Praca domowa - seria 2

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Praca domowa - seria 2"

Małgorzata Niewiadomska
4 lat temu
Przeglądów:

1 Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z = a ib oraz Im(z) = b. Podstawiamy do nierówności otrzymując: i (a bi) < b ( a) + i(b 1) < b ( a) + (b 1) < b. Ponieważ moduł dowolnej liczby zespolonej jest nieujemny, to 0 < b, czyli b <. Skoro po obu stronach nierówności znajdują się liczby dodatnie, to możemy obustronnie potęgować: ( a) + (b 1) < ( b) (a ) + b b + 1 < b + b (a ) < b 1 (a ) + > b. Krzywą ograniczającą zbiór rozwiązań jest parabola o wierzchołku (, ) i współczynniku kierującym równym. 1

2 Rysunek 1: Zbiór A Zadanie. Znaleźć część rzeczywistą i urojoną liczby ( i 1 i )17. Rozwiązanie Niech w = i, u = 1 i i z = ( i 1 i )17. Przedstawiamy w i u w postaci trygonometrycznej: w = i = + ( 1) = + 1 = cos θ w = oraz sin θ w = 1 11π, czyli Arg(w) = 6 u = 1 i = = cos θ u = oraz sin θ u =, czyli Arg(u) = 7π

3 ( ) w 17 w 17 (cos(17arg(w)) + i sin(17arg(w))) z = = u u 17 (cos(17arg(u)) + i sin(17arg(u))) = 17 (cos( 17 11π) + i sin( 17 11π )) (cos( 17 7π) + i sin( 17 7π )) = 7 = 187π 17 cos( 6 cos( 119π Otrzymujemy: Re(z) = 18(1 ) Im(z) = 18(1 + ). 187π ) + i sin( ) 6 119π ) + i sin( ) = 17 7π cos( ) + i sin( 7π) 6 6 cos( 7π) + i sin( 7π) = 17 = 17 ( i 1)( + i ) = 17 ( 6 + i 1 i = + i 6 ) = = 1 ( 6) + i 1 ( 6) = 18(1 ) i18(1 + ) section*zadanie. Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które są rozwiązaniami równania: (1 i)z (9 + i)z + 10i = 0 (opisz część rzeczywistą i urojoną rozwiązań). Rozwiązanie = (9 + i) (1 i) 10i = i 0i 80 = i. Szukamy pierwiastków, czyli liczb postaci a+bi spełniających: = (a+bi) oraz = a + bi. { i = a b + abi ( ) + ( ) = a + b = a b = ab = a + b Dodając stronami pierwsze i ostatnie równanie uzyskujemy: = a = ab = a + b

4 Stąd a = 1 a = 1 = ab = a + b Zatem (a = 1 b = ) (a = 1 b = ) i szukane pierwiastki to 1 = 1 i oraz = 1 + i. Stąd rozwiązaniami równania są: z 1 = 9+i+1 i = 10(+i) = 0+0i = 1 + i (1+i) + 0 oraz z = 9+i 1+i = (8+i)(+i) = 0i = i. (1 i) 0 0 Czyli: Re(z 1 ) = 1, Im(z 1 ) =, Re(z ) = 0, Im(z ) = Zadanie. Niech A = {z C I(z ) R(z )}, B = {z C z(z 1) = 0}. Naszkicuj zbiór A na płaszczyźnie oraz znajdź liczbę elementów przecięcia A B. Wskazówka: Druga część zadania jest znacznie prostsza od pierwszej. Rozwiązanie Część pierwsza: Przede wszystkim przedstawmy z w postaci geometrycznej liczby zespolonej: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r [0, ), ϕ [0, π). Zauważmy, że zbiór A można zapisać w innej postaci A = {r(cos ϕ + i sin ϕ) C r sin ϕ r cos ϕ} = {r(cos ϕ + i sin ϕ) C sin ϕ cos ϕ}. Zwróćmy uwagę, że wartość r jest dowolna nieujemna. Jeśli sin ϕ i cos ϕ są tych samych znaków, to muszą być nieujemne, aby warunek był prawdziwy, czyli ϕ [0, π]. Dla sin ϕ 0 cos ϕ, czyli dla ϕ [ π, π], warunek jest równoważny sin ϕ cos ϕ, czyli sin ϕ (1 sin ϕ), a zatem sin ϕ.

5 A skoro dla tego przypadku sin ϕ 0 to jest to równoważne sin ϕ, czyli ϕ [ π, π]. Dla sin ϕ 0 cos ϕ, czyli dla [ π, π), warunek jest równoważny sin ϕ cos ϕ, czyli 1 cos ϕ cos ϕ, a zatem 1 cos ϕ. Ponieważ dla tego przypadku cos ϕ 0 to jest to równoważne 1 cos ϕ, czyli ϕ [ π, π). Zatem cały nasz zbiór można opisać przez ϕ [0, π ] [π, π ] [π, π) = [0, π ] [π, π). Warto zauważyć, że do tej pory zawsze zakładaliśmy, że ϕ [0, π) zgodnie z reprezentacją geometryczną liczb zespolonych. Natomiast prawdą jest też, że ϕ [kπ, π + kπ] [π + kπ, (k + 1)π), gdzie k Z. Zatem ϕ [ kπ, π + kπ] [ π + kπ, (k+1)π ), a zgodnie z założeniem, że ϕ 1 1 [0, π) (tak, jak w reprezentacji geometrycznej liczb zespolonych): ϕ [0, π 6 ] [π 1, π ] [11π 1, 7π 6 ] [17π 1, π ] [π 1, π), co już łatwo naszkicować. Część druga: Wielomian z warunku dla zbioru B jest stopnia, a jego pierwiastki to 0 oraz pierwiastki stopnia z jedynki, czyli 1, i, 1, i. Kąty tych ostatnich, to odpowiednio 0, π, π, π. Tak więc korzystając z części pierwszej, lub sprawdzając warunek zbioru A dla każdego z tych pierwiastków otrzymujemy A B = {0, 1, i, 1, i}. Zadanie. +i Opisz (w postaci a + bi) wszystkie liczby zespolone z takie, że = z z. Za wykonanie porządnego rysunku można otrzymać połowę punktów. z z Rozwiązanie Zauważmy, że = z z = z = z = cos ϕ+i sin ϕ, gdzie z z z z ϕ jest kątem liczby z. Łatwo sprawdzić, że liczba + i jest również unormowana (znany trójkąt + = ). A zatem warunek określa jedynie kąt liczby z, jej promień jest zaś dowolny niezerowy. Dlatego na chwilę założymy a + b = 1, dzięki temu będzie się liczyć nieco milej.

6 Mamy więc (a + bi) = + i co jest równoważne parze warunków a b = oraz ab =. Widzimy, że zarówno a jak i b nie może być zerem, więc otrzymujemy b =, a stąd a a ( ) a =, czyli a = co a przekształcamy do postaci równania dwukwadratowego a a = 0. Rozwiązujemy równanie ulubioną metodą, np. ( ) a 10 9 co daje 100 ( ) a 10 = 1, skąd otrzymujemy a = ± 1. Ale wiemy, że 10 a nie może być ujemne, czyli a = + 1 =. A zatem a = 10 ± 1. Dzięki temu otrzymujemy b = ± 1 = ± 1 o znaku zgodnym do a. A zatem rozwiązaniem są liczby postaci r 1 + ir 1 dla r 0, co można zapisać jako x + xi dla x R \ {0}. 6

Podobne dokumenty

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco: