Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Transkrypt

1 Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/ grudnia 017 1

2 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory A = {x R : x + 3} i B = {x R : 5 x > 4}. Wyznacz największą liczbę całkowitą należącą do zbioru A \ B.. Dane są liczby: a = ( oraz b = ( : Oblicz a + 5b. 3. Uzasadnij, że liczba zapisana w postaci jest podzielna przez Dane są zbiory: A = (, 6 7m i B = 3m + 4, +. Oblicz dla jakiej wartości parametru m zbiór A B jest zbiorem jednoelementowym. (. 5. Oblicz Sprawdź, czy liczby x = i y = 15 są liczbami przeciwnymi. 7. Uporządkuj rosnąco liczby: r = log 16 8, s = log 1 8, t = log. 8. Wiedząc, że x + 1 x =, oblicz wartość wyrażenia x + 1 x. 9. Odcinek BD jest środkową boku AC trójkąta ABC. Wykaż, że trójkąty ABD i DBC mają równe pola. 10. Liczba m daje przy dzieleniu przez 7 resztę 3. Wykaż, że kwadrat liczby m przy dzieleniu przez 7 daje resztę. 11. Wykaż, że liczba 1 3 }. {{.. 3 } jest podzielna przez 6 dla dowolnego n N. n 1. Wykaż, że dla dowolnego n N + liczba n + 3 n+1 jest podzielna przez Wykaż, że liczba a = ( 1 log 3 log 3 4 log 6 log 6 16 jest całkowita. 14. W trójkącie ABC na boku AB zaznaczono punkty D i E tak, że AD = EB = 1 5 AB, Wykaż, że P DEC = 3 (P ADC + P EBC. 15. Dwusieczna kąta CAB przy podstawie AB trójkąta równoramiennego ABC dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty przystające (rys: 1. Po ile stopni mają kąty trójkąta ABC? C D A B Rysunek 1: Trójkąt ABC z zadania Środkowe trójkąta prostokątnego poprowadzone z wierzchołków kątów ostrych są równe 10 i 5. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

3 Klasy pierwsze - poziom rozszerzony 1. Przedstaw W = a+b b b =. [ ( a 1 b ( b a 1 ] 1 a 1 b 1 (ab 1 w postaci x 6+y gdzie x, y Q, jeśli wiesz, że a = 3, a + 1 b. Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych spełniających równanie x y = Wykaż, że jeśli A = i B = 3 +3 to B = 9 A. 4. Cyna lutownicza jest stopem cyny i ołowiu. Jeden rodzaj cyny lutowniczej zawiera 4% cyny, drugi zaś 60%. Topiąc pewną ilość tych cyn lutowniczych z dodatkiem kg czystego ołowiu otrzymamy 10kg cyny lutowniczej zawierającej 30% czystej cyny. Ile kg cyny lutowniczej każdego rodzaju stopiono? 5. Udowodnij, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną odcinków na jakie dzieli ona przeciwprostokątną. 6. Udowodnij, że suma średnic okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny jest równa sumie przyprostokątnych. 7. Wykaż, że kwadrat każdej liczby naturalnej n jest podzielny przez 9 lub reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 wynosi Wykaż, że liczba 40 dzieli liczbę [ ( ] ( 9. Oblicz: Oceń, która liczba jest większa: czy Punkt (x, y nazywamy punktem kratowym, gdy obie jego współrzędne są liczbami całkowitymi. Podaj, ile punktów kratowych (x, y opisuje warunek: x 3 < 5 3y Wyznacz długość środkowej trójkąta ABC o bokach a, b, c, poprowadzonej z wierzchołka A. 13. Wykaż, że w dowolnym trójkącie zachodzi związek s 1 + s + s 3 a + b + c = 3 4 gdzie s 1, s, s 3 są długościami środkowych, a, b, c, zaś długościami boków trójkąta. 14. Oblicz log ab ( a b, wiedząc, że loga b =. 15. Na przekątnej AC kwadratu ABCD obrano punkt P, który podzielił ją w stosunku AP : P C = 3 : 1. Wykazać, że SP D = 90, gdzie S jest środkiem boku AB. 3

4 3 Klasy drugie - poziom podstawowy 1. Wyznacz wzór funkcji liniowej f, która dla każdej liczby rzeczywistej x spełnia warunek f( x + 3 = x Wyznacz wartość parametru m, dla której miejsca zerowe funkcji f(x = (x m(x + m 3, x R są liczbami przeciwnymi. 3. Funkcja f dowolnej liczbie naturalnej przyporządkowuje ostatnią cyfrę jej kwadratu. Oblicz wartość funkcji dla argumentu n = ( 0.5 : Wyznacz zbiór wartości funkcji f. 4. O funkcji liniowej g wiadomo, że przyjmuje wartości większe od 5 tylko dla argumentów z przedziału (, 3, a wartości mniejsze od 1 tylko dla argumentów z przedziału (, +. Wyznacz wzór funkcji g. 5. Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 10. Jeśli dopiszemy na końcu tej liczby cyfrę 0, to otrzymamy liczbę o 333 większą od danej. Wyznacz tą liczbę dwucyfrową. 6. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych podzielnych przez 3 jest równa 450. Wyznacz te liczby. 7. Trójmian kwadratowy f(x = ax + bx + c osiąga wartość największą równą 18 dla argumentu -3. Do jego wykresu należy punkt P = (, 16. Wyznacz współczynniki a, b, c. 8. Wyznacz największą wartość funkcji f(x = 1 x + x w przedziale 11, Wyznacz wartość b oraz c jeśli wiadomo, że funkcja kwadratowa f(x = x + bx + c jest rosnąca w przedziale (, i malejąca w przedziale, +, a wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f znajduje się na prostej l : 5x y 18 = Dla argumentu 6 wartość funkcji kwadratowej f(x = x (b + 1x + 1 jest równa 19. Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f oraz funkcja kwadratowa g(x = x + 1 przyjmują tą samą wartość. 11. Funkcja kwadratowa f(x = x + px + q przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x ( 1, 3. Wykaż, że p + q = Rozważmy wszystkie prostopadłościany, w których stosunek długości krawędzi podstawy wynosi 3 : 1, a suma długości wszystkich krawędzi jest równa 3dm. Wyznacz wymiary tego prostopadłościanu, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. 13. Wyznacz wysokość trapezu, którego podstawy mają długość cm i 30cm, a ramiona 5cm i 17cm. 14. Wykaż, że w dowolnym trapezie o podstawach a i b (a > 0, b > 0. Odcinek łączący środki przekątnych ma długość a b. 15. Podstawy trapezu ABCD mają długość: AB = 8cm, CD = 1cm, a wysokość 6cm. Przekątne trapezu przecinają się w punkcie E. Oblicz: Odległość punktu E od podstaw trapezu. Pole trójkąta AED. 16. Wykaż, że w rombie suma kwadratów długości przekątnych jest cztery razy większa od kwadratu długości boku. 4

5 4 Klasy drugie - poziom rozszerzony 1. Dana jest funkcja: f(x = { 4 x dla x x dla x < 0 Niech g(x = f(f(x. Wykonaj wykres funkcji g(x. Jakie rozwiązanie ma równanie g(x = 0?. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba n jest potęgą liczby 3. Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną. 3. Przez środek boku trójkąta równobocznego ABC poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem kąt ostryα. Wyraź stosunek pól figur, na jakie ta prosta dzieli trójkąt ABC jako funkcję kąta α. 4. Rozwiąż równanie x x3 = Niech x 1, x będą pierwiastkami równania x +x 1 = 0 i niech n = x1 x + x x 1. Dla jakich wartości parametru m nierówność x +(m+nx+m x +x n 1 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x? 6. Dla jakich wartości parametru a zbiór rozwiązań nierówności x 3x + < 0 jest zawarty w zbiorze rozwiązań nierówności ax (3a + 1x + 3 > 0? 7. Rozwiąż nierówność: (x + 8x + 3 x < 3x Na boku BC trójkąta równobocznego ABC obrano taki punkt D, że CD : DB = : 1. Oblicz: Miary kątów CAD i DAB. Stosunek długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ACD i ABD. 9. W trójkącie równoramiennym ABC, w którym AC = BC i ACB = α, poprowadzono dwusieczną kąta BAC, przecinającą bok BC w punkcie D i okazało się, że AD = AB = CD. Wyznacz miarę kąta α i wykaż, że sin α = Na kole o promieniu r opisano trapez prostokątny, którego mniejsza podstawa jest równa 3 r. Oblicz pole trapezu. 11. W okrąg o promieniu długości 1 wpisane są kwadrat i trójkąt równoboczny, mające wspólny wierzchołek. Oblicz pole części wspólnej obu tych figur. 1. Wykaż, że jeżeli na czworokącie można opisać okrąg, to pole S tego czworokąta wyraża się wzorem: S = (p a(p b(p c(p d gdzie a, b, c, d są długościami boków czworokąta i p = a + b + c + d. 13. Wykaż, że jeżeli α, β, γ są kątami trójkąta o bokach długości a, b, c i polu S, to: ctg α + ctg β + ctg γ = a + b + c 14. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości a i b. Wyznaczyć długość odcinka wyciętego z dwusiecznej kąta prostego przez brzeg tego trójkąta. 15. W trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O. Pola trójkątów AOB i COD są równe S 1 i S. Wyznaczyć pole tego trapezu. 4S 5