Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x
|
|
- Monika Czarnecka
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 b) + y c) dla 1 2 d) 8 e) + 1 f) Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej zaznaczyć na osi liczbowej zbiory punktów spełniających podany warunek. Zapisać rozwiązanie równania lub nierówności. a) + 4 = 2 b) 2 > 1 c) 6 2 d) + 2 = e) + > 1 f) + 6 = 1 g) = h) 5 + < 5 i) > 4.. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej zapisać podane zbiory punktów przy pomocy. a) {4 18} b) {1 + + } c) < < d) e) ( 4) (10 + ) f) ( 2 [ ). 4. Wykazać że dla dowolnych a b R zachodzi nierówność trójkąta a + b a + b. 5. Rozwiązać równania lub nierówności a) + 2 = + 2 b) = 5 c) + 1 = d) 2 < e) 6 f) > Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci kanonicznej i postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) c) d) e) f) Dla jakich wartości parametru m funkcja f() = (m ) 2 + (m ) + m 2 a) jest funkcją liniową. Dla tej wartości m narysować wykres f() b) jest funkcją kwadratową mającą jeden pierwiastek. Dla znalezionej wartości m narysować wykres f() c) ma największą wartość dodatnią. 8. Dla jakich wartości parametru m funkcja f() = m m : a) ma miejsce zerowe b) ma dwa miejsca zerowe różnych znaków c) ma dwa miejsca zerowe dodatnie d) ma najmniejszą wartość będącą liczba dodatnią. 9. Określić liczbę g(m) punktów wspólnych prostej y = m i krzywej y = (m + 1) 2 + (2 m) 2 w zależności od parametru m. Narysować wykres funkcji g(m).
2 Matematyka Lista Wyznaczyć współczynniki i określić stopień funkcji wielomianowych: a) ( 4 + 1)( 2 + 4) b) y = ( )( 2) 2 c) W () = ( + 2) ( 1) 2 d) y = ( + 1) 2 (2 + ) Obliczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q: a) P () = Q () = b) P () = Q () = c) P () = Q () = ( 1). 12. Dla jakiej wartości parametru a reszta z dzielenia wielomianu W () = 2 + (a 2 + 1) 2 (a + 2) 6 przez dwumian Q() = + jest możliwie najmniejsza. 1. Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów: a) b) c) d) Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów: a) b) c) d) Podane wielomiany przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników: a) b) c) d) Rozwiązać równania: a) 2 = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0 e) 2 + = + 1 f) 2 = Rozwiązać nierówności: a) < 4 b) > 0 c) (1 2 )( ) 0 d) e) 2 < 2 f) 2 + > Rozwiązać równania: a) = b) = c) = d) + a + a = Rozwiązać nierówności: d) a) ( 1)2 ( + 1) 0 b) ( + 1) e) 2 5 < 2 c) < + 1 f) 2 1 2
3 Matematyka Lista 1 g) < 1 h) < i) < Przeprowadzić dyskusję istnienia rozwiązań równania i ich liczby w zależności od parametrów a i b: a) a + b = 2 b) 1 + b = a. 21. Uzasadnić że żadna liczba całkowita nie spełnia nierówności 22. Narysować wykresy funkcji: < a) f() = 6 2 b) f() = 6 c) f() = d) f() = e) f() = 2 + 1/( 1) f) f() = (2 )/( + 1) g) f() = 1/ h) f() = 2 i) f() = sgn( 1) j) f() = sgn( 2 ). Uwaga: funkcja sgn() (znak ) przyjmuje wartość +1 dla > 0 0 dla = 0 i 1 dla < 0.
