LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
|
|
- Henryk Juliusz Filipiak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia i wykonywane przekształcenia mają sens. 0.. Przypomnieć kolejność wykonywania działań w wyrażeniach bez nawiasów oraz w wyrażeniach z nawiasami. Obliczyć wartość wyrażenia: : 8. Wstawić nawiasy tak, aby wartość otrzymanego wyrażenia była równa., b), c) Uzupełnić i zapamiętać wzory skróconego mnożenia : a + b) =, b) a + b) =, c) a + b)a b) =, d) a + b)a ab + b ) =. Czy można w powyższych wyrażeniach zastąpić b przez b? Co otrzymamy? Uprościć wyrażenia wymierne: a 6ab + b 6a 6b, b) , c) a a 4, d) + +, e) + 4 +, f) + 4y + y, g) y Przypomnieć i zapamiętać prawa działań na potęgach. Zapisać wyrażenia w prostszej postaci n + n+ 4 n, b) Przekształcić wyrażenie ) n+ 8) n n, b b a a a, w którym a, b > 0, do prostszej postaci, a na- i b =. stępnie obliczyć jego wartość dla a = 7 n 9 n+ + n Wykonać działania. Wynik zapisać w najprostszej postaci. c) b ay + a a by + b, b) a b + ab a b 6 4 ) ), d) b a a + ab + b, W podanych wyrażeniach usunąć niewymierność z mianownika d) 4 + +, b) n n +, c), n + 5n + 4 4n + a b a b, e) + +, f) n n + n +. Jolanta Sulkowska
2 LISTA. Elementy logiki.. Zdanie logiczne. Forma zdaniowa. Kwantyfikatory. Dla zdań, będących zdaniami logicznymi, podać ich wartość logiczną. 5 =, d) 7 < 0, g) + = +, R R {0, } b) 6 4, e) R 7 < 0, h) y = 0, R y R c) 7 < 0, f) R {0, } + = +, i) R y R y = 0... Negacja. Równoważność. Prawa de Morgana dla koniunkcji i alternatywy. Działania na zbiorach. Zapisać przy użyciu spójników logicznych i, lub rozwiązania równań oraz nierówności. Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory punktów, których współrzędne spełniają podane warunki. + )y ) = 0, b) + )y ) 0, c) + )y ) > 0, d) 4y < 0, e) a + b a b = 0, f) a + a b + > 0, a + b g) a + b 0, h) a + b a + b Implikacja. Twierdzenie. Prawo kontrapozycji. A) Prawdziwe jest twierdzenie: Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez, to jest podzielna przez. Wskazać założenie oraz tezę twierdzenia. Na podstawie powyższego twierdzenia podać: warunek wystarczający podzielności przez. Dlaczego nie jest to warunek konieczny? b) warunek konieczny podzielności przez. Dlaczego nie jest to warunek wystarczający? c) Liczba naturalna nie jest podzielna przez. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o podzielności tej liczby przez? d) Liczba naturalna jest podzielna przez. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o podzielności tej liczby przez? e) Liczba naturalna nie jest podzielna przez. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o podzielności tej liczby przez? f) Sformułować warunek konieczny i wystarczający podzielności przez. B) George Bernard Shaw twierdził: Przekłady są jak kochanki - wierne nie są piękne, piękne nie są wierne. Czy wg Bernarda Shaw przekład wierny nie jest piękny, b) jeśli przekład nie jest piękny, to jest wierny, c) jeśli przekład jest piękny, to nie jest wierny, d) jeśli przekład nie jest wierny, to jest piękny, e) żaden przekład nie może być zarazem wierny i piękny?
