Całka krzywoliniowa nieskierowana (całka krzywoliniowa funkcji skalarnej)

Transkrypt

1 WYŁAD : CAŁI RZYWOLINIOWE Nech - krwa w R : gde [ α β ] ora C [ α β]. Zaem dowol puk krwej moża predsawć w posac j k krwa adaa jes pre wekor parameracj r : r j k. Decja Jeśl krwa e ma puków welokroch. gd speło jes waruek r r o awam ją łukem wkłm. Łuk wkł jes łukem skerowam gd określo jes wro ego łuku. uporądkowae puków łuku odpowadające wrosow parameru. Zmaa parameru a precw daje łuk r β precwe skerowa : Podsawam u : u : u gde u [ β α ] rα u Decja Jeśl jedm pukem welokrom krwej jes puk pocąkow końcow. jeśl w łuku wkłm dopuścm r α r β o krwą awam krwą amkęą wkłą. Decja rwa wkła amkęa awara w R del płascę a dwa obsar: węre. obsar ograco krwą ewęre obsar a ewąr krwej. Jeśl w case obegu po krwej amkęej węre ajduje sę po sroe lewej o krwą awam oreowaą dodao oacam. Jeśl w case obegu po krwej amkęej węre ajduje sę po sroe prawej o krwą awam oreowaą ujeme oacam. Decja Puk r krwej gde [ α ] awam pukem osoblwm krwej gd β erują sę pochode dla dowolej parameracj ej krwej.

2 Decja jes krwą gładką C [ α β ] e ma puków welokroch e ma puków osoblwch. > [ α β ] ażda krwa kórą moża podelć a skońcoą lcbę krwch gładkch jes awaa krwą odckam gładką lub krwą regularą. Całka krwolowa eskerowaa całka krwolowa ukcj skalarej Nech krwa regulara w R r β pole skalare : R C M s Wed krwą delm a cęśc o długoścach s... w każdej krwch cąskowch wberam po jedm pukce M worm sumę σ M Decja Jeśl pr s ma s seje graca lm σ eależa od sposobu... podału krwej od wboru puku M o gracę ę awam całką krwolową eskerowaą oacam ds. Uwaga Gd mem wro krwej a precw pr m samm podale krwej ch samch wbrach pukach o e meą sę sum σ a aem e me sę całka krwolowa eskerowaa ds ds. Twerdee o amae całk krwolowej eskerowaej a całkę oacoą Jeżel krwa regulara C o r α

3 d ds β α. Prkład Oblcć całkę ds I gde : s cos dla. Ocwśce krwa jes regulara ora C. Zaem moża asosować werdee o amae całk krwolowej a całkę oacoą. cos s Sąd s cos s cos s s cos d d I Uwaga. Jeśl krwa leż w płascźe OXY OXY : gde ] [ β α ora C o d ds β α.. Jeśl krwa leż w płascźe OXY adaa jes w sposób jaw. ] [ dla b a o możem sparamerować: : ] [ gde b a

4 wed ds b a d. Prkład Oblcć Fukcja Oblcam ds gde :. dla [ ] określa krwą. korsam uwag. I d d Ierpreacja geomerca całk krwolowej ekerowaej. Nech a. Wed ds - długość krwej.. Nech krwa płaska OXY C Wed >. ds - pole cęśc powerch walcowej ajdujące sę pod wkresem ukcj. Ierpreacja ca całk krwolowej eskerowaej. Jeśl ρ - gęsość lowa mas romescoej wdłuż krwej o ρ ds - masa krwej. Jeśl d ukcja określającą odległość puku krwej od pewej prosej o d ρds - mome bewładośc krwej wględem ej prosej. Uwaga Nech... gde krwa regulara dla. Wed deujem ds : ds.

5 Sereg Fourera Sormułowae agadea Dęk seregom Fourera moża rowjać ukcje w eskońcoe sum wraów seregu rgoomercego o posac a a cos b s Wacae współcków seregu Jak wacć współck? Służ emu meoda Eulera-Fourera. Spróbujm maowce scałkować obusroe wżej wmeoe wrażee od do. Nerudo auważć że różce s s ora cos cos. Poosaje węc po podeleu pre ck ajdując sę pr a wór : a d współck a m waca sę asępująco: cos md a cos md [a cos cos md b ] s cos md w rówau m ck pr a wos ero. Iloc s cos robjam a sumę s cos m [s m s m] W m momece jeśl podsawm m o całk sę łade redukują poosae jede a cos d gdż esa wraów sum jes erowa dla m. Podobe posępuje sę dla wacea b. Rob sę o możąc podsawowe rówae pre s posępując dalej podobe jak u. Osaece Uwaga: a wkłade oblcao współck a!

6 b Fukcje parse eparse s d W wpadku gd ukcja jes parsa lub eparsa roparwać ależ e cał predał lec lko predał. Wąże sę m koecość pomożea pre dwa uskwach współcków a b. Poado gd ukcja jes parsa współck b jes awse rów ero a gd jes eparsa o a jes sale rówe ero. Ogóle dla parsej ukcj wor wglądają ak: a A dla ukcj eparsej a 7 cos d b 8 a a 9 b s d Wuale moża sobe o w marę ławo skojarć akem że pr ukcj eparsej kóra jes w ksałce susa oblcam współck susowe a pr ukcj parsej kóra jes w ksałce cosusa oblcam współck cosusowe. Rowjae ukcj o okrese różm od Ab ego dokoać reba rocągąć okres a eresując as predał. W prakce ebęde modkacje wglądają asępująco: a l b l a l l l l l l l cos d l s d l