4 Matematyka Lista 2 4 Matematyka Lista 2 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): ( ) Która z liczb jest większa: 2 czy 2?. Rozwiązać równania wykładnicze: (a) = (b) = (c) = 128 (d) ( ) 2 (81 ) = (e) = 24 (f) ( ) 1 1 = Rozwiązać nierówności: (a) 4 2 < 9 2 (b) (c) > 0 (d) (e) 4 +8 < 6 2 (f) Dla jakich wyrażenie 1/(2 + 2 ) przyjmuje wartości z przedziału ( 1 2/5)? 6. Obliczyć lub uprościć: log 1 6 log log5 9 log 5 log log log ( ) 1 e ln 2 2 log 6 2+log 6 18 log 2 log 9 2 ln 2+log 2 e log 1 +log 2 4 +log 8. (Uwaga: e jest liczbą Eulera (Napiera); ln = log e ) 7. Która z liczb jest większa: log 2 a czy log a? 8. Częstość występowania określonej pierwszej cyfry w wielu rzeczywistych danych statystycznych wykazuje regularność nazywaną prawem Benforda. Prawdopodobieństwo wystąpienia cyfry k k = to P k = log 10 ((k + 1)/k). Rozkład Benforda jest stosowany do sprawdzania poprawności zeznań podatkowych bądź defraudacji gdyż ludzie wpisując liczby tak żeby wydawały się przypadkowe nie są świadomi że pewne cyfry występują częściej na pierwszej pozycji. ( Wyznacz częstotliwości występowania cyfr na pierwszej pozycji sugerowane przez prawo Benforda. 9. Jaki dochód przyniesie po 4 latach lokata w wysokości 1000 zł oprocentowana w wysokości 6% rocznie jeżeli odsetki dopisywane są raz w roku? O ile zmieni się dochód jeżeli kapitalizacja jest miesięczna?
5 Matematyka Lista Nominalne oprocentowanie lokaty wynosi 6% w stosunku rocznym. Jakie jest oprocentowanie efektywne jeżeli odsetki dopisywane są co miesiąc? 11. Wpłacasz do banku 100 zł w formie lokaty długoterminowej ze stałym oprocentowaniem 6% w stosunku rocznym. Po jakim czasie wartość lokaty przekroczy 1000 zł gdy odsetki dopisywane są: (a) raz w roku (b) co miesiąc. 12. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji: (a) miesięcznej (b) dziennej (c) n razy w roku w równych odstępach czasu. 1. Rozwiązać równania: (a) log (+1) = 2 (b) ln 2 + ln = 4 (c) log 2 +log 8 = 12 (d) log 5 + log 5 ( + 5) = 2 + log 5 2 (e) log 2 log = Rozwiązać nierówności: (a) log < 1 (b) log 1 2 (c) log 2 2 log 2 2 (d) log log 1 ( 1) log 1 6 (e) log 9 2 log + 1 > 0 (f) log 2 ( 1) 2 log( 1) > 0 (g) log 2 < Dla jakich wartości m równanie log 0.5 m = 0 ma dwa różne pierwiastki. 16. Rozwiązać układy: { 2 log log (a) y = 2 10 y = { { y = 6 (b) log y = 16 (c) y = 9 y = log Naszkicować wykresy funkcji: (a) y = (b) y = 2 (c) y = 2 + (d) y = 2 2 (e) y = log ( 1) (f) y = ln (g) y = log 2 (2) (h) y = log Czym różnią się wykresy funkcji y = log 2 i y = 2 log? Wskazówki i odpowiedzi do zadań. a) 8/11 b) 1 c) 1/2 d) 2 2 e) 2 f) 1/5. 4. d) e) (1 2) f) [1 ) (1.06) (1.005) [(1.005) %. 11. a) l: 100 (1.06) l > 1000 b) m: 100 (1.005) m > a) (1 + r/12) 12 1 b) (1 + r/65) 65 1 c) (1 + r/n) n a) 8 b) e 4 e c) 2 9 d) 5 e) 8 1/ a) (0 1/ ) b) 1/4 c) (0 1) d) e) ( 2 1). 16. a) = y = 1 lub = 6 y = 4 b) = 9 y = 4 lub = 4 y = 9 c) = y = 2 lub = 1/9 y = 1.