3 C) Niech, y R. Prawdziwa jest implikacja: Wskazać założenie oraz tezę twierdzenia. > 0 i y > 0) = y > 0). Wiadomo, że α > i β >. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku iloczynu α ) β + )? A o znaku iloczynu α β? Podać przykłady. b) Wiadomo, że ab > 0. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku liczby a? Podać przykłady. c) Wiadomo, że uv 0. Jaki wniosek o liczbach u i v pozwala wyciagnąć twierdzenie?.4. Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów. Zapisać w równoważnej postaci zdania: =, b) c) d) R <0 = 4 ), n + n M R n N ɛ>0 n 0 N n N < M, ) n n > n 0 ) = n + 5 < ɛ. Zagadnienia dotyczące podstaw logiki, a także praw działań algebraicznych, funkcji elementarnych, rozwiązywania równań i nierówności, można powtórzyć korzystając z jednego z podręczników:. M.Gewert, Z.Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław W. Żakowski, Algebra i analiza matematyczna dla licealistów, WNT, Warszawa 999. Jolanta Sulkowska, zad..b Marek Zakrzewski
4 LISTA. Powtórzenie i uzupełnienie wiadomości o funkcjach na ćwiczenia).. Wyznaczyć dziedziny naturalne funkcji. f) = + + 9, b) f) = 6, c) f) =, d) f) =... Przekształcając wykres odpowiedniej funkcji liniowej narysowć wykres podanej funkcji. Odczytać z wykresu zbiór wartości. f) = 4, b) f) = 4, c) f) = , d) f) = { + dla dla >... Związek między temperaturą C wyrażoną w C, a temperaturą F w F opisuje funkcja liniowa F = ac + b. Wyznaczyć współczynniki a, b, jeśli 0 C to F, a 00 C to F. Jaką temperaturę wskaże termometr wyskalowany w F, jeśli mamy 7 C?.4. Przekształcając wykres funkcji y = a narysować wykres funkcji y = f). Odczytać z wykresu zbiór wartości. f) = 4 + 5, b) f) = +, c) f) = 4 4, d) f) = sgn )..5. Przekształcając wykres funkcji y = a lub y = a narysować wykres funkcji y = f). Odczytać z wykresu zbiór wartości. f) =, b) f) = +, c) f) = ), d) f) = Napisać wzory określające funkcje złożone f g, g f, f f, g g dla podanych funkcji f i g. Naszkicować wykresy funkcji y = fg)) oraz y = gf)). f) =, g) =, b) f) =, g) = 4, c) f) =, g) = +, d) f) =, g) = sgn..7. Zaproponować przedstawienie funkcji złożonych w postaci g h. Czy jest tylko jedna para funkcji g, h takich, że f = g h? f) = + 6, b) f) = 4 +, c) f) = 4 +.
5 .8. Obliczyć log, log 0,0, log log 8, log 5 + 0,5 log 64, log tg π 6, ln e, log, log 5 6, ) log, e ln 0, e ln 0, log log Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór punktów, których współrzędne, y) spełniają podany warunek log y = log + log, b) log 0,5 y = log 0,5 + ), c) log y = log + log 0,5..0. Narysować wykresy funkcji f) =, ) b) f) = c) f) = + e, d) f) = e, e) f) = log ), f) f) = log0,5, g) f) = ln, h) f) = ln... Rozwiązać równania i nierówności ) ) 5 ) 5 =, 4 b) = 5 +, c) 5 <, d) log =, e) log + ) log >, f) ln + ln... Wyprowadzić wzór określający funkcję odwrotną do funkcji f. Narysować w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji y = f) i y = f ). f) = log + ), b) f) =, c) f) =, d) f) = + dla, e) f) = + dla... Wykorzystując okresowość funkcji i koło trygonometryczne obliczyć wartości wyrażeń cos π + sin 4 π, b) sin π + sin π, c) cos π + cos 6 π, d) sin 9 ) 4 π + cos ) 4 π, e) sin 7 7 π + cos π, f) tg0 π + ctg9 π..4. Udowodnić tożsamości. Określić ich dziedziny. cos = + tg, b) sin = tg + tg, c) cos = tg + tg, d) sin = tg + tg, e) + tg + tg + tg = sin + cos, f) sin 4 + cos 4 = 0,5 sin. cos
6 .5. Krzywą daną równaniem y = a sinb + c) + d dla ustalonych parametrów a 0, b 0, c, d nazywamy sinusoidą. Uzasadnić, że każda z poniższych krzywych jest sinusoidą i narysować ją. y = sin cos, b) y = sin + cos ), c) y = cos..6. Narysować wykres funkcji y = f). Odczytać z wykresu okres podstawowy oraz zbiór wartości funkcji. f) = cos + π ), b) f) = sin + sin, c) f) = tg, d) f) = ctgπ)..7. Rozwiązać równania i nierówności. cos = 0, b) sin + π ) =, c) tg =, d) sin + π ) 0, 4 e) cos > 0, f) ctg <..8. Obliczyć wartości wyrażeń w = arcsin arccos + arctg, jeśli arcctg = π 6 ; b) w = arcsin ) + arccos + arctg, jeśli arccos = π ; c) tg arccos ) ; d) sin arcsin 5 + arcsin 8 ) Rozwiązać równania wykorzystując funkcje cyklometryczne sin =, b) sin = 4, c) cos + π ) = 5, d) cos =, e) tg = 5. 4 Wszystkie wiadomości szkolne można powtórzyć i uzupełnić korzystając z podręcznika: M.Gewert, Z.Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 009. Jolanta Sulkowska
7 LISTA na ćwiczenia) Ciągi liczbowe.. Uzasadnić, że podane ciągi są monotoniczne i ograniczone. a n = e) e n = n n +, b) b n = n n +, c) c n = n!) n)!, d) d π n = sin n +, n + ), f) f n+ n = n + 8 n +, g) g n = n.. Korzystając z odpowiedniej definicji granicy ciagu liczbowego, uzasadnić, że n n lim n + =, n + b) lim n n n + 4 = +, c) n lim n +... Uzasadnić, podając odpowiednie przykłady, że poniższe wyrażenia są nieoznaczone 0 0,, 0,,, 0, Obliczyć granice ciągów liczbowych. a n = n n + 4, b) b n = n + n 8, c) c n = n + n n + 5 n + n +, d) d n = n + ) 8 n 4 + 7) 6, e) e n = n + n + 7 n n, f) f n = 8n+ + n n+ + n + 4, g) g n = n n, h) h n = n + 8 n +, i) i n = n + 4n + n +, j) j n = n + n +, k) k n = 9 n + 4 n + 9 n +, l) l n = n 0 n n 9 +, ) n + 4 n+ n m) m n = 7 n 5 n 9 n , n) m n =, o) o n =, n + n + ) n + n ) 4n + n+6 n + n ) n p) p n =, r) r n =, s) s n =. n + 5 n 5 n + n.5. Dla danego ciągu a n ) dobrać ciąg b n ) postaci b n = n p lub b n = α n tak, aby ciągi a n ) i b n ) a n były tego samego rzędu. Mówimy, że ciągi a n ), b n ) są tego samego rzędu, jeśli lim = k, n b n dla pewnej liczby dodatniej k.) a n = d) a n = n + 4n +, b) a n = n n + 7, c) a n = n + 9 n +, n +, e) a n n = n 4 n + 5, f) a 4 n+ n n = 5 n+ +. n Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 008, rozdział. ) n Jolanta Sulkowska
8 LISTA 4 Granice funkcji. Asymptoty. Funkcje ciągłe na ćwiczenia) 4.. Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki f0) =, b) g0) = 4, c) lim h) =, lim lim f) = +, lim lim g) = 0, lim f) =, lim 0 g) = +, lim h) nie istnieje, lim 0 f) =, lim g) = 0, lim + h) h0), lim f) = π; + g) + nie istnieje; h) = +, h) < Obliczyć granice lim + +, b) lim + e) lim, f) lim + 8, c) lim 4, e, g) lim + + +, 8 d) lim 4, h) lim , sin π i) lim 0, j) lim 0 sin, k) lim + tg tg, l) lim π cos sin Uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją lim 0,5 4, b) lim 0 /, c) lim π sgnsin ), d) lim Korzystając z odpowiednich twierdzeń o trzech funkcjach, o iloczynie funkcji ograniczonej i funkcji zbieżnej do zera, o dwóch funkcjach) wyznaczyć granice lim cos, b) lim 0 + sin + sin, c) lim + + cos, 4.5. Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki + sin d) lim. 0 + prosta = jest asymptotą pionową obustronną funkcji f, y = jest asymptotą poziomą w, y = + jest asymptotą ukośną w + ; b) prosta = jest asymptotą pionową lewostronną funkcji g i nie jest asymptotą pionową prawostronną, funkcja g nie ma asymptoty w, g) = ; lim + c) prosta = 0 jest asymptotą pionową obustronną funkcji h, lim h) nie istnieje, 0 lim [h) + ] = 0, lim [h) + ] = 0. +
9 4.6. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji f f) = 8 + 4, b) f) = 6, c) f) = 8, d) f) = e e, e) f) =, f) f) = cos π Czy można dobrać parametry a, b R tak, aby podana funkcja była ciągła na R. Wykonać rysunek. f) = { + dla < 0 a dla 0, b) f) = { arctg dla a + b dla >, 4 c) f) = dla a dla =, d) f) = + dla a dla = b dla = Uzasadnić, korzystając z twierdzenia Darbou, że równanie ma rozwiązanie we wskazanym przedziale. Podać graficzną interpretację równania. W którym przykładzie rozwiązanie jest jednoznaczne? Podać rozwiązanie równania z przykładu d) z błędem nie przekraczającym 0,5. sin =, 0, π ); b) e = ),, ; c) = ln, 0, + ); d) + 6 = 0,, + ); e) 0 sinπ) = +, ), ; f) 5 cosπ) =,, ). Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 008, rozdział. Jolanta Sulkowska
10 POWTÓRKA.. Naszkicować wykresy funkcji. f) = 4, b) f) =, c) f) = 4 + 7, d) f) =, e) f) =, f) f) = log ), g) f) = + tg, h) f) = cos + π ), i) f) = sin sin, j) f) = ctg ctg, k) f) = π arctg, l) f) = π + arcsin... Wyznaczyć dziedzinę funkcji. f) = , b) f) =, c) f) = ln sin, 4 d) f) = 5 log ), e) f) =, f) f) = tg + π ), 5 g) f) = ctg 4, h) f) = e, i) f) = arcsin ln. π 6arctg.. Rozwiązać równania i nierówności. ) < + ), b) 4 5 4, c) 8, d) e =, e) >, f) ln <, g) sin + π ) 0, h) cos =, i) tg = Uzasadnić tożsamość trygonometryczną i podać jej dziedzinę. cos tg + ctg) = sin, b) tg ctg = cos sin, c) sin cos = ctg..5. Napisać wzory określające funkcje złożone f g, g f oraz naszkicować ich wykresy. f) = 4, g) =, b) f) = e, g) = +, c) f) = log 0,5, g) = +, d) f) = cos, g) = 0,5, e) f) = sin + π ), g) =, f) f) =, g) =. 4
11 .6. Wyprowadzić wzór funkcji odwrotnej do funkcji f. Naszkicować w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji y = f) i y = f ). f) = 4, b) f) = +, c) f) = +, d) f) = ln + ), e) f) = + dla, f) f) = + dla..7. Uzasadnić, że ciąg a n ) jest monotoniczny od pewnego miejsca) i ograniczony a n = n + n + 4, d) a n = cos b) a n = n + 4 n 5 n, c) a n = n n + )!, π 4n + 7, e) a n = n + 4 n, f) a n = n..8. Obliczyć granice ciągów liczbowych: a n = 5n + 4 4n + 5, b) a n = n+ + 6 n 5 4 n n, c) a n = 4n + n 4 n + 4, d) a n = 7 n+4 9 n+7, e) a n = g) a n = + n n, f) a n = n n + n + 9, n n ) n+ ) + n n, h) a n n =, i) a n = + n n + j) a n = π n e n, k) a n = ) n + 5 5n, n + arctgn + ) + arcctgn, l) a n = ln4n + 5) lnn + )..9. Naszkicować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki lim f) =, lim 0 + f) = +, lim f) = +, f jest funkcją nieparzystą; + b) prosta y = jest asymptotą poziomą w, prosta = 0 jest asymptotą pionową obustronną, lim g) nie istnieje, g jest funkcją parzystą; c) lim [h) + ] = 0, lim h nie jest ciągła w punkcie 0 = 0. h) =, lim h) =, lim + h) =, +
12 .0. Obliczyć granice funkcji: lim, b) lim e) i) lim + lim + +, f) lim 4 + sin + π, sin j) lim π π,, c) lim + +, g) lim 4 + k) lim 0 5, d) lim, 9 9 9, h) lim ), sin 5 sin 5, l) lim 0 tg Zbadać, czy istnieją granice: sinπ) lim, b) lim e +, 0 c) lim 0 arcctg, d) lim e ln... Wyznaczyć asymptoty funkcji: f) = e) f) =, b) f) = +, c) f) =, d) f) = 4, 4, f) f) = ln sin, g) f) =, h) f) = +. + ln.. Czy można dobrać parametry a, b R tak, aby funkcja f była ciągła na R? Obliczyć odpowiednie granice i narysować wykres funkcji f. + dla < f) = b dla = + a + dla >, b) f) = { a + b dla < arctg dla,.4. Korzystając z twierdzenia Darbou uzasadnić, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie na wskazanym przedziale. Przedstawić graficzną interpretację równania. 4 =, 0,5, ); b) ln =, 0,5, ); c) =,, 0,5); d) = 4,, ). Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skryptach: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 008, M.Gewert, Z.Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 009. Jolanta Sulkowska
13 LISTA 5 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej na -4 ćwiczenia) 5.. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne jednostronne oraz pochodna podanej funkcji we wskazanym punkcie. Narysować wykres funkcji. y) = 4, 0 = ; b) f) = sin, 0 = 0; { c) g) = dla sgn, 0 = 0; d) h) = ) dla >, 0 =. 5.. Korzystając z wzoru na pochodną funkcji f) = α i reguł różniczkowania, obliczyć pochodną funkcji: y = , b) y = , c) y = ; d) y = 8 9 ) Korzystając z wzoru na pochodną iloczynu lub ilorazu, obliczyć pochodną funkcji: y = e cos, b) y = ln, c) y = sin, d) y = tg arctg, e) y = + +, f) y = 4, g) y =, h) y = sin + cos sin cos Obliczyć pochodną funkcji: y = ln), b) y = ), c) y = sin 5 π ), d) y = arctg 4, e) y = + +, f) y = sin, g) y = cos π ), h) y = cos π Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y = f) w punkcie 0, f 0 )). Sporządzić rysunek. f) = sin, 0 = 0; b) f) = ctg, 0 =,5π; c) f) = ln ), f 0 ) = Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji y = f), która ma podaną własność. f) = ln, styczna jest równoległa do prostej 5 + 5y = 0; b) f) = +, styczna jest prostopadła do prostej y = 0; c) f) =, styczna jest pozioma; + d) f) =, styczna tworzy kąt π z dodatnim kierunkiem osi OX.
14 5.7. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granice: ln sin π lim )) ln ln + ) ), b) lim, c) lim 0 ctg, d) lim + ln ), e) lim 0 + ln, f) lim π π ) tg Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji: f) = arctg, b) f) = ln + ), c) f) = arctg, d) f) = ln 4 ) Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji. Naszkicować ich wykresy. y) = 4 4, b) y) = +, c) f) = e, d) g) = ln Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji na wskazanym przedziale: f) =, [0, 5], b) f) = arctg, [0, ], c) f) = sin + sin, [ 0, π ]. 5.. Wyznaczyć dwie liczby dodatnie, których suma jest równa 0, a iloczyn kwadratu pierwszej i trzeciej potęgi drugiej ma wartość największą. b) Zbadać, który z prostopadłościanów o podstawie kwadratowej i danym polu powierzchni całkowitej ma największą objętość. c) Firma spedycyjna przyjmuje zlecenie przewozu prostopadłościennych paczek, dla których suma wysokości i obwodu podstawy jest nie większa niż 08 cm. Znaleźć wymiary paczki o kwadratowej podstawie i największej objętości, która może być przesłana za pośrednictwem tej firmy. d) Przez punkt P =, ) poprowadzić prostą tak, aby wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych tworzyła trójkąt o najmniejszym polu. 5.. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji: f) = +, b) g) = + ) e, c) h) = ln, d) h) = sin sin. 5.. Wyznaczyć przedziały wklęsłości, wypukłości i punkty przegięcia funkcji f) = +, b) f) = earctg, c) f) = ln, d) f) = sin + 0,5 sin.
15 5.4. Zbadać przebieg zmienności funkcji i sporządzić ich wykresy: f) =, ln b) f) =, c) f) =, d) f) = 4e e Napisać wzory Taylora z drugą i trzecią resztą dla podanych funkcji i punktów. Narysować wykres funkcji oraz wielomianu Taylora pierwszego i drugiego rzędu. f) =, 0 = ; b) f) =, 0 = Oszacować dokładność przybliżeń na wskazanych przedziałach: ln + ) +, 0,; b) + +, 0,0; c) cos, 0,; d) e +, 0,5. Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 008, rozdział 4, 5, 6. Jolanta Sulkowska
16 LISTA 6. na -4 ćwiczenia) Całka nieoznaczona i oznaczona 6.. Korzystając z definicji i wzorów na pochodne podstawowych funkcji odgadnąć funkcje pierwotne F funkcji f: f) =, b) f) = +, c) f) = sin + π ), d) f) = e Obliczyć całki: 4 + d, d) 4 d, e) g) ctg d, ) ) ) b) d, c) + + d, d, f) h) sin cos d, i) cos cos sin d, 4 sin + π ) ) 6 cos + d Obliczyć całki stosując odpowiednie podstawienie 4 + d, b) 4 d, c) ) 5 d, ln e) d, f) e d, g) sin cos d, d) h) sin cos d, d Obliczyć całki, korzystając z tego, że + d, b) f ) f) + d, c) d = ln f) + C. ln d, d) e e + d Obliczyć całki, stosując wzór na całkowanie przez części e d, b) cos d, c) sin + π ) d, d) ln + ) d, e) ln d, f) ln d, g) arcctg d, h) e sin d Zapisać sumę całkową dla podanej całki oznaczonej. Zastosować równomierny podział przedziału całkowania. Wykorzystać wartość funkcji podcałkowej w prawych końcach podprzedziałów. Korzystając z definicji obliczyć całki z przykładów, b). 0 d, b) d, c) π 0 sin d, d) 0 + d.
17 6.7. Obliczyć całkę oznaczoną. Podać jej interpretację geometryczną, wykonując odpowiedni rysunek. + ) d, b) π sin d, c) e d, d) π ctg d, e) e ln d. 0 0 π 4 e 6.8. Wyznaczyć średnią wartość funkcji f na przedziale [a, b]. Wykonać rysunek. f) = sin, [a, b] = [0, π]; b) f) =, [a, b] = [0, ] Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi. Wykonać rysunek. y = +, y = + ; b) y = 4 +, y = ; c) y =, y =, y = ; d) y = ln + ), = 0, y = Napisać wzór na długość łuku wykresu funkcji różniczkowalnej i obliczyć długości podanych krzywych. Narysować je. y = [, 0, 4 ] ; b) y = 4 9, [, ]; [ π c) y = ln sin,, π ] ; d) y = ln, [, e]. 6.. Napisać wzór na objętość bryły obrotowej powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru ograniczonego wykresem ciągłej funkcji nieujemnej y = f), osią OX i prostymi = a, = b. Korzystając z tego wzoru obliczyć objętość: kuli o promienu R, b) stożka ściętego o promieniach podstaw r, R i wysokości H, c) bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru T = {, y) R : 0 π } 4, 0 y tg, d) bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru T = {, y) R : π π }, 0 y cos. 6.. Stosując całkę oznaczoną, obliczyć pracę, jaką trzeba wykonać, aby opróżnić napełniony do połowy wodą zbiornik w kształcie walca o poziomej osi. Otwór znajduje się na górze zbiornika. Średnica walca D = m, długość L = 6 m, gęstość wody γ = 000 kg/m.
18 6.. Obliczyć całki funkcji wymiernych d) 8 d, d, b) e) d, c) + d, d, f) d Obliczyć całki funkcji trygonometrycznych e) sin 5 d, 5 cos d, e) b) sin cos d, π π sin sin d, c) f) π π cos sin d, d) sin cos 4 d, g) π π sin d, sin d. Podobne zadania z rozwiązaniami lub odpowiedziami) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 008, rozdział 7, 8, 9. Jolanta Sulkowska
19 POWTÓRKA.. Obliczyć pochodne funkcji: f) =.. arctg ln + ), b) f) = e sin sin, c) f) = cos ), d) f) = Napisać równania stycznych do wykresu funkcji f) = arctg ) w miejscach zerowych funkcji. Pod jakimi kątami wykres przecina oś OX? b) Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f) = ln 0,5, która jest równoległa do osi OX. c) Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f) = ln + e ), która jest równoległa do prostej l : y = 5. d) Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f) = tg), π 4, π ), która 4 jest prostopadła do prostej l : + 5y = 0. e) Dla jakich wartości parametrów a, b parabola o równaniu y = + a + b jest styczna w punkcie, ) do prostej y =? Wykonać rysunek... Zbadać istnienie asymptoty cos o równaniu = 0 funkcji f) = sin 4, b) o równaniu = π ln + cos ) funkcji f) =, π c) poziomej w + funkcji f) = ) 6, d) o równaniu = 0 funkcji f) = sin..4. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji na wskazanym przedziale. f) = + e, [ 7, 0]; b) y) = c) g) = cos + sin, [ 0, π, [, ]; ]; d) y) = + ), [, ]..5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f. Naszkicować jej wykres. f) = ln + ), b) f) = ln 4, c) f) = e, d) f) = e ln.
20 .6. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji. Naszkicować jej wykres. y) = ) ), b) f) = + ln ), c) f) = 4, d) f) =..7. W obszar ograniczony parabolą y = 6 i osią OX wpisano prostokąt tak, że jeden z jego boków leży na osi OX. Jakie wymiary ma prostokąt o największym polu? b) Metodami rachunku różniczkowego uzasadnić, że prostopadłościan o danej sumie długości krawędzi, kwadratowej podstawie i największej objętości jest sześcianem. c) Ile materiału stracimy wycinając z blachy w kształcie półkola o promieniu R prostokąt o największym polu?.8. Obliczyć całki: cosπ + ) d, b) e ) d, c) ln d, d) g) sin tgln ) d, e) d, e + ln + ln d, f) d, + h) + cos ) sin d, i) sin d..9. Obliczyć całkę oznaczoną. Podać jej interpretację geometryczną. Wykonać rysunek. e d, b) π sin cos d, c) e ln d, d) π tg d. 0 e 0.0. Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi. Wykonać rysunek. y =, y = + 4; b) y =, y = 5 + ) ; c) y =, y = ; d) y = 4 +, y = ; e) + y = 4, y = ; f) y = sin, y =, = π; g) y = ln + ), y =, = e; h) y = ln + ), y =, y =. Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skryptach: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 008, M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Kolokwia i egzaminy, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 005. Jolanta Sulkowska
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoElementy logiki (4 godz.)
Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
Bardziej szczegółowoĆwiczenia r.
Ćwiczenia 9..8 r.. Wyznaczyć wskazane wartości, gdy spełnione są podane równania: a)sin=?,tg=; b)ctg=?,sin= π ) 7 ; π c)sin5=?,sin + =tg ; d)cos=?,+tg9 tg + π ).. Rozwiązać nierówności: a)+4 +
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co tydzień Choć zadania po symbolu potrójne karo nie są typowe, warto też poświęcić im nieco uwagi Lista nie zawiera odpowiedzi, ale poprawność
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 B Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoLista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoTydzień 2 - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza. ; e)
Tydzień - Logika. Każde z poniższych zdań wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowo3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.
1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoEgzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoModel odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II
Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Zadanie 12 (3 pkt) Z warunków zadania : 2 AM = MB > > n Wprowadzenie oznaczeń, naprzykład: A = (x, y) i obliczenie współrzędnych wektorów n Obliczenie
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoKurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoWYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą
1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku
Bardziej szczegółowoKryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I
Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry bardzo dobry Zdanie logiczne ( proste i złożone i forma zdaniowa oraz prawa logiczne dotyczące alternatywy,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.
Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)
Bardziej szczegółowoLiteratura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 b) + y c) + 1 + 2 2 dla 1 2 d) 8 e) + 1 f) 1 + + 2. 2. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Lista zadań 10
Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1. Zadanie 2 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzyw a o równaniu
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoEgzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii
Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Marian Gewert Wydział Matematyki
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowo