całym zbiorze liczb rzeczywistych: dla () f() = a dla sin a () f() = dla 0 a dla = dla R \ } () f() = ln a ln a dla = sin b dla = sin a dla < 0 (4) f() = + dla 0 < c dla = +(b ) b dla > Zadanie 7.. Wykazać że poniższe równania mają rozwiązania:

12 8. POCHODNA FUNKCJI () + = 0 () 5 + = 0 () = (4) log( + ) = (5) sin + = (6) e = (7) arc tg ( )( ) + arc cos ( ) = 0. Zadanie 7.4. Wykazać że dla a > 0 i b > 0 równanie pierwiastek w przedziale ( ). a + b Zadanie 7.5. Wykazać że funkcja określona wzorem f() = + ma miejsce zerowe w prze- ( ) dziale ( + ). = 0 ma przynajmniej jeden Zadanie 7.6. Uzasadnić że funkcja o równaniu f() = ln + w przedziale e przyjmuje wartość π. Zadanie 7.7. Wykazać że funkcje f oraz g określone przy pomocy równości f() = e oraz g() = mają punkt wspólny. Zadanie 7.8. Wykazać że funkcje f oraz g określone przy pomocy równości f() = ln oraz g() = mają punkt wspólny. 8. Pochodna funkcji Zadanie 8.. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () f() = sin () f() = ln + () f() = cos( ) (4) f() = +. w dowolnym punkcie należącym do jej dziedziny. Zadanie 8.. Obliczyć f () jeśli () f() = () f() = arc cos () f() = + e (4) f() = arc tg (5) f() = sin (6) f() = tg + + ctg π 4 (7) f() = cos + (8) f() = e e + (9) f() = ln e (0) f() = ln () f() = + 4 ln () f() = cos ( + ) + () f() = + 8 ctg ( + ) + cos( + ) (4) f() = + arc tg( ) (5) f() = ln( ) + (6) f() = arc cos 4 4 ( + ) ln + (7) f() = arc ctg (8) f() = sin (9) f() = (sin ) cos (0) f() = (ln ). 4 + Zadanie 8.. Napisać równania stycznych do wykresu funkcji f w punkcie 0 gdy () f() = 0 = 0 () f() = 0 = () f() = tg 0 = π 8 (4) f() = tg π 0 = (5) f() = ln( + 4 ) 0 = 0 (6) f() = e 0 = 0 (7) f() = arc tg( ) 0 =.

13 0. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO Zadanie 8.4. Zbadać różniczkowalność funkcji f określonej równością e + dla < () f() = + dla < 0 sin dla 0 < π. sin dla π < < 0 () f() = dla 0 < dla. ( + ) dla () f() = dla < 0 cos ( ) + π dla 0 < < π. Zadanie 8.5. Dobrać wartości parametrów a oraz b tak aby funkcja f : R R określona warunkiem a + dla < f() = dla < + + b dla była ciągła w całym zbiorze R. Czy f może być różniczkowalna w R? Zadanie 9.. Obliczyć następujące granice: ( () lim ) ln ( ) () lim ctg π + ( () lim 0 ) 0 sin π tg (4) lim ( ) e 4 π (5) lim ctg 0 (6) lim ln 0 0 arc tg (7) lim 0 tg 9. Reguła de l Hospitala (8) lim (tg ) tg π 4 (9) lim π Zadanie 9.. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej równością: () f() = ( )e () f() = ln ( ) e ( π ) tg (0) lim (e + sin ) e 0 e () lim + + () lim ln () lim ln( ) ln( ). 0 + ( ) () f() = ln + e (4) f() = e. 0. Zastosowania rachunku różniczkowego Zadanie 0.. Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji f zdefiniowanej równością () f() = + 9 na przedziale () f() = sin () na przedziale π π () f() = + cos na przedziale π π (4) f() = e (+) na przedziale (5) f() = na przedziale ( (6) f() = e na przedziale ( (7) f() = na przedziale e

14 0. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO 4 (8) f() = ln na przedziale e (9) f() = ( ) na przedziale. Zadanie 0.. Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji f określonej wzorem + < f() = = 7 + > na przedziale 4. Zadanie 0.. Zbadać monotoniczność funkcji f zdefiniowanej równością: () f() = ln ( + ) () f() = ln ( + ) ln ( + ) () f() = log ( ++) (4) f() = log ( +). Zadanie 0.4. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji: () f() = 4 + () f() = ( ) () f() = (4) f() = sin (5) f() = ( ) (6) f() = 4 (7) f() = (8) f() = + (9) f() = ln (0) f() = e () f() = ln( + ) () f() = e () f() = ln (4) f() = ln ln. a+b ( )( 4) Zadanie 0.5. Funkcja f określona wzorem f() = osiąga w punkcie o odciętej = ekstremum lokalne równe. Wyznaczyć a i b oraz rozstrzygnąć czy jest to minimum czy maksimum lokalne. Zadanie 0.6. Wyznaczyć ekstrema funkcji f określonej wzorem f() = log ( +). Zadanie 0.7. Napisać równanie stycznej do krzywej y = + 5 wiedząc że współczynnik kierunkowy tej stycznej jest równy. Zadanie 0.8. W którym punkcie prosta styczna do paraboli y = jest równoległa do prostej y = +? Zadanie 0.9. Pod jakim kątem przecinają się krzywe o równaniach f() = + oraz g() =? Zadanie 0.0. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f danej wzorem f() = (+) dla R \ }. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej 0 =. Zadanie 0.. Na wykresie funkcji (a) f() = (b) f() = sin wyznaczyć punkty w których styczna jest równoległa do prostej y =. Zadanie 0.. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem f() = ( ) dla < ( ) dla na przedziale 0 4.

15 0. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO 5 Zadanie 0.. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem ln f() = + dla < ( ) dla na przedziale. Zadanie 0.4. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem ln + f() = dla < ( 4) dla na przedziale 4. Zadanie 0.5. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem ( + 4) f() = dla ( ) dla > na przedziale 4. Zadanie 0.6. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem ( + ) f() = dla 0 dla > 0 na przedziale 4. Zadanie 0.7. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji: ( + ) () f() = + () f() = 4 () f() = 8 (4) f() = + (5) f() = + (6) f() = (7) f() = ( ) ( + ) (8) f() = ( ) ( + ) (9) f() = + (0) f() = () f() = ln () f() = e () f() = ln( + ) (4) f() = e (5) f() = ln (6) f() = ln ln. Zadanie 0.8. Walec o promieniu i wysokości h oraz półkula o promieniu złączone podstawami tworzą bryłę o objętości V. Dla jakiego pole powierzchni tej bryły jest najmniejsze? Zadanie 0.9. Koszt eksploatacji statku pełnomorskiego w ciągu godziny pływania wyraża się wzorem k(v) = a+bv gdzie a i b są pewnymi stałymi dodatnimi obliczonymi dla każdego statku oddzielnie natomiast v jest prędkością statku wyrażoną w kilometrach na godzinę. Dla jakiej prędkości v statek przepłynie dowolną drogę s przy najmniejszych kosztach? Zadanie 0.0. Znaleźć wysokość stożka obrotowego o najmniejszej objętości opisanego na kuli o promieniu R. Zadanie 0.. Jaka powinna być wysokość stożka wpisanego w kulę o promieniu R żeby jego powierzchnia boczna była największa? Zadanie 0.. Należy wykonać ogrodzenie prostokątnego skweru o powierzchni 00 m którego jeden bok przylega do granicy posiadłości. Koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia na granicy posiadłości wynosi 0 zł a koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia z pozostałych trzech boków jest równy 0 zł za metr bieżący. Jakie powinny być wymiary skweru by koszt ogrodzenia był najmniejszy?