6 Matematyka Lista 6 1. Dla następujących macierzy: A = [ Matematyka Lista [ B = C = wykonać te działania A + B A C 2A B A B + C AC CA A T C T A C T C T B T (A T + C) T (C B T )A ABC ACB CA T B które są poprawne. 2. Znaleźć metodą Gaussa macierze odwrotne do podanych (sprawdź czy AA 1 = I): [ (a) (b) 9 4 (c) Rozwiązać równania macierzowe: [ [ (a) X = 4 4 ([ 1 0 (c) + 4X) = 5 2 [ (b) [ [ (d) X+ [ 1 X [ = 2 2 [ 5 6 = 7 8 X. 4. Rozwiązać układy metodą macierzy odwrotnej: (a) 2 y = + y = 2 (b) + 2y = 0 2 y = 5 (c) + y + z = y + z = + 2y + z = 1 (d) + y + z = 4 2 y + 5z = 5 + 2y z = Traktując P = [ y T jako punkt na płaszczyźnie R 2 zinterpretować geometrycznie rozwiązanie układów z zadania 4 a) i b). 6. Wykorzystując rozważania z zadania 5 uzasadnij ile rozwiązań może mieć układ A k2 X 21 = B k1 dla k = Jeśli P 1 = [ 1 y 1 T jest punktem płaszczyzny R 2 a A jest macierzą stopnia 2 to P 2 = A P 1 jest punktem P 2 = [ 2 y 2 T płaszczyzny R 2 - obrazem punktu P 1 w tym przekształceniu. Dla macierzy A (a) [ (b) [ (c) [ a) Wyznacz obrazy kilku punktów na płaszczyźnie. Czy widzisz jakąś regularność? b) Sprawdź co jest obrazem prostej w tym przekształceniu (tzn. jeśli punkty P 1 wypełniają prostą to jaką linię tworzą ich obrazy P 2?). c) Czy jest możliwe aby obrazem prostej była ta sama prosta? d) Czy to przekształcenie ma punkty stałe (tzn. takie że P 2 =P 1 czyli gdy punkt pokrywa się ze swoim obrazem)?.
7 Matematyka Lista 7 8. Układy równań z zadania 4 rozwiązać metodą eliminacji Gaussa. 9. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa. + 2y + z = 1 (a) 2 + y + z = + y + 2z = 2 (g) (c) (d) (e) (f) (b) + 2y + z = y z = 7 y + z = 2 + 4y + z + 2t = 6 + 8y + 2z + 5t = y + z + 10t = 1 5y + 2z + 4t = 2 7 4y + z + t = y 4z 6t = 2y + 5z + 4t = 2 6 4y + 4z + t = 9 6y + z + 2t = 4 + 2y + 2z + 2t = y + 2z + 5t = 9 + y + 4z 5t = y + z + 4t = y + 6z t = 7 2 y + z + 2t + u = 2 6 y + 2z + 4t + 5u = 6 y + 4z + 8t + 1u = 9 4 2y + z + t + 2u = 1.
8 Matematyka lista 4 8 Matematyka Lista 4 1. Podać wyraz a a n+1 a 2n gdy: (a) a n = n2 n + 1 (b) a n = ( 1) n+1 2. Zbadać monotoniczność ciągu: ( ) n 2 (c) a n = 1 n n + 1 2n. (a) a n = 2n + 7 (b) b n = ( 1) n n (c) c n = 1 2/n.. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu arytmetycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: (a) a = a 12 = 21 (b) a 1 + a 2 + a = 18 a a a 2 = Obliczyć sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez. 5. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Długość najkrótszego boku jest równa p. Obliczyć pole tego trójkąta pole koła opisanego na tym trójkącie oraz pole koła wpisanego w ten trójkąt. 6. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu geometrycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: (a) a = 54 a 6 = 2 (b) iloraz q = 1/2 oraz S 7 = 127/ Zamienić na ułamek zwykły (a) (b) Rozwiązać równanie = 1/2. 9. W okrąg o promieniu r wpisujemy kwadrat. W ten kwadrat wpisujemy okrąg. Powtarzamy tę operację uzyskując nieskończony ciąg okręgów i kwadratów. Obliczyć sumę pól tych kwadratów. 10. Obliczyć granice ciągów: (a) a n = 2n2 n + 1 n n (b) b n = n6 n 2 n 7 + (c) c n = n4 n + 2 2n + (d) d n = n n 2 1 (f) f n = n + 2 n n 2 n (g) g n = (e) e n = n( n n) ( 1 1 n ( n) n (h) h n = (i) i n = n n (j) j n = 1 n n n n (k) k n = n n + 2 n (l) l n = 1 n n n 2 + n. 11. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji ciągłej (graniczny przypadek kapitalizacji n razy w roku w równych odstępach czasu gdy n ). Jakie jest efektywne oprocentowanie po czasie t lat (t 0) przy kapitalizacji ciągłej?
