KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO

Transkrypt

1 KINEMTYK IŁ SZTYWNEGO KINEMTYK: opis uchu cił bez wnikni w związki międz uchem jego pzczną (opis geomeczn). RUH IŁ: zjwisko zmin położeni cił w czsie względem innego cił, umownie pzjęego z nieuchome RUH JEST POJĘIEM WZGLĘDNYM UKŁD ODNIESIENI Z I E M I MEHNIK KLSYZN: uch cił odbw się z pędkościmi bdzo młmi w poównniu z pędkością świł PRZESTRZEŃ EUKLIDESOW ZS: pojęcie piewone ZS JEST NIEZLEŻNY OD MTERII I PRZESTRZENI. ZS JEST NIEODRLNY. JEDNOSTKI MIRY W KINEMTYE: me, sekund 4 Kinemk.doc 39

2 KINEMTYK PUNKTU OPIS RUHU PUNKTU W FUNKJI ZSU 1. Współzędne posokąne (kezjńskie).. Weko wodząc. 3. Nuln współzędn łukow wzdłuż ou. 4. Inn współzędne biegunowe, wlcowe, sfeczne. Nomln do ou Sczn do ou Weko pędkości PODSTWOWE POJĘI TOR PUNKTU (jekoi): lini ciągł, będąc miejscem geomecznm kolejnch położeń uchomego punku w pzeszeni. RÓWNNI RUHU PUNKTU: = () = () z = z(). pomień (weko) wodząc: = (), = () i + () j + z() k = () = () z = z(). RÓWNNIE TORU PUNKTU: ównnie kzwej ozmnej z ównń uchu po weliminowniu czsu. HWILOWOŚĆ RUHU: bdnie pmeów uchu (położenie, dog, pędkość, pzspieszenie w okeślonej chwili czsu ). 4 Kinemk.doc 4

3 MOŻLIWOŚI OPISU RUHU PUNKTU W PŁSZZYŹNIE Współzędne biegunowe n płszczźnie = cos = f 1 () = f () = sin Współzędne biegunowe w pzeszeni = f 1 () = f () = f 3 () = sin cos = sin cos z = cos Współzędne wlcowe ' = f 1 () = f () z = f 3 () = ' cos = ' sin z z Równnie uchu punku n oze s = f() =, s = s() dog 4 Kinemk.doc 41

4 Z ównnie uchu w posokąnm ukłdzie współzędnch oblicz się współzędne weko pędkości i pzspieszeni. PRĘDKOŚĆ PUNKTU PRĘDKOŚĆ = PRZYROST DROGI PRZYROST ZSU m s km h Pzos pomieni weko (dog) () 1(1) m km Pędkość śedni: s, s h d Pędkość chwilow: lim ( ) Zpis wekoow: z d d dz cos(,) z, = i + j + z k cos(, ), z cos(,z) z 4 Kinemk.doc 4

5 PRZYSPIESZENIE PUNKTU PRZYROST PRĘDKOŚI PRZYROST ZSU PRZYSPIESZENIE = m s Hodogf 1 1 ś To punku Pzspieszenie: zmin wości pędkości zmin kieunku weko pędkości O 1 1 M 1 Hodogf kzw wznczn pzez położenie końc weko pędkości ś 1 m m Pzspieszenie śednie: s s s s d Pzspieszenie chwilowe: lim () ( ) = i + j + z k z d d z d z d d d z z z cos(,) z, cos(, ) z, cos(, ) z. 4 Kinemk.doc 43

6 Opis uchu z pomocą współzędnej łukowej Nomln do ou Współzędn łukow s() Sczn do ou n hwil począkow = Pomień kzwizn To punku Równnie uchu: s = s() Śodek kzwizn Współzędn łukow: s() Weko pędkości: Weko pzspieszeni: Skłdow sczn weko pzspieszeni: Skłdow nomln weko pzspieszeni: n Weko jednoskow scznej do ou, skieown zgodnie z nsjącmi wościmi s: Weko jednoskow nomlnej do ou (nomln główn): n ds Pędkość punku: Pzspieszenie punku: n ds, n, n n d, n uch posoliniow Współzędn łukow: s () s, s s( ). 4 Kinemk.doc 44

7 Pędkość począkow PODZIŁ RUHU: RUH PUNKTU: posoliniow po okęgu (uch hmoniczn pos) dowoln (kzwoliniow RUH RYŁY: posępow oboow płski kulis ogóln Kżd z w/w uchów może bć: 1. pzspieszon niejednosjnie ( lub ). pzspieszon jednosjnie ( = cons) 3. jednosjn ( = cons) 4. opóźnion jednosjnie (- = cons) 5. opóźnion niejednosjnie (- lub -) = cons = cons, = - - = cons - [czs] 4 Kinemk.doc 45

8 RÓWNNI RUHU PROSTOLINIOWEGO Równnie uchu: = () d () () () RUH JEDNOSTJNY: = cons = d d Wunek począkow: = = 1 = = = cons 1 dog pzeb w czsie (, 1) RUH JEDNOSTJNIE PRZYSPIESZONY: d d d = cons d ( ) dog pzeb w czsie (, 1) = cons 1 1 > uch jednosjnie pzspieszon, < uch jednosjnie opóźnion. () 4 Kinemk.doc 46

9 Pędkość [m/s] Pzspieszenie [m/s ] Dog [m] Pędkość [m/s] Pzspieszenie [m/s] Dog [m] Równni uchu jednosjnie pzspieszonego: Dog: Pędkość: Pzspieszenie: = cons Wkes uchu punku meilnego pzedswiono z pomocą pogmu Ecel. = [m] = [m/s] = 1 [m/s ] [s] Dog Pędkość Pzspieszenie, 1 1, , , , 6 1 5, , , , , , 1 1 WYKRESU RUHU JEDNOSTJNIE PRZYSPIESZONEGO 8, 7, 6, 5, 4, 3,, 1, Wkes dogi, zs [s] Wkes pędkości [m/s] Wkes pzspieszeń [m/s] 14 1, zs [s] 1,8,6,4, zs [s] = [m] = - [m/s] = 1 [m/s ] [s] Dog Pędkość Pzspieszenie, , , 1 3-1, , 1 5, , , , 6 1 9, , 8 1 Wkes dogi 35, 3, 5,, 15, 1, 5,, -5, zs [s] 1 Wkes pędkości [m/s] 1, Wkes pzspieszeń [m/s ] zs [s] 1,8,6,4, zs [s] 4 Kinemk.doc 47

10 Pędkość [m/s] Pzspieszenie [m/s ] Dog [m] Pędkość [m/s] Pzspieszenie [m/s ] Dog [m] = [m] = [m/s] = -1 [m/s ] [s] Dog Pędkość Pzspieszenie, ,5 1-1, , , , , , , , , -8-1 Wkes dogi 5,, -5, -1, -15, -, -5, -3, -35, zs [s] 1 Wkes pędkości [m/s] Wkes pędkości [m/s] zs [s] -, -,4 -,6 -,8-1 -1, zs [s] = 5 [m] = - [m/s] = -1 [m/s ] [s] Dog Pędkość Pzspieszenie 5, , , , , , , , , , , -1-1 Wkes dogi 6, 5, 4, 3,, 1,, -1, -, -3, zs [s] - Wkes pędkości [m/s] -, Wkes pędkości [m/s] zs [s] -,4 -,6 -,8-1 -1, zs [s] 4 Kinemk.doc 48

11 RUH KRZYWOLINIOWY RÓWNNIE RUHU: s s lim s = s() ds weko jednoskow scznej do ou, skieown zgodnie z nsjącmi wościmi s n weko jednoskow nomlnej głównej PRĘDKOŚĆ PUNKTU: ds d ds () () (z) d z dz z WSPÓŁRZĘDN ŁUKOW DL DNEJ PRĘDKOŚI (): ds ds s = s() w chwili = s () PRZYSPIESZENIE PUNKTU: d d d nn s Pochodn funkcji wekoowej zmiennej sklnej (czs) PRZYSPIESZENIE STYZNE: n d PRZYSPIESZENIE DOŚRODKOWE: n Ruch posoliniow n = z ( ) ( ) (z) () () (z). 4 Kinemk.doc 49

12 Y RUH PUNKTU PO OKRĘGU n X Pme punku : pędkość liniow, sczn do ou n pzspieszenie dośodkowe (nomlne) pzspieszenie sczne - pzspieszenie wpdkowe Równnie uchu: s = f(), dog: s = s = () Pędkość punku po okęgu: Pędkość kąow: ds d d d s n n Pędkość kąow w funkcji oboów n [ob/min]: 6 3 Pzspieszeni w uchu po okęgu dl = = cons: d d d, 1 s pzspieszenie kąowe 4 n, n. RUH HRMONIZNY PROSTY Punk M uch jednosjn po okęgu dnie uchu punku M zuu punku M n oś X Ruch punku M uch posoliniow po oze X. Równnie uchu M w czsie, liczonm od = (punk w położeniu ): = R cos(φ +φ ) = R cos( + φ ). Jes o ównnie uchu hmonicznego posego. 4 Kinemk.doc 5

13 Pędkość uchu hmonicznego posego: d R sin( ). Pzspieszenie uchu hmonicznego posego: d d R ω cos(ω ) ω Wkes dogi, pędkości i pzspieszeni:. Ruch punku M jes uchem okesowm. Ruch, w kóm nsępuje okesow zmin współzędnej w zkesie od +R do R nzw się uchem dgjącm. Punk wokół kóego odbwją się dgni śodek dgń. mpliud dgń njwiększ odległość punku od śodk dgń (uj: R). Okes dgń pzedził czsu T, w kóm punk wchodząc z punku M wc do niego. Fz dgń ką φ =. Słą okeśljąc zmin fz w jednosce czsu częsość kąow (kołow) dgń. T. Ruch hmoniczn pos jes uchem niejednosjnie zmiennm. 4 Kinemk.doc 51

14 Wzo n uch po oze i n uch oboow pomieni wodzącego O 4 Kinemk.doc 5

15 RUH KRZYWOLINIOWY ZE STŁYM PRZYSPIESZENIEM (zu ukośn) cons ( ) Wunki bzegowe: ( ) ) () cos ) () sin ( 1 3 Słe cłkowni: cos Równni uchu: ( ( Równnie ou (pbol): ( 4 cos) sin) sin ( )g ( ) cos 4 Kinemk.doc 53

16 [m] Pzpdki szczególne: zu ukośn (poziom) zu pionow Pzkłd zuu ukośnego pzedswion z pomocą pogmu Ecel: RZUT UKOŚNY DNE WEJŚIOWE: pędkość począkow = ką zuu m/s; pzspieszenie = 9,81 m/s 45 =, d, 1,9 4 3,68 6 5,7 8 6,7 1 7,97 1 9,8 14 1,3 16 1, ,43 11,89 1,19 4 1,33 6 1,3 8 1, , ,4 34 1, , ,73 4 7,57 4 6,5 44 4, , ,3 5 -,67 14, 1, 1, 8, 6, 4,,, RZUT UKOŚNY [m] 4 Kinemk.doc 54

17 4 Kinemk.doc 55 KINEMTYK IŁ SZTYWNEGO RUH POSTĘPOWY RUH OROTOWY RUH PŁSKI RUH KULISTY RUH ŚRUOWY IŁO SZTYWNE W PRZESTRZENI () () () Z wunku b 3 punk nie leżł n jednej posej: d c b d ) z (z ) ( ) ( c ) z (z ) ( ) ( b ) z (z ) ( ) (,,,,,, z,, współzędne punków,, (9) Więz: 3 ównni (b, c, d = cons) IŁO SZTYWNE W PRZESTRZENI M 6 STOPNI SWOODY (9 3 = 6)

18 RUH POSTĘPOWY W uchu posępowm wszskie punk cił pouszją się po idencznch och, w kżdej chwili posidją kie sme pędkości i pzspieszeni (wość, kieunek i zwo). Dl nliz uchu posępowego wscz okeślenie uchu jednego punku cił. Pzkłd uchu posępowego Inne pzkłd: uch łok w clindze, uch klki dźwigu, nieuchomo siedząc psże uobusu (pociągu). 4 Kinemk.doc 56

19 RUH OROTOWY W uchu oboowm dw punk szwno związne z ciłem pozosją nieuchome wznczjąc nieuchomą oś obou cił. 1 1 n Rozkłd pędkości i pzspieszeń w płszczźnie posopdłej do osi obou cił. Dl punku : ównnie uchu: s () Pędkość punku: ds d (). Pędkość kąow: d Pzspieszenie sczne: Pzspieszenie kąowe: Pzspieszenie dośodkowe: Pzspieszenie wpdkowe: d s n n. 6 3 d d. d d. s n (Poównj uch punku po okęgu) 4 4 Kinemk.doc 57

20 RUH PŁSKI nliz uchu płskiego spowdz się do bdni uchu jednego pzekoju cił, będącego figu płską. Dowolne pzemieszczeni figu płskiej może bć dokonne z pomocą obou wokół punku zwnego chwilowm śodkiem obou. RUH PŁSKI JKO HWILOWY RUH OROTOWY 4 Kinemk.doc 58

21 TWIERDZENIE O RZUTH PRĘDKOŚI Rzu pędkości dwóch punków i cił szwnego n posą łączącą e punk są sobie ówne. Z Z Z W kżdej chwili zu pędkości n posą ówn się zuowi pędkości n ą posą. cos cos Z Z Pzkłd uchu płskiego 4 Kinemk.doc 59

22 TOZENIE SIĘ KOŁ PO LINII POZIOMEJ EZ POŚLIZGU Koło (cz) o pomieniu ocz się bez poślizgu po poziomej linii. Śodek koł jes w uchu jednosjnm, punk sku jes chwilowm śodkiem obou. Dl dnej pędkości () ozmuje się: d () (), () (), () () Dl znnch funkcji ω() oz ε() ozmuje się: () (), () (). (). 1 () () 3 () () Tz pzpdki oczeni się kążk bez poślizgu: 1. Ruch jednosjn (s. 1): ( ) cons, (),. Ruch jednosjnie pzspieszon (s. ):.,. ( ), () cons, 3. Ruch jednosjnie opóźnion (s. 3): ( ),. ( ) ( ), () cons, Pędkości punków n obwodzie koł wzncz się meodą supepozcji (wznczjąc skłdową posępową weko ) lub meodą chwilowego śodk obou. Pzspieszeni wzncz się meodą supepozcji (skłdow posępow weko ). W pzpdku oczeni się koł z poślizgiem, w punkcie sku koł z linią poziom nleż uwzględnić pędkość poślizgu. Powoduje o zminę położeni chwilowego śodk obou. 4 Kinemk.doc 6

23 RUH PŁSKI SKŁD SIĘ Z HWILOWEGO RUHU POSTĘ- POWEGO ORZ HWILOWEGO RUHU OROTOWEGO Pędkość dowolnego punku Pędkość punku względem biegun (pędkość uchu oboowego) O O hwilow pędkość kąow względem biegun Pzspieszenie punku O O Pędkość biegun (pędkość uchu posępowego) d = cons Pzspieszenie biegun O O O Pzspieszenie w chwilowm uchu oboowm wokół biegun n O Pzspieszenie sczne Pzspieszenie nomlne łkowie pzspieszenie punku : n O O O 4 Kinemk.doc 61

24 RUH ZŁOŻONY PUNKTU OXYZ nieuchom ukłd osi współzędnch O X Y Z uchom ukłd osi współzędnch Ruch bezwzględn punku względem OXYZ: Ruch względn punku względem O X Y Z : Ruch unoszeni punku ukłdu uchomego O X Y Z względem nieuchomego OXYZ: V Pędkość bezwzględn punku w uchu złożonm jes wpdkową pędkości unoszeni V u i pędkości względnej V w. Pędkość względn Pzspieszenie względne V V w V u Pzspieszenie w uchu złożonm: w u Pzspieszenie oiolis dokowe pzspieszenie, wnikjące z jednoczesności uchu względnego i uchu unoszeni. Pzspieszenie oiolis = w uchu unoszeni posoliniowm oz gd weko jes ównoległ do weko w. Pzspieszenie unoszeni u V V w Pędkość unoszeni Pzspieszenie oiolis 4 Kinemk.doc 6