L. Dymowa, P. Sewastinow

Transkrypt

1 L Dymowa, P Sewastnow METODOLOGIA ROZWIZYWANIA POWIZANYCH PROBLEMÓW MODELOWANIA, IDENTYFIKACJI I WIELOKRYTERIALNEJ OPTYMALIZACJI W ZARZDZANUI JAKOCI PROCESÓW METALURGICZNYCH WROWADZENIE Nowoczesna metalurga rozwja s w kerunku uruchamena mn-hut W padzernku 98 r uruchomona została mn-huta (BMZ) w łobne (Bałoru), zbudowana przez frm Frst-Alpne (Austra) W artykule zostały przedstawone uogólnone wynk bada naukowych w tej huce w zakrese problemów zarzdzana jakoc Wkrótce po uruchomenu huty powstały problemy zwzane z gwałtownym wzrostem loc potrzebnych dla przemysowosc gatunków stal, stotne nn struktur złomu (ne było w nm, na przykład, alumnowych puszek po pwe) td Przez kerownctwo huty było postawone zadane osgnca watowego pozomu jakoc produkcj przy dopuszczalnych stratach W podobnych warunkach problem zarzdzana jakoca zamena s w zagadnene optymalzacj welokryteralnej Wysok pozom automatyzacj umolwł rozwzane tych mnóstwa nnych problemów jako zagadne optymalzacj procesów technologcznych z uwzgldnenem całoc kryterów ograncze oraz zapewnenu reymów optymalnych za pomoc systemów sterowana lokalnych globalnych Przy formułowanu zagadne optymalzacj powstały tradycyjne problemy, zwzane z ch nepwnoc welokryteralnoc Perwsza grupa problemów to bezporedno problemy optymalzacj Mdzy nnym: Róne typy jednostk parametrów jakoc, tzn nezbdno jednoczesnego rozpatrywana, np wymarów blachy temperatury jej powerzchn Jednoczesne stnene parametrów locowych jakocowych Nerównowano kryterów lokalnych, uywanych w kryterum globalnym Weloekstremalno kryterum globalnego Czsto krytera lokalne s w stosunkach antagonstycznych, tzn ulepszene jakego kryterum lokalnego powoduje automatyczne pogorszene nnego kryterum lokalnego Druga grupa problemów zwzana jest z otrzymanem adekwatnych model matematycznych przydatnych do uywana ch w optymalzacj Modele mog by zbudowane bezposredno przez analz statystyczn danych eksperymentu W wkszoc przypadków podobne modele wystpuj w postac lnowych oraz nelnowych równa regresyjnych welu zmennych W tych przypadkach, gdy otrzymane wystarczajcej lczby danych eksperymentalnych ne jest molwe, wykorzystywano modele fenomenologczne ceplnych deformacyjnych procesów, na podstawe znanych zasad fzyk, chem mechank Dla zapewnena wystarczajcej dokładnoc podobnych model nezbdna jest ch dentyfkacja parametryczna, tzn poszukwane newadomych wartoc parametrów model, które zapewnłyby mnmalne z molwych odchyle danych wylczonych od eksperymentalnych Warto zauway, e pod wzgldem matematycznym zagadnena dentyfkacj s praktyczne ekwwalentne zagadnenom optymalzacj Ponewa bezporedne wykorzystywane model takego rodzaju w celach optymalzacj ne jest efektywne ze wzgldu na nedopuszcalne straty czasu pracy komputera, po dentyfkacj modele wykorzystywano w eksperymentach numerycznych w celu otrzymana zalenoc regresyjnych, lczcych zmenne zalene (parametry jakoc) ze zmennym nezalenym (parametry sterujce) Dlatego e w eksperymentach numerycznych ne jestemy ogranczen molwocam narzdz pomarowych oraz kosztam organzacj prowadzena

2 eksperymentów w pracujcym zakładze, bez powanych problemów mozna otrzyma zalenoc regresyjne dowolnej potrzebnej dokładnoc w stosunku do perwotnych model fenomenologcznych Nasze doswadczene wskazuje na to, e sukces rozwzywana problemu jakoc zdecydowane zaley od sposobu formalzowana kryterum globalnego jakoc w warunkach w/w trudnoc Dlatego najperw rozpatrzymy nektóre najwanejsze dla praktyk problemy formalzacj zagadnena optymalzacj, po czym zlustrujemy efektowno opracowanej przez nas metodyk na dwóch konkretnych przykładach: optymalzacj procesu obróbk ceplnej drutu zbrojenowego po walcowanu optymalzacj procesu nagrzewana stal w pecu przejcowym PROBLEMY FORMUŁOWANIA KRYTERIUM GŁOBALNEGO JAKOCI PROCESÓW Charakterystyczn cech wkszoc rzeczywstych procesów jest cgło zmany parametrów, okrelajcych kryterum optymalzacj W takch warunkach przestrze alternatyw jest w zasadze neskoczona, zadana take zwykle rozpatruje s za pomoc formułowana w ten lub nny sposób pewnych agregacj kryterum lokalnych oraz ograncze w kryterum globalne, ekstremum którego dostarcza poszukwane optmum Wadomo, e procedura agregacj ne moe by do koca sformalzowana zawsze zaley od specyfk zadana, celów, dowadczena ntucj To nasuwa oczywsty wnosek, e jednym z wanejszych problemów jest włane sformułowane globalnego kryterum jakoc zarówno dla równowanych nerównowanych kryterów lokalnych ograncze Obecne czsto stosuje s opracowane ju metody, pozwalajce agregowa krytera lokalne w pewne uogólnone kryterum globalne Powstaje jednak zasadncze pytane, która z metod jest najskutecznejsza, której metodze mona najbardzej zaufa werzy w jej rezultaty W pracy porównano metody agregacj oraz przedstawono sytuacje, w których mona zaufa tej lub nnej metodze Formułowane zadana podejmowana decyzj Przed porównanem metod agregacj naley przypomne, na czym polegaj zwykle metody optymalzowanego podejmowana decyzj Formułowane zadana polega, wc na wyborze pewnego zestawu kryterów lokalnych µ (=,,n) Krytera te mog by przedstawane zarówno w postac locowej, jak jakocowej (w forme słownych opsów) Pownny one charakteryzowa najwanejsze dla nas cechy obektów, które bdzemy porównywa Dla kryterów tych tworzymy nastpne odpowedne funkcje przynalenoc, które opsuj nam ch uyteczno Przyjmuj one wartoc od 0 w przedzale nekorzystnym a do w przedzale wartoc najbardzej korzystnych z punktu wdzena danego parametru W przypadku kryterów nerównowanych porównujemy wano kadej pary kryterów, wypełnajc w ten sposób macerz parzystych porówna, na podstawe której wylczamy stopne wanoc (rang) W (=,,m) Posadajc take dane wejcowe (okrelajce wszystke parametry kadego porównywanego obektu) dla naszego problemu, moemy przej do agregacj kryterów Agregowane kryterów równowanych Wadomo, e odmenne waranty agregacj kryterów powoduj bardzo róne kocowe rezultaty, co wadczy o domnujcej wanoc etapu formułowana kryterum globalnego Oczywstym jest take, e w nektórych zadanach optymalzacyjnych ne jest obowzkowe

3 bra pod uwag wano kryterów Dzeje s tak, gdy nekedy wszystke krytera lokalne maj tak sam wano dla osoby lub osób podejmujcych decyzje Sformułujmy zadane nastpujco: nech na cgłym zborze alternatyw X zadane s równowane lokalne krytera A B przedstawone odpowednm funkcjam uytecznoc µ (), µ (),,majcym maksma w odpowednch punktach Przy tym spełnone s warunk: µ ( ) > µ ( ), µ ( ) > µ ( ) () Wtedy w punkce optmum bdze otrzymane maksmum funkcj µ () = mn (µ (), µ ()), () Interpretacj grafczn otrzymanych wynków przedstawono na rysunku Rysunek Sposoby agregowana lokalnych kryterów równowanych I - µ (); II - µ (); - µ () = µ () µ (); - µ () = 0µ () 0 µ (); - µ () = ma(0, µ () µ () ); punkt optmum dla warantów,, ; punkt optmum dla przecca µ () = mn(µ (), µ ()) Na rysunku jest wdoczne, e funkcja µ () w postac () moe by traktowana jako funkcja przynalenoc zboru C, kreowanego przeccem zborów A B przedstawonych funkcjam przynalenoc (uytecznoc) µ (), µ (), tj = Wdoczne jest, e w punkce optmum realzuje s maksmum przecca kryterów lokalnych Nespełnene warunków () moe prowadz do sytuacj, kedy maksmum funkcj µ () ne znajduje s w adnym punkce przecca krzywych µ (), µ (), co jest pokazane na rysunku

4 Rysunek Przecce kryterów lokalnych przy nespełnenu warunków (): I - µ (); II - µ () W ostatnm przypadku zapewnone jest tylko zapotrzebowane maksymalnego spełnena wymaga kryterów lokalnych bez ch równowartoc w punkce optmum Takego rodzaju sytuacje s typowe dla welu zada, w których funkcje uytecznoc otrzymane nebezporedne np µ() = µ(f()), mog zachowywa s nemonotonczne, me klka ekstremów Z udowodnonego przez Sevastanov Tumanov (990) teorematu wynka, e agregowane kryterów lokalnych typu () gwarantuje spełnene wszystkch sformułowanych wymaga co do optymalnoc rezultatów Warto podkrel, e w rozpatrywanym najprostszym przypadku tylko agregowane () zapewna otrzymane optmum odpowadajcego tym zapotrzebowanom Ostatne stwerdzene lustrowane jest na rysunku, gdze wdoczne jest, e najczcej uywane sposoby agregowana kryterów lokalnych dostarczaj punkty ekstremum w duej odległoc od rzeczywstego optmum Rozpatrzmy jeszcze jedn wan cech agregacj typu () Jeel nterpretowa funkcj µ () jako funkcje przynalenoc zboru =, tj przecca zborów A B traktowa optmum jako punkt posadajcy najwkszy stope przynalenoc do przestrzen przecca kryterów lokalnych, wtedy jedynym tylko uzasadnonym sposobem formułowana przecca zborów A B naley uzna wyraene () Rzeczywce w przypadku asymptotycznym = naturalne jest wymagane =, co jest równoznaczne z µ () = µ (), tj pownna by spełnona zasada dempotentnoc Łatwo udowodn, e an addytywny, an multplkatywny lub jak nny sposób przecca zborów rozmytych, zawerajcy operacje arytmetyczne, ne zachowuje dempotentnoc, w zwzku z czym sens ch uywana dla agregowana kryterów lokalnych jest problematyczny w tym samym stopnu jak problematyczna jest molwo naturalnej nterpretacj nerównoc Wszystko to pozwala wnoskowa, e sposób agregowana () moe by przyjty jako najlogcznejszy uzasadnony w przypadku równowanych kryterów lokalnych Agregowane nerównowanych kryterów lokalnych

5 Jednak wkszo problemów ycowych wymaga wprowadzena współczynnków wzgldnej wanoc kryterów (rang) Dzeje s tak, gdy oczywstym jest, e dla jednych osób pewne krytera maj wksze znaczene, a dla drugch osób całkem nne Moemy wtedy stosowa ponsze metody agregowana kryterów: maksymalnego pesymzmu (), addytywne (), multplkatywne (), uwzgldnajc rang W (=,,m) wylczane na podstawe macerzy parzystych porówna lub podane przez eksperta: w w w d = mn{ µ ( ), µ ( ),, µ ( ) N } () N d N = = W µ ( ) N () d N W = ( ) = µ () gdze X= (,, k )- wektor parametrów jakoc Istnej nne, ale mnej naturalne metody agregacj, dlatego najczcej korzysta s włane z metod ()-() oraz ch rónych kombnacj W welu pracach wskazywano jako najlepszy addytywny sposób agregowana kryterów Jednak ne zwsze mona zaufa rezultatom tego sposobu agragacj Rozpatrzmy wc przypadek nerównowanych kryterów Przypumy, e do nerównowanych kryterów lokalnych A B mona przypsa odpowedne współczynnk wzgldnej wanoc α α Łatwo sprawdz, e najczcej uywane addytywne µ () = α µ () α µ () oraz A B multplkatywne C ( ) = ( A ( ) * B ( ) ) sposoby formułowana kryterum globalnego ne gwarantuj poprawnych rezultatów zada optymalzacj Rzeczywce w przypadku asymptotycznym α = α oba waranty jak to wynka z rysunku dostarczaj maksma w odległoc od rzeczywstego optmum Sposób agregacj proponowany w [], w naszym przypadku ma kształt µ () = mn(α µ (), α µ ()), () przy α = α = jest równoznaczny ze sposobem () Jednak tak sposób uwzgldnena nerównowanoc kryterów lokalnych w praktyce moe powodowa rezultaty absurdalne Rozpatrzmy sytuacj szczegółowej Nech krytera A B spełnaj warunk () () z wyjtkem równowanoc kryterów lokalnych, na przykład A wanejsze n B, skd naturalne wynka, e α > α I nech 0 punktem optmum w wypadku równowanoc A B To znaczy 0 maksymalzuje funkcj µ () = mn(µ (), µ ()) nech 0 - punkt optmum dla nerównowanych A B maksymalzujcy µ () = mn(µ (), µ ()) = mn(α µ (), α µ ()) Wtedy 0 jest jednym z perwastków równana: α µ () = α µ () Ostatne wyraene mona przedstaw w forme: βµ () = µ (), β = α α > (7) Przypumy, e <, gdze, - punkty maksmum funkcj µ () µ () Wtedy zestawajc (7) µ () = µ () (sytuacja równowanoc kryterów), a take uwzgldnajc