9 Matematyka lista Obliczyć granice przy + oraz przy dla funkcji f(): (a) (b) (c) + 1 (d) + 1 (e) 2 ( 2 + 1)( + ) (f) (g) Obliczyć (gdy istnieją) granice: 2 9 (a) lim + 1 (b) lim (c) lim 1 1 (d) lim Na stożku o promieniu podstawy r i wysokości opisano kulę. Niech R() oznacza jej promień. Obliczyć granicę lim 0+ R() lim R(). Czy można podać te granice nie wyznaczając funkcji R()? 15. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji: (a) y = (b) y = (c) y = (d) y = 16. Zbadać ciągłość funkcji: (a) f() = 2 (b) f() = 2 2 ( 1)( ). 17. Dobrać parametry a b R tak aby podana funkcja f() była ciągła: 1 1. (a) f() = { b + : < a : 1 (b) f() = { : a + b : > Wykazać że każde z poniższych równań ma pierwiastek: (a) + = (b) + = (dokładnie jeden) (c) + = (d) + 2 = (dokładnie trzy). 19. Uzasadnić że równanie 4 + = 5 ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Obliczyć na kalkulatorze ten pierwiastek z dokładnością Wskazówki i odpowiedzi do zadań 2. a) b) nie monoton. c).. a) a 1 = 1 r = 2 b) r = 2 a 1 = 4 lub r = 2 a 1 = S 00 = (( )/2)00 = p 2 / 5p/6 p/. 6. a) a 1 = 486 q = 1/ b) a 1 = a) 17/9 b) 1/ = 1/ r a) 2 b) 0 c) + d) 0 e) 1 f) 1 g) e 2 h) 1/e i) 1/4 j) 1/2 k) l) e r 1; e rt a) + b) 0 + c) 0 0 d) 1 1 e) 1 1 f) 1 1 g) 2/9 2/9. 1. a) 6 b) /2 c) 1/2 d) nie istnieje a) y = 2 w ± = 0 b) y = 1 w ± = 2 = 2 c) y = w ± = 2 d) y = 1 w ± = 0 lewostr. 17. a) b = a b) a = 1 b = 1.
10 Matematyka lista 5 10 Matematyka Lista 5 1. Znaleźć przyrost y funkcji y = 2 /2 przy = 2 zakładając przyrost zmiennej niezależnej równy (a) 0.5 (b) 0.2. Wykonać odpowiedni rysunek. 2. Wyznaczyć przyrost y i iloraz różnicowy y/ odpowiadające przyrostowi argumentu dla funkcji: (a) y = a+b (b) y = 1/(2+1). Wyznaczyć pochodną funkcji y = y() jako granicę ilorazu różnicowego.. Obliczyć pochodne funkcji: (a) y = a + b + c (b) y = (c) y = 2 (d) y = 5 2 (e) y = (f) ( 2) ln (g) y = 1 (h) y = e (i) (ln e ) (j) 2 ln e + (k) y = 2 4 ( (l) v = (4z 2 5z+1) 5 (m) s = 2 7t 2 4 ) 6 t + 6 (n) y = 5e 2 (o) y = 5 +2 (p) y = (r) y = ln ln (s) s = ln 1 + t 1 t 4. (a) W jakim punkcie styczna do linii y = ( 8)/( + 1) tworzy z osią O kąt równy połowie kąta prostego? (b) Znaleźć na linii y = e punkt w którym styczna jest równoległa do prostej y + 7 = 0. (c) Jaki związek powinien zachodzić pomiędzy współczynnikami równania paraboli y = 2 + p + q aby ta parabola była styczna do osi odciętych? (d) W jakim punkcie krzywej logarytmicznej y = ln styczna jest równoległa do prostej y = 2? 5. Korzystając z różniczki obliczyć przybliżoną wartość: (a) 6 (b) e 0.07 (c) 1.98 (d) ln Wykazać prawdziwość nierówności: (a) > ln(1 + ) > 0 (b) e Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: (a) y = ( 2 ) (b) y = /(1 + 2 ) (c) y = Wyznaczyć przedziały wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: (a) y = 2 (b) y = /(1 + 2 ) (c) y = e (d) y = + 1/.
