Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji Zadanie. Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej funkcji uzasadnić podane równości: ( ) 5 = b) lim(3 + 3 ) = 5 3 sgn(cos ) = d) lim = π + + (3 + ) = f) lim 3 =. 3 + Zadanie. Korzystając z definicji Heinego granicy niewłaściwej funkcji uzasadnić podane równości: + +3 = b) lim = + 3 = d) lim ( ) 7 (5 7 ) =. Zadanie 3. a) Cząstka pewnego układu drgającego porusza się po osi O. Położenie tej cząstki w chwili t > 0 jest opisana wzorem (t) = 5 4 3t cos(t + ). Znaleźć jej graniczne położenie gdy t. Co oznacza otrzymany wynik?

2 b) Równanie a 4 8 = 0 ma dla parametru a > 0 dwa pierwiastki rzeczywiste (a) (a)). Obliczyć granice lim ( (a) a 0+ a 0+ lim ( (a). a a Wskazówka. Narysować wykresy funkcji y = a 4 oraz y = + 8. Następnie zbadać położenie punktów wspólnych obu wykresów gdy a 0 + oraz gdy a. Zadanie 4. Uzasadnić że podane granice funkcji nie istnieją: 3 3 b) lim d) lim sin 4 cos f) lim sgn. sgn(+) Zadanie 5. Zbadać obliczając granice jednostronne czy istnieją podane granice funkcji: sgn b) lim c) lim sin 3 d) lim )] f) lim arctg. Zadanie 6. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć podane granice: sin cos b) lim d) lim f) lim π ( tg cos ). Zadanie 7. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić podane równości: 3 arctg + cos 3 8 = 0 b) lim = = 0 d) lim = 0 +sin [ ( ] = 0 f) lim sin + ) sin = 0.

3 Zadanie 8. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych funkcji obliczyć podane granice: ( ) b) lim ( ) ( ) d) lim ( + ( + ) f) lim + ). Zadanie 9. Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnić podane równości: + ( 3 cos + sin = b) lim = ) ctg = d) lim ( 5 sin ) = = f) lim ( + cos ) =. +sin Zadanie 0. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć podane granice funkcji: sin ln(+ b) lim ) 3 π cos 5 e d) lim 3 cos 3 sin 3 sin 7 sin 4 sin 6 f) lim sin tg 3 3 g) ln(+ lim ) ( h) lim + +) i) lim ln(+e 3 ) ln(3+e ) j) lim e ln 3 3 e. Zadanie. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji: a) u() = 3 + b) v() = c) w() = sin π cos(π) d) z() = 8 e) f() = + f) g() = 3 (+) g) h() = arctg h) p() = e i) q() =. + 3 Zadanie. Narysować przykłady wykresów funkcji spełniających wszystkie podane warunki:

4 u() = lim u() = u() = 0 lim u() = b) prosta y = + jest asymptotą ukośną funkcji z w prosta y = asymptotą ukośną w a prosta = 0 jest jej asymptotą pionową obustronną g() = lim g() = lim g() = lim + d) lim h() = 4 lim h() = lim h() = 4 q() = 4 lim q() = funkcja q jest nieparzysta g() = 5 f) lim r() = lim [r() ] = funkcja r jest parzysta. Zadanie 3. Korzystając z definicji Heinego uzasadnić ciągłość podanych funkcji na R : a) u() = + b) v() = sin c) f() = 5 d) g() = sin e) r() = 4 + cos. Zadanie 4. Wyznaczyć zbiory punktów ciągłości podanych funkcji: dla = 0 lub π a) u() = ( 3 ) b) v() = π sin dla 0 i π ( π) dla = kπ k Z c) g() = ( ) d) f() = dla kπ k Z sin e) p() = sgn( ) cos π f) h() = dla 0 cos dla > 0. Zadanie 5. Dobrać parametry a b R tak aby podane funkcje były

5 ciągłe we wskazanych punktach: a) c) e) b) u() = sin dla π a + b dla < π = π = π f() = b dla < π sin a d) 0 = π ( ) 3 dla 0 h() = a + b dla 0 < dla f) = 0 = ; dla 0 v() = a + b dla 0 < < 3 dla = 0 = b + 3 dla < g() = + + a dla 0 = g() = dla = =. + a + b dla > Zadanie 6. Uzasadnić ciągłość podanych funkcji na wskazanych zbiorach: a) u() = e cos R; b) v() = 6 4 ( ); c) w() = arc tg [0 ); d) z() = sin e) f() = + R; f) g() = e + R. [kπ (k + )π]; kız Zadanie 7. Określić rodzaje nieciągłości podanych funkcji: u() = dla (0 ) ( ) e + dla 0 v() = e + a) 3 dla = b) e dla = 0 ; 0 = ; 0 = 0 c) f() = sgn [( )] 0 = d) g() = arc tg dla 0 π dla = 0 0 = 0;. Zadanie 8. Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów uzasadnić że podane zagadnienia ekstremalne mają rozwiązania:. wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten który ma największą objętość;. wśród prostokątów opisanych na danej elipsie istnieje ten który ma najmniejsze i największe pole;

6 3. wśród graniastosłupów prawidłowych o podstawie sześciokątnej wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten który ma największą objętość; Zadanie 9. Uzasadnić ze podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach: ( ) a) = 0 (0 ); b) sin = 7 π 5π ; c) = sin + (0 π); d) arc tg = ( 3 3); e) 00 + = 0 ( ); f) = (0 ); Zadanie 0. Korzystając z twierdzenia Darbou o przyjmowaniu wartości pośrednich uzasadnić następujące stwierdzenia:. na każdym szlaku turystycznym wiodącym z Karpacza (800 m nad poziomem morza) na Snieżkę (60 m nad poziomem morza) jest miejsce które wznosi się 000 m nad poziomem morza;. na dowolnej figurze wypukłej na płaszczyźnie można opisać kwadrat; 3. jeżeli zegar o północy spóźniał się o 5 min. a po nakręceniu ale bez przestawiania wskazówek następnego dnia o północy spieszył się o 0 min to w pewnej chwili wskazywał właściwy czas;