Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Transkrypt

1 Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 18. Zadania uzupełniające W poniższych zadaniach należy wybrać i zaznaczyć poprawne odpowiedzi. W każdym zadaniu co najmniej jedna odpowiedź jest poprawna. 1. Dla x (π, 3 2π) funkcja a) f(x) = sin x jest rosnąca, b) f(x) = cos x jest malejąca, c) f(x) = tg x jest rosnąca, d) f(x) = ctg x jest malejąca. 2. Do zbioru rozwiązań nierówności 4 2x > 2 należy punkt a) x = log 2 1, b) x = 2 log 2 2, c) x = 2 log 4 2, d) x = log Liczba 2, 4 + 3, 6 (1 3 8 : 3, ) a) należy do przedziału ( 9 5, 2), b) jest większa niż 19 10, c) nie należy do przedziału ( 3, 5 ), d) jest mniejsza niż Niech A = {x R : x 1 1}, B = (, 1] (2, + ). Wtedy a) A B = R \ {2}, b) A B = [0, 1], c) A \ B = (1, 2], d) B \ A = (, 0) (2, + ). 5. Liczba jest równa a) pierwiastkowi równania x x + 3 = 0, b) odległości pomiędzy punktami A( 3, 6) i B(0, 3), c) sumie pierwiastków równania x 2 + 3x 6 = 0, d) Wyrażenie x 2 4x + 4 jest równe a) x 2 dla każdego x R, b) x 2 dla każdego x (, 2), c) 2 x dla każdego x R, d) x + 2 dla każdego x (, 0). 7. Rozwiązania równania 6x 2 11x + 5 = 0 należą do przedziału a) ( 3 4, 7 6), b) ( 5 6, 4 3], c) [ 5 6, 1), d) ( 4 5, π). 8. Wpłacono do banku na lokatę (bez podatku Belki) 100 zł przy rocznym oprocentowaniu równym p. Bank wypłaci po roku a) więcej niż 110 zł, jeżeli p = 10%, a kapitalizacja odsetek następuje co pół roku, 94

3 b) dokładnie 106,09 zł, jeżeli p = 6%, a kapitalizacja odsetek następuje co pół roku, c) mniej niż 104 zł, jeżeli p = 4%, a kapitalizacja odsetek następuje co kwartał, d) co najmniej 109 zł, jeżeli p = 9%, a kapitalizacja odsetek następuje co roku. 9. Równanie 1 + x 2 = 2x ma a) jedno rozwiązanie, przy czym jest ono ujemne, b) jedno rozwiązanie, przy czym jest ono dodatnie, c) dwa rozwiązania o tych samych znakach, d) dwa rozwiązania o różnych znakach. 10. Nierówność x 1 6 x jest prawdziwa dla a) x R \ (, 2) (3, + ), b) x [2, π), c) x {x : x x 2 > 0}, d) x (0, 1) (1, 3]. { x y = Rozwiązanie układu równań 2x +3y = 1 a) leży na prostej 3x 2y = 8, b) jest środkiem okręgu x 2 + y 2 2y + 4x + 1 = 0, c) nie leży na okręgu (x 1) 2 + (y + 1) 2 = 1, d) jest wierzchołkiem paraboli y = x 2 4x Dla x (2, + ) funkcja a) f(x) = x jest rosnąca, b) f(x) = x 1 jest rosnąca, c) f(x) = x 2 + 2x jest malejąca, d) f(x) = x+2 x+1 jest malejąca. 13. Jeden z pierwiastków równania 2x 3 x 2 2x + 1 = 0 jest a) miejscem zerowym funkcji f(x) = 2x 2 7x + 3, b) równy reszcie z dzielenia wielomianów (x 3 5x 2 + 6x + 1) : (x 3), c) współczynnikiem kierunkowym prostej 4x 2y + 1 = 0, d) równy Funkcja f(x) = ax 2 + 2x + a przyjmuje wartości większe od zera dla a) a ( 1, 1), b) a (, 1), c) a (, 1) (1, + ), d) a (1, + ). 15. Dla x (, 0) funkcja a) f(x) = 2x+1 1 x jest rosnąca, b) f(x) = (x + 1) 2 1 przyjmuje wartości mniejsze od zera, c) f(x) = x + x 1 jest różnowartościowa, d) f(x) = x 3 2x 2 3x przyjmuje wartości różne od zera. 16. Dziedzina funkcji f(x) = 1 x 2 1 a) (1, + ), b) (, 1) (1, + ), zawiera zbiór 95

4 c) [ 1, 1], d) ( 1, 1). 17. Liczba 8 32 jest równa a) , b) 4 2 8, c) 2 8 5, d) Niech A = [ 3 5, 2 [ 5) 1 2, 7 ) ( 8, B = 1 2, 4] 3. Wtedy a) A B = [ 3 5, 7 8), b) A B = ( 1 2, 2 5) [ 1 2, 3 4], c) A \ B = [ 3 5, 1 2] ( 3 4, 7 8), d) B \ A = [ 2 5, 1 2). 19. Równanie x = 2x 1 a) ma dwa rozwiązania, przy czym jedno z nich jest większe od 1, b) ma jedno rozwiązanie, c) nie ma rozwiązań, d) ma dwa rozwiązania, przy czym jedno z nich jest mniejsze od Reszta z dzielenia wielomianów (x 4 + 5x 3 + 7x 2 + 4x 1) : (x 2 + 2x + 2) jest a) pierwiastkiem równania x 2 = 1, b) równa x 2 + x 1, c) miejscem zerowym funkcji f(x) = cos(x 1), d) równa długości boku kwadratu o polu równym Jeden z pierwiastków równania x 6 = 2 x 3 jest równy a) 80% liczby 5, b) 60% liczby 20, c) reszcie z dzielenia wielomianów (x 3 x 2 + x + 11) : (x 1), d) promieniowi okręgu x 2 + y 2 = Liczba ( 3 + 1) 3 + ( 3 3) 2 20 jest a) równa wartości największej funkcji f(x) = x 2 2, b) rozwiązaniem równania x = , c) mniejsza niż 3 7, d) równa Nierówność 2 x 3 x 2 x 2 x 1 a) x (1, 7 4 ), b) x ( 9 4, + ), c) x {x : 4x 2 12x + 9 0}, d) x [ 3 2, 2) Liczba 2+ 8 jest a) mniejsza niż 1,3, jest prawdziwa dla b) miejscem zerowym funkcji f(x) = x 2 + (1 2)x 2, c) rozwiązaniem równania x = 0, 96

5 d) równa wartości najmniejszej funkcji f(x) = x 2 2 2x Równanie prostej prostopadłej do prostej 2x y 3 = 0 i przechodzącej przez punkt P (2, 3) jest postaci a) y 2x + 7 = 0, b) 2y + x + 4 = 0, c) 2y + x 8 = 0, d) y 2x + 1 = Punkt przecięcia prostych x y 3 = 0, 2x + 3y 1 = 0 a) nie należy do wykresu funkcji f(x) = x+1 x 2 6x+5, b) jest wierzchołkiem paraboli y = x 2 4x + 3, c) nie jest środkiem okręgu x 2 + y 2 4x + 2y + 1 = 0, d) jest środkiem odcinka AB, jeśli A( 1, 2), B(5, 4). 27. Równanie x 4 3x 2 = 4 a) nie ma rozwiązań, b) ma co najmniej dwa rozwiązania, c) ma cztery rozwiązania, przy czym jedno z nich jest równe 2, d) ma cztery rozwiązania, przy czym jedno z nich jest równe Nierówność x2 1 x+1 1 jest prawdziwa dla a) x (, 1), b) x (, 1) [2, + ), c) x (2, + ), d) x R \ (, 2). 29. Prosta przechodząca przez punkt A(2, 3) i nachylona do prostej 2x y + 1 = 0 pod kątem 45 dana jest równaniem a) 3x + y 9 = 0, b) 3x + y 3 = 0, c) x 3y 11 = 0, d) x + 2y + 4 = Jeżeli x 1, x 2 są pierwiastkami równania x 2 2x 2 = 0, to a) x 1 x 2 = 2, b) x 1 + x 2 = 2, c) x x2 2 = 8, d) x x3 2 < Jeżeli a (0, 1), to a) a 2 > a 3, b) a 2 < a 3, c) a > 3 a, d) a < 3 a. 32. Wyrażenie [a 3 2 b(ab 2 ) 1 2 (a 1 ) 2 3 ] 3 jest a) równe b 2( b a) 4, b) równe a 6 b 4, 97

6 c) równe 1, gdy a = 2 2, b = 3 1, 2 d) równe 1, gdy a = 2, b = Rozwiązaniem równania x 1 + x = 1 jest zbiór a) pusty, b) co najwyżej dwuelementowy, c) co najmniej trzyelementowy, d) R \ (1, + ). 34. Funkcja f(x) = x 2 + x jest a) różnowartościowa, b) parzysta, c) stała, gdy x ( 1, 1), d) malejąca, gdy x (, 2). 35. Nierówność x 5 + 3x 4 4x 3 12x 2 0 jest prawdziwa dla a) x [2, + ), b) x {x R : x 1 = 1}, c) x R \ [ 3, + ), d) x {x R : x 2}. 36. Liczba log log4 2 jest równa a) log 2 4, b) 12, c) 8, d) długości przekątnej kwadratu o boku równym Objętość walca o promieniu podstawy r = cm i wysokości h = 3 3 cm jest a) większa od objętości kuli o promieniu równym 3 9 cm, b) mniejsza lub równa objętości kuli o promieniu równym 3 9 cm, c) większa od objętości sześcianu o boku równym 3 cm, d) równa π cm Równanie sin x + cos 2 x = 1 w przedziale [0, 2π] ma a) co najmniej trzy rozwiązania, b) co najwyżej trzy rozwiązania, c) dwa rozwiązania, d) cztery rozwiązania. 39. Nierówność log 1 (3x + 1) 0 jest prawdziwa dla 2 a) x ( 1 3, 0], b) x (, 0], c) x [0, + ), d) x ( 1 3, + ]. 40. Do zbioru rozwiązań nierówności 4 2x > 2 należy punkt a) x = log 2 1, b) x = 2 log 2 2, c) x = 2 log 4 2, 98

7 d) x = log Pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym kąt przy wierzchołku C wynosi 120 o, a bok BC ma długość 4 cm jest równe a) polu trójkąta równobocznego o boku 4 cm, b) polu prostokąta o bokach 3 cm i 3 cm, c) 27 cm 2, d) 48 cm Mamy dany ciąg geometryczny (a n ), w którym a 2 = 4, a 5 = Wtedy a) a 1 = 2, b) a 1 = 2 2, c) a 1 = 8, d) q = Granica lim arc tg x jest równa x + a) arc sin( 1), b) arc sin 1, c) arc cos 0, d) arc cos Dla x (0, + ) funkcja a) f(x) = ln x jest malejąca, b) f(x) = log 2 x jest różnowartościowa, c) f(x) = 3 x jest rosnąca, d) f(x) = ( 1 2) x 1 2 przyjmuje wartości z przedziału ( 2, 0). 45. Spośród poniższych tożsamości trygonometrycznych prawdziwa jest a) cos 2 x = 1 + tg 2 x, b) cos( x) = cos(x + 2π), c) cos( x) = cos(x 2π), d) sin( x) = sin(x 2π). 46. Jeden z pierwiastków równania 3 x2 +3 = 9 2x a) nie należy do dziedziny funkcji f(x) = log(x 2 x 2), b) jest większy od liczby log 3 5 log 25 27, c) jest mniejszy od liczby sin π 3 + cos( 3 2 π), d) jest równy wartości wyrażenia a 2 3a 3 + 2a 4, gdzie a n = n + 2 n. 47. Dla x ( 3 2π, 2π) funkcja a) f(x) = sin x jest rosnąca, b) f(x) = cos x jest rosnąca, c) f(x) = tg x przyjmuje wartości mniejsze od zera, d) f(x) = ctg x przyjmuje wartości mniejsze od zera. 48. Pole powierzchni kuli, której objętość jest równa 36π cm 3 wynosi a) 36π cm 2, b) 42π cm 2, c) 48π cm 2, 99

8 d) 54π cm Pole trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg o promieniu 5 cm, w którym stosunek przyprostokątnych wynosi 3:4 jest a) równe polu kwadratu, którego przekątna jest równa 4 3 cm, b) równe co najwyżej 24 cm 2, c) mniejsze od pola trójkąta równobocznego o boku równym 6 cm, d) większe od pola sześciokąta foremnego o boku równym 4 cm. 50. Długość przekątnej sześcianu o boku 3 jest równa a) 18, b) tg π 3, c) 12, d) 6 cos π Dla x ( π 4, π) a) nierówność sin x > 1 2 jest prawdziwa, b) funkcja f(x) = sin x + 1 jest różnowartościowa, c) funkcja f(x) = 2 sin(2x) przyjmuje wartości z przedziału [ 2, 2), d) równanie tg(2x) = 1 ma co najwyżej jedno rozwiązanie. 52. Spośród poniższych tożsamości trygonometrycznych prawdziwa jest a) sin 2 x = 1 + tg 2 x, tg x b) ctg x = tg 2 x, c) ctg x tg x = 2 ctg 2x, d) sin( x) = sin(x 2π). 53. Nierówność 0, 5 x+1 x 1 > 1 32 jest prawdziwa dla a) x {x R : 2x 2 + 5x 3 < 0}, b) x R \ ( 1, 3 2], c) x > 3 cos π 3, d) x < sin π 4 + log 4 2. x Zbiór rozwiązań nierówności log 4 4 x > 1 2 a) {x R : x 2 7x + 12 > 0}, zawiera się w zbiorze b) będącym dziedziną funkcji f(x) = log 2 (x 2) + log 4 (4 x), c) R \ (, π), d) {x [0, 2π] : cos x < 0}. 55. Wiadomo, że log 9 a = 1 4. Wtedy wyrażenie log 3 a jest równe a) cos(4π), b) sin ( 5 6 π), c) log 2 6 log 2 3, d) wartości największej funkcji f(x) = cos(2x) Liczba cos 75 jest równa a) b) c) 3+1 2, 6 2 4, 2 3+1, 100

9 d) Granica lim x 1 x 2 1 2x 2 3x+1 a) 3 cos π ctg π 4, b) log 9 3, ( 2 2 ) c) log 2 1, 2 d) sin( 11 6 π). jest równa 58. Objętość graniastosłupa trójkątnego prawidłowego, którego wszystkie krawędzie są równe 6 3 cm a) jest większa od objętości sześcianu o boku równym 1 cm, b) jest mniejsza od objętości kuli o promieniu równym 0,5 cm, c) jest równa co najmniej 3 4 cm3, d) jest równa co najwyżej 4 3 cm Jeden z pierwiastków równania log 3 (x 1) = 2 log 3 (3 x) jest równy a) log 3 5 log log 3 3, b) log 5 3, c) 2 sin π 6 tg π cos π 4, d) wartości największej funkcji f(x) = 1 sin x. 60. Liczba cos(2π) 1 4 sin( 13 6 π) a) nie należy do dziedziny funkcji f(x) = log(3 1 x 3 x ), b) jest pierwiastkiem równania 2 x = 2 2 2, c) jest równa cos(2 arc sin 1 4 ), d) jest mniejsza od tg α, jeżeli sin α = 3 5 oraz α (0, π 2 ). 61. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, w którym a 3 = 7 3 i a 6 = 16 3 jest a) równy sumie pierwszych czterech wyrazów ciągu geometrycznego, w którym a 1 = 8 5 i q = 1 2, b) mniejszy lub równy cos α, jeżeli tg α = 2 2 oraz α (0, π 2 ), c) większy od liczby log 3 ( 3 3) 1 2, d) pierwiastkiem równania 2 3x2 5x = Liczba log 3 (3 + 3 ) log 3 (1 + 3 ) jest równa a) różnicy ciągu arytmetycznego, w którym a 2 = 13 2 i a 5 = 1 2, b) ilorazowi ciągu geometrycznego, w którym a 3 = 2 i a 6 = 16, c) cos ( 14 3 π), d) sin ( 29 6 π). 63. Nierówność 1 ( 1 2) log2 (x 2 1) jest prawdziwa dla a) x {x R : x 2 2 = 0}, b) x {x R : x < π 2, tg x 3 }, c) x [ 2, 1), d) x (log 3 2, 2 ]. 101