KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

Transkrypt

1 KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D D. C ( 89 ) Wskazówki do rozwiązania log log log log log log log. D Jeżeli bok drugiego kwadratu zostanie oznaczony jako a, to wówczas bok pierwszego. A kwadratu będzie miał długość 0% a, a. Przy takich oznaczeniach pole drugiego kwadratu wynosi a, a pierwszego wynosi, a, a 69, a. Stąd pierwsze pole jest większe od drugiego o 69, a a 00% 69%. a ( ) ( ) ( ) + + +( ) +( ) + +( ) B 6 7 x < 7+ x < + x < 6 x < x < x ; ) 7. A Należy zauważyć, że ciąg ( a n ) jest arytmetyczny o różnicy równej -8, pierwszym wyrazie a 6 i a 8 0. Ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego 6 0 wynika, że S C Miejscem zerowym funkcji jest liczba, dla której wartość funkcji wynosi 0. Zatem miejscem zerowym podanej funkcji będzie liczba spełniająca równanie 0 x, czyli równoważnie x, stąd x, a więc ostatecznie x. 9. D Należy wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B:. Symetralna odcinka AB jest prostopadła do prostej przechodzącej przez ( ) punkty A i B. Stąd a, czyli a. 0. C Po przemnożeniu pierwszego równania danego układu przez należy dodać oba równania stronami. Otrzymamy wówczas równanie 0 6 +a. Zatem dla a 6 dany układ jest nieoznaczony.. D x + Do dziedziny funkcji f( x) należą wszystkie liczby rzeczywiste, z wyjątkiem x + x 6 miejsc zerowych mianownika. Należy rozwiązać równanie x + x 6 0. Otóż 7 D ( 6) + 9. Stąd x + 7, x 6. Zatem dziedzina danej funkcji to zbiór R \{ 6., }

2 Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania. D f( 0) 0 b 0 + c c, ale z rysunku wynika, że f ( 0)> 0, zatem c > 0. Ponadto wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnej odciętej równej ( b) b. Na rysunku widać, że odcięta wierzchołka jest ujemna, stąd b < 0.. A Należy przekształcić wzór funkcji do postaci ogólnej: f( x) ( x+ ) ( x) x + x+, a następnie doprowadzić funkcję f( x) do postaci kanonicznej: f( x) x ++ x+ x x + x.. C Funkcja osiąga wartość największą równą dla x. Zatem funkcja jest malejąca dla x +,. Po przemnożeniu obu stron równania x + x przez x - otrzymamy równanie x + ( x ) x + x 8 x x. Zatem rozwiązanie równania należy do przedziału ; ).. C , stąd a A W podanym ciągu geometrycznym zachodzi równość x. Zatem x 6, stąd 7. A x lub x. Ponieważ ciąg jest niemonotoniczny, więc x. AB AE tg ADE. Ponieważ ABCD jest kwadratem, więc AB AD. Stąd tg ADE AD AD. 8. D Przekątna kwadratu, a więc i długość średnicy okręgu opisanego na kwadracie ma długość ( ) + ( ( ) ) ( ) + ( ). Zatem promień okręgu opisanego na kwadracie ma długość,. 9. D A B O ( + ) 6 C Zauważmy, że ACO i BCO. Wówczas ACO+ BCO Kąt ACO jest oparty na łuku AB i jest to kąt wpisany. Na tym samym łuku jest oparty kąt środkowy AOB. Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego (jeżeli oba kąty są oparte na tym samym łuku). Zatem kąt a 6.

3 Poprawna odpowiedź 0. B Wskazówki do rozwiązania Z rysunku widzimy, że pole trapezu (zgodnie ze wzorem na pole trapezu) wynosi: ( + ). C Z każdego wierzchołka górnej podstawy graniastosłupa o podstawie siedmiokąta wychodzą cztery przekątne. Zatem liczba przekątnych w graniastosłupie prawidłowym siedmiokątnym wynosi 7 (każda przekątna w iloczynie 7 jest liczona dwukrotnie, dlatego iloczyn ten jest dzielony przez ).. D Jeżeli przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 8, to wysokość walca h wynosi 8, natomiast promień r podstawy wynosi. Stąd objętość walca jest równa: p r h p 8 8p. D Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa W (jest 90 liczb dwucyfrowych). Wśród tych 90 liczb jest 9 liczb o takich samych cyfrach. Jeżeli przez A oznaczymy zdarzenie sprzyjające wylosowaniu liczby dwucyfrowej o różnych cyfrach, to A oznacza zdarzenie wylosowania liczby dwucyfrowej o takich samych cyfrach. Stąd: 9 9 P( A) P( A' ) 09, C Liczby pierwsze, które mogą być cyframi liczby trzycyfrowej, to { 7,,, }. Ponieważ cyfry w liczbie trzycyfrowej nie mogą się powtarzać, więc liczba możliwości stworzenia takiej liczby trzycyfrowej wynosi.. C Aby wyznaczyć medianę danego zbioru liczb, należy uporządkować te liczby w porządku niemalejącym, a następnie znaleźć średnią arytmetyczną dwóch środkowych liczb. Dwie środkowe liczby to po uporządkowaniu liczby o numerze i. Tymi liczbami w ciągu będą liczby i. Ich średnia arytmetyczna wynosi +,.

4 Zadania otwarte 6. Postęp: Przekształcenie nierówności równoważnej: x x+ x x 0 + x+ x x ( ) 0 x+ x x + ( ) 0 x+ x ( ) 0 x+ ( x ) 0 Modelowe etapy rozwiązywania Wyznaczenie pierwiastków funkcji kwadratowej znajdującej się po lewej stronie nierówności: x, x Rozwiązanie nierówności: x,, + ) 7. Postęp: Przekształcenie lewej strony danej równości cosa cosa cosa + ( + ) ( ) cosa sin a cos a cosa Skorzystanie z tożsamości trygonometrycznej: sin a tga cosa 8. Postęp: Wyznaczenie środka S ( xs, ys) odcinka AB. x s + y s + ( ) Wyliczenie długości środkowej CS: CS ( ( ) + ( ) Postęp: Zauważenie, że trójkąty ABD i PED są podobne (cecha k,k,k). Uzyskanie stąd równości: AB PE AD DE czyli równości: PE Wyliczenie długości odcinka PE: PE 8 0. Postęp: Równoważne przekształcenie nierówności: a + b ab 0 ( a) a b+( b) + b 0 ( a b) + b 0. Wykorzystanie wzoru na kwadrat różnicy. Zapisanie wniosku. Kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem ( a b) 0 i b ³ 0. Suma kwadratów dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna. Liczba punktów

5 . Postęp: { 79,,,, } Modelowe etapy rozwiązywania Wyliczenie liczby zdarzeń elementarnych: W (wariacje z powtórzeniami) Opisanie zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest podzielny przez 6: A ( 9, ),(, ),(, ),( 9, ),( 9, ),(, ),(, 9),(, ),(, ),(, ) { } Wyliczenie mocy zbioru A: A 0 Wyliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia wylosowania dwóch liczb, których iloczyn jest podzielny przez 6: 0 P( A). Postęp: Wyliczenie długości krawędzi podstawy. Skoro P b, to oznaczając krawędź podstawy przez a, powstanie równość a, stąd a. Pokonanie zasadniczych trudności: Ułożenie równania umożliwiającego wyliczenie wysokości ostrosłupa. Wysokość ostrosłupa to przyprostokątna w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej równej wysokości ściany bocznej i drugiej przyprostokątnej równej wysokości podstawy ostrosłupa, czyli a. Zatem z twierdzenia Pitagorasa 6 w takim trójkącie prostokątnym otrzymujemy równość H + 6 ( ). Wyliczenie wysokości ostrosłupa z równania: H + 6 ( ) H 9 6 Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: P p Wyliczenie objętości ostrosłupa: 9 V Pp H 6. Postęp: Przyjęcie oznaczeń zgodnych z treścią : r różnica ciągu arytmetycznego q iloraz ciągu geometrycznego a 9 a 9q+ 9 + r a 9+ r 9q Liczba punktów

6 Modelowe etapy rozwiązywania Pokonanie zasadniczych trudności: Zapisanie układu równań i rozwiązanie go: 9q+ 9 + r 9+ r 9q q lub r q zz r 8 Wyznaczenie ciągów: ciąg arytmetyczny ( 9,, ) lub ( 97,, ) ciąg geometryczny ( 9,, ) lub ( 9,, ). Postęp: Znalezienie współrzędnych punktu B. Obliczenie miejsca zerowego funkcji y x + 8: x 0. Zatem współrzędne punktu B to ( 0, ). Istotny postęp: Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty A i P poprzez rozwiązanie układu równań: a b a+ b 6 a 6 b Równanie szukanej prostej jest postaci: 6 6 y x + Pokonanie zasadniczych trudności: Wyznaczenie współrzędnych punktu C poprzez rozwiązanie układu równań: y x y x+ x 96 y Zatem: C 96, Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie długości podstawy AB i wysokości h opuszczonej z wierzchołka C na tę podstawę: AB ( 6) 8 h 96 Obliczenie pola trójkąta ABC: 8 96 P ABC 8 Liczba punktów ( pkt gdy popełniono błąd rachunkowy lub wyznaczono tylko jedną parę rozwiązań) 6