11 Matematyka lista Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: (a) y = (b) y = 1 (c) y = Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale: (a) y = w [ 2 2 (b) y = w [ Zbadać przebieg zmienności funkcji: (a) y = (b) y = 2 2 ln (c) y =. 12. Liczbę 20 rozłożyć na sumę takich dwóch składników dodatnich których suma kwadratów jest najmniejsza. 1. W kulę o promieniu R wpisano walec. Obliczyć przy jakiej wartości promienia r podstawy walca pole jego powierzchni bocznej S będzie największe. Wskazówki i odpowiedzi do zadań. a) a 2 b/ 2 b) c) 9/( 2) 2 d) 2/(5 5 ) e) 2/( 1) 2 f) ( 2)/ + ln g) 1/(( ) 2 (1 ) 2 ) h) 2 ( + )e i) (ln e )/( 2 ) + (1/ e ) j) ((2 1/)(e + ) ( 2 ln )(e + 1))/(e + ) 2 k) / 2 4 l) 5(4z 2 5z + 1)(8z 5) m) 12(7t 2 4/t + 6) 5 (14t+4/t 2 ) n) 10e 2t o) 5 ln 5+2 ln 2 p) ( ln ) + 2 r) (1/ ln ) (1/) s) 1/(1 t 2 ). 4. a) ( 4 4) lub (2 2) b) (0 1) c) y = 0 y = 0: p 2 +4q = 2 d) (2 ln 2). 5. a) 4 1/48 b) c) 1/2+1/800 d) a) Niech f() = ln(1 + ) dla [0 ); f () = /(1 + ) > 0 dla > 0 czyli f() rosnąca na [0 ); f(0) = 0 więc f() > 0 dla > 0. b) Niech f() = e ( + 1) dla R; f () = e 1 stąd f() malejąca na ( 0 i rosnąca na [0 ); f min = f(0) = 0 więc f() 0 dla R. 7. a) : [0 1 : > 1 b) : [ 1 1 : na < 1 i na > 1 c) : na ( 2 i na ( 2 ) : [ a) : (1 ) : ( 1) pp: = 1 b) : ( 0) : (0 ) pp: = a) y ma = y( 6) y min = y( 2) b) y ma = y(2/) c) y min = y( 1) y min = y(1). 10. a) ma: y( 2) = y(2) = 1 min: y( 1) = y(1) = 4 b) ma: y() = 10 min: y(1) = ; wyznaczyć jako wartość największą odpowiedniej funkcji. 1. S = 4πr R 2 r 2 osiąga ma dla r = R/ 2.
