Grzegorz Kornaś. Powtórka z fizyki

Transkrypt

1 Gzegoz Konś Powtók z fizyki - dl uczniów gimnzjów, któzy chcą wiedzieć to co tze nwet więcej, - dl uczniów liceów, któzy chcą powtózyć to co tze, y zozumieć więcej, - dl wszystkich, któzy chcą znć podstwy fizyki. Kontkt: kons@xl.wp.pl

2 Od uto Dogi czytelniku! Pzekzuję Ci jedną z piewszych książek intenetowych do nuki fizyki. Książk udostępnin jest ezpłtnie w postci plików pdf, nie możn jej nyć w tdycyjnej dukownej postci. Sądzę, że intenetow fom książki m wiele zlet, jedną z nich jest możliwość ntychmistowego popwini pomyłek i łędów dukskich - jeśli znjdziesz jkiś łąd, pzekż o nim infomcję n des podny n stonie tytułowej. Równie łtwo możn poszezć i modyfikowć teść książki. Zpszm więc do dlszego edgowni teści, oczekuję n popozycje: co dodć, co zmienić, co usunąć. W książce znjdziesz podstwowe widomości, z zkesu fizyki: njwżniejsze pojęci, definicje, wzoy, jednostki, wykesy. Znjdziesz też wiele cennych wskzówek i schemtów postępowni, któe powiedzą Ci, jk w posty sposó opnowć i zozumieć niezędne widomości i umiejętności, nie poświęcjąc n to zyt wiele czsu. Książk t pzeznczon jest pzede wszystkim dl uczniów liceów ogólnoksztłcących i gimnzjów zwie teści nuczni zwte w pogmch nuczni fizyki i stonomii, opcownych pzez óżnych utoów. Ay poznć i zozumieć podstwy fizyki tze dysponowć niezędną wiedzą z mtemtyki, wiedzą któ często wykcz poz pogm gimnzjum. Dltego w ozdzile piewszym jest oszeny fgment, dotyczący niezędnych widomości z mtemtyki. Numecj wieszy n kolejnych stonch ułtwi znlezienie konketnej definicji, wzou czy wykesu. Powtók z fizyki pzyd się uczniom liceów do powtózeni podstwowych widomości z fizyki pzed egzminem mtulnym, uczniom gimnzjów pzed egzminem gimnzjlnym z zkesu pzedmiotów mtemtyczno-pzyodniczych. Z książki tej mogą ównież kozystć osoy, któe już od wielu lt nie mją kontktu ze szkołą i z fizyką. Dl nich książk t może pełnić olę postego leksykonu, w któym łtwo spwdzić znczenie niektóych pojęć spotknych np. w psie lu zsłysznych w telewizji. Dziękuję Wydwnictwu ZmKo z Kkow z zgodę n wykozystnie ysunków, Wydwnictwu DEBIT z Bielsk Biłej z zgodę n wykozystnie ysunków, Pnu Wlteowi Fendtowi z Stdtegen z zgodę n wykozystnie nimcji. Uuchomienie nimcji wymg (opócz połączeni z Intenetem ) zinstlownie mszyny witulnej JAVA. Zwt jest on stnddowo w systemch Windows 9, Windows 98, Windows Millenium, Windows 00. Jeśli używsz systemu Windows XP i msz polem z uuchomieniem nimcji nleży poć ze stony i zinstlowć mszynę witulną JAVA.

3 Spis teści.widomości wstępne.. Podstwowe pojęci fizyki.... Jednostki mi Wykesy.6.4. Wektoy Podstwowe widomości o łędch pomiowych Mtemtyk n lekcjch fizyki Rozwiązywnie zdń wskzówki ogólne... Kinemtyk uchu postępowego.. Zjwisko uchu Wielkości opisujące uch Podził uchów postępowych Ruch postoliniowy jednostjny Ruch postoliniowy jednostjnie pzyspieszony Ruch postoliniowy jednostjnie opóźniony Ruch postoliniowy niejednostjnie zmienny Zestwienie wykesów ilustujących spoczynek i uchy postoliniowe Ruch po okęgu Zestwienie wielkości i wzoów opisujących uch postoliniowy i uch po okęgu Dynmik 3.. Podstwowe pojęci dynmiki Zsdy dynmiki Siły tci Ruch pod dziłniem stłej siły Dynmik uchu po okęgu Podził uchów ze względu n dziłjące siły Pc, moc, enegi Mszyny poste Ruch dgjący i fle mechniczne 4.. Ruch dgjący hmoniczny Fle mechniczne Akustyk Gwitcj.. Pwo powszechnego ciążeni Pole gwitcyjne 7.3. Elementy kosmonutyki Elementy stonomii. 6.. Rozwój poglądów n udowę Wszechświt Oiekty stonomiczne, ich ozmiy i odległości Osewcje stonomiczne

4 7. Budow i włściwości mteii 7.. Cząsteczkow udow mteii Temodynmiczne włściwości cił Cił lotne Ciecze Cił stłe Cieplne włściwości cił.0 8. Elektosttyk 8.. Skłdniki tomu. Łdunek elektyczny Pole elektosttyczne Pojemność elektyczn. Kondenstoy Pąd elektyczny 9.. Pąd elektyczny i wunki jego pzepływu Pwo Ohm. Opó elektyczny Pw Kichhoff. Łączenie opoów Pc i moc pądu Mgnetyzm.. Pole mgnetyczne Zjwisko indukcji elektomgnetycznej Fle elektomgnetyczne Optyk.. Optyk flow Optyk geometyczn Pzyządy optyczne Elementy fizyki współczesnej.. Dwoist ntu świtł Budow tomu Budow i włściwości jąd tomowego. Pomieniownie jądowe Rekcje jądowe. Enegetyk jądow

5 . Widomości wstępne. Widomości wstępne.. Podstwowe pojęci fizyki ) zjwisk fizyczne Zjwisk fizyczne są to wszelkie zminy w otoczeniu, któe możn w jkikolwiek sposó zosewowć - czy to ezpośednio z pomocą nszych zmysłów (np. uch cił, topnienie lodu), czy też z pomocą specjlnych pzyządów (np. pzepływ pądu, ozchodzenie się fl elektomgnetycznych). ) wielkości fizyczne Wielkości fizyczne są to cechy cił (np. ms, ojętość) lu zjwisk (np. pzyspieszenie, ntężenie pądu), któe możn w jkikolwiek sposó zmiezyć. Nie wszystkie włściwości cił możn zmiezyć np. zpch, smk nie są wielkościmi fizycznymi. Kżd wielkość fizyczn m swój symol liteowy oz jednostkę. Njlepiej yłoy, gdyy kżd wielkość mił swój włsny, niepowtzlny symol. Jednkże podstwowych wielkości fizycznych jest lisko sto, lite lfetu (uwzględnijąc młe i duże litey), około cztedziestu. Dltego symolmi wielkości fizycznych są nie tylko litey lfetu łcińskiego, lecz ównież niektóe litey lfetu geckiego: Wyne litey lfetu geckiego α β γ lf et gmm δ, delt σ, Σ ε, η ϑ κ epsilon et thet kpp λ, Λ lmd ω, Ω µ ε mi ν π, Π ρ τ ϕ, Φ χ ψ, Ψ ni pi o sigm tu fi chi psi omeg Tze znć ksztłt i nzwę lite lfetu geckiego (zwłszcz tych podkeślonych występują one we wzoch szczególnie często). Zstosownie lfetu geckiego nie ozwiązło polemu do końc, gdyż zdz się, że niektóe wielkości oznczone są tą smą liteą. N pzykłd lite Q może oznczć cięż cił, ciepło lu łdunek elektyczny lite V- ojętość cił lu potencjł pol elektycznego. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

6 . Widomości wstępne 6 3 Do jednej z podstwowych umiejętności kżdego uczni nleży dokłdn znjomość symoli wielkości fizycznych (oznczeń poszczególnych lite). Szczególną uwgę nleży zwócić n te wielkości, któe mją ten sm symol liteowy. Jednostki wielkości fizycznych też ozncz się symolmi liteowymi y je wyóżnić ędziemy je pisć w nwisch kwdtowych. N pzykłd: m ozncz msę [m] ozncz met, W ozncz pcę [W] wt (jednostkę mocy). Gdy jednostk występuje pzy wtości liczowej nwisu się nie pisze np. pzeyt dog wynosi sto metów: s 0m. Podził wielkości fizycznych: Wielkości fizyczne możn podzielić n dwie gupy: wielkości podstwowe - są to wielkości, któe nie wymgją okeśleni z pomocą innych wielkości fizycznych, nie mją więc definicji (np. długość, ms, czs), wielkości pochodne - są to wielkości, któe wpowdz się (definiuje) z pomocą wielkości podstwowych (np. pędkość) lo z pomocą wielkości wcześniej zdefiniownych (np. pzyspieszenie). Według innego, zupełnie niezleżnego podziłu ozóżnimy: wielkości wektoowe - są to wielkości, któe mją cechy wekto: -wtość (dużą lu młą), -kieunek (poziomy, pionowy, ukośny), -zwot (w lewo, w pwo, do góy, n dół), -punkt pzyłożeni F początek Wekto np. pędkość - v, pzyspieszenie -, sił - F. koniec Wielkości wektoowe możn pzedstwić n ysunkch pzy pomocy wekto. Jeżeli pzy symolu wielkości wektoowej opuścimy znk wekto, wówczs iezemy pod uwgę tylko jego wtość (np. v- wtość pędkości, F- wtość siły). Inne wżne widomości o wektoch znjdziesz w ozdzile :.4. wielkości sklne - są to wielkości, któe posidją tylko wtość - dużą lu młą (nie mogą yć ntomist poziome czy pionowe lu zwócone w lewo ądź w pwo) np. ms -m, czs -t, tempetu -T. 4 Gzegoz Konś Powtók z fizyki

7 . Widomości wstępne 7 c) definicje wielkości fizycznych Definicj jest to umowny związek między znnymi wielkościmi fizycznymi wpowdzjący nową wielkość fizyczną. Definicj może yć wyżon zówno wzoem jk i fomułką słowną. Duż część wzoów fizycznych pzedstwi definicje óżnych wielkości. Będziemy je wyóżnić spośód wszystkich wzoów pisząc skót df nd znkiem ównni. Podstwowe wzoy (do któych nleżą pwie wszystkie wzoy definicyjne) tze znć n pmięć, łącznie z oznczenimi występujących w nich symoli. Znjomość t, opócz innych możliwości, ułtwi ukłdnie definicji słownych - nie tze uczyć się ich n pmięć. Tze jedynie zpmiętć kilk ogólnych wskzówek: Ay ułożyć słowną definicję n podstwie wzou - w miejsce lite podstw nzwy wielkości fizycznych. Zwóć uwgę n dziłnie występujące po pwej stonie wzou i wykozystj słowo oznczjące wynik tego dziłni: - jeżeli jest to dzielenie (we wzoch oznczone keską ułmkową) w definicji zstosuj słowo stosunek (zmist słow iloz, któego n fizyce czej się nie używ), - jeżeli jest to mnożenie zstosuj słowo iloczyn, - jeżeli jest to odejmownie słowo óżnic, - gdy jest to dodwnie słowo sum. Pzykłdy: df v t pzyspieszenie v pzyost pędkości t czs Pzyspieszenie jest to stosunek pzyostu pędkości do czsu w któym ten pzyost nstąpił. df p mv df v v v v 0 p- pęd cił m- ms v- pędkość v v pzyost pędkości pędkość końcow 0 pędkość początkow Pędem cił nzywmy iloczyn msy i pędkości cił. Pzyost pędkości jest to óżnic pędkości końcowej i pędkości początkowej. df E E + E k p E - cłkowit enegi mechniczn E enegi kinetyczn E k p enegi potencjln Cłkowit enegi mechniczn jest to sum enegii kinetycznej i enegii potencjlnej. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

8 . Widomości wstępne 8 d) pw fizyki Opócz wzoów definicyjnych jest wiele wzoów podjących zleżności między wielkościmi fizycznymi. Njwżniejsze zleżności zwte są w pwch fizyki. Teść pw możn ównież pzeczytć n podstwie wzou, lecz stosuje się pzy tym inne sfomułowni niż pzy definicjch: Ay n podstwie wzou odczytć zleżności występujące między óżnymi wielkościmi (np. w pwch fizyki), któe njczęściej występują w postci ułmk, stosuje się słow wpost popocjonlne w stosunku do wielkości występujących w liczniku i odwotnie popocjonlne w stosunku do wielkości występujących w minowniku. Stłych współczynników popocjonlności się nie czyt. Fkt, że jkś wielkość się nie zmieni zpisujemy słowem constns (czyt. konstns), któe ozncz stły. Stosuje się też skót: const. Dwie wielkości są do sieie wpost popocjonlne gdy wzost jednej z nich powoduje tki sm wzost dugiej wielkości. (Ile zy wzośnie jedn wielkość, tyle zy wzośnie dug). Dwie wielkości są do sieie odwotnie popocjonlne gdy wzost jednej z nich powoduje odpowiednie zmniejszenie dugiej wielkości. (Ile zy wzośnie jedn wielkość, tyle zy dug zmleje). Pzykłdy: II zsd dynmiki Fw m pzyspieszenie cił F - sił wypdkow w m - ms cił m const ( ) Pzyspieszenie, z jkim pousz się ciło pod dziłniem siły wypdkowej jest wpost popocjonlne do wtości tej siły. Zleżność tę możn ównież zpisć posługując się symolem popocjonlności: ~ F w. p Pwo Boyle` i Miotte` nrt V p - ciśnienie V - ojętość n R T constns Zleżność tę możn ównież zpisć nstępująco: p ~ F V. W pzeminie izotemicznej (Tconst) gzu o stłej msie (nconst), jego ciśnienie jest odwotnie popocjonlne do ojętości. W niektóych pwch fizyki podje się ównocześnie kilk zleżności np.: Pwo..powszechnego ciążeni Sił gwitcji jest wpost F G mm g - sił gwitcji popocjonln do iloczynu G- stł gwitcji (G const) ms pzyciągjących się cił i m, m - msy cił odwotnie popocjonln do g - odległość między śodkmi kwdtu odległości między ich cił śodkmi Gzegoz Konś Powtók z fizyki

9 .. Jednostki mi. Widomości wstępne 9 ) ukłd SI Pomi wielkości fizycznych pociąg z soą konieczność ustleni jednostek mi. Utwozenie odmiennych ukłdów jednostek (np. CGS, MKfS) i stosownie óżnych jednostek dl tej smej wielkości (np. dl siły: niuton, dyn, kilogm-sił) stwzło wiele tudności z ich poównywniem i wymgło żmudnych pzeliczeń. Dltego n cłym świecie dąży się do wpowdzeni jednego ukłdu- jest nim międzynodowy ukłd jednostek SI (Systeme Intentionl). Kżd wielkość fizyczn m swoją jednostkę pochodzącą z ukłdu SI. ) podził jednostek Jednostki mi podonie jk wielkości fizyczne możn podzielić n jednostki podstwowe i pochodne: jednostki podstwowe są to jednostki wielkości niezleżnych od sieie, wynych jko podstw dnego ukłdu jednostek. Dl jednostek tych pecyzyjnie okeśl się ich wzoce. W ukłdzie SI pzyjęto siedem jednostek podstwowych i dwie jednostki uzupełnijące: Wielkość Podstwowe i uzupełnijące jednostki mi SI Jednostk miy Wzozec jednostki nzw oznczenie (symol) Jednostki podstwowe Długość met m Histoyczny wzozec met pzechowywny w Seves pod Pyżem. (Dl współczesnych potze wzozec ten jest z mło dokłdny dltego opcowno inny wzozec, w któym met okeśl się jko wielokotność długości fli okeślonego pomieniowni). Ms kilogm kg Wzozec kilogm pzechowywny w Międzynodowym Biuze Mi w Seves. (Wzocem jest wlec ze stopu pltyny i iydu pod kloszmi). Czs sekund s początkowo sekundę okeślno jko /860 część doy, później jko część oku. Wzoce te okzły się niedosttecznie dokłdne i oecnie stosuje się wzozec opty o zjwisko z zkesu fizyki tomowej. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

10 . Widomości wstępne Ntężenie mpe A mpe jest to ntężenie pądu elektycznego pądu stłego, któy płynąc w dwóch ównoległych elektycznego postoliniowych, nieskończenie długich pzewodch, umieszczonych w póżni w odległości l m od sieie - wywołły między tymi pzewodmi siłę -7 N (niuton) n kżdy met długości pzewodu Tempetu kelwin K kelwin jest to /73,6 tempetuy ezwzględnej punktu potójnego wody Ilość mteii mol mol mol jest to ilość mteii występując, gdy licz cząstek jest ówn liczie tomów zwtych w msie 0, 0 kg (kilogm) C (węgl ) Świtłość (Jest to wielkość opisując ilość enegii pzenoszonej pzez świtło wysyłne z dnego źódł) kndel cd wzocem kndeli jest specjlnie skonstuowne źódło świtł, któe wysył zwsze tkie smo świtło. (Wyz kndel pochodzi od łcińskiego słow cndel oznczjącego świecę) Jednostki uzupełnijące Kąt płski din d din jest to kąt płski, zwty między dwom pomienimi koł, wycinjącymi z jego okęgu łuk o długości ównej pomieniowi tego koł α Kąt yłowy stedin s stedin jest to kąt yłowy o wiezchołku w śodku kuli, wycinjący z jej powiezchni część ówną powiezchni kwdtu o oku ównym pomieniowi tej kuli S O s S jednostki pochodne są to jednostki, któe definiuje się pzy pomocy jednostek podstwowych (np. niuton: Nkg m/s ) lu pzy pomocy jednostek wcześniej zdefiniownych (np. dżul: JN m). c) definiownie jednostek pochodnych Definicję jednostki pochodnej okeślonej wielkości fizycznej możn łtwo ułożyć wykozystując wzó definicyjny tej wielkości. W tym celu kżdej wielkości występującej we wzoze tze pzypisć jej jednostkę nstępnie wymienić wszystkie wielkości łącznie z ich jednostkmi. Czsmi tze jeszcze podć złożeni, pzy któych oowiązuje wzó. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

11 . Widomości wstępne Pzykłdy:. Ay uzyskć jednostkę pzyspieszeni podstwimy do pwej stony wzou definicyjnego jednostki występujących tm wielkości. df v t m s s m s pzyspieszenie v pzyost pędkości t czs Otzymną jednostką jest met n sekundę do kwdtu. Jednostk t nie m osonej nzwy.. Ay zdefiniowć jednostkę siły - niuton, jko definicję siły pzyjmiemy wzó: F m pzyspieszenie F- sił m- ms kżdej wielkości pzypisujemy jej jednostkę : 3 Jednostką siły jest- niuton [N], m jednostką msy- kilogm [kg], F[ N] m[ kg] s jednostką pzyspieszeni - met n sekundę do kwdtu [m/s ] Stzłki pokzują kolejność twozeni definicji. nstępnie ukłdmy definicję: Jeden niuton jest to sił, któ dziłjąc n ciło o msie jednego kilogm ndje mu pzyspieszenie jeden met n sekundę do kwdtu. Uzyskliśmy ównocześnie związek niuton z jednostkmi podstwowymi ukłdu SI: N kg m s. 3. Ay zdefiniowć jednostkę pcy - dżul stosujemy uposzczony wzó definiujący pcę (możn go stosowć, gdy kieunek i zwot dziłjącej siły jest zgodny z kieunkiem i zwotem pzesunięci): W F s kżdej wielkości pzypisujemy jednostkę: 3 [ ] [ ] [ ] W J F N s m W pc F- sił s - dog Jednostką pcy jest dżul [J], jednostką siły jest niuton [N], jednostką dogi jest met [m]. ukłdmy definicję. Jeden dżul jest to pc, wykonn pzez siłę jednego niuton n dodze jednego met, gdy kieunek i zwot wekto siły są zgodne z kieunkiem i zwotem wekto pzesunięci [ J N m]. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

12 . Widomości wstępne 4. Ay zdefiniowć jednostkę mocy - wt wykozystujemy wzó definicyjny n moc: P df W t kżdej wielkości pzypisujemy jednostkę: [ ] [ s] P [ W df ] W J t 3 P moc W - pc t- czs Jednostką mocy jest wt [W], jednostką pcy jest dżul [J], jednostką czsu jest sekund[s] i ukłdmy definicję: Jeden wt jest to moc uządzeni, któe wykonuje pcę jednego dżul w czsie jednej sekundy W J s. d) ozpisywnie jednostek pochodnych n jednostki podstwowe ukłdu SI Kżdą jednostkę pochodną możn pzedstwić pzy pomocy jednostek podstwowych ukłdu SI, kozystjąc kolejno z definicji pojwijących się jednostek. Pzykłdy:. Kozystjąc z definicji pzestwionych w popzednim podpunkcie ozpiszmy jednostkę mocy - wt: W J N m kg m kg m m s s kg m 3 kg m s 3 s s s s s Zpis wykłdniczy omówiony jest w ozdzile.6.. Podonie jk w popzednim pzykłdzie ozpiszmy jednostkę pojemności elektycznej - fd. Będą nm potzene kolejne definicje jednostek: fd [F] jest wyżony pzy pomocy jednostek: kulom [C] i wolt [V]: C F V, wolt [V] jest wyżony pzy pomocy jednostek: dżul [J] i kulom [C]: V J C, kulom [C] jest wyżony pzez jednostki: mpe [A] i sekund [s]: [ C A s]. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

13 . Widomości wstępne 3 4 C C C ( A s) A s A s A s 4 F V J J N m kg m A s kg m kg m kg m m C s s Jk wynik z popzednich pzykłdów kżdą wielkość pochodną możn pzestwić w postci iloczynu jednostek podstwowych doiejąc odpowiednio wtości wykłdników w poniższym wyżeniu: [ ] c d e f Y m kg s A K cd mol Dl jednostki wt:,, c 3, d 0, e 0, f 0, g 0. Dl jednostki fd: c 4 d e 0 f 0 g,,,,,, 0. g e) pzelicznie jednostek n jednostki główne ukłdu SI Jednostki podstwowe i pochodne stnowią tzw. jednostki główne. Ukłd SI dopuszcz stosownie jednostek, 0, 00,...itd. zy większych od jednostek głównych - są to tzw. jednostki wielokotne oz jednostek, 0, 00,... itd. zy mniejszych - są to tzw. jednostki podwielokotne. Jednostki wielokotne i podwielokotne twozymy dodjąc do nzwy jednostki głównej odpowiedni pzedostek. Wyjątkiem są jednostki msy, dl nich pzedostki dodje się do jednostki gm. Pzedostki do wielokotności i podwielokotności jednostek Pzedostek Oznczenie (skót) Mnożnik pzedostk (eks-) E (pet-) P (te-) T gig- G (milid) meg- M (milion) kilo- k 3 00 (tysiąc) hekto- h 0 dek- d jednostk -- 0 decy- d - / centy- c - /0 mili- m -3 /00(jedn tysięczn) miko- µ -6 / (jedn milionow) nno- n -9 / (jedn milidow) piko- p - / (femto-) f - / (tto-) -8 / Skjne pzedostki podne w nwisch: eks-, pet-, te-, femto-, tto- są dzo zdko używne. Infomcje o zpisie potęgowym znjdziesz w ozdzile.6. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

14 . Widomości wstępne 4 3 Jednostki wielokotne i podwielokotne zmienimy n jednostki główne wykozystując mnożnik z powyższej teli. Pzykłdy: l kilomet (l km 3 m) l nnomet (l nm -9 m) pikofd (pf - F) l gigwt (l GW 9 W) l dekgm (l dg g) związki między jednostkmi pol powiezchni uzyskujemy tk jk w poniższych pzykłdch: - y pzeliczyć centymety kwdtowe n mety kwdtowe wypisujemy njpiew związek między jednostkmi długości (zgodnie z telą pzedostków): cm - m, nstępnie oie stony ównni podnosimy do kwdtu łącznie z jednostkmi: (cm) ( - m) i otzymujemy szukny związek: cm -4 m - podonie możn pzeliczyć kilomety kwdtowe n mety kwdtowe: związek między jednostkmi długości: km 3 m podnosimy do kwdtu: (km) ( 3 m) i otzymujemy związek: km 6 m. związki między jednostkmi ojętości uzyskujemy w tki sm sposó: - pzeliczmy milimety sześcienne n mety sześcienne: piszemy związek między jednostkmi długości: mm -3 m oie stony ównni podnosimy tym zem do potęgi tzeciej: (mm) 3 ( -3 m) 3 i otzymujemy związek: mm 3-9 m 3 - pzeliczmy jeszcze jeden lit n met sześcienny. 4 Jeden lit to inczej jeden decymet sześcienny. Związek między jednostkmi długości: dm - m podnosimy do potęgi tzeciej: (dm) 3 ( - m) 3 i otzymujemy: lit dm 3-3 m 3. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

15 . Widomości wstępne jednostki kąt płskiego - stopnie kątowe pzeliczmy n diny, pmiętjąc, że: kąt pełny m π din z popocji możn otzymć inne zleżności: π d 80 0 π d 90 0 π/ d 0 π d n n n ogólnie: 360 3,,,K jednostki czsu pzeliczmy n sekundy: - minut: min 60s, - godzin: godz 60min 60s/min 3600s, (godzinę ozncz się ównież liteą h) - do: 4h s 860s, - ok: s s. jednostki tempetuy: stopnie Celsjusz pzeliczmy n kelwiny dodjąc do tempetuy w stopnich Celsjusz 73 (pzeliczjąc jednostki tempetuy nie możn skozystć z popocji): Zpmiętj: 0 0 C 73 K T[K] t[ 0 C] + 73 Pzykłdy pzeliczni jednostek złożonych: np. 0 0 C 73 K 0 C 93 K - 0 C 63 K C 0 K 3 Jednostki pędkości: v90 km h // m 900 m m/ s, 3600 // s 36 s v 7 cm. min 7 00, m 7 60 m m, 0, 00 0, 0m/ s s s s Jednostki gęstości: ρ g kg 3 kg 3. 3, 6 3 0, 3 00kg / m cm m m ρ 6 mg miligmów kg 3 kg , 0kg / m. dm decymet sześcienny m m Gzegoz Konś Powtók z fizyki

16 . Widomości wstępne 6.3 Wykesy ) ysownie wykesów N podstwie wzou podjącego zleżność między wielkościmi fizycznymi możn nysowć wykes ilustujący dną zleżność. Ptząc n wzó tze ustlić jką funkcją mtemtyczną okeślony jest związek między zmiennymi (czy jest to funkcj stł, osnąc czy mlejąc, liniow czy kwdtow ). Wielkość po lewej stonie wzou odpowid zmiennej y, po pwej stonie jest dug zmienn x (jest nią njczęściej czs ) tze ją odszukć. Wszystkie pozostłe wielkości tktujemy jko stłe współczynniki. Znjąc ksztłt wykesów typowych funkcji mtemtycznych (znjdziesz je w ozdzile.6) możn smodzielnie nysowć większość wykesów: chcąc nysowć wykes pędkości od czsu w uchu jednostjnie pzyspieszonym kozystmy ze wzou: v v0 + t v 0 const const v pędkość końcow w uchu jednostjnie pzyspieszonym v 0 pędkość początkow pzyspieszenie t czs Wykes pędkości w uchu jednostjnie pzyspieszonym zuwżymy, że pędkość v po lewej stonie wzou pełni olę zmiennej y czs t po dugiej stonie wzou pełni olę zmiennej x (czs t jest zwsze zmienną!), pozostłe wielkości v 0, - pełnią olę stłych współczynników. Zleżność pędkości od czsu jest więc funkcją liniową typu y + x, więc n wykesie v(t) jest lini post ukośn. chcąc nysowć wykes dogi od czsu w uchu jednostjnie pzyspieszonym, ez pędkości początkowej (v 0 0) kozystmy ze wzou: s dog w uchu jednostjnie s pzyspieszonym ez pędkości t początkowej s pzyspieszenie t - czs const v V 0 t Wykes dogi w uchu jednostjnie pzyspieszonym (v 0 0) zuwżymy, że zleżność dogi od czsu jest funkcją kwdtową typu yx (gdzie: y s, x t, ) więc n wykesie jest głąź poli (sens fizyczny m tylko dodtni głąź poli nie m pzecież ujemnego czsu). t Gzegoz Konś Powtók z fizyki

17 . Widomości wstępne 7 Nleży zwcć uwgę n oznczeni n osich wykesów niektóe wykesy mją tki sm ksztłt óżnią się tylko oznczenimi n osich. Pzykłd: s v t Wykes dogi w uchu jednostjnym t Wykes pędkości w uchu jednostjnie pzyspieszonym ez pędkości początkowej ) odczytywnie infomcji z wykesów Bdzo wżną umiejętnością jest odczytywnie infomcji z wykesów. Opócz postych spostzeżeń tkich jk: -czy dn wielkość mleje czy ośnie, -jką wtość m zmienn y pzy znnej wtości x, możn odczytywć cenne infomcje oliczjąc pole powiezchni figuy zwtej między linią wykesu osią poziomą (pole figuy pod linią wykesu) lu oliczjąc tngens kąt nchyleni linii wykesu (infomcje o funkcji tngens znjdziesz w ozdzile.6). Pole powiezchni figuy pod linią wykesu jest ówne wielkości, któ zleży od iloczynu wielkości (lu jej zminy) odmiezonej n osi pionowej i wielkości (lu jej zminy) odmiezonej n osi poziomej y x (lu y x). Jednostkę tk odczytnej wielkości otzymmy mnożąc jednostki wielkości n osich. + + v 0 v const t Iloczyn pędkości v i czsu t stnowi dogę s ( s v t) - więc pole powiezchni zkeskownej figuy pzestwi dogę pzeytą pzez ciło w czsie t. s t 3 Tngens kąt nchyleni linii wykesu (lu stycznej do linii wykesu) jest ówny wielkości ędącej ilozem wielkości (lu jej zminy) odmiezonej n osi pionowej i wielkości (lu jej zminy) odmiezonej n osi poziomej y/x (lu y/ x). Jednostkę tk odczytnej wielkości otzymmy dzieląc jednostki wielkości n osich. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

18 . Widomości wstępne 8 v 0 α v t Iloz (stosunek) pzyostu pędkości v do czsu t stnowi pzyspieszenie ( df v ) więc tngens kąt α t jest ówny pzyspieszeniu: tg α t Ay oliczyć tngens α zznczmy pod linią wykesu tójkąt postokątny i wtość tgα oliczmy z definicji (ozdził.6) jko stosunek pzypostokątnej npzeciwko kąt α (zmiezonej n osi pionowej) do dugiej pzypostokątnej (zmiezonej n osi poziomej). Nie musimy więc miezyć kąt α i odczytywć wtości tngens z tlic tygonometycznych. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

19 .4. Wektoy. Widomości wstępne 9 ) cechy wekto Wektoowe wielkości fizyczne (np. pędkość - v, sił - F, pzyspieszenie -, itd.) mją nstępujące cechy wekto: wtość może yć duż lu mł. N ysunkch uwzględni się ją jko długość wekto. We wzoch wtość wekto zzncz się opuszczjąc stzłkę nd symolem dnej wielkości np. v - ozncz wtość pędkości (nzywną szykością), F - ozncz wtość siły. Rzdziej wtość wielkości wektoowej zzncz się pzy pomocy symolu wtości ezwzględnej np. F - wtość pzyspieszeni. - wtość siły, F F Sił F m większą wtość niż sił F ( F > F lu F > F ). kieunek może yć poziomy, pionowy, ukośny. Kieunek wekto jest to post, n któej leży wekto lu dowoln post do niej ównoległ. v Wektoy pędkości v i v mją ten sm kieunek (poziomy). v v v Wektoy pędkości v i v mją óżne kieunki (ukośne), gdyż nie leżą n postych ównoległych. zwot może yć w lewo, w pwo, do góy, n dół. Zwot wekto jest oznczony gotem (końcem) stzłki. p p Wekto pędu p jest zwócony w pwo, wekto pędu p jest zwócony w lewo. Wektoy te mją pzeciwne zwoty. 3 Wektoy (tkie jk n powyższym ysunku), któe mją tką smą wtość, ten sm kieunek i pzeciwne zwoty to wektoy pzeciwne, co możn zpisć wzoem: p p Wektoy o pzeciwnych zwotch muszą mieć pzeciwne znki. Njczęściej pzyjmuje się umowę, że wekto zwócony w pwo jest dodtni, zwócony w lewo ujemny. Wekto zwócony do góy jest dodtni, zwócony w dół ujemny (pzez nlogię do znków wtości n osich ukłdu współzędnych). punkt pzyłożeni jest to początek wekto. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

20 . Widomości wstępne punkt pzyłożeni Wektoy pzyspieszeni i wspólny punkt pzyłożeni. mją 3 Nie nleży mylić kieunku wekto ( poziomy, pionowy, ukośny) z jego zwotem (w lewo, w pwo, do góy, n dół). ) dodwnie wektoów dodwnie wektoów o tym smym kieunku i zgodnych zwotch Wekto wypdkowy F w jest sumą wektoów F F i F. F Fw F + F Fw F F + F Długość wekto wypdkowego jest ówn sumie długości dodwnych wektoów : F w F + F. Kieunek i zwot wekto wypdkowego jest zgodny z kieunkiem i zwotem dodwnych wektoów. dodwnie wektoów o tym smym kieunku i pzeciwnych zwotch F w F F Wekto siły wypdkowej jest ównież sumą wektoów F i F. Długość wekto wypdkowego jest ówn óżnicy długości dodwnych wektoów : F F w F. Kieunek wekto wypdkowego jest zgodny z kieunkiem dodwnych wektoów. Wekto wypdkowy m zwot wekto dłuższego. dodwnie wektoów o óżnych kieunkch Wektoy o óżnych kieunkch dodje się stosując metodę ównoległooku lu metodę tójkąt. Częściej stosowną metodą jest metod ównoległooku. - dodwnie wektoów metodą ównoległooku F F Dodjemy dw wektoy siły metodą ównoległooku. w F F + F w F F F w F 4 Pzesuwmy wektoy ównolegle F (y nie zmienić ich kieunku), tk y miły wspólny początek. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

21 . Widomości wstępne F F Budujemy ównoległook ysując pozostłe oki (pzeciwległe oki muszą yć ównoległe). F F w F Rysujemy pzekątną ównoległooku (tk y wszystkie tzy wektoy miły wspólny początek) stnowi on sumę dodwnych wektoów. F w F + F Rysujemy tę pzekątną ównoległooku pzy któej wszystkie tzy wektoy mją wspólny początek (w innych pzypdkch ędzie to dłuższ pzekątn). W njczęściej spotyknych sytucjch ównoległook zmieni się n postokąt lu kwdt, wówczs długość wekto wypdkowego możn oliczyć z twiedzeni Pitgos (ozdził.6). - dodwnie wektoów metodą tójkąt Te sme wektoy siły dodjemy metodą tójkąt. F F 3 F F Pzesuwmy wektoy ównolegle, le tym zem tk, y początek jednego wekto znlzł się w końcu dugiego wekto. 4 0 F w F F Rysujemy wekto zmykjący tójkąt. Stnowi on wekto wypdkowy. F w F + F Zwot wekto wypdkowego zznczmy tk, y dw wektoy miły wspólny początek. W powyższy sposó możn łtwo dodwć większą ilość wektoów, pzesuwjąc je ównolegle tk, y początek kolejnego wekto znlzł się w końcu popzedniego. Bok zmykjący ównoległook stnowi sumę wszystkich wektoów. Tk metod dodwni wektoów nzyw się metodą wielokąt. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

22 . Widomości wstępne Zwóć uwgę, że wekto wypdkowy uzyskny w metodzie tójkąt (powyższy ysunek) jest tki sm jk wekto wypdkowy uzyskny w metodzie ównoległooku. Dodwliśmy w ou pzypdkch tkie sme wektoy. A więc wynik dodwni tych smych wektoów nie zleży od zstosownej metody. c) ozkłdnie wekto n skłdowe Dziłniem odwotnym do dodwni wektoów jest ozkłdnie wekto n skłdowe (stosujemy metodę ównoległooku, le kolejność postępowni jest odwotn). Jeden wekto zstępujemy njczęściej dwom wektomi skłdowymi. Kieunki wektoów skłdowych są dowolne wynikją one z konketnej sytucji. F F Wekto siły F ciągnącej wózek ozkłdmy n skłdowe poziomą i pionową. F Rysujemy półposte wychodzące z początku wekto wytyczjące kieunki skłdowych (w nszym pzykłdzie poziomą i pionową). Rysujemy ównoległook tk, y ozkłdny wekto ył jego pzekątną (w nszym pzykłdzie ównoległook zmienił się n postokąt). 3 F Boki ównoległooku (postokąt) wyznczją F wektoy skłdowe F i F. F Zwóć uwgę, że po dodniu wektoów skłdowych F i powotem ozkłdny wekto F. F otzymliyśmy z d) odejmownie wektoów Ay oliczyć óżnicę dwóch wektoów np. v v v k 0 odejmownie tze zmienić n dodwnie dodjąc do piewszego wekto v k wekto pzeciwny do dugiego wekto, czyli wekto : v v v v + v v 0 ( ) k 0 k 0 4 Gzegoz Konś Powtók z fizyki

23 Wektoy tójkąt. v 0 v 0 v 0 v k i v. Widomości wstępne 3 v 0 możn dodwć lo metodą ównoległooku lo metodą v 0 v 0 v 0 v 0 v k v k v k v k Odejmujemy dw wektoy pędkości: od wekto v k odejmujemy wekto v 0 oliczjąc óżnicę v v v 0. k Rysujemy wekto pzeciwny do wekto v 0, czyli wekto v 0 (pzypomnijmy, że wektoy pzeciwne mją pzeciwne zwoty, tę smą wtość i ten sm kieunek). Wektoy v k i v 0 dodmy metodą ównoległooku, pzesuwjąc je tk, y miły wspólny początek. (Możn je ównież dodć metodą tójkąt). Pzekątn ównoległooku stnowi sumę wektoów v k i v, ównocześnie 0 óżnicę wektoów v k i v 0 czyli wekto v. ( ) v v v v + v k 0 k 0 Wektoy możn ównież mnożyć i to n dw sposoy oliczjąc tzw. iloczyn sklny lu iloczyn wektoowy. e) mnożenie wektoów Iloczynem sklnym okeślony ównością: 3 wektoów i nzywmy skl, φ cosϕ 4 Gzegoz Konś Powtók z fizyki

24 . Widomości wstępne 4 Iloczyn wektoowy dwóch wektoów nstępujących cechch: - wtość wekto okeślon jest wzoem: c jest wektoem o c sinα - kieunek wekto jest postopdły do płszczyzny, w któej leżą c wektoy i - zwot wekto okeślony jest egułą śuy pwoskętnej c α c Iloczyn wektoowy nie podleg pwu pzemienności. f) nie m dzieleni wektoów. 3 Co uto mił n myśli wekto, czy tylko jego wtość? Czytjąc óżne podęczniki fizyki możesz mieć czsmi wątpliwości, czy w dnym miejscu uto ieze pod uwgę tylko wtość dnej wielkości wektoowej, czy też uwzględni inne cechy wekto. Wymienijąc jkąś wielkość fizyczną wektoową nleżłoy z kżdym zem podkeślć: czy w konketnej sytucji iezemy pod uwgę jedynie wtość mówiąc (i pisząc) np. wtość pzyspieszeni, wtość siły, wtość pędu itd. czy opócz wtości uwzględnimy też inne cechy wekto (np. kieunek, zwot) mówiąc (i pisząc) np. wekto pzyspieszeni, wekto siły, wekto pędu itd. Zsd t nie jest jednk zwsze stosown. Pzyjmiemy więc nstępującą umowę: Jeżeli pzy nzwie dnej wielkości wektoowej nie m ni słow wtość, ni słow wekto to znczy, że w tej sytucji n jest pod uwgę jedynie wtość tej wielkości. (Chy, że z kontekstu cłego zdni wynik, że chodzi też o inne cechy wekto). Gzegoz Konś Powtók z fizyki

25 . Widomości wstępne Pzykłdy zczepnięte z podęcznik fizyki dl klsy gimnzjum: )... sił wypou jest ówn ciężowi cieczy. Autozy ioą tu pod uwgę wtość siły wypou i wtość siły ciężkości. Wektoy tych sił nie są ówne, gdyż mją pzeciwne zwoty, ) Czym óżnią się dw cił, któe pod dziłniem tkiej smej siły uzyskują óżne pzyspieszeni?. Autoom chodzi o to, że sił o tkiej smej wtości dziłjąc n cił óżniące się msą, ndje im pzyspieszeni óżniące się wtością, c) Sił, z jką Ziemi pzyciąg ciło jest ówn sile, z jką ciło pzyciąg Ziemię. Siły te mją tką smą wtość. Wektoy tych sił nie są ówne, o mją pzeciwne zwoty, d) Sił i pzyspieszenie mją tki sm zwot oz kieunek. Tez z kontekstu cłego zdni wynik, że chodzi o wekto siły i wekto pzyspieszeni, gdyż jest tu mow o kieunku i zwocie. Ay uniknąć wątpliwości, czy chodzi o wekto, czy tylko o jego wtość, często ook nzwy dnej wielkości wektoowej podje się jej symol liteowy: ze stzłką nd liteą gdy chodzi o wekto. Np. n kżde ciło dził sił ciężkości Q. Stzłk nd liteą ozncz, że iezemy pod uwgę wekto siły ciężkości. ez stzłki nd liteą gdy chodzi tylko o wtość. Np.... sił ncisku jest zzwyczj ówn sile ciężkości Q. Bk stzłki nd liteą ozncz, że tez iezemy pod uwgę tylko wtość siły ciężkości. Podonie pzy oznczenich do wzoów: mg F C g - pzyspieszenie ziemskie ziemskiego. iezemy pod uwgę wekto pzyspieszeni t h g - pzyspieszenie ziemskie iezemy pod uwgę tylko wtość pzyspieszeni ziemskiego. g Gzegoz Konś Powtók z fizyki

26 . Widomości wstępne 6.. Podstwowe widomości o łędch pomiowych ) łędy pomiowe i sposoy ich zmniejszni Wielkości fizyczne, któymi zjmujemy się n lekcjch fizyki, są to cech cił lu zjwisk, któe możn zmiezyć. Kżdy pomi jkiejkolwiek wielkości jest oczony łędem. Błąd jest związny z kżdym pomiem niezleżnie od tego czy jest to pomi wykonywny pzez ns w klsie, czy też dokonywny pzez nukowców w lotoich. Oczywiście tze się stć y popełniny łąd ył jk njmniejszy. Jest kilk sposoów zmniejszni łędów pomiowych: stosownie dokłdniejszych pzyządów. N pzykłd pomi guości dokonny suwmiką jest dokłdniejszy niż pomi wykonny linijką szkolną. wielokotne miezenie tej smej wielkości i olicznie śedniej ytmetycznej. x x + x + K + x s - wtość śedni n xs x, x,k - wyniki kolejnych pomiów n licz pomiów n Poniewż ównie często uzyskny wynik pomiu jest zwyżony jki i zniżony, śedni z wielu pomiów jest oczon mniejszym łędem niż wynik pojedynczego pomiu. ( wynik stąd, że wyzncznie długości pzy pomocy zwykłej linijki też może yć dosyć dokłdne). stosownie óżnych metod pomiu tej smej wielkości. N pzykłd wtość pzyspieszeni ziemskiego możn zmiezyć podczs swoodnego spdni cił lu też pzy pomocy whdł mtemtycznego. Śedni pomiów z oydwu metod jest dokłdniejsz niż pzy zstosowniu jednej tylko metody. Błędu pomiowego nie możn wyeliminowć, możn go tylko zmniejszyć. 3 Skoo tk, to tze umieć okeślć wtość popełninego łędu, y wiedzieć czy uzyskny wynik jest dziej, czy mniej dokłdny. Mmy dw odzje łędów : Błąd ezwzględny δ x x z x δx łąd ezwzględny x z wtość zeczywist x wynik pomiu Błędem ezwzględnym δx pomiu nzywmy óżnicę między zeczywistą wtością x z wielkości miezonej wynikiem pomiu x tej wielkości (podje się zwsze wtość ezwzględną δx) Wtość łędu ezwzględnego podje się w tkich smych jednostkch jk wynik pomiu. Jk w pktyce wyznczyć łąd ezwzględny, skoo pzewżnie nie znmy zeczywistej wtości wielkości miezonej? Gzegoz Konś Powtók z fizyki

27 . Widomości wstępne 7 Wtość łędu ezwzględnego pomiu możn okeślić n dw sposoy: jko óżnicę między wynikiem pojedynczego pomiu wtością śednią z kilku pomiów, jko dokłdność pzyządu pomiowego jest to wtość njmniejszej dziłki n skli pzyządu. N pzykłd z łąd ezwzględny pomiu: - szeokości dziłki szkolnej dokonnego tśmą mieniczą pzyjmuje się δxcm, - szeokości zeszytu dokonnego Twoją linijką pzyjmuje się δx mm, - śednicy wietł dokonnego suwmiką δx 0,mm (są też suwmiki miezące z dokłdnością do 0,0mm), - guości ktki w zeszycie dokonnego śuą mikometyczną (mikomiezem) δx 0,0mm. Skl n uchomym suwku nzyw się noniuszem Suwmik Wtość wskzywn n sklch wynosi 7,mm. Zeow kesk noniusz wskzuje n gónej skli ilość cłych milimetów Kesk noniusz stnowiąc pzedłużenie jednej z kesek gónej skli wskzuje ilość dziesiętnych milimet. 3 Śu mikometyczn (mikomiez). Błąd ezwzględny nie dje infomcji o dokłdności pomiu. N pzykłd stwiedzenie, że śednicę jkiegoś koł zmiezyliśmy z dokłdnością do jednego milimet (tzn., że łąd ezwzględy wynosi: δx mm) wcle nie ozncz, że pomi ył dokłdny. Jeżeli z tką dokłdnością miezyliśmy duże koło od powozu, to pomi ył dokłdny, le jeżeli z tą dokłdnością miezyliśmy mleńkie kółko z zegk to pomi ył dzo niedokłdny. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

28 . Widomości wstępne 8 Pełną infomcję o wtości wykonnego pomiu dją łącznie: wynik pomiu i łąd ezwzględny. Dltego wyniki pomiów pzedstwi się w postci: x ± δ x. c 9979, ± 4, km / s N pzykłd wynik pomiu szykości świtł w póżni: c) łąd względny δx x δx łąd ezwzględny x wynik pomiu Błędem względnym nzywmy stosunek łędu ezwzględnego δ x do wyniku pomiu x: Błąd względny jest wielkością ezwymiową tzn.,że nie m żdnej jednostki, njczęściej jednk podje się go w pocentch uzyskując tzw. łąd pocentowy: δ x x 0%. Wynik pomiu szykości świtł w póżni możn pzedstwić ównież w postci: c 9979, km/ s± 0, 00%. Gzegoz Konś Powtók z fizyki

29 . Widomości wstępne.6 Mtemtyk n lekcjch fizyki 9 ) pzeksztłcnie wzoów Pzeksztłcnie wzoów to podstwow umiejętność niezędn pzy ozwiązywniu zdń. Czsmi spwi on uczniom wiele tudności. W ozdzile tym znjdziesz schemty pzeksztłcni wzoów njczęściej występujące w zdnich. W podnych pzykłdch x i y oznczją niewidome, ntomist litey:,, c, d, e, k stłe wspólczynniki. Ay pzeksztłcić konketny wzó spwdź, z któym z podnych niżej pzypdków msz do czynieni. Zwóć uwgę, czy we wzoze są ułmki, czy niewidom jest w liczniku, czy w minowniku, czy jest podniesion do kwdtu, czy też występuje pod piewistkiem. Pmiętj, że zwsze możesz zmienić kolejność ston ównni. (I.) Łączenie wzoów. Rozwiązując zdni często tze podstwić jeden wzó do dugiego. Poniewż większość wzoów występuje w postci ułmków (dzielenie dwóch wyżeń zznczmy pzy pomocy keski ułmkowej nie symolem dwukopk : ), podmy pzykłdy gdzie do jednego ułmk wstwimy dugi ułmek. A) x c d y x 3 Wyżenie występujące pzed c ułmkiem możn wpisć do d licznik tego ułmk. Ay uzyskć dzielenie dwóch pełnych ułmków z wyżeni twozymy ułmek dzieląc je pzez. y c c c d d d c d c d Gzegoz Konś Powtók z fizyki

30 . Widomości wstępne Ay podzielić dw ułmki, góny ułmek (znjdujący się nd główną keską ułmkową) tze pomnożyć pzez odwotność dolnego ułmk (któy znjduje się pod główną keską ułmkową): Główn kesk ułmkow jest n poziomie znku ównni:. A B C D A D A D B C B C Mnożąc dw ułmki, możn je połączyć w jeden, łącząc ich keski ułmkowe. AD BC Symol oznczjący mnożenie (kopkę) możn opuścić. B) y x x c d Z wyżeni twozymy ułmek dzieląc je pzez. d y c c c c d d d d c 3 Góny ułmek mnożymy pzez odwotność dolnego ułmk. Wykonując powyższe dziłni zwcj uwgę n położenie głównej keski ułmkowej od jej położeni zleży, któe wyżenie tze podzielić pzez y uzyskć dw ułmki. 4 Gzegoz Konś Powtók z fizyki

31 . Widomości wstępne 3 Olicznie niewidomej x : (II.) - gdy we wzoze nie m ułmków. A) B) + cx + cx cx x Zmienimy kolejność ston ównni y niewidom ył po lewej stonie. Wszystkie skłdniki, w któych nie m niewidomej pzenosimy n pwą stonę zmienijąc znk n pzeciwny. Dzielimy oie stony ównni pzez współczynnik c y po c lewej stonie zostł tylko niewidom. cx + cx cx : x x c Zmist zmienić kolejność ston ównni możn też pzenieść wyżenie z niewidomą n lewą stonę zmienijąc znk. Wszystkie skłdniki, w któych nie m niewidomej pzenosimy n pwą stonę zmienijąc znk. Dzielimy oie stony ównni pzez współczynnik c y po lewej stonie zostł tylko niewidom. 3 C) x c ( ) x c x c: x c x Jeżeli pzy niewidomej, któ jest po lewej stonie występuje znk minus mnożymy oie stony ównni pzez y się go pozyć. Dzielimy oie stony ównni pzez współczynnik y po lewej stonie zostł tylko niewidom. 4 (III.) gdy po ou stonch ównni jest ułmek. Gdy po ou stonch ównni jest ułmek njlepiej jest zstosowć mnożenie n kzyż : A C A D B C B D Gzegoz Konś Powtók z fizyki

32 A). Widomości wstępne 3 B) x xd x c d c: d c d x d c d xc xc d : c Mnożymy ównnie n kzyż y pozyć się ównocześnie ou ułmków. Dzielimy oie stony ównni pzez, y po lewej stonie pozostł tylko niewidom. Mnożymy ównnie n kzyż. d x c (IV.) gdy ułmek jest tylko n jednej stonie. d Jeżeli niewidom znjdzie się po pwej stonie ównni tze jeszcze zmienić kolejność ston. Gdy w ównniu ułmek jest tylko po jednej stonie tze się go pozyć mnożąc oie stony ównni pzez minownik. A) x c x c: c x Mnożymy oie stony ównni pzez minownik. 3 B) x c c c x Mnożymy oie stony ównni pzez minownik c. x c: c x 4 Gzegoz Konś Powtók z fizyki

33 . Widomości wstępne 33 C) c x x cx : c x c Mnożymy oie stony ównni pzez minownik x. W powyższych pzypdkch możn ównież dopowdzić ównnie do postci gdzie po ou stonch ównni są ułmki. W tym celu wyżenie po tej stonie gdzie nie m ułmk dzielimy pzez. Nstępnie niewidomą oliczmy tk jk w punkcie (III.) (V.) gdy po tej smej stonie ównni jest kilk ułmków 3 nleży ównnie dopowdzić do postci, w któej po kżdej stonie ównni jest tylko jeden ułmek. W tym celu ułmki występujące po tej smej stonie ównni tze dodć (lu odjąć). Ay dodć (lu odjąć) ułmki tze je spowdzić do wspólnego minownik. Njłtwiej wspólny minownik znjdziemy mnożąc minowniki wszystkich ułmków: A B C + D A D + B D Mnożymy licznik i minownik kżdego ułmk pzez to smo wyżenie (piewszy pzez D dugi pzez B) y ułmki uzyskły tki sm wspólny minownik. C B D B AD + CB BD Dodjąc dw ułmki o tym smym minowniku, możemy je połączyć w jeden ułmek. Kopki oznczjące mnożenie możn opuścić. Gdyy zmist dodwni yło odejmownie ułmków wszystkie plusy tze zmienić n minusy. 4 Gzegoz Konś Powtók z fizyki

34 . Widomości wstępne 34 A) d e dc + + cx ex cex cex e+ dc cex Spowdzmy ułmki do wspólnego minownik cex. ce x e+ dc : ce x e+ dc cex e + dc ce Dodjąc ułmki o tym smym minowniku łączymy je w jeden ułmek. Otzymne ównnie pzeksztłcmy dlej tk jk w pzypdku (IV).C B) x Dodjemy ułmki spowdzjąc je do wspólnego minownik. 3 x x + + Otzymne ównnie pzeksztłcmy dlej tk jk w pzypdku (III.)B. Możn też odwócić ułmki po ou stonch ównni zmienijąc licznik i minownik miejscmi. 4 Gzegoz Konś Powtók z fizyki

35 . Widomości wstępne ) wyżeni wykłdnicze W fizyce często spotykmy liczy dzo duże i dzo młe, wypisywnie ich w tdycyjny sposó wymg użyci czsmi nwet kilkunstu czy kilkudziesięciu ze. Stosownie licz zwiejących wiele ze jest dzo uciążliwe i powdzi do częstych pomyłek, dltego w tkich sytucjch lepiej jest stosowć zpis potęgowy. Potęgownie jest szczególnym pzypdkiem mnożeni, gdy wszystkie czynniki są jednkowe: Wykłdnik potęgi n K Licz potęgown (podstw) Np n - czynników N lekcjch fizyki njczęściej potęgowną liczą jest. (I.) gdy wykłdnik potęgowy jest liczą ntulną: n,,3, n K 00K0 n n- ze Wyżenie n, gdzie: n,,3,4, ozncz liczę cłkowitą, któ po jedynce m n ze. Np ( milion ) 6 ze ( milid ) 3 9 ze itd. (II.)- gdy wykłdnik potęgowy jest liczą cłkowitą ujemną n 000, K0 K 00K0 n nze nze Gzegoz Konś Powtók z fizyki

36 . Widomości wstępne 4 Wyżenie n, gdzie n,,3,4, ozncz liczę mniejszą niż jeden, któą możn zpisć w postci ułmk zwykłego, któy w liczniku m, w minowniku i n - ze. Możn ją też zpisć w postci ułmk dziesiętnego, któy pzed jedynką ównież m n ze (łącznie z jednym zeem pzed pzecinkiem). Pzykłdy: 3 000, 00 3 ze 3 ze (jedn tysięczn) 0, ze ze (jedn stutysięczn) itd. (III.)- gdy wykłdnik jest ówny zeo: n 0 np. 0 0 Dowoln licz podniesion do potęgi zeo ówn się zwsze jeden. 3 (IV.)- gdy wykłdnik jest ówny : np. Podnosząc dowolną liczę (óżną od ze) do potęgi odwotność tej liczy. otzymujemy 4 Gzegoz Konś Powtók z fizyki

37 . Widomości wstępne 4 (V.)- gdy wykłdnik jest ówny : np. Podnosząc dowolną liczę do potęgi ½ otzymujemy piewistek z tej liczy. (VI.) Podstwowe dziłni n wyżenich wykłdniczych ( ) 0 : A) m n m + n m n m+n np Mnożąc wyżeni wykłdnicze o tkiej smej podstwie dodjemy ich wykłdniki. 3 B) m n m n m n m n np. 9 ( 4) Dzieląc wyżeni wykłdnicze o tkiej smej podstwie odejmujemy ich wykłdniki Gzegoz Konś Powtók z fizyki

38 . Widomości wstępne 43 C) ( ) ( ) m n mn m n mn np. ( ) ( ) Podnosząc to smo wyżenie dwukotnie do potęgi mnożymy oydw wykłdniki. D) n c n c n c n n n n n c n n np. 3 3 Gdy wyżenie wykłdnicze występuje w ułmku, możn je pzenosić między licznikiem minownikiem zmienijąc znk pzy wykłdniku. 3 E) ( ) n n n n n n dln : 4 Gzegoz Kon ś Powtók z fizyki

39 . Widomości wstępne 44 ( + ) n n + n + + n n n ( ) Sum (lu óżnic) dwóch wyżeń podniesion do dowolnej potęgi nie jest ówn sumie (lu óżnicy) tych wyżeń podniesionych do potęgi. Piewistek z sumy (lu óżnicy) dwóch wyżeń nie jest ówny sumie (lu óżnicy) piewistków. c) podstwy geometii (I.) Pzydtne twiedzeni A) Twiedzenie Pitgos + c Sum kwdtów pzypostokątnych jest ówn kwdtowi pzeciwpostokątnej. pzypostokątn. kąt posty 90 0 c pzeciwpostokątn pzypostokątn B) Sum kątów w dowolnym tójkącie wynosi C) Równość dwóch kątów zchodzi: gdy ich mion są wzjemnymi pzedłużenimi (kąty wiezchołkowe): γ 3 α δ β α β γ δ Gzegoz Konś Powtók z fizyki

40 . Widomości wstępne 4 gdy ich mion są wzjemnie do sieie postopdłe: β α α β (II.) Pzydtne wzoy: - pole powiezchni tójkąt h wysokość S h Długość podstwy - pole powiezchni kwdtu, pole powiezchni postokąt S S 3 - pole powiezchni koł S, długość okęgu l S pomień koł π π 3,4 l π pomień okęgu π 3,4 4 Gzegoz Konś Powtók z fizyki

41 . Widomości wstępne 46 - pole powiezchni kuli, ojętość kuli S 4π V 4 π 3 3 Zpmiętj podne wyżej twiedzeni i wzoy ich znjomość jest konieczn do ozwiązywni zdń z fizyki. (III.) Wykesy podstwowych funkcji Zleżności między óżnymi wielkościmi fizycznymi są podwne nie tylko pzy pomocy wzoów, lecz dzo często są ównież ilustowne wykesmi, stąd konieczność znjomości wykesów podstwowych funkcji. A) Wykesy funkcji liniowej y y y const x const 0 x 0 ) Wykesy funkcji stłej ) x 3 4 y α y x 0 x ) Wykesy funkcji liniowej osnącej współczynnik kieunkowy postej > 0 > 0 tg α y α y x+ y x 0 x α - ) kąt nchyleni postej Gzegoz Konś Powtók z fizyki

42 . Widomości wstępne 47 ) α y 0 y x x y y x 0 x ) Wykesy funkcji liniowej mlejącej α współczynnik kieunkowy postej tgα kąt nchyleni postej B) Wykesy funkcji kwdtowej y pol > 0, > 0 y y x pol 0 y x + x x 0 x ) ) Wykesy funkcji kwdtowej pol ustwion mionmi do góy 3 y y x + x 0 x 4 Wykesy funkcji kwdtowej pol ustwion mionmi w dół Gzegoz Konś Powtók z fizyki

43 . Widomości wstępne 48 C) Wykesy piewistk kwdtowego z funkcji liniowej y y x > 0 0 x Wykesem piewistk jest połow poziomej poli. D) Wykes popocjonlności odwotnej > 0 y y x dodtni głąź hipeoli 0 x ujemn głąź hipeoli Wykesem zleżności odwotnie popocjonlnej jest hipeol. 3 E) Wykesy funkcji tygonometycznych pzedstwione są poniżej. 4 Gzegoz Konś Powtók z fizyki

44 . Widomości wstępne 49 d) podstwowe widomości z tygonometii (I.) Definicje funkcji tygonometycznych pzypostokątn. kąt posty 90 0 pzeciwpostokątn c α pzypostokątn Sinusem kąt ostego α w tójkącie postokątnym nzywmy stosunek pzypostokątnej leżącej npzeciwko kąt do pzeciwpostokątnej. Cosinusem kąt ostego α w tójkącie postokątnym nzywmy stosunek pzypostokątnej leżącej pzy tym kącie do pzeciwpostokątnej. Tngensem kąt ostego α w tójkącie postokątnym nzywmy stosunek pzypostokątnej leżącej npzeciwko kąt do dugiej pzypostokątnej. Cotngensem kąt ostego α w tójkącie postokątnym nzywmy stosunek pzypostokątnej leżącej pzy kącie do dugiej pzypostokątnej. Funkcj t nie występuje n lekcjch fizyki. sinα c cosα c tgα ctgα (II.) Pzydtne wzoy A) Związki między funkcjmi tygonometycznymi: sin α + cos α α tgα sin (Jedynk tygonometyczn) cosα α ctgα cos sinα B) Sinus podwojonego kąt α: sin α sinα cosα C) Wzoy edukcyjne (tylko te, z któymi możesz się spotkć n lekcjch fizyki): ( ( α) sin 90 0 cosα cos 90 0 sinα Gzegoz Konś Powtók z fizyki

45 . Widomości wstępne 0 D) Pzyliżeni stosowne w fizyce: Dl młych kątów (α < 6 0 ) możn pzyjąć: sinα tgα α Wtość kąt wyżon w dinch (III.) Wtości funkcji sinus i cosinus dl wynych kątów Wtości funkcji sinus i cosinus dl kątów 0 0, 0, 4 0, 60 0, 90 0 koniecznie musisz znć n pmięć, gdyż tylko te kąty występują w zdnich tekstowych. Ich zpmiętnie ułtwi Ci poniższe zestwienie: sin 0 0 sin 0 sin 4 0 sin cos 90 0 cos 60 0 cos cos 0 sin 90 0 cos 0 0 cosinus pzyjmuje te sme wtości co sinus, tylko w odwotnej kolejności Wszystkie wtości mją postć ułmków, w minownikch jest wszędzie, w licznikch piewistki z kolejnych licz: 0,,, 3, 4. Pzy pomocy powyższej teli możesz ównież uzyskć wtości funkcji tngens podstwijąc odpowiednie wtości do wzou: α tgα sin cosα np. tg sin 4 0 cos4 Gzegoz Konś Powtók z fizyki

46 (IV.). Widomości wstępne Wykesy funkcji tygonometycznych Wykes funkcji sinus Wykes funkcji cosinus N osi poziomej wtość kąt podno w dinch gdyż, jk pmiętmy, jednostką kąt płskiego w ukłdzie SI jest din. Ay stopnie kątowe zmienić n diny kozystmy z popocji: π d Pzykłdy: 80 0 π d 90 0 π/ d itd π d n 3,,,K n n Gzegoz Konś Powtók z fizyki

47 . Widomości wstępne.7. Rozwiązywnie zdń wskzówki ogólne Jeśli ozwiązywnie zdń z fizyki spwi Ci tudności postj się postępowć według podnych niżej wskzówek: ) pzeczytj uwżnie teść zdni, zwóć uwgę o jkich zjwiskch fizycznych jest tm mow, ) wypisz wszystkie dne i szukne wielkości, c) zó posty, schemtyczny ysunek, zzncz n nim wielkości, o któych jest mow w zdniu. W pzypdku skomplikownej i zwiłej teści ysunek pozwl łtwiej zozumieć zdnie i znleźć związki między óżnymi wielkościmi, d) wypisz wzoy opisujące zjwisko występujące w zdniu, w któych występują wielkości podne i szukne, e) łącząc i pzeksztłcjąc wzoy (tk jk opisno w ozdzile.6.) wypowdź wzó końcowy. We wzoze końcowym po lewej stonie jest tylko niewidom, po pwej tylko znne wielkości, f) znim podstwisz dne do wzou końcowego, zwóć uwgę n jednostki. Często tze je pzeliczyć n jednostki główne ukłdu SI (tk jk opisno w ozdzile..e), g) po ewentulnym pzeliczeniu jednostek podstw dne do wzou końcowego łącznie z jednostkmi, h) w pzypdku skomplikownych oliczeń zó njpiew dziłnie n jednostkch, wypisz sme jednostki ze wzou końcowego i kozystjąc ze związków między jednostkmi (ozdził..d) olicz jednostkę końcową. Spwdź, czy uzyskn jednostk zgdz się z oliczną niewidomą (jeśli nie w ozwiązniu jest łąd i musisz go odszukć), i) n końcu wykonj oliczeni. W pzypdku dzo dużych lu dzo młych licz wykozystj zpis potęgowy (opisny w ozdzile.6.). Zwóć uwgę czy otzymny wynik m sens i podj odpowiedź do zdni. W niektóych dziłch fizyki występują zdni, któe mją włsny, specyficzny sposó ozwiązni. Omówimy je w kolejnych ozdziłch. Gzegoz Konś Powtók z fizyki