6 monotonczne zmnejszene µ () wzrost µ () na odcnku[, ], mona wnoskowa, e 0 > 0 Std wynka, e µ ( 0 ) < µ ( 0 ), naczej mówc kryterum A spełna s w mnejszym stopnu n B, co jest sprzeczne z pocztkowym załoenem o wkszym znaczenu kryterum A Przeprowadzona powyej analza jest lustrowana na rysunku Rysunek Agregacja kryterów rangowanych zgodne z wyraenem µ () = mn(µ (), µ ()): I - µ (); II - µ (); - µ () = 08µ (); - µ () = 0µ () Oczywstym jest, e dla otrzymana zrozumałego, ne kontrowersyjnego rezultatu za pomoc agregacj typu () naley wanejsze kryterum pomnoy przez mnejsz rang Jednak jest to sprzeczne z ntucyjnym pogldam o rangowanu kryterów bardzo utrudna formalzacj zadana optymalzacj lub oceny alternatyw przy duej loc kryterów lokalnych Inn wad agregacj () jest neskalowalno funkcj µ () na jednostk, co unemolwa ocen ekstremów lokalnych z punktu wdzena ch odległoc od ekstremum globalnego Warto podkrel, e w praktyce wkszo zada welokryteralnych jest jednoczene zadanam weloekstremalnym Na podstawe powyszych udowodne mona stwerdz, e naturalnym uogólnenem wyraena (), w przypadku nerównowanych kryterów odzwercedlajcych jakocowy charakter zadana preferencj przy formułowanu globalnego kryterum jakoc, jest agregacja proponowana przez Yagera(979): ( ) ( ) mn A ( ), B ( ) ' C = A B (8) gdze (α α ) = Oczywste jest, e w przypadku asymptotycznym tj przy α = α =, agregacja () jest równoznaczna z () Przypumy, e kryterum A jest wanejsze od B, tj α >α Przez Yagera(979) pokazano, e w tej sytuacj mamy wksze wymagana dla spełnena kryterum A n dla B Przy tym maksymalne wartoc kryterum globalnego bd lokalzowane w punkce blszym maksmum µ () n maksmum µ () jel 0 punkt maksmum µ () = mn(µ (), µ ()), a 0 - punkt maksmum µ (), wtedy µ ( 0 ) > µ ( 0 ) Wyraene (8) w sposób naturalny uogólna s dla przypadku n lokalnych kryterów:

7 7 ' C n = n n n = ( ) ( ) ( ) n ( ),,,, > 0, =, (9) gdze X = (,, k ) - wektor parametrów jakoc, - jest operacj mnmum; α,,α n współczynnk wzgldnej wanoc, które mona otrzyma na przykład uywajc metodyopracowanej przez Chu n(979) na podstawe macerzy parzystych porówna Wan poyteczn cech agregacj (9) jest fakt zachowana skalowana µ () na jednostk dlatego e wszystke µ,, µ n te s przeskalowane na jednostk Na postawe przeprowadzonej analzy mona stwerdz, e uywane strateg operajcej s na wyraenu (9) w zadanach oceny alternatyw oraz optymalzacj w przypadku opsana kryterów lokalnych za pomoc funkcj uytecznoc (przynalenoc) jest najlepszym rozwzanem Jak udowodnono przez Germejera(97), stratega optymalzacj, na podstawe operacj mnmum, tj strateg "maksymalnego pesymzmu", polegajcej na znalezenu najlepszej alternatywy wród najgorszych, jest podejcem jedyne gwarantujcym nezawodne rezultaty zgodne z nasz ntucj W naszej sytuacj znaczy to, e stopne spełnena kryterów lokalnych w punkce optmum s ne mnejsze n stope spełnena najmnej wanego kryterum, przy tym rozwzane zadana optymalzacj jest Pareto optymalne Jednak w praktyce warunk udowodnonego przez Sevastanov Tumanov (990) teorematu ne s zawsze spełnone Oprócz tego udowodnony teoremat jest prawdłowy wyłczne w przypadku dwóch lokalnych kryterów Zupełne nna sytuacj moemy spotka ju w sytuacj trzech kryterów lokalnych µ A (),µ B (),µ C () µ() Pareto regon 09 µ A () µ B () 08 µ () /(µ A () µ B () µ C ()) () 07 0 m n(µ A (),µ B (),µ C ()) () µ A ()µ B () µ C () () Rysunek Agregacja trzech kryterów za pomoc kryterów: addytywnego(), maksymalnego pesymzmu() multplkatywnego() Jak mona zauway na rysunku, przy równowanych trzech kryterach ne moemy z cał pewnoc przypuszcza, e punkt jest optymalny Dzeje s tak, gdy w całym Pareto-regone ne mamy takego punktu, w którym przecnaj s wszystke krytera W

8 8 takej sytuacj moemy stosowa agregacj typy addytywnego Naley przy tym jednak zachowa pewn ostrono, ponewa na przykład w sytuacj, kedy oba krytera s do sebe symetryczne, agregacja tego typu moe prowadz do otrzymana nejednoznacznych wynków Sytuacj tak bardzo dobrze odzwercedla rysunek µ() Pareto regon µ A ( ) µ B () 0(µ A ()µ B ()) addytywny 07 0 mn(µ A (),µ B ()) 0 0 ma(0,µ A ()µ B ()-) 0 0 µ A ()µ B () 0 0, Rysunek Porównywane sposobów agregacj kryterów Jednak naley podkrel, e, jak pokazal Dubos Koeng(99), w welu sytuacjach najbardzej uzasadnona agregacja typu (8) po prostu ne odpowada dowadczenu ntucj osób podejmujcych decyzj przy ocene alternatyw lub optymalzacj Dlatego w przypadku skomplkowanych zada przy duej loc lokalnych kryterów ograncze po otrzymanu gwarantowanych ocen na podstawe agregacj (9) jest sens zastosowa nne addytywne multplkatywne waranty budowana kryterum globalnego W

