TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

Transkrypt

1 Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona, Stachnik, zadania info.pl oraz zamieszczono zadania autorskie) Bydgoszcz 2016 Wybór zadań: Ewa Ludwikowska Zbigniew Dyło Beata Kwiecień Jolanta Oliwa Barbara Stojke

2 Zadanie 1. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej równa się sumie pól obu podstaw. Oblicz tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny sąsiedniej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa, jeśli krawędź podstawy ma długość 2cm. Zadanie 2. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a, a miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa α. Zadanie 3. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość h, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę α. Oblicz objętość ostrosłupa. Jakie wartości może przyjmować α? Zadanie 4. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Oblicz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa wiedząc, że pole powierzchni bocznej jest równe 4S. Zadanie 5. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a, a krawędź boczna jest dwa razy dłuższa. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa. Oblicz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa. Zadanie 6. Prostopadłościan o podstawie kwadratowej przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jeden z wierzchołków podstawy. W przekroju otrzymano romb o kacie ostrym α. Oblicz cosinus kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy prostopadłościanu. Zadanie 7. Długości krawędzi podstawy prostopadłościanu są równe 3cm, 4 cm. Krawędź boczna ma długość 2cm. Oblicz pole przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 60. Sporządź rysunek i zaznacz na nim przekrój oraz kąt jego nachylenia do płaszczyzny podstawy. Zadanie 8. Zbadaj zbieżność szeregu geometrycznego: 3 x, ( 3 x x 2 5 x 2 5 )2, ( 3 x x 2 5 )3, ( 3 x x 2 5 )4 Zadanie 9. Funkcja f określona wzorem f(x) = 1 + (x 2 3x + 1) + (x 2 3x + 1) 2 + Wyznacz dziedzinę funkcji f. Zadanie 10. Rozwiąż równanie: (1 x) + (1 x) 2 + (1 x) 3 + = 3 2 x

3 Zadanie 11. Rozwiąż równanie: 1 + Zadanie = 1 2x 1 x (1 x) 2 (1 x) 3 Rozwiąż nierówność: 1 3 2x x+1 + (3 2x x+1 )2 ( 3 2x x+1 )3 + 1 x 2 Zadanie 13. Funkcja f ma tę własność, że dla każdej liczby x należącej do jej dziedziny prawdziwa jest równość 1 f(x) + (f(x)) 2 (f(x)) 3 + = x 2 Wyznacz wzór funkcji f i jej dziedzinę. Zadanie 14. Wartości funkcji f: D R spełniają dla każdego x D następujące równanie 1 + f(x) + (f(x)) 2 + (f(x)) 3 + = 1 2x 2 3x gdzie lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego. Wyznacz dziedzinę i wzór funkcji. Narysuj wykres funkcji f. Zadanie 15. Dziedzina pewnej funkcji f jest równa przedziałowi ( 1 ; 1), natomiast jej wartości spełniają dla 2 każdego x ( 1 ; 1) następujące równanie f(x) + f 2 (x) + f 3 (x) + = 1, x 3 +x w którym lewa strona jest równa sumie wyrazów pewnego nieskończonego ciągu geometrycznego. Wyznacz zbiór wszystkich wartości funkcji f. Zadanie 16. Oblicz dla jakich wartości x suma nieskończonego ciągu geometrycznego o wyrazie ogólnym a n = ( 4x x 3 )n, n εn + jest równa 2x 1. Zadanie 17. W równoległoboku ABCD dane są AB = 6, AC = 4, BAD = 30. Na bokach AB, BC, CD, DA obrano odpowiednio punkty E, F, G, H tak, że AE = BF = CG = DH = x. Dla jakiej wartości x pole czworokąta EFGH jest najmniejsze? Zadanie 18. Wykres funkcji f(x) = x 3 3x 2 + bx + c przechodzi przez punkt A = (2,5). Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie A jest równy (-9). Wyznacz największą wartość funkcji f w przedziale 2; 4.

4 Zadanie 19. Prosta l, na której leży punkt A = (2,5), przecina parabolę o równaniu y = x 2 w dwóch różnych punktach B = (x 1, y 1 ) i C = (x 2, y 2 ). Oblicz wartość współczynnika kierunkowego prostej l, przy której suma y 1 + y 2 osiągnie wartość najmniejszą. Zadanie 20. Wyznacz współrzędne punktu P leżącego na wykresie funkcji y = 7x x 2 15, dla którego suma odległości od osi układu współrzędnych jest najmniejsza. Zadanie 21. Na paraboli o równaniu y = x 2 + 6x + 5 znajdź współrzędne punktu A, którego odległość od prostej o równaniu y = 2x 13 jest najmniejsza. Zadanie 22. Wszystkie wierzchołki trapezu ABCD (AB CD i AB > CD ) leżą na paraboli o równaniu y = x2. Wierzchołki A i B są punktami przecięcia tej paraboli z osią OX. Oblicz współrzędne wierzchołka trapezu o obu współrzędnych dodatnich, dla którego pole trapezu jest największe. Oblicz to pole. Zadanie 23. Trapez ABCD (AB CD i AB > CD ) wpisano w parabolę o równaniu y = x2. Wierzchołki A i B trapezu są punktami przecięcia tej paraboli z osią OX. Oblicz, dla jakich x pole trapezu jest największe. Oblicz to pole. Zadanie 24. Wyrazy a 1, a 2, a 3,. a 10 pewnego nieskończonego ciągu a n spełniają warunki a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 20, oraz warunki a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + a 10 = 15. Wiedząc, że nieskończony ciąg b n określony wzorem b n = 4 3a n+5 jest ciągiem geometrycznym, oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu b n. Zadanie 25. Dany jest ciąg a n o wyrazie ogólnym a n = ( 3 p 3+p )2n 3. Udowodnij, że ciąg a n jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz te wartości parametru p, dla których istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu a n. Oblicz tę sumę. Wyznacz te wartości parametru, p dla których ciąg a n jest malejący. Zadanie 26. Suma n początkowych wyrazów ciągu a n dla każdego n 1 określona jest wzorem S n = 2n 2 14n. Wykaż, że ciąg a n jest ciągiem arytmetycznym. Wykaż, że jeżeli suma n początkowych wyrazów ciągu dla każdego n 1 określona jest wzorem S n = 2n 2 14n + 1, to ciąg ten nie jest arytmetyczny. Znajdź takie trzy kolejne wyrazy ciągu a n, aby kwadrat środkowego wyrazu był o 48 mniejszy od różnicy kwadratów wyrazów z nim sąsiadujących.

5 Zadanie 27. Ciąg a n jest arytmetyczny oraz a 1 = x i a 2 = 4x 1. Wiedząc, że a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 25 oblicz x oraz sumę a 11 + a 12 + a a 25. Zadanie 28. Wyznacz wszystkie wartości x, dla których ciąg ( x 1, 2, x + 3 ) jest malejącym ciągiem arytmetycznym. Zadanie 29. Dany jest ciąg arytmetycznya n, w którym a 3 = 15 oraz a 11 = 17. Dla jakich n zachodzi równość 7a n = a 1 + a 2 + a a n 1? Oblicz sumę pięćdziesięciu początkowych, ujemnych wyrazów ciągu a n, które są podzielne przez 3. Zadanie 30. W ciągu arytmetycznym suma n początkowych wyrazów o numerach parzystych jest równa 6n 2 4n. Oblicz sumę n początkowych wyrazów o numerach nieparzystych. Zadanie 31. Ciągi a 15, b + 3, c + 5 i a 1, 2b 2, 4c 4 są arytmetyczne, a ciąg a, b, c jest geometryczny Oblicz a, b, c. Zadanie 32. Ciąg (b n ) jest arytmetyczny i S 60 S 39 = 105, gdzie S n oznacza sumę n początkowych wyrazów tego ciągu. Oblicz x, wiedząc, że liczby 1, (b 47 + b 53 )x, 5x + b 50 tworzą rosnący ciąg geometryczny. Zadanie 33. Znajdź równanie okręgu stycznego do prostej k: x + y + 13 = 0 i do prostej m: 7x y 5 = 0 w punkcie A = (1,2). Zadanie 34. Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y = x 2 + 6x. Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi OX. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta. Zadanie 35. W czworokącie ABCD przekątne przecinają się w punkcie o współrzędnych P = ( 3, 7) w taki sposób, że PC : AP = PD : BP = 1: 3. Wiedząc, że AC = [4,6], BD = [ 10, 2] oblicz współrzędne wierzchołków tego czworokąta. Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest trapezem.

6 Zadanie 36. Wierzchołek A trójkąta ABC leży na okręgu o równaniu x x + y 2 2y + 21 = 0, a pozostałe wierzchołki mają współrzędne A = ( 4,1)i B = (2,1). Oblicz wartość wyrażenia sin ABC sin BAC. Zadanie 37. Punkty A = (0,3), B = (0,0), C = ( 5,0), D = (x, 3), gdzie xεr są kolejnymi wierzchołkami czworokąta ABCD. Oblicz wartość, dla której w czworokąt ABCD można wpisać okrąg. Zadanie 38. W trapezie ABCD, w którym AB CD, dane są wierzchołki A = (1,1), B = (2,4) oraz punkt przecięcia przekątnych S = ( 1, 3). Pole trapezu jest równe 36. Oblicz długość podstawy CD. Wyznacz współrzędne wierzchołków C i D. Zadanie 39. Przez punkt A = (0, 1)poprowadzono proste styczne do okręgu o równaniu x 2 + y 2 4y + 3 = 0 a) Napisz równania tych stycznych b) Oblicz pole trójkąta ABC, którego wierzchołki B, C są punktami styczności Zadanie 40. Prosta o równaniu y = 4 43 x okręgu. jest styczna od okręgu o środku S = ( 1; 3). Oblicz promień tego Zadanie 41. Niech a = log Zadanie 42. Wykaż, że log 6 64 = 6a 1 a. Wiedząc, że a = log 3 20 i b = log Oblicz log Zadanie 43. Rozwiąż równanie sinx cos2x + sin3x = 1 Zadanie 44. Rozwiąż równanie(4sin 2 x 1) sinx = cos 2 x 3sin 2 x, xε( π; 0) Zadanie 45. Rozwiąż nierówność sin2x < 1, xε π; 2π. 2

7 Zadanie Z danego równania 1 = 1 wyznacz y jako funkcję x, następnie naszkicuj wykres tej funkcji y+2 x+1 oraz określ dla jakich wartości m R równanie f(x) = m 2 2 ma dokładnie jedno rozwiązanie ujemne.