Spis treści. Spis treści 2

Transkrypt

1 Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone Liczby zespolone - odpowiedzi Macierze Macierze - odpowiedzi Układy równań Układy równań - odpowiedzi Geometria analityczna Wektory Wektory - odpowiedzi Prosta i płaszczyzna Prosta i płaszczyzna - odpowiedzi Funkcje jednej zmiennej. Granice ciągów Granice ciągów - odpowiedzi Granice funkcji Granice funkcji - odpowiedzi Ciągłość funkcji Pochodne Pochodne - odpowiedzi Reguła de L Hospitala Reguła de L Hospitala - odpowiedzi Różniczka funkcji Różniczka funkcji - odpowiedzi Styczna i normalna Styczna i normalna - odpowiedzi Przebieg zmienności funkcji Przebieg zmienności funkcji - odpowiedzi Całki nieoznaczone Całki nieoznaczone - odpowiedzi Całki oznaczone Całki oznaczone - odpowiedzi Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Całki podwójne Całki podwójne - odpowiedzi Całki potrójne Gradient, rotacja, dywergencja Całki krzywoliniowe Nieskierowana Nieskierowana - odpowiedzi Skierowana Skierowana - odpowiedzi Całki powierzchniowe Niezorientowana Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - :

2 SPIS TREŚCI SPIS TREŚCI.7. Zorientowana Równania różniczkowe 5. Równania rzędu I-go Równania rzędu I-go - odpowiedzi Równania wyższych rzędów Równania wyższych rzędów - odpowiedzi Układy równań różniczkowych Układy równań różniczkowych - odpowiedzi Szeregi 6 5. Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe - odpowiedzi Szeregi funkcyjne Szeregi funkcyjne - odpowiedzi Funkcje zespolone 68 Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - :

3 Algebra Liczby zespolone Zad. Oblicz: a i b i c i d i 5 e i f i 89 g i 7 h i i i j i k i l i 9 m i 75 n i 8 Zad. Wykonaj działania wynik zapisz w postaci algebraicznej: a + i 5 + i g +i i 5 b + i +i h i Zad. Znaleźć, y R spełniające równanie: a + i + y 5i = 6 i i c + i d i 5 i i +ii b +yi i + j +i+i i+i = i c + yi i = 7 i i e + i f +i d + i + y5 i = 8 + 7i e i + y +i = f i + y + i = 7 i Zad. Oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby: a z = i b z = 8i c z = + i d z = + i e z = 6 + i f z = + i Zad 5. Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie: a z z + = b z + z + 5 = c i z = 5 + i z d i z+i = i 5 iz e z +i z + = f z +i = i z+ g z 6iz z + 8i = h z + z = i z z + z = j z + 8 = k z 6 = l z 8 + iz i = m z z z 6 = n z z + 6z = o z 5 z + z 6z + z = p + iz + iz 6i = q z i = iz + r iz 6 iz + i = s + 6i 9 + i = t z 6 = i u + iz + iz i = v z z 6 = i Zad 6. Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie: a z + z = b z + + iz = i c z + = z + d z + i z + i = Zad 7. Obliczyć: a + i b i c + i d i + i e i i f +i i g arg5 + 5i h arg + i i arg8 8i j arg 5i k arg i l arg i i i m i i n + i o i p +i i Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: grudnia 9 - :58

4 ALGEBRA LICZBY ZESPOLONE Zad 8. Udowodnić że dla dowolnych z, z C zachodzi: a z z = z z b z z = z z c z z = z z d z z = z z e zz = z f argz = π argz g arg z = π argz h z + z + z z = z + z Zad 9. Zapisać w postaci algebraicznej liczby: a cos π + i sin π b cos π + i sin π c cos 7 6 π + i sin 7 6 π d cos π + i sin π e cos π + i sin π f cos7 π + i sin7 π g cos 5 6 π + i sin 5 6 π Zad. Zapisać w postaci trygonometrycznej liczby: a i b i c + i d i e i f + i g 9 9i h 7 7 i i 7 i j + i k 5 i l sinα + i cosα m cosα + i sinα Zad. Obliczyć: a g n + i tgα Uwaga. W ostatnich podpunktach przyjmujemy α, π. + i +i i Zad. Obliczyć: b + i c i 7 d h i 7 i +i 5 +i j i +i e +i 9 6 +i i 7 f i5 +i 5 + i6 + + i i k +i i 7 a i b 6 c 5 d 7i e + i f 8 g 8i 5 h i i z gdzie z = i6 +i +i i 7. j i Zad. Znając jeden z pierwiastków wyznaczyć wszystkie pozostałe pierwiastki: a i z = + i b 8 8i z = + i c 6 z = i Zad. Korzystając ze wzoru Moivre a wyrazić za pomocą sin oraz cos funkcje: a sin oraz cos b sin oraz cos c sin5 oraz cos5 Zad 5. Narysować na płaszczyźnie zespolonej obszary określone warunkami: z a z + i = b < z c z = d z < argz, π e z = z f zz + z + z = g z+ z > h z z argz π 6, π i z i = z j z z k Rez > Re z l argz i z = π m argz < π Zad 6. Zamienić postać wykładniczą na algebraiczną: a e πi b e + π i c e πi d e i e e i f e πi g e + πi h e 7 6 πi Zad 7. Zamienić postać algebraiczną na wykładniczą: a b + i c i d i e + 7i f 5i Zad 8. Wykonać działania. Wynik zapisać w postaci wykładniczej. a e +5i e i b e i e 5+i c e +i + e +i d e +i + e 7 i e e i 5 e i Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: grudnia 9 - :58

5 ALGEBRA LICZBY ZESPOLONE - ODPOWIEDZI Liczby zespolone - odpowiedzi Zad. a b i c d i e f i g i h i i j i k l i m i n Zad. a 9 + i b c i 5 6 d e 7 7 i f i g i h i i i j i Zad. a [ =, y = ] b [ = 5, y = 7] c brak rozwiązań w R d [ =, y = ] e [ =, y = ] f [ =, y = 6] Zad. a Zad 5. [ + i, i ] b [ + i, i] c d e f a z = i, z = + i b z = i, z = + i c z = 7 5 i 9 5 d z = 5 7 i 99 7 e z = i, z = i + f z = i g z = z = z = i h z = i, z = i, z =, z = i z = i, z = i, z = j z = i, z = i, z = i, z = i + k z = i+, z = i, z =, z = i+, z 5 = i, z 6 = l z = i, z = i +, z = i, z = i m z =, z =, z = i, z = i n z = i, z = i +, z = o z =, z = i, z = i p z = 5 i 6 5, z = i + q r z = + i, z = i s z = i, z = i, z = i t u z = i, z = i v Zad 6. a z =, z =, z = + i, z = i b z = 5i c z = k, z = + ki k R d z = k, k R Zad 7. a 5 b 7 c 97 d 6 e f 6 g π h π i 6 π j arctan 5.9 k arctan.6 l π arctan.88 m i + n i o i p 5 i Zad 8. a Niech z = + iy oraz niech z = + y i. Wtedy Zad 9. z z = + y i + y i = y + y i y y + = y y + y + y = y y + y + y + = y + y + = z z. a b + i c i d + i e i f i Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 5 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: grudnia 9 - :58

6 ALGEBRA LICZBY ZESPOLONE - ODPOWIEDZI Zad. a cos π + i sin π b cos 7 π + i sin 7 π c cos π + i sin π d cos 7 6 π + i sin 7 6 π e cos 6 π + i sin 6 π f cos π + i sin π g 8 cos 6 π + i sin 6 π h cos 5π + i sin 5π i 8, 6 cos5, 76 + i sin5, 76 j, 6 cos, 55 + i sin, 55 k 5, 8 cos, 68 + i sin, 68 l cos π α + i sin π α m cos π α + i sin π α n cos α cos α + i sin α Zad. a b c 6 i + 6 d e f 5 i 5 g 9 i h i i j + i + k i Zad. a z = i, z = i, z = i + b z = i, z = i, z = i, z = i, z 5 = i, z 6 = i + c z = i sin π 5 + cos π 5, z = i sin π 5 + cos π 5, z = cos π 5 i sin π 5, z = cos π 5 i sin π 5, z5 = d z = i, z = i, z = i+ e z = i, z = +i, z = i + f z = i, z = i +, z = g z = i, z = i + + h z = i, z = +i, z = i i z = 6i, z = i+ 6, z = 6i, z = i+ 6 j z = 8i, z = 8, z = 8i, z = 8 + Zad. a b c Im z Im z Im z i i i i.5 i Re z Re z.5.5 Re z i i i i.5 i Zad. a sin = cos sin sin, cos = cos cos sin b sin = cos sin cos sin, cos = cos 6 sin cos + sin c sin5 = sin 5 cos sin + 5 cos sin, cos5 = cos 5 sin cos + 5 sin cos Zad 5. a b c Im z Im z Im z.5 Re z.5 6 Re z Re z.5.5 Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 6 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: grudnia 9 - :58

7 ALGEBRA LICZBY ZESPOLONE - ODPOWIEDZI d e f Im z Im z Im z Re z Re z g h i z Im z Im z Re z 6 8 Re z Re z j k l Im z Im z Re z Re z Zad 6. a b ei c d cos + i sin i e cos i sin..9 i f e i g e i h e i. Zad 7. a e πi b e π i c e π i d e π i e 5 e iπ arctan 7 7, 8 e,85 i f e i arctan e. i Zad 8. a e +i b e 7 i c 6, 7 e,6 i d 96, 76 e i e Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 7 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: grudnia 9 - :58

8 ALGEBRA MACIERZE Macierze Zad. Wykonaj działania: a Zad. Dane są macierze: Wyliczyć: A = b [ B = ] [ + C = ] c. a A B b B A c A C d C A e B T C f C B g A + B T C h A B C T i C j A T B T BA T Zad. Wylicz: a [ ] b Zad. Rozwiązać[ równanie macierzowe: ] [ a X + = X c Y = + Y Zad 5. Rozwiązać układ równań macierzowych: X + Y = a b X Y = Zad 6. Obliczyć wyznacznik: a b 5 c [ ] c ] [ b i [ X + [ 5 ] Y = ] X + Y = Zad 7. Obliczyć wyznacznik: 5 a 5 b 5 c e f g i j 5 a b c d a b c d 5 Zad 8. Rozwiązać równanie: a = b + 5 = c d [ ] ] [ + X + i [ ] [ ] 5 + e d h = 5 6 ] = X a b c y z Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 8 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 7 listopada 9-8:

9 ALGEBRA MACIERZE Zad 9. Rozwiązać nierówność: a + < b + 5 > c > Zad. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy: [ ] a b c e [ ] f g d h Zad. Rozwiązać [ równania ] macierzowe: [ a X = [ ] [ 5 6 c X + = 7 8 e X = g i X X = X = ] [ b ] X d 5 f [ h X [ [ ] ] [ X ] + X = X ] [ ] = [ ] = ] [ 6 7 ] T = Zad. Wyznaczyć rząd macierzy: a e [ ] b f c g Zad. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy: [ ] [ ] a b c e d d h Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 9 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 7 listopada 9-8:

10 ALGEBRA MACIERZE - ODPOWIEDZI Macierze - odpowiedzi Zad. Zad. Zad. Zad. Zad 5. Zad 6. a 7 5 b [ ] c 5 6 a 7 9 b c 5 d e f g 5 h i 7 6 j a [ ] a X = b [ 6 c 6] [ ] b X = 8 X = a Y = [ ] c Y = i [ ] X = b [ ] Y = a b 9 c 58 d e Zad 7. a b 89 c d ayz bz cy e 5 f 8 g 75 h i 5d 5c + 5a j 8d + 8c b 6a Zad 8. a [, =, = ] b [ = 6, = ] c [ =, = ] Zad 9. a R b 6, c, 5+ 5, Zad. [ ] a b c [ d ] e f g h Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 7 listopada 9-8:

11 ALGEBRA MACIERZE - ODPOWIEDZI Zad. [ ] [ ] [ ] [ ] 7 a X = b X = c X = 9 9 d X = e X = 6 6 f g X = 8 h X = 5 6 Zad. a b c d e f g h Zad. a λ = 5, λ =, v #» = [, ], v #» = [, ] b λ =, λ =, v #» = [ ],, v #» = [ ], c λ =, λ =, λ =, v #» = [,, ], v #» = [,, ], v #» = [,, ] d λ =, λ =, λ =, #» v = [,, ], #» v = [,, ], #» v = [,, ] e λ = 6, λ =, λ =, #» v = [,, ], #» v = [,, ], #» v = [,, ] Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 7 listopada 9-8:

12 ALGEBRA UKŁADY RÓWNAŃ Układy równań Zad. Rozwiązać układ równań Cramera: +y +z = +y +z = 5 +y = a y = 5 b y +z = c +y +z = +y +z = +y +z = + y z + 5t = + y + z t = +y +z = y + z 7t = y z + t = d +y z = 7 e f + y z + 6t = + y t = y +z = y + z 7t = 7y + z + t = Zad. Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru a. Podaj postać rozwiązania. a + ay = a + a + a y = a + a + a y = a + a b c a + ay = + a + y = a + a + y = a + y = a + a + ay = 5 a + ay = a + d e a + ay = + ay = 5a f a + ay = y z t = a a + y + az = a + y az = + y z t = ay g a + z = h + y + az = i y + z t = az + y + az = a + a + 6y + az = y z + t = at + ay + az + at = + y + az = a + ay + z = a + y + az + at = j + ay + z = k a + ay + z = l + y + z + at = a + y + z = + y + az = + y + z + t = Zad. Rozwiązać układ równań: y + z + t = y + z = + y z = a 6 y + z = b 5 y + z = c y + z t = y + z + 5t = 5 + y z = y + z = 7 y = 8 + y z = d e + y + z = 5 f + y = + y + z = + 5y + z = 8 5 y = 7 + y z = + y + z = + y z = + y + z = + y + z = 5 + y z = y + z = g h i + y z = + y + z = 5 y + z = + y + 5z = 7 + y z = 7 y + z = 5 5 y z = 6 + y + 5z + t + u = y + z 5t = + y z = + y + z + t + u = j k + y z + t = l y + z = + y z + t = 7 + y z t = y z = 9 + 6y + z + t + u = y + z = + y z = y + z + t = + y z = + 8y 7z + t = + y z t = m n 5 y z = o + y z + t = y + z + t = y + z = + y + z + 6t = + y + z + t = + y + z = y + z + t = y + z = 5 p + y + z t = q + y z = r 5 y + 5z + t = + y z = 6 Zad. Rozwiązać [ równania ] [ macierzowe: ] [ ] [ ] a X = b X = [ ] [ ] [ ] [ ] c X = X d X = X e X = f X = y + z = 5 + y z = + y + z = Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: listopada 9-6:58

13 ALGEBRA UKŁADY RÓWNAŃ - ODPOWIEDZI Układy równań - odpowiedzi Zad. Zad. a = y = = 7 b y = z = = c y = z = a Dla a = układ sprzeczny, dla a układ oznaczony: = d y = z = = a+ a y = a+ a = y = e z = t = b Dla a = układ sprzeczny, dla a = układ nieoznaczony, zależny od jednego parametru: = 6 a a /, } układ oznaczony: a y = a c Dla a, } układ sprzeczny, dla a /, } układ oznaczony: d Dla a, } układ sprzeczny, dla a /, } układ oznaczony: = a 6a a a y = a +a a a = a +a a a y = a a e Dla a = układ sprzeczny, dla a = układ nieoznaczony zależny od jednego parametru: = 5a a /, } układ oznaczony: a+ y = 5a+ a+ = a+ f Dla a = układ sprzeczny. Dla a układ oznaczony: a y = a+ a a = a a+6 g Dla a R układ oznaczony : y = a a +a a a+6 a+ z = a a a+6 = 8 y = f z = t =. = 5y y R = 5 y y R h Dla a R układ sprzeczny. = t y = t i Dla a = układ nieoznaczony, zależny od jednego parametru:, dla a = układ nieoznaczony, zależny z = t t R = t y z = y R y = od trzech parametrów:, dla a /, } układ oznaczony: z R z = t R t = = y z j Dla a = układ sprzeczny, dla a = układ nieoznaczony, zależny od dwóch parametrów: y R, dla z R = a+ a /, } układ oznaczony: y = a+ z = a+ = y z k Dla a = układ sprzeczny, dla a = układ nieoznaczony, zależny od dwóch parametrów: y R, dla z R = a /, } układ oznaczony: y = a a z = a, dla, dla Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: listopada 9-6:58

14 ALGEBRA UKŁADY RÓWNAŃ - ODPOWIEDZI = a a y = l Dla a = układ sprzeczny, dla a układ oznaczony: a z = a t = a Zad. a Układ sprzeczny = e y = z = = k i y = k+ z = k R = y = m z = t = = 5k+ 8 q y = 7k 7 6 z = k R = k + b y = 6 k + 9 z = k R f = y = = k k y = k R c z = k R t = = g y = z = j Układ sprzeczny k Układ sprzeczny l = 9 9 n y = 9 z = 9 = 7k 8 r y = k z = k R o Układ sprzeczny d Układ sprzeczny h Układ sprzeczny = y = k R z = k+ k 9 t = k R u = = k y = p z = k R t = k R 5 k+ k Zad. a Brak rozwiązań b c X = [ ] d e Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: listopada 9-6:58

15 ALGEBRA GEOMETRIA ANALITYCZNA Geometria analityczna Wektory Zad. Dane są wektory #» a, #» b, #» c. Znaleźć długość wektora #». a #» a = [,, ], #» b = [,, ], #» c = [,, ], #» = #» #» a b + #» c b #» a = [,, ], #» b = [,, ], #» c = [,, ], #» = #» #» a + b #» c Zad. Dla jakich wartości α i β wektory #» a = 5 #» i #» j + α #» k i #» b = β #» i + 9 #» j #» k są kolinearne? Zad. Dane są punty A =,,, B = 5,,, C = 7,, 6. Na płaszczyźnie OXY znaleźć taki punkt D aby wektor CD #» był kolinearny z wektorem AB. #» Zad. Znaleźć wersor wektora: a #» a = [,, ] b #» a = [,, ] Zad 5. Znaleźć cosinusy kierunkowe wektora: a #» a = [,, ] b #» a = [,, 5] Zad 6. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów #» a i #» b, jeżeli #» a =, #» b = oraz kąt między wektorami #»a #», b = π. Zad 7. Obliczyć długość przekątnych równoległoboku zbudowanego wektorach #» a, #» b jeżeli: a #» a = #» p + #» q, #» b = #» p #» q, gdzie #» p i #» q są jednostkowymi wektorami tworzącymi kąt π b #» a = 5 #» m + #» n, #» b = #» m #» n, jeżeli wiadomo, że #» m =, #» n =, #» m, #» n = π. Zad 8. Dany jest wektor #» a = #» p + #» q, gdzie #» p =, #» q =, #» p, #» q = π. Obliczyć #» a, #» p oraz #» a, #» q. Zad 9. Znaleźć kąt między przekątnymi równoległoboku zbudowanego na wektorach #» a = #» i + #» j #» k i #» b = #» i + #» j + #» k. Zad. Wykazać, że trójkąt ABC o wierzchołkach A = 5,, B =,, C =, 5 jest prostokątny. Zad. Znaleźć kąty trójkąta o wierzchołkach: a A =,, B =,, C =, b A =,, 5, B =,,, C =,, 5. Zad. Wykazać, że czworokąt A =, 5, 6, B =, 5, 7, C = 8,,, D =, 7, jest kwadratem. Zad. Znaleźć rzut wektora #» a na oś o kierunku wektora #» b, jeżeli: a #» a = [,, ], #» b = [,, ] b #» a = [,, ], #» b = [,, ]. Zad. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A =,, B =,, C = 5,. Znaleźć wektor dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku B. Zad 5. Znaleźć wektor jednostkowy prostopadły jednocześnie do wektora #» a = [, 6, 8] i do osi OX. Zad 6. Dla jakiej wartości parametru α wektory #» a = [,, ], #» b = [α, 7, + α] są wzajemnie prostopadłe? Zad 7. Znaleźć wektor #» prostopadły do wektorów #» a = [,, ], #» b = [,, ] i spełniający warunek #» [,, ] = 6. Zad 8. Uprość wyrażenia: a #» p #» q #» r + #» p + #» r + #» q #» p #» r b #» i #» i + #» j #» #»i #» #»i #» k + + k + + k #» i #» j + #» k c #» p #» r #» p + #» q #» r, gdzie #» p = #» q = #» r =, #» p #» q #» r, #» p, #» q, #» r zgodnie zorientowane z przestrzenią. Zad 9. Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» a, #» b jeżeli: Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 5 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: listopada 9 - :55

16 ALGEBRA GEOMETRIA ANALITYCZNA a #» a = #» p #» q i #» b = #» p + #» q, gdzie #» p = #» q = i #» p #» q b #» a = #» p #» q i #» b = #» p + #» q, gdzie #» p =, #» q = i #» p, #» q = π. c #» a = #» i + #» j + #» k, #» b = #» i #» j + #» k. Zad. Wiedząc, że pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» p i #» q jest równe obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» a = #» p #» q i #» b = #» p + #» q. Zad. Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» p i #» q wiedząc, że pole równoległoboku zbudowanego na wektorach #» a = #» p + #» q i #» b = #» p #» q jest równe. Zad. Wyznacz wektor #» #»b a #» c, jeżeli #» a = [,, ], #» b = [,, ], #» c = [,, ]. Zad. Oblicz długość wektora #» a = #» p + #» q #» r #» p + #» q #» r, gdzie #» p #» q #» r, #» p = #» q = #» r =. Zad. Obliczyć #» #»b a #» c, jeżeli #» a = #» i + #» j, #» b = #» k 5 #» j, #» c = #» i + #» j #» j. Zad 5. Obliczyć sinus kąta między wektorami #» a = [,, ], #» b = [,, ]. Zad 6. Obliczyć tangens kąta między wektorami #» a = [,, ], #» b =],, ]. Zad 7. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A =,,, B = 6,,, C =,, 5. Zad 8. Dane są wierzchołki A =,,, B = 6,, 5, C =,,. Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B. Zad 9. Znaleźć wektor jednostkowy #» m prostopadły do wektorów #» a = [,, ], #» b = [,, ]. Zad. Wiedząc, że wektory #» p, #» q, #» r nie są komplanarne, sprawdzić komplanarność wektorów: a #» a = #» p + #» q #» r, #» b = #» p #» q + #» r, #» c = #» p + #» q 6 #» r b #» a = #» p + #» q #» r, #» b = #» p + #» q + #» r, #» c = #» p + 8 #» q 7 #» r. Zad. Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach #» a, #» b, #» c jeżeli: a #» a = #» p #» q + #» r, #» b = #» p + #» q #» r, #» c = #» p + #» q + #» r, gdzie #» p = #» q = #» r = i #» p #» q #» r b #» a = #» m + #» n, #» b = #» m #» n, #» c = #» m + 7 #» n, gdzie #» m =, #» n = i #» m, #» n = π. Zad. Objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach #» p, #» q, #» r jest równa. Obliczyć objętość czworościanu zbudowanego na wektorach #» a = #» p + #» q + #» r, #» b = #» p #» q + #» r, #» c = #» p + #» q #» r. Zad. Sprawdzić komplanarność wektorów #» a = [,, ], #» b = [,, ], #» c = [,, ]. Zad. Wykazać, że punkty A =,,, B =,, 5, C =,,, D =,, leżą na jednej płaszczyźnie. Zad 5. Dany jest czworościan o wierzchołkach w punktach A =,,, B =,,, C =,, 7, D =,, 9. Oblicz jego objętość oraz wysokość poprowadzoną z wierzchołka D. Zad 6. Objętość czworościanu ABCD o trzech wierzchołkach A =,,, B =,,, C =,, jest równa 5. Znaleźć współrzędne czwartego wierzchołka wiedząc, że leży on na osi OY. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 6 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: listopada 9 - :55

17 ALGEBRA GEOMETRIA ANALITYCZNA Wektory - odpowiedzi Zad. a #» = 5 5 b #» = 9. Zad. α =, β = [ 5. #» Zad. D = 5,,. Zad. a a #» a = [ ] [ 5 Zad 5. a 6, 6, 6 b 5,, ] Zad 6. #» a #» b =. Zad 7. a 7, b 5, 59. Zad 8. Zad 9. π. Zad. Zad. a b Zad. Zad. a b Zad. Zad 5. [, 5, 5], [, 5, 5]. Zad 6. α =. Zad 7. #» = [,, ]. Zad 8. a b c Zad 9. a P = b P = c P = 5. Zad. P = 6 Zad. P = Zad. ],, Zad. Zad. Zad 5. sin #»a #», b =. Zad 6. tg #»a #», b = 6. b #» a #» a = [,, ]. Zad 7. P =, 5. Zad 8. h = 5. [ ] [ ] Zad 9. 5, 5 5, 5, 5, 5, 5 5. Zad. a Nie są komplanarne, b są komplanarne. Zad. a V = 5 b V =. Zad. V =, 5 Zad. Nie są komplanarne. Zad. Zad 5. V =, h =. Zad 6. D =, 8,, D =, 7,. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 7 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: listopada 9 - :55

18 ALGEBRA GEOMETRIA ANALITYCZNA Prosta i płaszczyzna Płaszczyzna Zad. Dane są punkty A =, 5, i B =,, 7. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do wektora AB. Zad. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A =,, i B =,, i prostopadłej do płaszczyzny + y z =. Zad. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A =,, i B =,, i równoległej do wektora a = [,, ]. Zad. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A =,,, B =,,, C =,,. Zad 5. Dla jakiej wartości parametrów m i k płaszczyzny y + 6kz 8 = i m + y z = są równoległe? Zad 6. Dla jakiej wartości parametru m płaszczyzny 7 y z 8 = i m + y z = są prostopadłe? Zad 7. Obliczyć kąt między płaszczyznami y + z = i + y z =. Zad 8. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A =,,, B =,, 5 i prostopadłej do płaszczyzny y + z =. Zad 9. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A =,, 5 i równoległej do płaszczyzny yz. Zad. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A =, 5, i przez oś y. Zad. Napisać równanie płaszczyzny odcinającej na osi odcinek a = 5, na osi z odcinek c = 5 i przechodzącej przez punkt M =,,. Zad. Znaleźć kąty jakie normalna do płaszczyzny y z = 5 tworzy z osią z. Zad. Znaleźć odległość punkty P od płaszczyzny π: a P = 5,, π : y z = b P =,, π : + y z = 5. Zad. Znaleźć odległości między płaszczyznami y + z = 7 i 5 6y + z = 5. Prosta Zad. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty A =,,, B =,,. Zad. Wyznacz prostą przechodzącą przez punkt A =,, i równoległą do prostej = t, y = t, z = + t. Zad. Napisać równanie prostych przechodzących przez punty przecięcia płaszczyzny y + 6z = 6 z osiami układu współrzędnych. Zad. Przedstawić prostą l w postaci parametrycznej: a l : y + 5z = 6 + y z = b l : + y + z = 5 y + z = 5 Zad 5. Jakie kąty tworzy prosta l : y + z = + y z = z osiami układu współrzędnych? Zad 6. Znaleźć punkty przecięcia prostej = y+ = z 5 z płaszczyznami układu współrzędnych? Zad 7. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A =,, i prostopadłej do prostej y + z = l :. + y z + = Zad 8. Wyznaczyć kąt między prostymi: l : = t y = t z = t i l : 6y 6z = + y + 9z =. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 8 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 5 listopada 9 - :

19 ALGEBRA GEOMETRIA ANALITYCZNA Zad 9. Zbadać wzajemne położenie prostych: + y z = + y z = a l : i l : + y z = y + z = c l : = 9t y = 5t z = + t i l : y + z = y z = 9 Zad. Znaleźć punkt przecięcia prostych:l : = y+ = z i l : b l : = y+ = z i l : = + t y = + t z = + t d l : + = y 6 = z i l : 8 = y+ = z+7. = + t y = + t z = + t Zad. Znaleźć punkt przecięcia płaszczyzny + y + z = z prostą = y+ = z 6. Zad. Dany jest punkt A =,, i prosta l : = y+7 6 = z. Znaleźć a rzut punktu A na prostą l b odległość punktu A od prostej l c punkty symetryczny do punktu A względem prostej l. Zad. Dany jest punkt A =,, i prosta l : = y = z 5. Znaleźć a rzut punktu A na prostą l b odległość punktu A od prostej l c punkty symetryczny do punktu A względem prostej l. Zad. Znaleźć odległość między prostymi: a l : = y = z+ i l : = y = z b l : + = y = z c l : 9 = y+ Zad 5. Pokazać, że prosta = z i l : = y+7 9 = z d l : + = y 6 5 y + z = 5 y z = leży w płaszczyźnie y + z = 6. Zad 6. Znaleźć rzut prostej l na płaszczyznę π, jeżeli: a l : = y = z+ i π : + y = b l : 5 = y+ = z c l : 5 = y 6 = z 6 8 i π : z = Zad 7. Dane są dwie proste skośne: l : = y = z i l : = y poprowadzoną przez prostą l i równoległą do prostej l. = z. i l : = y = z = z i l : 8 = y+ = z+7 i π : y + z = 5. Znaleźć rzut prostej l na płaszczyznę π Zad 8. Znaleźć równanie płaszczyzny w której leżą proste l i l : a l : = y+ = z i l : = y+ = z b l : = y = z i l : = y = z c l : = y = z+ i l : + = y 9 = z. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 9 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 5 listopada 9 - :

20 ALGEBRA GEOMETRIA ANALITYCZNA Prosta i płaszczyzna - odpowiedzi Płaszczyzna Zad. 5 8y z = Zad. y + z + = Zad. 9 y + 7z = Zad. y + z = 8 Zad 5. m =, k = Zad 6. m = 7 Zad 7. π Zad 8. + y + z = 5 Zad 9. = Zad. + z = Zad. y + 5z = 5 Zad. π Zad. a b Zad., 5 Prosta Zad. Zad. Zad. l : = + t, y = t, z = l : =, y = + t, z = l : =, y =, z = t Zad. Zad 5. cos α = 5, cos β = 5, cos γ = 5 5 Zad 6. 9,,,,,,,, 9 Zad 7. + y + z = Zad 8. Zad 9. a równoległe b przecinają się c pokrywają się d skośne Zad. Zad. Zad. a A =, 7, b c Zad. a A =, 9, 6 b c Zad. a A =,, 7 b c Zad 5. a A =,, 7 b c Zad 6. a b Zad 7. a 7 b Zad 8. Zad 9. a z =, + y = b 5 y z =, y + z = 5 c 6 + 5y = 8, z = Zad. Zad. a 5 + y = b 7y + 5z = c y = Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 5 listopada 9 - :

21 Funkcje jednej zmiennej Granice ciągów Zad. Zbadaj monotoniczność ciągów: a a n = n+ n b a n = n + n! c a n = n 5 n + 6 n d a n = n + n n e a n = n!n! n! Zad. Zbadaj ograniczoność ciągów: a a n = n+ n Zad. Oblicz granicę ciągów: b a n = n n c a n = n d a n = n n + n a a n = n +n n +n +n b a n = n n + 5 n +n c a n = n +5n n 7n d a n = n7 +n +8 n+n +n 7 e a n = n +n n n +n f a n = +n+n +n +n +n g a n = n+ 7 9 n + h a n = n+ 5 n + i a n = n n n j a n n = n + n k a n = n+n n +5 l a n = n m a n = n+ n+ n n a n = q a n = +n n +n+ u a n = n +7n n Zad. Oblicz granicę ciągów: q n+ n n+ n r a n = log n+ log n+ o a n = +n +n n p a n = 8n 7 n+ s a n = log n5 log 8 n n t a n = 9log n log n a a n = n + n b a n = n + n n c a n = n n + 5n 7 d a n = n + n n n e a n = nn n f a n = n + 5n n g a n = n + + n h a n = n + n 5 n i a n = n + n n Zad 5. Oblicz granicę ciągów: a a n = n n b a n = n cosnπ c a n = n n + cosn + e a n = n sinn! n + f a n = n cos n n 6n+ g a n = n n + sinn! + i a n = n n cos n+ n n n n n n + Zad 6. Oblicz granicę ciągów: a a n = n n + n b a n = n n + 9 n + 8 n c a n = n n + e a n = n n + n 5 n + n f a n = n +sinn! n + cos n n n+ n d a n = n n n + n h a n = n sin e n d an = n+ n n+ g a n = sinnπ n + h a n = n! n n i a n = n + sin n j a n = n + 5n + n 5 k a n = n n + n + n + n Zad 7. Oblicz granicę ciągów: a a n = n + n b an = n+5 n n c an = n e a n = n n f an = i a n = ln+ n n m a n = n +6 n n+ d an = n g a n = n n h an = j a n = n+n +n k a n +n n +n n = + n+ l n an = n n+ n o an = n n+ n n an = n + n + n + n +6 n n n+ n n n+ n n p an = n [lnn + ln n] Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 6 listopada 9 - :

22 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ GRANICE CIĄGÓW - ODPOWIEDZI Granice ciągów - odpowiedzi Zad. Zad. Zad. a b c d e f 8 g h 5 i j k l m 7 n o p q r log s 5 t u 7. Zad. a b c 6 d e f 5 g h i. Zad 5. a b c d e f g 9 h i. Zad 6. a b c d e 5 f g h i j k Zad 7. a e b e 5 c e d e e e f e 6 g e h e i j e k e l e m e n e 5 o p Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 6 listopada 9 - :

23 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ GRANICE FUNKCJI Granice funkcji Zad. Oblicz granice funkcji: a e h lim ++5 lim lim b lim 7 f lim + i lim Zad. Obliczyć granice funkcji: a lim +6 b lim f lim 5 k lim 5 p lim g lim +9 7 c lim g lim + l lim q lim Zad. Obliczyć granice funkcji: 8 + sin sin a lim b lim tg f lim sin5 k lim π p lim π 6 sin g lim l lim π π sin π 6 cos q lim Zad. Obliczyć granice funkcji: a lim j lim c lim h lim + m lim + r lim sin5 + b lim c lim h lim tg cos π π + +7 d lim i lim d lim e lim n lim 9 + s lim +6 d lim i lim cos sin cos m lim tg sin n lim e lim + sin sin f lim sin tg π i m lim ln + ln lim π ln+cos ln+cos j lim + o lim cosπ cos tg π e lim sin cos j lim sin tg π o lim + +9 π tg +cos sin +sin sin arc sin + sin cos tg r lim s lim tg j lim + c lim Zad 5. Zbadaj istnienie granicy i naszkicuj wykres funkcji: g lim e + k lim e d lim + tg ctg ln h lim e e l lim e e sin a lim h lim b lim c lim + d lim e lim e f lim + g lim +e Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 7 grudnia 9 - :

24 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ GRANICE FUNKCJI - ODPOWIEDZI Granice funkcji - odpowiedzi Zad. a b c d e f g h i j Zad. a 8 b 9 c d e 6 f g h i j 75 k l 6 5 m n 8 o p q r 6 s 8 Zad. a b c d e f 5 g h i j k π l m n o 8 p q r s 6 Zad. a e b e 6 c d e e e f g e h e i j e k l m Zad 5. a Granica nie istnieje b c d Granica nie istnieje e Granica nie istnieje f Granica nie istnieje g Granica nie istnieje h Granica nie istnieje Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 7 grudnia 9 - :

25 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Ciągłość funkcji Zad. Zbadać ciągłość funkcji: + dla a f = + 5 dla < < b f = 5 dla c f = dla d f = dla = ++ + dla dla = dla,, } dla,, dla,, dla dla = sin 5 dla 5 dla = e f = f f = dla arctan g f = + h f = dla dla = dla = sin i f = dla + dla < j f = dla = + dla dla,, } dla < k f = l f = dla < < dla dla > dla < cos m f = dla < dla n f = dla = dla > sin dla > cos o f = dla dla = kπ k Z p f = dla = sin dla kπk Z e + dla + q f = e + r f = dla e dla = dla = dla arctan s f = e dla = t f = dla π + dla = dla > cos u f = dla v f = dla dla = dla = w f = sin cos dla dla = Zad. Dla jakich wartości parametrów a, b funkcja f jest ciągła w całej dziedzinie: + a dla a f = + dla > b f = ln dla a dla < e c f = + a dla > 5 dla d f = dla a dla > a + dla < e f = dla < f f = g f = i f = + + b dla dla a + b dla < < dla a sin + b cos dla > π + tg dla π h f = j f = sin dla π a + b dla < π a sin + b cos dla > π + tg dla π arctan a dla b dla = Zad. Dobrać parametr a tak, aby zadana funkcja była ciągła we wskazanym punkcie : + a f = dla < = b f = a dla sin dla < + a dla = 7 c f = dla sin = d f = sin 5 dla a dla = a dla = = arc sin + e f = + dla π = f f = tg dla π a dla = a dla = π = π b dla < π g f = = π sin a dla π Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 5 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 7 grudnia 9 - :

26 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Zad. Wyznaczyć punkty nieciągłości oraz naszkicować wykres funkcji f + dla + dla a f = b f = + dla < dla < c f = dla d f = dla dla < dla > e f = dla + f f = dla dla = dla = dla < g f = dla h f = dla > arctan dla i f = j f = dla < k f = ln dla dla < dla + dla < log dla > arctan dla e dla < Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 6 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 7 grudnia 9 - :

27 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ POCHODNE Pochodne Zad. Oblicz pochodną funkcji: a f = b f = + c f = d f = 7 sin e f = arc tg f f = ln g f = sin log h f = log i f = m f = sin +cos Zad. Oblicz pochodną funkcji: j f = k f = cos e l f = + arctan arc cos n f = o f = e sin p f = sin + tg a f = + 6 b f = + c f = cos d f = sin + 7 e f = tg f f = + g f = sin + + h f = i f = + j f = tg k f = cos l f = tg m f = arc sin n f = ln o f = sin + p f = sinsin q f = + tg + r f = cos + s f = e ln t f = u f = sin e ++ v f = lnsin 8 w f = log + f = e ln y f = sin+ + z f = log log log 5 Zad. Oblicz pochodną funkcji: a f = b f = c f = sin cos d f = ln e f = + f f = g f = h f = e i f = + j f = ln k f = l f = ln e m f = tg ctg Zad. Obliczyć f, f, f dla funkcji: a f = b f = sin c f = e d f = ln e f = e cos Zad 5. Funkcja g ma pochodne do drugiego rzędu włącznie. Obliczyć f, f dla podanych funkcji złożonych: a f = g b f = ge c f = g d f = gln e f = gg f f = e g g f = g Zad 6. Zakładając, że funkcje f i g posiadają pochodne właściwe, obliczyć pochodne funkcji: a y = log f g b y = sin f g c y = f + g sin f d y = cos g Zad 7. Wyprowadzić wzór na n-tą pochodną funkcji: a f = sin b f = cos c f = e d f = e sin e f = e f f = ln g f = h f = ln Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 7 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 7 grudnia 8 - :55

28 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ POCHODNE - ODPOWIEDZI Pochodne - odpowiedzi Zad. a b + c 5 d 7 sin + 7 cos e arctan + + f ln + g sin log + cos log + ln sin h log ln i cos + j 7 7 k e sin + cos l arc cos m n o e ln sin Zad. e sin e cos sin p ln sin +cos tg + sin tg + sec tg + a + 5 b + + c sin d 7 cos7 + e cos f g +cos h + +sin i / j tan cos k sin l cos+ qtan m n ++ o cos + ln + p cos cossin q cos+ + q tan+ + t ln ln u e ++ + cos + ln ln sin r + s e e ++ v 8 cot8 w log + + e ln ln ln y 5 + cos + sin + + / z ln ln lnlog 5 Zad. a ln + b ln + c sin cos sin ln sin cos d ln ln e + + ln+ f ln g ln + h e e ln + i + ln+ +ln+ + j ln ln ln ln + k ln ln + + l e ln e ln lnln+ m tan cot cot sin cos lntan sin Zad. a f = +, f = + 6, f = 6 + b f = cos + sin, f = cos sin, f = cos sin c f = e +, f = e +, y = e d f = + ln, f = 7 + ln, f = + ln e f = e cos sin, y = e cos cos + sin, f = ecos + 6 cos + cos sin Zad 5. a f = g, f = g + g b f = e g e, f = e g e + e g e c f = g, f = g + g d f = g ln, f = g ln +g ln e f = g g g, f = g g g + g g g + g g g f f = e g g, f = e g g + e g g Zad 6. a y = ln gf f ln f + g g ln f b y = cos g y = g + g, f = 6g + 9g f f g g fg g c y = ff +gg f +g / d y = cosf cosg f + sinf cosg tangg Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 8 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 7 grudnia 8 - :55

29 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ POCHODNE - ODPOWIEDZI Zad 7. a f n = sin + n π b c f n = n e d e f n = n + e f f n = n! n g f n = n+! n h Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 9 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: 7 grudnia 8 - :55

30 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ REGUŁA DE L HOSPITALA Reguła de L Hospitala Zad. Oblicz granicę: a lim e e b lim + f lim e ln+ k lim l lim p u lim z lim + ln ln c lim g lim ln h lim ln sin q lim + v lim e lim arc ctg π ln e e sin lnln sin d lim e lim i lim m lim sin n lim tg π r lim e + e w lim a sin b Reguła de L Hospitala - odpowiedzi Zad. sin j lim tg tg o lim + tg tg π tg s lim ln t lim lim tg π + ln + lnsin y lim ctg a b c d 6 e f g h i j k e l m 6 n o p q r s t u v w a b e π y z Różniczka funkcji Zad. Wyznacz przybliżoną wartość wyrażenia: a 6 b arc tg, 5 c sin9 d,9999 Różniczka funkcji - odpowiedzi Zad. a 8, 979 b π +,5, 7879 c π 6, 89 d 8, 8 ln 7, 999 Styczna i normalna Zad. Napisać równanie stycznej i normalnej do wykresu zadanej funkcji we wskazanym punkcie: a f =,, f b f = arc sin,, f c f = ln + e,, f d f = e tg, π, f π e f = +,, f f f = +,, f g f = arc tg,, f h f =, e, fe i f = e +,, f j f = ln, e, fe k f = arc tg +,, f Zad. Znajdź kąt pod jakim przecinają się wykresy funkcji: a f =, g = b f =, g = c f = tg, g = ctg,, π d f =, g = Styczna i normalna - odpowiedzi Zad. a y s =, y n = + 9 b c d e f y s = , yn = 9 6 g h i j ys =, n = e k Zad. a α = π, = α = π, = b c d α 7.57 Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: grudnia 9 - :9

31 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ PRZEBIEG ZMIENNOŚCI FUNKCJI Przebieg zmienności funkcji Zad. Wyznacz dziedzinę funkcji: a y = ln b y = ln ln Zad. Zbadaj granice funkcji na krańcach przedziału określoności: a y = ln b y = ln Zad. Znaleźć asymptoty funkcji: a y = b y = + arctan c y = e d y = + 6 ln e y = + f y = + g y = + h y = + + k y = e l y = e m y = + Zad. Znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji: i y = j y = + a y = b y = ln c y = ln + d y = e + e y = ln f y = ln + ln g y = e + h y = i y = ln j y = e k y = e l y = arctan Zad 5. Znaleźć przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: a y = e arctan b y = ln c y = e d y = e e y = ln ln f y = g y = + h y = i y = ln 7 j y = e k y = e l y = + Zad 6. Znaleźć wartość największą i najmniejsza funkcji we wskazanych przedziałach: a f = 6 8, [, 6] b f =, [, 5] c f = sin + sin, [, π] Zad 7. Zbadaj przebieg zmienności funkcji i naszkicuj jej wykres: a y = + b y = c y = 5 d y = arc sin e y = e f y = + g y = h y = e i y = log + j y = ln k y = e + l y = ln + m y = ln n y = e o y = e p y = arctan q y = ln r y = ln ln s y = + t y = e u y = e a v y = arc sin w y = gdzie a jest parametrem ln Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: stycznia - :

32 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ PRZEBIEG ZMIENNOŚCI FUNKCJI - ODPOWIEDZI Przebieg zmienności funkcji - odpowiedzi Zad. a,, b, e Zad. a Zad. lim f =, lim f =, lim f = b lim f =, lim f =, lim f = + + a y = b y = c = d =, y = e =, y = f =, y = g =, y = + h i =, y = + j =, y = + k =, y = + l y = m =, y = Zad. a f :,,, f :,, f ma =,, f min =, b f :, e, f : e,, f min = e, e c f : R, brak ekstremów d f :,, f :,, f ma =, e f :, e, f : e,, f ma = e, e f f :, e e,, f : e,, e, f ma = e,, f min = e, g f :,, f :,,,, f min =, e 7 h f :,,, f :,, f min =, 7, f ma =, 7 i f : e,, f :,, e, f min = e, e j f :,, f :,,, f min =,, f ma =, e k f :,, f :,, f ma =, e l f :,,, f :,, f min =, π, fma =, π Zad 5. a f :,, f :,, P p =, earctan b f :,,, brak P p c f :,, f :,, P p =, e d f :, +,, f :, +, P p =, e +, P p = +, + e e f : e 5, e + 5, f :, e 5 e + 5,, P p = e 5 5 8, P p = e , + f f :,, f :,, P p, 8 g f :,, f :,,, P p, h f :,, f :,, P p, i f :,, f :,, P p, 7 j f :,,, f :,, P p, e + k f :, +,, f :,, +, P p,, P p +, e, P p, e + l f :,,,, f :,, P p, 5 / Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: stycznia - :

33 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ PRZEBIEG ZMIENNOŚCI FUNKCJI - ODPOWIEDZI Zad 6. a f min =, 89, f ma = 6, b f min =,, f ma = 5, 5 5 c f min = π,, f ma = π, Zad 7. a b c 6 8 d e f g h i j k l m n o Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: stycznia - :

34 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ PRZEBIEG ZMIENNOŚCI FUNKCJI - ODPOWIEDZI p q r s t u Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: stycznia - :

35 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CAŁKI NIEOZNACZONE Całki nieoznaczone Zad. Oblicz całkę: a d b d c d d 5+ e d e + d f + d g d Zad. Oblicz całkę przez podstawienie: h d + a + 5 d b sin 7d c d + d d + e f + d g + d h k d l d m ln p e sin e d q e e d r e d u arc sin d v sin d w z d + d + 6 d i + d j 5 d d n e e +d o s cos d t 5 sin cos d d ln d e d y arc tg + d Zad. Oblicz całkę przez podstawienie: a d b cos sin d c tg d d tg d e sin cos d f sin 5 cos d g cos d h + ctg sin d i arc tgln +ln d k e d l p + d q cos + d r u arc sin d v Zad. Oblicz całkę przez części: + ++ d m + d n d + sin +cos d w cos d s cos sin d t d + A cos d j +ln d o e d e d sin 5+ a cos d b ln d c ln d d sin d e cos d f arc sin d g arc cos d h arc tg d i e d j e sin d k e cos + d l cos d m 6 ln d n ln d o sin d p e d q cos d r ln d s sin d Zad 5. Oblicz całkę wymierna: a d ++8 b f d g k p u d ++ l d d d c d h d q d r Zad 6. Oblicz całkę wymierna: a +d b + d f d g j cos sin sin d Zad 7. Oblicz całkę trygonometryczna: 5 +d d + d i m +5 d n 7+d s c d d e e +e d h ++5 d e + + d d j d o +d t d e e e d i d + d + d d d e a sin cosd b sin cosd c sin sin5d d cos7 sin d e cos cosd Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 5 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: grudnia 9 - :

36 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CAŁKI NIEOZNACZONE Zad 8. Oblicz całkę trygonometryczna: a f k d sin b d g sin + cos d cos l d 5+ cos c d sin +cos h d cos m d sin cos d sin cos d e +sin d sin + cos +5 i cos d j d +sin +cos n p sin 5 d q cos 7 d r cos d s sin 8 u cos +sin sin cos d v +tg sin d Zad 9. Oblicz całkę niewymierna: a d b f d + g k p u d l ++6 d + d + + c + d h + w 7 sin cos +cos d sin + cos sin cos + cos d o cos d t sin d d + d e + d i ++ d j ++5 d + m 9 d n + d o + sin +sin d d sin cos d sin cos d cos d d d q d r + 5d s d t 6 d d + v 6d w + d 9 d y d Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 6 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: grudnia 9 - :

37 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CAŁKI NIEOZNACZONE - ODPOWIEDZI Całki nieoznaczone - odpowiedzi Zad. a ln C b C c ln C d e ln + C e g + C h Zad. + + C f C a C b 7 cos 7 + C c ln + + C d ln + + C e + C f C g C h 8 + C + i + C j 5 arc sin + + C k + C l 5 + C m ln + C n arc tg e 5 ln cos + C o + C p cos e + C q e + C r e + C s sin + C t ln ln + C u arc sin + C v cos cos + C w arc sin + C e + C y arc tg + C z Zad. a arc tg + C arc sin + C b sin + C c ln cos + C d tan + C e sin + C f 6 sin6 + C g sin sin + C h tg i arc tgln + C j ln + tg + C k e + C l ln C m C n C o ln e + C p ln + ln C q sin + + C r tg ctg + C s arc sin + C t 5 ctg C u arc sin + C v ln cos+ + C w + ln + + C cos ctg + C Zad. a sin + cos + C + + C b ln + C c ln + C d sin + cos + C e lncos + tg + C f arc sin + + C g arc cos + C h arc tg ln + + C i +e 9 + C j e sin cos + C k e sin+ cos+ + C l sin+ + C m 6 ln + C n ln sin+cos + C o 8 + C p e + C q sin + cos + C Zad 5. a 7 + arc tg 7 + C b arc tg + d ln arc tg + + C c ln + arc tg + C + + C e + arc tg + C f + ln C g ln ln + C h arc tg + C i ln ln + C j ln C k ln + + ln + + ln + C l ln + 8 ln + ln 8 + C m ln ln + arc tg C n ln + ln + C o ln + 65 ln C p arc tg C q ln C r ln arc tg 7 + C s ln + + C t ln + + ln + ln + + C u + ln + + C Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 7 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: grudnia 9 - :

38 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CAŁKI NIEOZNACZONE - ODPOWIEDZI Zad 6. a ln + 6 ln + + c ln + + ln C arc tg + C b ln + + ln + + C arc tg+ d C e ln + ln C f ln e ln e + + C g ln e ln e + + C h ln e + C i ln sin ln sin sin + C Zad 7. a cos cos cos5+5 cos 8 + C b + C c sin 6 sin7 + C d cos9 8 cos5 + C e sin5 + sin + C Zad 8. a ln tg + C b arc tg tan + C c cos + ln sin cos j ln tan + cos + C k ln +tg tg arc tg f tan + C d arc tg sin + C e cos ln cos + ln + cos + C sin 6cos+ + C g ln tg + + C h tg + +9 cot + C i + 8 sin + sin + C + C l tg + C m ln tg n ln + cos + ln cos cos + 8 arc tg cos + arc tg tg + C o ln + + C sin + C +tg tg p 5 cos cos 5 sin 8 cos5 + C q sin + 7 sin5 + 8 sin7 + C r 7 sin 7 + C s sin + C t u cos sin + C v tg + ln tg + C w Zad 9. a ln + 6 arc tg 6 + C b 6 ln C c + C d C e ln ln C f ln C g ln C h i j arc sin arc sin + C k + C l m 8 arc sin C n 5 + C o +5 + C p + + C q arc sin + + C r ln arc sin + C s + + C t 8 arc sin C u + C + v 6 8 ln C w ln arc sin C + C y ln C Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 8 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: grudnia 9 - :

39 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CAŁKI OZNACZONE Całki oznaczone Zad. Oblicz całkę oznaczoną: a e ln d b π e f ln d g e k + d l p u π π d + d ctg d q v π π π sin + cos d c cosd 9 d e h 5 + d m arc sin d r cos d 6 d ln d i π d + n + + d π d s 8 Zad. Wykorzystując odpowiednie własności całek oznaczonych uprość wyrażenie: e π + d j sin d o d t +6 5 e cos d arctan + d d + d a π π e sin d b 5 d c + cos Zad. Oblicz całkę niewłaściwą I-go rodzaju: a d + d b arctan + d c d +9 d d e d f d + g m d 6+ h e d n d ++ i e sin d o d ++ j d d + k d + l e d Zad. Oblicz całkę niewłaściwą II-go rodzaju: a g l á d b d d h b d a a b a 6 d m d c i n d d 6 d j 9 d o d e 6 d k d d f π p d cos + d d 5 Zad 5. Oblicz wartość średnią zadanej funkcji we wskazanym przedziale: a f = [, ] b f = + sin + cos [, π] c f = e [, ] d f = sin [, π] e f = + [, ] f f = cos [ π, π ] g f = sin [, π] h f = [, ] Zad 6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: a y =, = a, y = b y =, y = c y =, = 8y d y =, y = e y =, y = f y =, y = g y = 6, y = h y =, + y = i y =, + y = 5 j y = e, =, =, y = k 6 + y = 6, y = 6 l y =, y =, y = 8, Zad 7. Obliczyć długość łuku krzywej na zadanym przedziale: Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny 9 Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: czerwca 9 - :

40 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CAŁKI OZNACZONE a y = [, ] b y = y >, [, 8 9] c 9y = [, ] d y = [, ] e y = ln sin [ π, π ] f y = ln [, ] g y = arc sin + [, ] Zad 8. Obliczyć objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej f wokół osi O na zadanym przedziale: a f = sin, [, π] b f = e, [, ] c f = +, [, ] Zad 9. Obliczyć objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej f wokół osi Oy na zadanym przedziale: a f = e, [, ] b f =, [, ] c f = +, [, 5] Zad. Obliczyć pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej f wokół osi O na zadanym przedziale: a f = sin, [, π] b f = +, [, ] c f = ln, [, e] Zad. Obliczyć pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej f wokół osi Oy na zadanym przedziale: a f = ln, [, ] b f =, [, ] c f =, [, ] Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: czerwca 9 - :

41 FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ CAŁKI OZNACZONE - ODPOWIEDZI Całki oznaczone - odpowiedzi Zad. a i 9 q 6 Zad. e + b π c 9π d 5 + e e π 5 f e g h π 9 j 9 k l m ln n π o π 6 p π π π + 8 r ln s π t 7 u ln v a b c + cos Zad. a π b π c π 9 d e f π 8 arctan g π 8 h π i π j + ln k π 9 l m e n o 6 π 5 ln Zad. a b c d 8 e f 5 g π h π i π j k 9 6 l 5 m 9 n π o π p Zad 5. a b c d π e ln 5 f π g h Zad 6. 8 a a b c 8 d 8 e f g 5 h i j k l Zad 7. a 7 + ln + 7 b c d π ln e f ln g Zad 8. a b c Zad 9. a b π c Zad. a b 6 π c Zad. a π + ln + + b π c π ln + Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: czerwca 9 - :

42 Funkcje wielu zmiennych Pochodne cząstkowe Zad. Przedstaw w układzie współrzędnych dziedzinę funkcji: a z = + + lny + b z = a y b c z = lny + 8 d z = + y ln y e z = +y + y y f z = ln y g z = arc sin +y + arc cos +y h u = R y z + +y +z r Zad. Wylicz wszystkie pierwsze pochodne cząstkowe funkcji: a z = + y y b z = y y + c z = t +t d z = +y +y e z = y + y f z = sin + y sin sin y g z = ln + + y h z = ln + ln y i z = y ln + y j z = arc sin y k z = ln tg y l z = e y m z = e yz n z = arc sin t o u = siny z p u = y + z y z q u = sin + y + z r u = e +y +z s u = +y +z t z = + y y u z = + y +y v u = y z w u = y u = arc tg y z Zad. Oblicz: a z, jeżeli z = ln + y b u + u y + u z jeżeli u = ln + + y + z c z, jeżeli z = ln + y Zad. Wyznacz wszystkie pochodne cząstkowe II-go rzędu dla funkcji: a z = y f z = y ln g z = e ey y b z = +y c z = ln + + y d z = arc sin y e z = sin + y Zad 5. Sprawdź czy funkcja spełnia równanie różniczkowe: a z = ln + y, c u = e t, u + t u e z = e sin π y g u = + y + z, i z = y, k z = z y + ln z + y z y = b z = sin y, z + y z y = z t = d z = e y ln y, z + y z, z + z y = e sin y f z = ln + y, z + u y e y, z + z y y = z m u = y + y z + z, n z = e y, u y + u y + u z = h z = y y, z y = z j z = y u + u u + u y z + y y = z ln y + z y = z y = z y sin y, z + z y y = z y y l z = ln e + e y, z y + u z + u y + u y z + u z = = y u y z y = z y Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: maja 9 - :

43 FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH POCHODNE CZĄSTKOWE Zad 6. Wyznacz zadaną pochodną funkcji złożonej: a z u, z v, z = y y, gdzie = u cos v, y = u sin v b z u, z v, z = y, gdzie = u v, y = u + v c z u, z v, z = y + y, gdzie = u + v, y = u v d dz dt, z = e y, gdzie = sin t, y = t e u v, u t, u = y + z + cos z, gdzie = t + v, y = t v, z = tv du f d, u = arc tgy, gdzie y = e g du dt, u = z + y + zy, gdzie z = sin t, y = e t h z, z y z = fu, v gdzie u = y, v = ye i u, u y u = f + ln y, + e y Zad 7. Wykaż, że zadana funkcja spełnia równanie różniczkowe: a z u + z v = u v u +v b z v + z u u ctg v = c z + y gdzie z = arc tg y, = u + v, y = u v z cosv z y = z y gdzie z = +y gdzie z = y, = u cos v, y = u sin v y f y, f-dowolna funkcja różniczkowalna d z + y z y = gdzie z = f y, f-dowolna funkcja różniczkowalna Zad 8. Oblicz różniczkę zupełną funkcji: a z = arc sin y b u = yz c z = ln + y d u = + y + z e u = y f u = y z Zad 9. Oblicz przybliżoną wartość wyrażeń: a,, b, 97,, c ln, +, 98 d arc tg Zad. Oblicz drugą róźniczkę funkcji: a z = ln y b z = +y c u = yz d u = y ln e z = ln y Zad. Zbadaj istnienie ekstremów lokalnych funkcji: a z = y y b z = y y c z = e +y +,97, e sin 9 tg 6 d z = y y + 6y e z = 8 + y + y f z = e y g z = + y + y ln ln y h z = + y + y i z = e + y j z = y + y y + 8 k z = y + y l z = + 6y y y m z = + y n z = + y o z = + y p z = + y Zad. Wyliczyć pochodną dy d funkcji uwikłanej F, y = : a y y = b y + y = c y y + 5y + = d arc tg +y y = e y + arc tg y = f y + y = g e y + e y + = h e y + ye e y = i y + ln y + ln = j y + = e y k cos y = y l + y = a Zad. Sprawdzić czy podana funkcja uwikłana z = z, y spełnia podane równanie różniczkowe: a z + z z y =, sin + y z = + y z b z + y z y = z, yz = a c z + z y =, z = y z Zad. Napisać równanie stycznej do krzywej + y = y w punktach jej przecięcia z prostą =. Zad 5. Obliczyć współczynniki kątowe stycznej do linii y y = w punktach jej przecięcia z prostą =. Zad 6. Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy a + y b = w punkcie P =, y Zad 7. Wyznaczyć równanie stycznej do hiperboli a y b = w punkcie P =, y Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Created by LATEX: stycznia - : Ostatnia modyfikacja działu: maja 9 - :