9 9 przypadku gdy rezultaty otrzymane za pomoc wszystkch uywanych sposobów agregacj s podobne, co najmnej na pozome jakocowym utwerdza nas to w przekonanu o adekwatnoc otrzymanych wynków Osoby podejmujce decyzj mog me róne pogldy co do efektywnoc rónych sposobów agregacj Dlatego powstaje dodatkowy problem agregowana włane kryterów ju agregowanych, sformulowany przez Roubens(997) Na przykład Dubos Koeng(99) uywal do tego elementy teor molwoc, przez Yegera(988) proponowana została tak zwana operacja waonego urednena, przez Hauke(999)] rozwja s podejce na podstawe t-skal Yagera, Dyckhoff(98) oraz Mgdalas Pardalos(99) zaproponowal metod herarchcznego agregowana Jednak najbardzej popularny jest dzsaj tak zwany γ- operator, opracowany przez Zmmermana Zysno(980,98): ( ), =,,, n; 0 = () gdze µ funkcja przynalenosc lokalnych kryterów jakoc Jasne, e wyraene () jest tylko agregacj addytywn multplkatywn uogólnonych kryterówprzez Mtra(988) proponowane s podobne γ-agregacje na podstawe mnmum, maksmum oraz kryterum addytywnego: ηor = γ ma( µ ) ( γ ) µ n () ηand = γ mn( µ ) ( γ ) µ n () Ostatne wyraena były uywane przez Shh Lee(000) w zagadnenach welopozomowego podejmowana decyzj Jako najwanejszy problem stwerdzono brak csłych reguł wyboru parametru γ Przez Cho Oh(000) proponowana jest metoda w pewnym stopnu formalzujca wybór parametru γ, jednak wymagajca od eksperta welkej loc dodatkowych nformacj, przy tym, co wanejsze, o charakterze locowym Warto podkrel, e w wyraenach ()-() krytera lokalne rozpatrywane s jak równowane Istotne jest, e ch rangowane za pomoc np metody parzystych porówna przedstawa s jako zadane bardzej skomplkowane wanejsze n wybór parametru γ Oprócz tego omówone powyej podejca ne pozwalaj jednoczene agregowa wszystkch trzech głównych typów kryterów uogólnonych za pomoc operatorów mnmum oraz addytywnego multplkatywnego W welu przypadkach moe by poyteczna nastpujca procedura otrzymana rezultatu kompromsowego, opracowana przez Sevastanov Tumanov (990) Nech µ (), µ (), µ () pewne waranty agregacj kryterów lokalnych, np addytywne, multplkatywne oraz na podstawe operatora mnmum Przypumy, e w rezultace maksymalzacj kadej z funkcj µ, µ µ otrzymano odpowedne punkty optmum, W wynku bada wartoc kryterów lokalnych u osoby podejmujcej decyzj formułuje s pewne preferencje, które mona scharakteryzowa za pomoc rangowana wzgldnego stopna adekwatnoc otrzymanych, co do wymaga optymalzacj Nech to rangowane zadano przez pewne współczynnk wzgldnej wanoc α, α, α (które mog by jednakowe, kedy przeprowadzene rangowana, jest nemolwe) Wtedy, wprowadzajc skalowane na funkcje µ () = µ () µ ( ); µ () = µ () µ ( ); µ () = µ () µ ( ), mona

10 zbudowa nowe kryterum globalne, które bdzemy nazywa uogólnonym kompromsowym wskankem jakoc ( ) = mn ( ), ( ), ( ) η () Oczywce punkt globalnego maksmum η() bdze przedstawa pewne kompromsowe rozwzane zagadnena optymalzacj, uwzgldnajce molwoc dostrzeena warunków optymalnych za pomoc rónych sposobów agregacj kryterów lokalnych Jak wykazano, formułowane kryterum globalnego ne jest spraw prost dostarcza ona wele powodów do dyskusj Jednak przeprowadzone badana pozwalaj na uzasadnony wybór sposobu agragacj, dzk zostasowanu którego mozna unkn w pewnych sytuacjach absurdalnych rezultatów oceny alterantyw W nastpnych przykładach uywany został najbardzej rygorystyczny sposób formowana kryterum globalnego kryterum maksymalnego pesymzmu ROZMYTA OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA PROCESU OBRÓBKI CIEPLNEJ DRUTU ZBROJENIOWEGO PO WALCOWANIU Schemat technologczny obróbk ceplnej drutu zbrojenowego po walcowanu gorcym ma dwa stada (rysynek ) Perwsze stopnowe ochładzane wodne drutu w czterech kolejnych sekcjach od 70 o C do o C specjalne kolste poukładane drutu, druge ochładzane powetrzne na transporterze przez wentylatory Głównym problemem jest optymalzowany wybór parametrów technologcznych oraz najwanejszych składnków chemcznych pod wzgldem welu kryterów wspólne charakteryzujcych jako produkcj W grunce rzeczy mamy zadane welokryteralnej optymalzacj w warunkach nepewnoc nerównowanoc kryterów lokalnych z punktu wdzena ch wpływu na jako produktu Ochładzane wodne drutu w czterech sekcjach od -70 C 0 do C 0 ν γ γ γ ε Ochładzane powetrzne na transporterze przez wentylatory Transporter Kolste poukładane drutu Rysunek Schemat technologczny obróbk ceplnej drutu

11 Parametry technologczne s nastpujce: zuyce wzgldne wody w sekcjach chłodzena wodnego γ; prdko ruchu drutu na transporterze v; wzgldna lo powetrza, podawanego przez wentylatory ε; stope ochłodzena, równy loc zamkntych zaworów w systeme chłodzena Parametram jakoc produkcj s: granca wytrzymałoc σ, wzgldne zwene ψ, wzgldne wydłuene δ, rozmar zarna d, wzgldna grubo warstwy odwglonej θ W rezultace bada statystycznych otrzymano modele regresyjne okrelajce zalenoc poszczególnych parametrów jakoc drutu od parametrów technologcznych Dla temperatury drutu po ochłodzenu wodnym otrzymano: = 90-79γ () z gwarantowan dokładnoc ne mnejsz n 9% w nezalenoc od obrabanego gatunku stal Dla jednego z najczcej uywanych gatunków stal w rezultace obróbk statystycznej danych bernych eksperymentów (w trakce zwykłej pracy przedsborstwa) otrzymano zalenoc: σ =7098 Mn988ε-9v 9 ; () δ = Mn 00877ε98v97 ; () ψ=7 - - Mn008ε-7v-0 ; (7) d= Mn-8 - ε089v0 ; (8) θ=9 8-07Mn 7 - ε9v87 (9) Zalenoc ()-(9) s adekwatne wzgldem kryterum Fshera z dokładnoc prognozowana parametrów jakoc ne mnejsz n 8%-90% Próby ulepszena rezultatów obróbk statystycznej za pomoc wprowadzena zalenoc kwadratowych ne odnosły podanego skutku To znaczy ne otrzymano przy tym znacznego zwkszena dokładnoc prognozowana Warto podkrel, e we wzorach ()-(9) stnej tylko dwa składnk chemczne - magnez (Mn) wgel (C) W rezultace bada statystycznych ustalono, e włane te składnk maj statystyczne udowodnony wpływ na jako produkcj Inne składnk chemczne s zwykle do stablne ch koncentracja mało zmena s w trakce przygotowywana stal ze złomu, jak jest to przyjte w danym zakładze Przy tym koncentracje C Mn mog by aktywne zmenane przez technologów w pocztkowych stadach przygotowywana stal włane z tego punktu wdzena mona w pewnym sense traktowa je jako parametry technologczne Rozpatrywany proces technologczny charakteryzuje s stnenem zboru kryterów lokalnych jakoc ograncze technologcznych, które mog by w stosunkach antagonstycznych mdzy sob To znaczy, ulepszene jednego kryterum powoduje pogorszene nnego Jak zauwayl Bellman Zadeh(970), jest to ródłem nezbdnej subektywnoc w formalzacj zadana optymalzacj welokryteralnej Inn przyczyn nepewnoc subektywnej moe by nformacja, uywana przy budowanu lokalnych kryterów jakoc na podstawe dowadczena ntucj technologów nnych osób, odpowedzalnych za jako produkcj Dlatego w celu adekwatnej formalzacj zadana welokryteralnej optymalzacj uywalmy elementy teor zborów rozmytych, w pewnym sense przeznaczonym do rozwzywana włane takego rodzaju sytuacj

12 Dla formalzacj lokalnych kryterów ograncze uywalmy funkcj uytecznoc, wzrastajcych od zera do jednostk przy zmane parametru jakoc w zakrese od wartoc nedopuszczalnych do wartoc podanych, najlepszych Funkcje uytecznoc najwanejszych kryterów lokalnych przedstawono na rysunkach 7 8 Rysunek 7 Funkcja uytecznoc σ Rysunek 8 Funkcja uytecznoc θ W analogczny sposób zbudowano funkcje uytecznoc pozostałych kryterów jakoc µ ψ (ψ), µ d (d), µ δ (δ) ograncze na koncentracje Mn: µ (), µ Mn (Mn) Na sterujce parametry technologczne, v, ε, nałoono zwykłe ogranczene typu nerównoc (to znaczy okrelone przedzały ch wartoc dopuszczalnych) Ponewa sformułowane lokalne krytera jakoc ogranczena w praktyce mog by spełnone w rónych zakresach wartoc sterujcych parametrów technologcznych, rozwzane optymalzowane uzyskano jako pewen komproms kontrowersyjnych wzgldne rónych kryterów zapotrzebowana Dlatego lokalne krytera ogranczena agregowano w kryterum globalne z uwzgldnenem współczynnków ch wanoc (rang α,,α 7 ) w globalnej ocene jakoc produkcj Zgodne z wynkam bada teoretycznych przeprowadzonych przez Sevastanov Tumanov (990) kryterum globalne przedstawono w forme (0) α α D(C,Mn,T,v,ε, ) = mn( µ (σ (,,Mn,v,ε, )), µ (δ(,, )), α θ σ δ α µ ψ (ψ(,, )), α α α7 µ (θ(,, )), µ d (d(,, )), µ C (C), µ Mn (Mn)) (0) Ilocowe oceny rang otrzymane na podstawe macerzy parzystych lngwstycznych porówna wanoc lokalnych kryterów ograncze zgodne z metod, opracowan przez Saaty (997) Dalej poszukwalmy punkt optmum, maksymalzujc ju kryterum globalne: ( C, Mn,T, ε,v, ) arg ma ( D ( C, Mn,T, ε,v, )) = () C,Mn,T, ε,v, Dla rozwzana zadana () uyto metody programowana nelnowego Przy tym znalezono klka ekstremów lokalnych, z których kady znajdował s na górnej grancy dopuszczalnych wartoc parametru ε Ten fakt pozwala uproc zadane optymalzacj, podstawajc w wyraene (0) () ε = ε ma, po czym zadane zostało rozwzane ponowne W rezultace porównana otrzymanych ekstremów lokalnych wybrano najlepsze sporód nch, dostarczajce warto kryterum globalnego D równ 0 Rezultaty zadana

