(a b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

Transkrypt

1 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) c) (0, 5) 5 5+ (0, 5) ; d) ( ) ( + ).. Doprowadź do możliwie najprostszej postaci wyrażenia ( a) a,5 b,5 a b a b ) a 0,5 b 0,5 b) n++ n 4 n+ + n+ n 4 n 4 n++ ; ) n 4 c) ( a + ab +c ab +c 4. Wykonaj działania a) ax+ay x xy+y (a + b ); : ( b a + b ab + c ). x+y ax +axy+ay ; b) a b a+b : a ab+b 6a 6b ; c) a 5 a a : a +5a a 9 ; d) a4 x 4 a x : a +x a x ; e) (a b c) 6 ( ab c d) 4 ; f) (xyz ) ( x y 4 x 5 ) : ( x yz) ; g) ( a m+n b m n c) : (,5a m b n ); h) (8x p y n z a ) : ( 4x p y z a 4 ). 5. Wykonaj działania i przeprowadź redukcję a) ( + x) + 5( x) ( x)( + x); b) 4(m + n) + (4m n) (m + n)(m n). 6. Naszkicuj wykres funkcji a) y = x + ; b) y = x ; c) y = x + ; d) y = x + ; e) y = x 4 ; f) y = x. ;

2 Zajęcia fakultatywne z matematyki Rozwiąż równanie lub nierówność a) x = ; b) x + 5 = ; c) x + x = ; d) x x + + = ; e) x > ; f) x ; g) x < 4; 8. Przedstaw ilustracje graficzne nierówności a) y > x + ; b) y x 4 ; c) x + y ; d) x + y >.

3 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. Podaj postać kanoniczną oraz iloczynową. Narysuj wykres funkcji. a) w(x) = x x + ; b) w(x) = x 5x; c) w(x) = x + ; d) w(x) = x x + ; e) w(x) = x 0x + 8; f) w(x) = x + x +.. Wyznacz rzeczywiste pierwiastki wielomianu w(x) oraz podaj jego postać iloczynową: a) w(x) = π x; b) w(x) = x 5x + 6; c) w(x) = x 0 ; d) w(x) = x 4 x + ; e) w(x) = 7x 5 4; f) w(x) = x 4 0x + 8; g) w(x) = x + 6x + 6x + ; h) w(x) = x + 6x + x Naszkicuj wykresy wielomianów: w(x) = x, p(x) = x, q(x) = x, r(x) = x 4 oraz s(x) = x n, n N. 4. Naszkicuj wykresy wielomianów o podanych wzorach w(x) i w każdym przypadku podaj rozwiązanie nierówności w(x) 0. a) w(x) = x(x + )(x ); b) w(x) = 4(x ) (x + ) (x 5); c) w(x) = x (x + )(x 4); d) w(x) = x 4 + x Rozwiąż { algebraicznie układy równań { x + y = 4 (x y) a) x + y = 8 ; b) = xy = 6. Podaj ilustracje graficzne układów nierówności { y x x y x a) y x + ; b) y 8 0 x 0 ; c) ; c) { x = y x + y x y + = 0. { x + y 0 x x + y Rozwiąż nierówności a) < + x podaj ilustrację graficzną; b) x x x ; c) x(x 5) 0; d) ( x)(x+) > 0; e) (x+)(x ) 0; x (x+) (x ) f) x + 0; g) x x+ 0; h) 0; x (x ) (x ) 8. Naszkicuj wykresy funkcji a) y = ; b) y = x+ x. c) y = ; d) y = ; x x x x 6 9. Dana jest funkcja f(x) =. Rozwiąż nierówność: f(x) f( ) < x x f(x ) f( ). x

4 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA. Naszkicuj wykresy funkcji a) y = x ; b) y = ( )x ; c) y = (0.) x ; d) y = x ; e) y = x ; f) y = 0 x.. Rozwiąż { graficznie układy równań y = x a) y + x = 8 ; b) { y = ( )x + x + y = 0 ; c) { { y = x y = x x = 0 ; d) x+ y = x. Rozwiąż równania a) x+ = 4 x ; b) (0, 5) x = ( ) 5 x ; c) (0, 04) = 5 x +7x.. 4. Wykreśl w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji a) y = log x, y = log x; b) y = log x, y = log x. 5. Sporządź wykresy funkcji x a) log 8x; b) log ; c) log(x + 5); 9 d) log(x ); e) log x ; f) log x. 6. Oblicz: a) log 7; b) log 0 0, 0; c) log ; d) log 5 ; e) 9 log 7 ; f) log 5 5 5; g) log ; h) log 9 6 ; i) log Korzystając z kalkulatora lub tablic logarytmicznych oblicz a) log 4 0, 05; b) log 000; c) log 7 5; d) log Wyznacz dziedzinę funkcji a) f(x) = log(x + ); b) f(x) = log (x ); c) f(x) = log(x 5) log 5 (x 4); d) f(x) = log 0,5 (x + );e) f(x) = log (4x 9); f) f(x) = log(x 5) log(x 5). 9. Rozwiąż równania a) x = 7; b) log x = 5; c) log x = ; 7 d) 0, 5 x = 0; e) log x = ; f) 0 log x = Wyznacz wskazaną wielkość a) log y = y =? b) log y = x y =? c) log a = 8 a =? d) log 5 b = x + b =? 4

5 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZE. Podaj w radianach następujące miary kątów: 5, 0, 5, 00, 5.. Oblicz wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla kątów o następujących miarach: 5, 50, 40, 740, 660, 50.. Wyraź za pomocą funkcji trygonometrycznych kątów dodatnich nie większych od 45 : sin 5 o, cos 5 o, tg 65 o, cos 000 o, ctg 85 o. 4. Uzupełnij tabelę. Jeśli kąt nie istnieje, wpisz znak : α (0,90) (90,80) (80,70) (70,60) cos α 5. Wpisz odpowiednią miarę kąta do tabeli (o ile istnieje) sin α cos α 6. Zbadaj, czy istnieje kąt α taki, że a) sin α = i cos α = ; b) sin α = i cos α = ; 4 5 c) tg α = i ctg α = ; d) tg α = i sin α = Oblicz a) sin(α + 45 ) mając dane cos α = i 90 < α < 80 ; b) cos(60 α) mając dane sin α = i 80 < α < 70. 5

6 Zajęcia fakultatywne z matematyki Uprość wyrażenie a) sin α sin α cos α; b) sin α cos α + cos α; c) cos α + tg α; d) (sin α + cos α) sin α. 9. Dla x π; π wykonaj wykresy następujących funkcji a) y = cos x; b) y = sin( π x); c) y = sin x ; d) y = tg x; e) y = sin x; f) y = ctg(x + π). 0. Rozwiąż równania a) sin x = ; b) cos x = ; c) sin(x) = ; d) ctgx = ; e) tg x = ; f) cos(x + π ) =.. Dane są dwa boki a, b trójkąta ABC. Obliczyć bok c, jeżeli wiadomo, że miara kąta C jest dwa razy większa od miary kąta B.. Dwa boki trójkata mają długości cm i 4 cm, a miara kąta między nimi wynosi 0 o. Oblicz obwód tego trójkata, jego pole oraz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.. Dany jest trójkąt o bokach długości: 0,0, 4. Określ czy jest to trójkąt rozwartokątny. Oblicz jego pole. 6

7 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ. Mając dane punkty a) A(, ), B(5, 6), C(7, 8), znajdź współrzędne wektorów AB, AC i BC oraz ich długości; b) A(, ), B(, 4), C(5, 4), znajdź długości wektorów AB + AC i AB AC.. Znajdź cosinus kąta między wektorami u i v mając dane: a) u = [, ], v = [, 4]; b) u = [ 4, ], v = [, 4]; c) u = [0, ], v = [5, 5]; d) u = [, ], v = [ 5, ].. Dane są wierzchołki trójkąta A(, ), B(, 5) i C(, 4). Napisz równania prostych AB, AC i BC. 4. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór A, jeżeli: a) A = {(x, y) : x y } ; b) A = {(x, y) : y x + y x + } ; c) A = {(x, y) : x + y 0 x + y + 0} ; 5. Opisz za pomocą równania lub nierówności: a) okrąg; b) koło; c) wnętrze koła; d) zewnętrze koła o środku S(, ) i promieniu r =. Czy punkt P (5, ) należy do wnętrza tego koła? 6. Podaj długość promienia i współrzędne środka okręgu o równaniu: a) x + y = 5; b) (x ) + (y + ) = 9; c) x + y 4x = 0; d) x + y + y = Narysuj okręgi z poprzedniego zadania w układzie współrzędnych. 8. Zbadaj wzajemne położenie okręgów o równaniach: a) (x ) + (y + ) = 5 i (x + ) + y = ; b) (x ) + (y + ) = 5 i (x + 5) + y = ; c) x + (y ) = 5 i (x ) + y =. 9. Zbadaj wzajemne położenie: a) prostej x + y = 0 i okręgu x + y x + 5y = 0; b) prostej x + 4y = 0 i okręgu x + y x 5y = 0; c) prostej x + y = 0 i okręgu x + x + y = 0. 7

8 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 ELEMENTY KOMBINATORYKI I CIĄGI LICZBOWE. Oblicz: a) 9! ; b) 8! 6! ; c) ; d) ( ) 0 8!!5! 0!.. Rozwiąż równanie: a) ( ( ( ) ( ) n ) = 0; b) n ) = 4; c) n 4 = 5; d) n n = 45.. Utwórz wszystkie trzyelementowe kombinacje z elementów zioru A = {a, b, c, d, e} zakładając, że wszystkie elementy zbioru A są różne. 4. Z cyfr,,, 4, 5 ułożono wszystkie możliwe liczby pięciocyfrowe o nie powtarzających się cyfrach. Ile jest wśród nich liczb: a) zaczynających się cyfrą ; b) nie zaczynających się cyfrą 5; c) podzielnych przez ; d) podzielnych przez Zbadaj monotoniczność ciągów o wyrazach ogólnych: a) a n = n+; b) a n+ n = n + ; c) a n + n = ; n +n+ d) a n = n ; e) a n = +++ +n ; f) a n + n = +4+ +n n Sprawdź, że ciąg o wyrazie ogólnym a n = n, (n > ) jest ciągiem malejącym. n! 7. Oblicz granice ciągów o wyrazach ogólnych: a) a n = n n 5 n ; b) a n = n n ; c) a n = n n + 4; d) a n = ++ +n 4n 4 +n+. 8. Podaj przykład ciągu, który jest zbieżny do, ale nie jest monotoniczny. 9. Suma n-pierwszych wyrazów pewnego ciągu wynosi S n = n +. Oblicz czwarty wyraz tego ciągu. 0. Rozwiąż równanie: x = 7.. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy. Dla jakiej wartości różnicy r tego ciągu wyrażenie a a + a a ma wartość najmniejszą?. Rozwiąż równania: a) + x + x + x + = ; b) x x + x 4 +x+x +x + =. 8