12 Matematyka lista 6 12 Matematyka Lista 6 1. Obliczyć całki nieoznaczone: (a) ( +2 1)d (b) ( 1)( 2)d (d) d (e) d (f) (h) ( ) 2 2 d (i) d (j) (c) d (g) + d d e 2 5 d. 2. Obliczyć całki całkując przez części: (a) e d (b) ln d (c) 2 e d (d) ln d (e) ln d (f) 2 ln d (g) ln d (h) (ln ) 2 d.. Obliczyć całki całkując przez podstawienie: (a) a d (b) (5 ) 10 d (c) + b d (d) e 2 d (e) d (f) ln 2 d (g) ln d. 4. Obliczyć całki oznaczone: (a) d (b) 1 1 ( + 1)d (c) 2 1 d. 5. Wyznaczyć wzór na prędkość v(t) i drogę s(t) w ruchu prostoliniowym ze stałym przyspieszeniem a(t) = a gdy v(0) = v 0 i s(0) = s Obliczyć całki stosując podstawienie: (a) 4 0 d 1 + = t2 (b) d (c) 2 d Obliczyć całkując przez części: (a) 2 0 e d (b) e ln d (c) e 1 ( ) 2 ln d. 8. Obliczyć pole obszaru ograniczonego (a) parabolą y = 2 2 i prostą + y = 0 (b) parabolami y = 2 y 2 = (c) krzywą y = ln osią 0 i prostą = e
13 Matematyka lista 6 1 (d) krzywą y = (1 2 )5 i osiami układu (e) krzywymi y = 4/ y = y = 4 (f) krzywymi y = 1 2y 4 = 0 y = W jakim stosunku parabola y 2 = 2 dzieli pole koła 2 + y 2 8? 10. Punkt materialny o masie m porusza się po linii prostej z prędkością v = (12t t 2 ) m/s. Jaką drogę przebędzie ten punkt od chwili początkowej do chwili gdy prędkość będzie 0? Wskazówki i odpowiedzi do zadań 1. a) (/4) 4 + (4/) + c b) 4 / c c) ln / + c d) 6 ln + c; e) arctg + c g) (1/) ln( + 8) + c h) 81/5 5 18/ / c i) /8 8 6/ a) e ( + 1)/ + c b) ln + c c) 2 (2 ln 1)/4 + c d) (1 + ln )/ + c e) arctg (1/2) ln( 2 +1)+c f) (ln ) 2 2 ln +2+c.. a) e 2 /2+c b) (5 ) 11 /+c c) ( 2 + 1) /+c d) (ln ) 2 /2+c e) (1/2)arctg( 2 )+c f) 2( a + b) /b + c. 4. a) 2 (2 ln 7)/ b) 2 c) 5/2. 5. v(t) = at + v 0 s(t) = at 2 /2 + v 0 t + s a) 4 2 ln c) 1/2. 7. a) 1 /e 2 c) 2 5/e. 8. a) 9/2 b) 1/ c) 1 d) 1/. 10. s = 12 0 (12t t2 )dt = 288 m.
14 Matematyka lista 7 14 Matematyka Lista 7 1. Zbadać przekroje wykresów funkcji z = z( y) i na tej podstawie naszkicować te wykresy: (a) + 2y + z 6 = 0 (b) z 2 = 2 + y 2 (c) z = 2 + y 2 (d) z = y. 2. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji: (a) z = y (b) z = e y (c) z = 2 y + ln(y).. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji z = z( y): (a) z = 2 + y + y 2 2 y (b) z = y 2 (6 y). 4. Znaleźć maksimum funkcji (funkcji produkcji Cobba-Douglasa) u( y) = y = 1/2 y 1/2 opisującej wartość produkcji w przypadku gdy wielkości i y spełniają warunek 7 + y = Znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji z = z( y) w podanym obszarze: (a) z = 2 + 2y 4 + 8y w obszarze D : y 2 (b) z = + y 2 2y 1 w obszarze D : 0 y 0 + y 1 (c) z = 2 y + y 2 w obszarze D : + y Wyznaczyć odległość punktu A = (0 0) od powierzchni y = z. 7. Liczbę dodatnią a przedstawić w postaci sumy takich trzech liczb dodatnich aby ich iloczyn był największy. 8. Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 64 m. Do budowy ścian magazynu używane są płyty w cenie 0 zł/m 2 do budowy podłogi w cenie 40 zł/m 2 a sufitu 20 zł/m 2. Znaleźć długość a szerokość b i wysokość c magazynu którego koszt budowy będzie najmniejszy. 9. Całkowity roczny dochód ze sprzedaży dwóch towarów wyraża funkcja D( y) = y 8y 2 gdzie i y oznaczają ilość sprzedanych w ciągu roku sztuk każdego z towarów. Koszt produkcji sztuk towaru pierwszego i y sztuk towaru drugiego jest następujący: K( y) = y 2 + 2y. Wyznaczyć ilość sztuk każdego z towarów wyprodukowanych i sprzedanych dla których osiągany jest maksymalny zysk. Podać wartość tego zysku oraz wartość odpowiadającego mu kosztu i dochodu. 10. Dysponując budżetem w wysokości 4 mln zł wyznaczyć jakie kwoty należy przeznaczyć na surowce i y aby uzyskać minimalne koszty produkcji określone zależnością f( y) = 2 + y 2 y Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie tak by dzienne koszty zużycia paliwa opisane funkcją: f( y) = 2( 1) 2 + (y ) 2 gdzie oznacza zużycie paliwa w elektrowni I y - zużycie paliwa w elektrowni II było możliwie najniższe. Wiadomo ponadto że z 1 tony paliwa w elektrowni I uzyskuje się 5 MWh energii a w elektroniw II - MWh. Podać dzienne koszty zużycia paliwa w obu tych elektrowniach.
15 Matematyka lista 7 15 Wskazówki i odpowiedzi do zadań 1. a) płaszczyzna; b) stożek; c) paraboloida obrotowa; d) siodło. 2. a) z = y z y = z y = z y = 1 z = z yy = 0; b) z = (y + 1)e y z y = 2 e y z y = z y = (2 + 2 y)e y z = (2y + y 2 )e y z yy = e y ; c) z = 2y+1/ z y = 2 +1/y z y = z y = 2 z = 2y 1/ 2 z yy = 1/y 2.. a) z min = z(1 0) = 1; b) z ma = z( 2) = a) 17; b) 4 1; c) a/ + a/ + a/. 8. a = b = c = = 20 y = = y = = 11 y = 15.
Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoPoniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Zakres rozszerzony Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz wzorów objętych programem nauczania. Umiejętność zastosowania wiedzy teoretycznej
Bardziej szczegółowoTematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.
ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ
KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoModel odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II
Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Zadanie 12 (3 pkt) Z warunków zadania : 2 AM = MB > > n Wprowadzenie oznaczeń, naprzykład: A = (x, y) i obliczenie współrzędnych wektorów n Obliczenie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 2f: wpisy oznaczone jako: GEOMETRIA ANALITYCZNA (GA), WIELOMIANY (W), FUNKCJE WYMIERNE (FW), FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoZagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoK P K P R K P R D K P R D W
KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI
FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą
1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny
Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.
Bardziej szczegółowoMatematyka 2 wymagania edukacyjne
Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
MARZEC ROK 08 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania 34). Ewentualny brak zgłoś
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
Bardziej szczegółowoI Liceum Ogólnokształcące w Warszawie
I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia
MATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia KLASA I (3 h w tygodniu x 32 tyg. = 96 h; reszta godzin do dyspozycji nauczyciela) 1. Liczby rzeczywiste Zbiory Liczby naturalne Liczby wymierne
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy
Bardziej szczegółowoWymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14
z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14 Liczby rzeczywiste Wiadomości i umiejętności rozpoznać liczby naturalne w tym pierwsze i złożone,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoJolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach
www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie
Bardziej szczegółowoEgzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.
Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 011 r. 1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli: a) wszystkie elementy są różne, b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie
Bardziej szczegółowoMINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1
MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry
Bardziej szczegółowoZad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4
Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony
MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowo83 Przekształcanie wykresów funkcji (cd.) 3
Zakres podstawowy Zakres rozszerzony dział temat godz. dział temat godz,. KLASA 1 (3 godziny tygodniowo) - 90 godzin KLASA 1 (5 godzin tygodniowo) - 150 godzin I Zbiory Zbiory i działania na zbiorach 2
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ
WPISUJE ZDAJĄCY KOD IMIĘ I NAZWISKO * * nieobowiązkowe PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ matematyka poziom ROZSZERZONY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 Ekonomik w Zielonej Górze KLASA III fl POZIOM PODSTAWOWY I. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016
PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
Bardziej szczegółowoRozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
Bardziej szczegółowoZad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=
Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowo