Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1

Transkrypt

1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) c) d) e) f) Dla jakich wartości parametru m funkcja f() = (m ) 2 + (m ) + m 2 a) jest funkcją liniową. Dla tej wartości m narysować wykres f() b) jest funkcją kwadratową mającą jeden pierwiastek. Dla znalezionej wartości m narysować wykres f() c) ma największą wartość dodatnią.. Dla jakich wartości parametru m funkcja f() = m m : a) ma miejsce zerowe b) ma dwa miejsca zerowe różnych znaków c) ma dwa miejsca zerowe dodatnie d) ma najmniejszą wartość będącą liczba dodatnią. 4. Określić liczbę g(m) punktów wspólnych prostej y = m i krzywej y = (m + 1) 2 + (2 m) 2 w zależności od parametru m. Narysować wykres funkcji g(m). 5. Wyznaczyć współczynniki i określić stopień funkcji wielomianowych: a) ( 4 + 1)( 2 + 4) b) y = ( )( 2) 2 c) W () = ( + 2) ( 1) 2 d) y = ( + 1) 2 (2 + ) Obliczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q: a) P () = Q () = b) P () = Q () = c) P () = Q () = ( 1). 7. Dla jakiej wartości parametru a reszta z dzielenia wielomianu W () = 2 + (a 2 + 1) 2 (a + 2) 6 przez dwumian Q() = + jest możliwie najmniejsza. 8. Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów: a) b) c) d) Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów: a) b) c) d) Podane wielomiany przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników: a) b) c) d)

2 Matematyka Lista Rozwiązać równania: a) 2 = 0 b) = 0 c) = 0 d) = Rozwiązać nierówności: a) < 4 b) > 0 c) (1 2 )( ) 0 d) Rozwiązać równania: a) = b) = c) = d) + a + a = Rozwiązać nierówności: d) a) ( 1)2 ( + 1) 0 b) c) > 2 1 ( + 1) > e) 2 5 g) < 1 h) < + 1 f) < i) Przeprowadzić dyskusję istnienia rozwiązań równania i ich liczby w zależności od parametrów a i b: a) a + b = 2 b) 1 + b = a. 16. Uzasadnić że żadna liczba całkowita nie spełnia nierówności 17. Narysować wykresy funkcji: < a) f() = 6 2 b) f() = 6 c) f() = d) f() = e) f() = (2 )/( + 1) f) f() = sgn( 2 ). Uwaga: funkcja sgn() (znak ) przyjmuje wartość +1 dla > 0 0 dla = 0 i 1 dla < 0.

3 Matematyka Lista 2 Matematyka Lista 2 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): ( ) Rozwiązać równania wykładnicze: = (b) = = 128 (d) ( ) 2 (81 ) = (e) = 24 (f) ( ) 1 1 = Rozwiązać nierówności: 4 2 < 9 2 (b) > 0 (d) (e) 4 +8 < 6 2 (f) Obliczyć lub uprościć: log 1 6 log log5 9 log 5 log log log ( ) 1 e ln 2 2 log 6 2+log 6 18 log 2 log 9 2 ln 2+log 2 e log 1 +log 2 4 +log 8. (Uwaga: e jest liczbą Eulera (Napiera); ln = log e ) 5. Jaki dochód przyniesie po 4 latach lokata w wysokości 1000 zł oprocentowana w wysokości 6% rocznie jeżeli odsetki dopisywane są raz w roku? O ile zmieni się dochód jeżeli kapitalizacja jest miesięczna? 6. Nominalne oprocentowanie lokaty wynosi 6% w stosunku rocznym. Jakie jest oprocentowanie efektywne jeżeli odsetki dopisywane są co miesiąc? 7. Wpłacasz do banku 100 zł w formie lokaty długoterminowej ze stałym oprocentowaniem 6% w stosunku rocznym. Po jakim czasie wartość lokaty przekroczy 1000 zł gdy odsetki dopisywane są: raz w roku (b) co miesiąc. 8. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji: miesięcznej (b) dziennej n razy w roku w równych odstępach czasu. 9. Rozwiązać równania: log (+1) = 2 (b) ln 2 + ln = 4 log 2 +log 8 = 12 (d) log 5 + log 5 ( + 5) = 2 + log 5 2 (e) log 2 log = 0.

4 Matematyka Lista Rozwiązać nierówności: log < 1 (b) log 1 2 log 2 2 log 2 2 (d) log Rozwiązać układy: log 1 ( 1) log 1 6 (e) log 9 2 log + 1 > 0. { 2 log log y = 2 10 y = { { y = 6 (b) log y = 16 y = 9 y = log Naszkicować wykresy funkcji: y = (b) y = 2 y = 2 + (d) y = 2 (e) y = log ( 1) (f) y = ln (g) y = log 2 (2) (h) y = log 2. Wskazówki i odpowiedzi do zadań 2. a) 5/8 b) 1 c) 1/2 d) 2 2 e) 2 f) 1/5.. d) e) (1 2) f) [1 ) (1.06) (1.005) [(1.005) 12 1] 100%. 7. a) l: 100 (1.06) l > 1000 b) m: 100 (1.005) m > a) (1 + r/12) 12 1 b) (1+r/65) 65 1 c) (1+r/n) n a) 8 b) e 4 e c) 2 9 d) 5 e) 8 1/ a) (0 1/ ) b) 1/4 c) (0 1) d) e) < a) = y = 1 lub = 6 y = 4 b) = 9 y = 4 lub = 4 y = 9 c) = y = 2 lub = 1/9 y = 1.

5 Matematyka Lista 5 Matematyka Lista 1. Dla następujących macierzy: A = [ ] [ B = ] C = wykonać te działania A + B A C 2A B A B + C AC CA A T C T A C T C T B T (A T + C) T (C B T )A ABC ACB CA T B które są poprawne. 2. Obliczyć wyznaczniki: (b) Stosując rozwinięcie Laplace a obliczyć wyznaczniki: (b) Stosując operacje elementarne na wierszach i kolumnach obliczyć: (b) (d) (e) Znaleźć macierze odwrotne do podanych (sprawdź czy AA 1 = I): [ ] (b) Rozwiązać równania macierzowe: [ ] [ ] X = (b) 4 4 ([ ] 1 + 4X) = [ [ ] [ (d) X+ ] [ 1 X ] = ] = [ 2 2 [ ] ] X.

6 Matematyka Lista 6 7. Dla jakich wartości parametru p są układami Cramera: { p + y + pz = 0 (p + 1) py = (p 1)y = p (b) p + 2z = + 2y + pz = p. 8. Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać układ + 2y + z = y + z = + y + 2z = 2 (b) + 2y + z = y z = 7 y + z = Stosując wzór Cramera obliczyć niewiadomą y z układu: + 7y + 2z + 4t = 2y + z = 5 + y + 2z = + 4y + z 1 = 0 (b) +2y 4 = y+4z 6 = 5z+6s = 7s+8t = +y+z+s+t 2 = Rozwiązać układy metodą macierzy odwrotnej: 2 y = + y = 2 (b) + 2y = 0 2 y = 5 + y + z = y + z = + 2y + z = 1 (d) + y + z = 4 2 y + 5z = 5 + 2y z = Układy równań z zadań 8 10 rozwiązać metodą eliminacji Gaussa. 12. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa. + 4y + z + 2t = 6 + 8y + 2z + 5t = y + z + 10t = 1 (e) (b) (d) 5y + 2z + 4t = 2 7 4y + z + t = y 4z 6t = 2y + 5z + 4t = 2 6 4y + 4z + t = 9 6y + z + 2t = 4 + 2y + 2z + 2t = y + 2z + 5t = 9 + y + 4z 5t = y + z + 4t = y + 6z t = 7 2 y + z + 2t + u = 2 6 y + 2z + 4t + 5u = 6 y + 4z + 8t + 1u = 9 4 2y + z + t + 2u = 1.

7 Matematyka lista 4 7 Matematyka Lista 4 1. Zbadać monotoniczność ciągu: a n = 2n + 7 (b) b n = ( 1) n n c n = 1 2/n. 2. Podać wyraz a a n+1 a 2n gdy: a n = n2 n + 1 (b) a n = ( 1) n+1 ( ) n 2 a n = 1 n n + 1 2n.. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu arytmetycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: a = a 12 = 21 (b) a 1 + a 2 + a = 18 a a a 2 = Obliczyć sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez. 5. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Długość najkrótszego boku jest równa p. Obliczyć pole tego trójkąta pole koła opisanego na tym trójkącie oraz pole koła wpisanego w ten trójkąt. 6. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu geometrycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: a = 54 a 6 = 2 (b) iloraz q = 1 2 oraz S 7 = Zamienić na ułamek zwykły (b) Rozwiązać równanie = W okrąg o promieniu r wpisujemy kwadrat. W ten kwadrat wpisujemy okrąg. Powtarzamy tę operację uzyskując nieskończony ciąg okręgów i kwadratów. Obliczyć sumę pól tych kwadratów. 10. Obliczyć granice ciągów: a n = 2n2 n + 1 n n (b) b n = n6 n 2 n 7 + c n = n4 n + 2 2n + (d) d n = n n 2 1 (f) f n = n + 2 n n 2 n (g) g n = (e) e n = n( n n) ( 1 1 n ( n) n (h) h n = (i) i n = n n (j) j n = 1 n n n n (k) k n = n n + 2 n (l) l n = 1 n n n 2 + n. 11. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji ciągłej (graniczny przypadek kapitalizacji n razy w roku w równych odstępach czasu gdy n ). Jakie jest efektywne oprocentowanie po czasie t lat (t 0) przy kapitalizacji ciągłej?

8 Matematyka lista Obliczyć granice przy + oraz przy dla funkcji f(): (b) (d) + 1 (e) 2 ( 2 + 1)( + ) (f) (g) Obliczyć (gdy istnieją) granice: 2 9 lim + 1 (b) lim lim 1 1 (d) lim Na stożku o promieniu podstawy r i wysokości opisano kulę. Niech R() oznacza jej promień. Obliczyć granicę lim 0+ R() lim R(). Czy można podać te granice nie wyznaczając funkcji R()? 15. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji: y = (b) y = y = (d) y = 16. Dobrać parametry a b R tak aby podana funkcja f() była ciągła: 1 1. f() = { b + : < a : 1 (b) f() = { : a + b : > Wykazać że każde z poniższych równań ma pierwiastek: + = (b) + = (dokładnie jeden) + = (d) + 2 = (dokładnie trzy). 18. Uzasadnić że równanie 4 + = 5 ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Obliczyć na kalkulatorze ten pierwiastek z dokładnością Wskazówki i odpowiedzi do zadań 1. a) b) nie monoton. c).. a) a 1 = 1 r = 2 b) r = 2 a 1 = 4 lub r = 2 a 1 = S 00 = (( )/2)00 = p 2 / 5p/6 p/. 6. a) a 1 = 486 q = 1/ b) a 1 = a) 17/9 b) 1/ = 1/ r a) 2 b) 0 c) + d) 0 e) 1 f) 1 g) e 2 h) 1/e i) 1/4 j) 1/2 k) l) e r 1; e rt a) + b) 0 + c) 0 0 d) 1 1 e) 1 1 f) 1 1 g) 2/9 2/9. 1. a) 6 b) /2 c) 1/2 d) nie istnieje a) y = 2 w ± = 0 b) y = 1 w ± = 2 = 2 c) y = w ± = 2 d) y = 1 w ± = 0 lewostr. 16. a) b = a b) a = 1 b = 1.

9 Matematyka lista 5 9 Matematyka Lista 5 1. Znaleźć przyrost y funkcji y = 2 /2 przy = 2 zakładając przyrost zmiennej niezależnej równy 0.5 (b) 0.2. Wykonać odpowiedni rysunek. 2. Wyznaczyć przyrost y i iloraz różnicowy y/ odpowiadające przyrostowi argumentu dla funkcji: y = a+b (b) y = 1/(2+1). Wyznaczyć pochodną funkcji y = y() jako granicę ilorazu różnicowego.. Obliczyć pochodne funkcji: y = a + b + c (b) y = y = 2 (d) y = 5 2 (e) y = (f) y = 2 4 (g) y = 1 (h) ( 2) ln (i) y = e (j) (ln e ) (k) 2 ln e + ( (l) v = (4z 2 5z+1) 5 (m) s = 2 7t 2 4 ) 6 t + 6 (n) y = 5e 2 (o) y = (p) y = (r) y = ln ln (s) y = ln (t) s = ln t 1 t (u) y = arctg() (w) y = arctg( 2 + 1). 4. W jakim punkcie styczna do linii y = ( 8)/( + 1) tworzy z osią O kąt równy połowie kąta prostego? (b) Znaleźć na linii y = e punkt w którym styczna jest równoległa do prostej y + 7 = 0. Jaki związek powinien zachodzić pomiędzy współczynnikami równania paraboli y = 2 + p + q aby ta parabola była styczna do osi odciętych? (d) W jakim punkcie krzywej logarytmicznej y = ln styczna jest równoległa do prostej y = 2? 5. Korzystając z różniczki obliczyć przybliżoną wartość: 6 (b) e (d) ln Wykazać prawdziwość nierówności: > ln(1+) > 0 (b) e +1 2 arctg ln(1+ 2 ). 7. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: y = ( 2 ) (b) y = /(1 + 2 ) y =

10 Matematyka lista Wyznaczyć przedziały wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: y = 2 (b) y = /(1+ 2 ) y = arctg (d) y = +1/. 9. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: y = (b) y = 1 y = Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale: y = w [ 2 2] (b) y = w [1 ]. 11. Zbadać przebieg zmienności funkcji: y = (b) y = 2 2 ln y =. 12. Liczbę 20 rozłożyć na sumę takich dwóch składników dodatnich których suma kwadratów jest najmniejsza. 1. W kulę o promieniu R wpisano walec. Obliczyć przy jakiej wartosci promienia r podstawy walca pole jego powierzchni bocznej S będzie największe. Wskazówki i odpowiedzi do zadań. a) a 2 b/ 2 b) c) 9/( 2) 2 d) 2/(5 5 ) e) 2/( 1) 2 f) / 2 4 g) 1/(( ) 2 (1 ) 2 ) h) ( 1)/ + ln i) 2 (+)e j) (ln e )/( 2 )+ (1/ e ) k) ((2 1/)(e +) ( 2 ln )(e +1))/(e +) 2 l) 5(4z 2 5z +1)(8z 5) m) 12(7t 2 4/t+6) 5 (14t+ 4/t 2 ) n) 10e 2t o) 5 ln ln 2 p) ( ln ) + 2 r) (1/ ln ) (1/) s) 1/( 2) t) 1/(1 t 2 ) u) /( ) w) 1/2( 2 + 1). 4. a) ( 4 4) lub (2 2) b) (0 1) c) y = 0 y = 0: p 2 + 4q = 2 d) (2 ln 2). 5. a) 4 1/48 b) c) 1/2 + 1/800 d) a) Niech f() = ln(1 + ) dla [0 ); f () = /(1 + ) > 0 dla > 0 czyli f() rosnąca na [0 ); f(0) = 0 więc f() > 0 dla > 0. b) Niech f() = e ( + 1) dla R; f () = e 1 stąd f() malejąca na ( 0] i rosnąca na [0 ); f min = f(0) = 0 więc f() 0 dla R. c) jak b). 7. a) : [0 1] : > 1 b) : [ 1 1] : na < 1 i na > 1 c) : na ( 2 i na ( 2 ) : [ 2 2]. 8. a) : (1 ) : ( 1) pp: = 1 b) : ( 0) : (0 ) pp: = 0 c) : (0 ) : ( 0) pp: = a) y ma = y( 6) y min = y( 2) b) y ma = y(2/) c) y min = y( 1) y min = y(1). 10. a) ma: y( 2) = y(2) = 1 min: y( 1) = y(1) = 4 b) ma: y() = 10 min: y(1) = ; wyznaczyć jako wartość największą odpowiedniej funkcji. 1. S = 4πr R 2 r 2 osiąga ma dla r = R/ 2.

11 Matematyka lista 6 11 Matematyka Lista 6 1. Obliczyć całki nieoznaczone: ( +2 1)d (b) ( 1)( 2)d (d) d (e) d (f) (h) ( ) 2 2 d (i) d (j) 2. Obliczyć całki całkując przez części: e d (b) ln d (e) ln d (f) 2 ln d (g) 2 e d d (g) + d d e 2 5 d. (d) arctg d (h) ln d (ln ) 2 d.. Obliczyć całki całkując przez podstawienie: a d (b) (5 ) 10 d + b d (d) e 2 d (e) d 4. Obliczyć całki: d (b) d (d) ( 2)( + 1) (e) (f) ( + 2) d d ln 2 d (f) (g) ln 2 d d. 4 d ( 2 + 1)( 1). 5. Obliczyć całki oznaczone: d (b) 1 1 ( + 1)d 2 1 d. 6. Wyznaczyć wzór na prędkość v(t) i drogę s(t) w ruchu prostoliniowym ze stałym przyspieszeniem a(t) = a gdy v(0) = v 0 i s(0) = s Obliczyć całki stosując podstawienie: 4 0 d 1 + = t2 (b) 1 0 e e d 2 d Obliczyć całkując przez części: 2 0 e d (b) arctg d e 1 ( ) 2 ln d.

12 Matematyka lista Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolami y = 2 y 2 = (b) parabolą y = 2 2 i prostą + y = 0 krzywą y = ln osią 0 i prostą = e (d) krzywą y = (1 2 )5 i osiami układu. 10. Punkt materialny o masie m porusza się po linii prostej z prędkością v = (12t t 2 ) m/s. Jaką drogę przebędzie ten punkt od chwili początkowej do chwili zatrzymania się? 11. Obliczyć długość krzywej: 9y 2 = (b) y = ln(1 2 ) Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu łuku paraboli y 2 = 4 dla 0 dokoła osi O oraz objętość bryły ograniczonej tą powierzchnią i płaszczyzną =. 1. Posługując się całką oznaczoną wyprowadzić wzór na objętość kuli i pole powierzchni sfery o promieniu r. Wskazówki i odpowiedzi do zadań 1. a) (/4) 4 + (4/) + c b) 4 / c c) ln / + c d) 6 ln + c; e) arctg + c g) (1/) ln( + 8) + c h) 81/5 5 18/ / c i) /8 8 6/ a) e ( + 1)/ + c b) ln + c c) 2 (2 ln 1)/4 + c d) (1 + ln )/ + c e) arctg (1/2) ln( 2 +1)+c f) (ln ) 2 2 ln +2+c.. a) e 2 /2+c b) (5 ) 11 /+c c) ( 2 + 1) /+c d) (ln ) 2 /2+c e) (1/2)arctg( 2 )+c f) 2( a + b) /b+c. 4. a) (1/ 7)arctg((+1)/ 7)+c b) 2arctg(+1)+c c) ln( ) (/2)arctg((+1)/2)+c d) 2 ln 2 +ln +1 +c e) ln 1 ln + + c f) 2 ln 1 ln( 2 + 1) 2arctg() + c. 5. a) 2 (2 ln 7)/ b) 2 c) 5/2. 6. v(t) = at + v 0 s(t) = at 2 /2 + v 0 t + s a) 4 2 ln b) artctg e π/4 c) 1/2. 8. a) 1 /e 2 b) π/12 (1 ln 2)/6 c) 2 5/e. 9. a) 1/ b) 9/2 c) 1 d) 1/. 10. s = 12 (12t 0 t2 )dt = 288 m. 11. a) 8(2 2 1)/ b) ln 1/ D = 56π/ V = 18π.

13 Matematyka lista 7 1 Matematyka Lista 7 1. Zbadać przekroje wykresów funkcji z = z( y) i na tej podstawie naszkicować te wykresy: + 2y + z 6 = 0 (b) z 2 = 2 + y 2 z = 2 + y 2 (d) z = y. 2. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji: z = y (b) z = e y z = 2 y + ln(y).. Znaleźć ekstrema funkcji z = z( y): z = 2 + y + y 2 2 y (b) z = y 2 (6 y). 4. Znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji z = z( y) w podanym obszarze: z = 2 + 2y 4 + 8y w obszarze D : y 2 (b) z = + y 2 2y 1 w obszarze D : 0 y 0 + y 1 z = 2 y + y 2 w obszarze D : + y Wyznaczyć odległość punktu A = (0 0) od powierzchni y = z. 6. Liczbę dodatnią a przedstawić w postaci sumy takich trzech liczb dodatnich aby ich iloczyn był największy. 7. Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 64 m. Do budowy ścian magazynu używane są płyty w cenie 0 zł/m 2 do budowy podłogi w cenie 40 zł/m 2 a sufitu 20 zł/m 2. Znaleźć długość a szerokość b i wysokość c magazynu którego koszt budowy będzie najmniejszy. 8. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej y = f() określonej równaniem: 2 + y 2 8 4y + 19 = 0 (b) y + 2y + 2 = y 4 = Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej z = f( y) określonej równaniem: 2 + y 2 + z 2 2 2y 2z + 2 = 0 (b) z 2 + y zy 2 = Metodą mnożników Lagrange a wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji f( y) przy danym warunku g( y) = 0: f( y) = 2 + y 2 g( y) = y 1 (b) f( y) = + y g( y) = + y 2 0 y 0 f( y) = 1/ + 1/y g( y) = 1/ 2 + 1/y y Rozwiązać równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych: dy d = 2y dy (b) 22 d = y dy d = 2y2 2 dy d. 12. Znaleźć rozwiązanie r.r. spełniające warunek początkowy y(1) = 0: (1 + 2 )y dy d = 1 + y2 (b) dy d = 2b (y 2 + 1) b R. 1. W pewnym ruchu stosunek prędkości do przebytej drogi jest wielkością stałą i wynosi 2. W chwili t = 0 przebyta droga wynosiła = 2 cm. Obliczyć przebytą drogę do chwili t = 5 sek.

14 Matematyka lista Wyznaczyć równanie linii przechodzącej przez punkt A(2 ) takiej że każdy odcinek stycznej do tej linii zawarty między osiami układu jest dzielony na połowy przez punkt styczności. 15. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe: dy d = y + dy (b) d + 2y = e dy d y = y. 16. Znaleźć całki szczególne spełniające dane warunki początkowe: y y = e y(0) = 1 (b) (1 2 )y + y = 1 y(0) = W chwili t = 0 skoczek spadochronowy o masie m wyskakuje z samolotu i opada swobodnie na ziemię (z zamkniętym spadochronem). Na ciało skoczka działają jedynie siła grawitacji (F g = mg) i skierowana przeciwnie do kierunku ruchu siła oporu powietrza proporcjonalna do prędkości skoczka (tzn. F o = kv gdzie k > 0 jest stałą). Znaleźć wzór na prędkość opadania skoczka w chwili t > 0. (b) Jaką maksymalną prędkość może osiągnąć skoczek? 18. W chwili t = 0 agencja rządowa ma 6000 pracowników wśród których 25% to kobiety. Średnio w ciągu tygodnia agencję opuszcza 100 osób przy czym udział kobiet wśród odchodzących jest taki sam jak wśród dotychczas zatrudnionych. Średnio w ciągu tygodnia do pracy przyjmowanych jest 50 nowych pracowników z których połowę stanowią kobiety. Ilu pracowników będzie miała agencja w 40 tygodniu? Jaki będzie udział kobiet wśród osób pracujących w agencji w 40 tygodniu? Wskazówki i odpowiedzi do zadań 1. a) płaszczyzna; b) stożek; c) paraboloida obrotowa; d) siodło. 2. a) z = y z y = z y = z y = 1 z = z yy = 0; b) z = (y + 1)e y z y = 2 e y z y = z y = (2 + 2 y)e y z = (2y + y 2 )e y z yy = e y ; c) z = 2y+1/ z y = 2 +1/y z y = z y = 2 z = 2y 1/ 2 z yy = 1/y 2.. a) z min = z(1 0) = 1; b) z ma = z( 2) = a) 17; b) 4 1; c) a/ + a/ + a/. 7. a = b = c = a) dla = 4 min y = 1 i ma y = ; b) ma y = 1 w = a) z 1 w (1 1) min z = 1 i ma z = 2 na dwóch gałęziach; b) w ( 6 6 ) min z = 12 i w ( 6 6 ) ma z = a) w (1 1) i w ( 1 1) min = 2; b) w (1 1) min = 2; c) w ( 2 2) min = 2 w ( 2 2) ma = a) y = C 2 b) y = C e 1/2 c) C(1+ 2 ). 12. a) 1+y 2 = C 2 /(1+ 2 ) C = 2 b) y = tg(2 b+1 /(b + 1) + C) i C = 2/(b + 1) gdy b 1; y = tg ln(c 2 ) i C = 1 gdy b = v(t) = d(t)/dt v(t)/(t) = 2; stąd (t) = Ce 2t z C = RR: y () = y(); y = C/ z C = a) y = c 2 b) y = ce 2 +e /5 c) y = ce. 16. a) y = e (+1) b) y = a) v(t) = mg ) (1 e k m t b) v ma = mg. 18. Niech W (t) oznacza liczbę k k kobiet pracujących w agencji w chwili t. Wówczas: W (t) = ( t) 2 ; t 2 W (40) / 100% = 100% = %.