Równania różniczkowe cząstkowe

Transkrypt

1 Meod ecze Wkład Rówaa óżczkowe cząskowe d hab. Po Foczak

2 Rówaa óżczkowe cząskowe RRC lczba zech F ząd ówaa: ząd awższe pochode 3 3 b chaakeska: lowe qas-lowe elowe

3 C B A F E D C B A b c b a : : : : : : : : : : Nelowe lowe Qas Lowe c b a Nelowe lowe Qas Lowe b c b a

4 Skp sę a RRC co awże dgego zęd apoplaesze w fzce Ogóla posać RRC dgego zęd B -AC Kaegoa Pzkład < elpcze Rówae Laplace a = paabolcze Rówae pzewodcwa cepła > hpebolcze Rówae falowe T T k T T c G C B A G C B A

5 Mowaca dla ake klasfkac elpcze C paabolcze C hpebolcze C ; ; Napossze ozwązaa: Róweż dla badze skoplkowach ówań lokale własośc ozwązae zależą od zak ważea B -AC. elpsa C paabola C hpebola C ; ; Zagadka: Skaegoz ówae Schodgea. C

6 Zakłada h = h = h [saka kwadaowa] = +h +h = ++ h ' ' h h Elpcze RRC - dwwaowe zagadee bzegowe Rówae Laplace a ' ' h '' '' h h

7 Sąc waz wzacza : 3 = = = = Pzkład: saka Pze począkowe pzblżee 3 Kozsa z eod eace Jacobego lb Gassa-Sedla szbsza zbeżość

8 Kozsaąc z eod dokładch p. dekopozca LU s łożć acez o ozaze low. Wosek: Ms wpowadzć deksowae ówań odpowadaącch pko dwwaowe sak : f Pzkład: ówae Possoa f h... P P a pzkład wesza P P P P P P P f h poecał gęsość ładk

9 h P P P P P f P Pzkład: Powezcha poecał pz losowo ozeszczoe gęsośc ładk

10 Paabolcze hpebolcze RRC Bezwaowe ówae pzewodcwa cepła z wake począkow dla = L g gdze L = szeokość dzedz ozwązań. b L a gdze a b są fkca ede czas a g zależ ede od położea. Wak bzegowe:

11 Dskezaca pzesze ozwązań czas deks pzeszeń deks Położee w węźle w chwl :

12 Zaeaąc pochode a óżce oze z błęde O z błęde O. Dale paszczaąc

13 Zae zdskezowae ówae a posać Defąc = / oze schea aw Elea: - pk względa pz oblcza óżc czasowe - pk względa pz oblcza óżc pzeszee

14 Algo schea awego // a + węzłów pzeszech sak // waek bzegow [] = [] =.; // waek począkow fo =; <; ++ { = *d; [] = fc; }; // pęla czasowa fo =; <=seps; ++ fo =; <; ++ ew[] = *[-] + -**[] + *[+]; ew; Poble: waek sablośc schea Czl eśl podzel doeę [] a so podpzedzałów =. o 5-5.

15 Aalza sablośc Rozważ schea aw dla ówaa cepła: Zae asz schea a posać: Nech D będze dokład ozwązae ówaa. Nech N będze ecz ozwązae ówaa. Zae błąd schea N D Napsz ówae sablośc eod ecze kóe opsze ewolcę błęd w akce oblczaa kolech koków czasowch. sablość eośe esablość ośe

16 Rówae sablośc będze badać za poocą aalz Foea eoda vo Neaa. Rozwązae ecze oże zapsać ako N = D + ε 3 Podsawaąc 3 do oze D D D D D D D D D D Poeważ z ówaa D D D D D

17 Zae ε Rozważ ozkład błęd w pew kok czasow. Błąd ε oża zapsać w posac szeeg Foea: : s cos 5 falowa lczba k k k k k e e b Czl ówae a błąd es ake sae ak ówae a fkcę.

18 Poeważ ówae óżcowe a błąd es lowe zachowae każdego waz szeeg es podobe do zachowaa całego szeeg. Zae wsacz ozważć wzos błęd powego waz b e k 6 Czasową zależość błęd względ pząc że aplda błęd b es fkcą czas. Poeważ błąd ośe lb alee zwkle wkładczo z czase oże zapsać e gdze k es zeczwse ale a oże bć zespoloe. Podsawaąc 7 do oze e a a e k k a k a k a k a k e e e 7 e e e e e e 8 gdze

19 e a e e e e e e 8 k a k a k a k a k e e e Dzeląc 8 obsoe pzez e a e k e a k k e e 9 Kozsaąc z zależośc oze gdze Kozsaąc z zależośc oze e cos e a e cos s e a k cos s

20 Defe współczk wzocea błęd G Oczeke b błąd e aasał z kok a kok G Zae a k e e a e s

21 s s s s s s Waek zbeżośc schea awego

22 G kok czasow wkładk poęg Pzpo sobe że współczk wzocea błęd G G Czl: Zwóć wagę że asz schea aw N N N G oże pzedsawć w posac ówaa acezowego Rówae włase z waośca włas G

23 Zae a kład ówań eowach G Meoda Jacobego Pzpoee z wkład 3 Jako ozwązae począkowe obea sę dowol weko p. weko zeow oblcza sę kolee eace: Kolee pzblżea wozą cąg wekoów. Jeżel see gaca ego cąg wed es oa ozwązae kład ówań lowch. Cąg wekoów s bć zae cąge zbeż. Tw. Cąg okeślo wzoe * pz dowol wekoze es zbeż wed lko wed gd <. poeń spekal acez = a waośc włase acez.

24 Twedzee powższe ów a że ab asz schea e bł ozbeż o wszske waośc włase G szą leżeć a płaszczźe zespoloe bo G ogą bć zespoloe wewąz okęg o poe. W asz pzpadk waośc G bł zeczwse węc weź cekawsz pzpadek: Uwaga: sablość każdego poble ehoogeczego Zasos schea: p p p p f bada paszczaąc ówae do posac hoogecze. óżca zwkła óżca wsecza Zasępąc Paęaąc że oaz że p p p p G e k

25 oze G e p k p k p k G e G e G e p k Dzeląc obsoe pzez G p e k p p p p G e k G k k e e e Wosek: schea es esabl dla każdego.

26 Żcow pzkład =; dh=./; d=.*dh; fo=;<=;++ { X=doble/; [][]=.*ep-*x-.5*x-.5; [][]=.*ep-*x-.5-d*x-.5-d; }; Jede kok czasow: = Wak począkowe fo=;<=;++ { L=-; P=+; Wak bzegowe peodcze f== L=; f== P=; [][]=[P][]-*[][]+[L][]*d*d/dh/dh+*[][]-[][]; }; fo=;<=;++ { [][]=[][]; [][]=[][]; };..5..5

27 Moża oblczć waek sablośc dla podaego schea ale e es poso G Czl a ówae kwadaowe. s G

28 Schea eaw Elea - pk względa pz oblcza óżc czasowe - pk względa pz oblcza óżc pzeszee Schea aw Schea eaw Wóć do ówaa cepła Bło: Teaz:

29 3 3 Zae a kład ówań z acezą ódagoalą. kó s ozwązać w każd kok czasow.

30 Sablość schea eawego Posępąc aalogcze do popzedch pzpadków pze po pa pzekszałceach G s k co dae ogaczee a G: G co es spełoe dla dowolego oczwśce wększego od zea. Zae schea eaw es zawsze sabl.

31 Schea Caka-Ncholsoa Może wobazć sobe badze ogól schea: gdze. Pz = ½. Pewsza pochoda czasowa ako óżca ceala w l+/ l l Dga pochoda pzeszea ako óżca ceala ważoa l l l l l l

32 Po pa pzekszałceach l l l l l l A zae zow a kład ówań z acezą ódagoalą. Moża pokazać że kład es zawsze sabl. s G s / / Pzewaga ad scheae eaw błąd O zaas O. Poówae scheaów:

33 = + ε V V = F = V = V + V ε + V ε ε = Cε ε~e C