1. Równania i nierówności liniowe

Transkrypt

1 Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x + = c) x 4 + x = 4 4 Rozwiązać nierówność: a) x+ x+ b) x + 6 > (x + 4) 5 Rozwiązać nierówność: 4 x < x 6 Sporządzić wykres funkcji: y = x + ( : x ) + x a x = b x = c x = a x =, x = b x =, x = c x (, 4] 4a x 4b x < 0 5 x ( 4, 4)

2 Układy równań liniowych, funkcja kwadratowa 7 Rozwiązać nierówność, podać interpretację geometryczną: a) x + 5 < x, b) x + + > x 8 Rozwiązać nierówność: a) x < 5, b) x + x > 0, c) x x x Rozwiązać układ nierówności: x x + x x + x x { ax + y = 0 0 Dla jakich wartości parametru a układ x + ay = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie? Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór punktów, których współrzędne x, y spełniają układ równań: { x + y > x y 6 Dla jakich wartości parametru (parametrów) układ równań o niewiadomych x, y ma: dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań, nie ma rozwiązań? { { x y = m x + y = a a) b) x + y = 5 mx + ky = 0 Rozwiązać układ równań: { 5x y = 9 a) 5x + 6y = 0 b) x + y = 5 x 5 y = 9 4 Znaleźć najmniejszą wartość trójmianu kwadratowego y = x + x + 5 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f : [, ] f(x) = x + 4x 6 Wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli y = x x 7 Sprowadzić do postaci kanonicznej trójmian kwadratowy: a) y = x + x +, b) y = x 8x Naszkicować wykresy funkcji: a) y = x + x +, b) y = x 5x c) y = x 8x + 7, d) y = x 5 e) y = x + x +, f) y = x + 9 Naszkicować wykresy funkcji: a) y = x, b) y = x + x +, c) y = x x 0 Rozwiązać równanie: 8y+7 y = 0 y y +y+ Rozwiązać nierówność:

3 a) x x + > 0 b) x + x + 0 c) 5 x x < x x d) x +x +x +x 7a x (, 4 ) (6, + ) 7b x R 8a x ( 4, 6) 8b x (, + ) 8c x [ 7, ] 9 x R \ {0,, } 0 a R \ { 6, 6} a Dokładnie jedno rozwiązanie dla m R b Dokładnie jedno rozwiązanie dla k m 0 Nieskończenie wiele rozwiązań dla k = m = 0, a R lub k = m, a = 0 Układ sprzeczny dla k = m 0, a 0 a Układ sprzeczny b x =, y = Wartość najmniejsza wynosi 6, wartość największa wynosi 0 6 W ( 4, 5 8 ) 7a y = (x + 4 ) 8 7b y = (x ) 0 y = 4, y = 9 a x (, ) (, + ) b x R c x (, ) (, 4 ) d x (, )

4 Wielomiany Rozwiązać nierówność x x (x ) 4 Dla jakich wartości parametru k nierówność x +x+k x +x+ k > 0 jest spełniona dla każdego x? 4 Naszkicować wykresy funkcji: a) y = x 7x + 0, b) y = x x + 5 Rozwiązać równania: a) x 4 x + x = 0, b) x 4 x + 4x 6x + = 0, c) x 8 6 = 0 6 Wykonać dzielenie wielomianów (wypisać otrzymany wyniki z dzielenia i reszty): a) (x 6 + x 4 + x + ) : (x + x + ) b) (x 0 + x 0 + x 0 + ) : (x 0 + x 5 + ) c) (4x 4 + x + x + x + ) : (x + x + 4) d) (x + x + 7) : (x ) e) (4x 5 + 7x 4 + 5x + x + 7x + ) : (x + 7) f) (x 7 + 5x + x + ) : (x + 5x + ) g) (x 5 + x 4 + x + 4x + 5x + 6) : (x ) 7 Dla jakiej wartości parametru k reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x + x + k x 8 przez dwumian x + wynosi? 8 Dla jakich wartości parametrów a, b wielomian W (x) = x + ax + bx 4 jest podzielny przez dwumian x? 9 Dla jakich wartości parametrów a, b wielomian W (x) = x 4 + ax bx + x jest podzielny przez trójmian x x? x [, ] k (, 7) 5a x =, x = pierwiastek potrójny 5b x = pierwiastek podwójny 5c x =, x = 6a x 6 + x 4 + x + = (x + x + )(x ) + x + x + 6b [ x 0 + x 0 + x 0 + = (x 0 + ] x 5 + ) (6x0 4x x 0 78x 5 5) (7x5 + 0) 6c 4x 4 + x + x + x + = (x + x + 4)(4x 5x 4) + 9x + 9 6d x + x + 7 = (x )(x + x + ) + 0 6e [ 4x 5 + 7x 4 + 5x + x + 7x + = ](x + 7) 6 (x4 56x + 6x 80x + 89) 0 6 6f x 7 +5x +x+ = (x +5x+)(x 5 0x x 0x + 07x 505) + 540x g x 5 + x 4 + x + 4x + 5x + 6 = (x )(x 4 + 4x + x + 6x + 57) k = lub k = 8 a = 4, b = 9 a =, 5, b =, 5 4

5 4 Równania i nierówności wielomianowe i wymierne 0 Dla jakich wartości parametru a wielomian W (x) = x + 4 a x x jest podzielny przez dwumian x+? Podać wszystkie pierwiastki tego wielomianu dla wyznaczonej wartości parametru Dla jakich parametrów a, b wielomian W (x) = x 4 x + 6x + ax + b jest podzielny przez dwumian x? Sporządzić wykres funkcji: a) y = x, b) y = x x Dana jest funkcja f(x) = x + x Rozwiązać nierówność f[f(x)] [f(x)] > 6x 4 Dana jest funkcja f(x) = x + x Rozwiązać nierówność f(x) > f( x) 5 Dla jakich wartości parametru a równanie cos x = a 4a+ a ma rozwiązania? 6 Udowodnić, że dla każdego x prawdziwa jest nierówność x x 9 + x 4 x + > 0? 7 Rozwiązać nierówność a) (x ) (x )(5 x) ( x)(5 x) 0, b) ( x)(8x )( 5x) (x+5)( x) 0, c) (8x 5)(x ) (4 x) (x 5)(x+7) 0, d) x6 +x 4 +x + x 8 6 0, e) x 4 0+x 8 5, f) x +x 4 x <, g) < x 7x 9 x x 5 <, h) x + x + 7 x + 8x + 0 a =, x =, x = 4, x = a =, b = 7 x (0, ) 4 x (0, ) (, + ) 5 a [0, ] [, + ) ( ] ( ) 7a x,, 5 ( ) 7b x, 5 [ 4, 5] (, ] 7c x ( ) [, ), 5 {} [4, + ) 7d x (, ) 7e x R 7f x (, 5 ] [, ] 7g x (, ) (7, + ) 7h x [, 4] 5

6 5 Funkcja wykładnicza, równania i nierówności wykładnicze 8 Sporządzić wykres funkcji: y = x 9 Rozwiązać równanie: a) 4 x+ = 65 4 x b) 49 x 6 7 x + 5 = 0 c) d) 6 [ ( ) ] x+ x x = 4 (0, 5) 5 4 x = x e) x + x + x + = x + 4 f) x + x + x + = 40 Rozwiązać nierówność: a) 9 x 6 > x+ b) 4 x+ < x 64 ( ) x ( ) x c) d) ( ) x 6 x + ( x < ) e) 6x+ x > 7 x+ x 9a x =, x = 9b x = 0, x = log 5 log 7 9c x = 9 9d x = 9e x = 9f x = 40a x (log, + ) 40b x (, ) (4, + ) 40c x (, ] 40d x (, ) (0, ) (, + ) ( ) ( ) 40e x 6, 0 0, + 6 6

7 6 Funkcja logarytmiczna, równania i nierówności logarytmiczne 4 Obliczyć: a) log 7, b) log 5, ( ) c) 9 5 log 5 4 Wyznaczyć dziedzinę funkcji: f(x) = log 4 Sporządzić wykres funkcji: ) log,5 x a) y =, ( 5 b) y = log x 44 Rozwiązać równanie: a) log m log m + = 0, b) +log x + 5 log x =, c) log x = x x 45 Rozwiązać nierówność: x x a) log 5 x 8 5, b) log ( + x ) >, c) log (4 x+ 6 x ) 8x, d) log x ( x) <, e) log (x ) log(x ) > 0, f) log x + < + log 4 x 4a 4b 5 5 4c 5 [ ) [ ) 4 x 5, 0 + 5, + 44a m =, m =, m = + 44b x = 0, x = 0 44c x 45a x (8, 0] 45b x (, 0) 45c x [,, ) 45d x (0, ) (, ) 45e x (, ) (0, + ) ( ) 45f x 6 9, 7

8 7 Funkcja logarytmiczna, równania i nierówności logarytmiczne, cd 46 Uprościć wyrażenie: a) log (log 00), b) 5 log 5 log 5 47 Wyznaczyć dziedzinę funkcji: a) f(x) = +log x + log x + 5, b) f(x) = log (5 x ) + 4, c) f(x) = log(x x+) x, d) f(x) = log ( log (x 5x + 6) ) 48 Rozwiązać równanie: a) x 7 log(x ) = x 7 b) log (x ) log (x ) =, c) log x = x + x +, d) 4(log cos x) + log ( + cos x) = 49 Rozwiązać nierówność: a) log 5 ( x), 8 b) log x + log x <, c) log 8 x + log 8 x + log 8 +, d) log x log (6 x), e) log x ( x) <, f) log x 4 (x 9x + 4) >, g) log ( + x ) >, h) log (9 x ) x 46a 46b 5 47a x ( ) ( ) 0,, 8 (8, + ) 47b x ( 5, ] [, 5) 47c x (, 0) (0, ] [, + ) ( ) ( 47d x, 5 ) 5+, + 48a x = 0, x = 7 48b x = 5 48c x = 48d x = π + kπ, x = π + kπ ( ] 49a x, b x (0, 7) ( ] 49c x 8, 49d x [, 6) 49e x (0, ) (, ) 49f x (5, + ) 49g x (, 0) 49h x x [0, ] 8

9 8 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, cd 50 Sporządzić wykres funkcji: a) y = + log x, b) y = log ( x ) 5 Obliczyć: log 6 6, jeżeli log 7 = a 5 Rozwiązać równanie: ( ) x+ ) x, a) x = ( 9 b) x = 8 x, c) log x + log x + log x = 6 5 Rozwiązać nierówność: a) x > x +, b) log (x 7x+) 5 > log (x 7x+), ( ) c) log 9 4 x +4x + x +4x < 0, d) log 0,5 (x + ) < log ( x), e) log (x + ) + log x+ 5, f) log (x 4 5x + 4) < 5 4( a) +a 5a x = 4, x = 4 5b x = 5 5c x = 7 5a x > log 5b x (, ) (4, + ) 5c x ( 4, ) ( +, 0) 5d x (, ) 5e x (, 0) [, ] 5f x (, 5) ( 5, + ) 9

10 9 Funkcje trygonometryczne 54 Obliczyć: a) tg x wiedząc, że cos x = 5 i x (0, π ), b) sin x wiedząc, że ctg x = i x (π, π), c) cos x, wiedząc, że sin x = 5 i x ( π, π) d) cos x, wiedząc, że cos x = i x (π, π) e) tg x, wiedząc, że sin x = 4 i x ( π, π) 55 Zbadać, które z podanych funkcji są parzyste, a które nieparzyste: a) y = sin x, b) y = sin x 56 Narysować wykres funkcji: a) y = sin x, b) y = sin x, c) y = sin x 57 Udowodnić tożsamość:: a) sin x tg x = cos x tg x, b) 4 sin 4 x + sin x = 4 sin x, c) sin x sin x cos x cos x =, d) +tg x tg x = tg( π 4 + x) 54a 4 54b c 4 5, 54d 4 5, 54e a nieparzysta 55b parzysta 0

11 0 Równania i nierówności trygonometryczne 58 Rozwiązać równanie: a) cos 6x =, b) cos x ( cos x + ) =, c) cos x = , d) tg x + tg x + tg 5 x + = e) 4 cos x + ( ) sin x = 6, 59 Znaleźć wszystkie wartości x, dla których funkcja y = sin x cos x osiąga wartość najmniejszą 60 Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji y = sin x sin x + 6 Dla jakich x prawdziwa jest równość: + tg x + tg x + = tg x? 6 Rozwiązać nierówność: a) cos x 5 cos x < 0, b) cos x <, c) sin x + 4 sin x + 8 sin x +, d) sin x > 6 W przedziale [0, π] rozwiązać nierówność: a) tg x < 0, b) cos x <, c) cos x + cos x + cos 4 x + < + cos x 58a x = kπ, x = kπ, k Z 58b x = π + kπ, x = π + kπ, x = π + kπ, k Z 58c x = 6 π + kπ, x = 6π + kπ, k Z 58d x = 6π + kπ, k Z 58e x = kπ, k Z 59 x = 6 π + kπ, x = 7 6π + kπ, k Z 7 60 Wartość najmniejsza wynosi 4, wartość największa 4 ) 6 x ( 4 π + kπ, 4 π + kπ, k Z 6a x 6b x ( π + kπ, π + kπ ), k Z ( 4 π + kπ, 4 π + kπ ), k Z 6c x = 6 π + kπ, k Z ( ) 6d x π + kπ, π + kπ 6a x 6b x 6c x ) ( ) [0, 6 π π, 7 6 π ( ) ( ) 4 π, 4 π 5 4 π, 7 4 π ( ) ( ) π, π 4 π, 5 π

12 Geometria analityczna 64 Znaleźć pole oraz kąty trójkąta o wierzchołkach: A = (0, ), B = (, ), C = (0, ) 65 Obliczyć odległość punktu A = (, ) od prostej przechodzącej przez punkty B = (4, ) oraz C = (, 6) 66 Znaleźć odległość punktu A = (, ) od prostej x 4y + 5 = 0 67 Dane są wierzchołki trójkąta: A = (, ), B = (, 0), C = (, 6) Napisać: a) równania boków tego trójkąta, b) równania symetralnych jego boków, c) równania środkowych, d) równania wysokości 68 Obliczyć długości wszystkich wysokości trójkąta o wierzchołkach: A = (, ), B = (0, ), C = (, ) 69 Dane są równania ramion trójkąta równoramiennego: x 7y + 4 = 0, x y = 0 Znaleźć wierzchołki trójkąta wiedząc, że punkt P = (, ) należy do jego podstawy 70 Znaleźć punkt symetryczny do punktu A = (, ) względem prostej x + y + = 0 64 S =, 0, 60, d = 5 66 d = 4 67a x + y = 0, x + y 9 = 0, x + y 4 = 0 67b x y = 0, x y + 7 = 0, x y + 8 = 0 67c 5x + y = 0, x = 0, 4x + y = 0 67d x y + 7 = 0, x y + 4 = 0, x y = 0 68 h A = 5 5, hb = 7 6 7, hc = ( 69 A = (, ), B = (, 0), C = 4 5 5), 8 lub A = (, ), B = (7, 5), C = 70 A = ( 5, 4) ( ) 5, 5

13 Ciągi 7 Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 7, zaś szósty 7 Wyznaczyć trzydziesty wyraz tego ciągu 7 Obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 00, które nie są podzielne przez 7 W ciągu arytmetycznym dane są: a =, S 9 = 69, (n = 9) W ciągu geometrycznym zawierającym 9 wyrazów wyraz pierwszy i ostatni są identyczne jak w ciągu arytmetycznym Znaleźć siódmy wyraz ciągu geometrycznego 74 Podać definicję ciągu geometrycznego Zamienić ułamek, (5) na zwykły 75 Wyznaczyć ciąg arytmetyczny, w którym suma trzech pierwszych wyrazów wynosi 7, a suma kwadratów tych wyrazów jest równa Znaleźć sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę równą 77 Rozwiązać równanie: a) (x + ) + (x + 4) + (x + 7) + + (x + 8) = 55 b) x + x + x 4 + = x+, c) log 8 x + (log 8 x) + (log 8 x) + =, d) tg x + tg x + tg x + = e) x =, ( ) x 7 7 a 0 = 47 7 S = 67 7 a 7 = , 9,, lub, 9, 5, a x = 77b x =, x = 77c x = 77d x = 6π + kπ, k Z 77e x =