16 . LICZBY ZESPOLONE 6. Liczby zespolone Zadanie.. Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( i)( + i) + (5 i)( i) z = 5i z = 4 i i z 4 = i + i + i i. Zadanie.. Dla jakich liczb y R zachodzą równości: () ( + yi)( i) = i; ( = y = 0 ) ( = 5 y = ) () + yi = i? = 5 y = 7 i Zadanie.. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania: + i () z + 4i = i z + i ; z = 7 6 i () z 4z + = 0; z = i z = + i () z + z + = 0; z = i z = + i (4) 4z = z + 4; z = (5) zz + ( i)z = zi; z = z = 0 (6) ( + i)z + z = z + + i. z = z = i.. Miejsca geometryczne. Zadanie.4. Wyznaczyć miejsca geometryczne liczb zespolonych z spełniających warunki: () z z = 5 z + z ; i () Re (iz + ) 0; () Im (z ) < 0; (4) z i = z ; (5) 4 z = z; (6) z z + (5 + i) z + = 0; (7) Im + iz iz = ; (8) Re z + zi > ; Zadanie.5. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór A = (9) z + i = ; (0) z + i < 4; () z + z i ; () π 6 < Arg z π ; () Arg(z + i) = π; (4) π Arg[( + i)z] π; ( ) i (5) Arg = π z 4 ; (6) Arg( + i) Arg z Arg( i). z C : Arg z Arg ( i ) Im[( z) ] Zadanie.6. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór A = z C : Arg z Arg( i) Im[(z + ) ] Zadanie.7. Przedstawić interpretację geometryczną zbioru: A = z C : Re(z ) = [Im(z + i)] = }. Zadanie.8. Przedstawić interpretację geometryczną zbioru: B = z C : z i Arg(z + ) π } Zadanie.9. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór A = z C : Re[( z + )(z )] 8 z i π } Arg (zi) π. Zadanie.0. Podać interpretację geometryczną zbioru liczb zespolonych o module równym dla których z + ( + i)z jest liczbą czysto urojoną. Zadanie.. Naszkicować zbiór A złożony z tych liczb zespolonych z dla których liczba ω = z+ z 4i jest czysto urojona. }. }.

17 . LICZBY ZESPOLONE 7 Zadanie.. Podać interpretację geometryczną zbioru B = z C : z + Re z < }. Zadanie.. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór z + i A = π z + i Arg z } i π. Zadanie.4. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór z i B = z + i 0 Arg z π }. Zadanie.5. Na płaszczyźnie zespolonej C zaznaczyć zbiór A = z C : Im z [Re(z + )] Arg z π } 4 + Arg( i)... Potęgowanie i pierwiastkowanie. Zadanie.6. Obliczyć () () ( ( i i () ( i ) 5 (+i) 0 ) 6 ) (4) ( + cos π + i sin π (5) 4 + i i (6) 6 i i (7) +i ) 6 Zadanie.7. (a) Obliczyć w = ( i) 0. (b) Wyznaczyć w. Zadanie.8. Liczba i jest jednym z pierwiastków stopnia z liczby zespolonej z. Znaleźć pozostałe pierwiastki i wyznaczyć z. Sporządzić rysunek... Równania i wielomiany. Zadanie.9. W zbiorze liczb zespolonych C rozłożyć na czynniki liniowe wielomian () w(z) = z z + z () w(z) = z 8 () w(z) = z 4 4z + 4z + 4z 5 (4) w(z) = z (5) w(z) = z + z + z + Zadanie.0. W zbiorze C rozwiązać równania: () z 4 + z + = 0 () z 4 z + 4 = 0 () z 4 z + = 0 (4) (z + i )(z + 7) = 0 (5) z ( + i)z i = 0 (6) z 5z i = 0 (7) z + z + z = 0 (8) z + z + z = 0 (9) z i = 0 (0) z + i = 0 Zadanie.. W zbiorze liczb zespolonych C wyznaczyć pierwiastki wielomianu: () w(z) = (z 8)(z 6 ) () w(z) = (z 7)(z 6 + ) () w(z) = (z 4 6)(z + ) (4) w(z) = z 5 + z 4 + 6z + (5) w(z) = z 5 z 4 + 4z Zadanie.. W zbiorze C rozwiązać równanie:

18 . LICZBY ZESPOLONE 8 () z 4 z + z = 0 () z 4 + z + z + = 0 () z 6 z + = 0 (4) z 6 + z + = 0 a następnie każdy z pierwiastków tego równania przedstawić w postaci trygonometrycznej. Zadanie.. Dane jest równanie: ( ) : z z = + i. a) Znaleźć liczbę (z ) 98 gdzie z jest pierwiastkiem równania ( ) takim że Rez <. b) Korzystając z definicji pierwiastka znaleźć z gdzie z jest tym pierwiastkiem ( ) że Rez >. Zadanie.4. Znaleźć liczbę z0 5 gdy z 0 jest pierwiastkiem równania: z z = + i. ( ) a Zadanie.5. Znaleźć liczbę z 0 gdzie a = + i zaś z 0 jest tym z pierwiastków równania z + 7 = 0 którego argument główny jest najmniejszy. Zadanie.6. Rozwiązać równanie: () + = 0 } () = 0 } () = } (4) = 0 } (5) = 0 } (6) = 0 4} (7) = 0 } (8) = 0 } (9) = 0 0 } (0) = 0 + i i + i i } () = 0 + i i} () = 0 i + i} Zadanie.7. Wiedząc że z jest pierwiastkiem wielomianu w(z) obliczyć pozostałe pierwiastki tego wielomianu: () w(z) = z 4 + z + 9z + 8z + 0 z = i () w(z) = z 4 z + z + 9z 0 z = + i () w(z) = z 4 + z + z + z + z = i (4) w(z) = z 4 5z + 0z 0z + 4 z = + i (5) w(z) = z 4 6z + 5z 8z + 0 z = + i (6) w(z) = z 4 z + 8z 6z + 5 z = i. Zadanie.8. Obliczyć pierwiastki wielomianu w(z): () w(z) = z + 7z + 7z + 6 () w(z) = z + 9z + 9z 0 () w(z) = z 6 + z 4 + z 4 (4) w(z) = z 4 6z + 5z 8z + 0 (5) w(z) = z z + 6 (6) w(z) = z 5 z 4 + z z + z. Powyższe wielomiany rozłożyć na: (a) nierozkładalne czynniki rzeczywiste (b) czynniki liniowe.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa do wydania piątego

Spis treści. Przedmowa do wydania piątego Zadania z matematyki wyższej. Cz. 1, [Logika, równania liniowe, wektory, proste i płaszczyzny, ciągi, szeregi, rachunek różniczkowy, funkcje uwikłane, krzywe i powierzchnie] / Roman Leitner, Wojciech Matuszewski,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644) LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)). MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Funkcje elementarne

Lista 1 - Funkcje elementarne Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach -5 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV

Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym

Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym KLASA I 105h Liczby (30h) 1. Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej 2. Wzory skróconego mnoŝenia 3. Nierówności pierwszego stopnia 4. Przedziały liczbowe

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny. Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 4 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

PRACA KONTROLNA nr 1

PRACA KONTROLNA nr 1 XXXV KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 005r. 1. Niech f(x) = x + bx + 5. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru b, dla których: a) wykres funkcji f jest symetryczny względem

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y= Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz

Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Przeanalizujmy następujące zadanie. Zadanie. próbna matura

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Klasa II - zakres podstawowy i rozszerzony

Klasa II - zakres podstawowy i rozszerzony Klasa II - zakres podstawowy i rozszerzony 1. PLANIMETRIA stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie oraz nierówność trójkąta uzasadnia przystawanie trójkątów, wykorzystując cechy przystawania

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych

MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

MATURA probna listopad 2010

MATURA probna listopad 2010 MATURA probna listopad 00 ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od. do 5. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) - 4 $ 4 Liczba 0 jest równa 4-0, 5 A. B. C. D. 4 Zadanie. ( pkt) Liczba log 6 - log

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR 2016

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR 2016 1 MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO MARZEC 016 Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 17). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO STEREOMETRIA wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny odróżnić proste równoległe

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Zadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 }

Zadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 } Zadanie 0 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y } oraz B = { (x, y) ; x R i y R i 4x + 4y 4x 5 } Zaznacz osobno zbiór B-A ( ) Niech m N. Oznaczmy zbiory : A m = { (x,

Bardziej szczegółowo