13 optymalzacj, przedstawone w tablcy wadcz o wysokej spójnoc stopn spełnena najwanejszych kryterów lokalnych ch wzgldnej wanoc (rang) Tablca Wartoc kryterów lokalnych µ ch rang α w punkce optmum Krytera α µ σ 0 δ 07 ψ 0 07 θ d 0 07 C 0 07 Mn Porównane zalenoc kryterum globalnego od parametrów technologcznych w otoczenu punktu optmum w poblu centrum planu eksperymentu bernego, kedy wszystke parametry znajduj s w centrach przedzałów ch dopuszczalnych wartoc, przedstawono na rysunkach 9 Ponsze rysunk wadcz o wysokej efektywnoc uywana optymalzacj welokryteralnej dla zwkszena jakoc produkcj Warto zauway newelk zaleno D w otoczenu optmum od koncentracj C Mn w zakrese ch molwych wartoc oraz szerokego zakresu wartoc T w którym kryterum globalne D take neznaczne zmen s jest blsk jego wartoc maksymalnej Rysunek 9 Wpływ zman parametrów technologcznych na kryterum globalne: - D(T), - D(C), - D(Mn) (Lne cgłe s otoczenem optmum, przerywane - otoczene centrum planu)

14 Rysunek Wpływ zman parametrów v, na kryterum globalne: - D(v), - D( ) (Lne cgłe s otoczenem optmum, przerywane - otoczene centrum planu) Otrzymane rezultaty pozwalaj wywnoskowa, e w naturalnych warunkach produkcyjnych najwkszy wpływ na uogólnon jako produkcj maj parametry v (prdko ruchu drutu na transporterze) oraz (stope ochłodzena) Ich wartoc mog by stablzowane utrzymywane w zakrese optmum z wysok dokładnoc za pomoc znajdujcej s na tym odcnku ln technologcznej systemu sterowana automatycznego ROZMYTA OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA PROCESU NAGRZEWANIA STALI W PIECU PRZEJCIOWYM Rozwój hutnctwa powzany jest ze stałym udoskonalenem stnejcych procesów technologcznych Jednym z problemów w tej dzedzne jest optymalzacja procesu nagrzewu pecowego stal, tzn poszukwanu takch remów temperaturowych, które umolwłyby w sposób optymalny zbly stan metalu do warunków walcowana przy mnmalnych stratach energ materałów W tym celu opracowalmy (Malewcz n, 989) metodyk rozstrzygnca zadana optymalzacj procesu nagrzewana sztab stalowych o wymarach w przekroju 0000 mm w pecu z belkam kroczcym Nagrzewane metalu zrealzowano przy uycu palnków na gaz zemny Model matematyczny procesu nagrzewana sztab stalowych zawera: - równane neustalonego przepływu cepła w postac: T T ( ) ( ) ( ) ( ), T ρ T c T = λ T λ T τ y y h h, h y h, τ 0, () gdze λ(t) - współczynnk przewodnoc cepła; c(t) - współczynnk cepła włacwego; ρ(t) gsto; h, h połowa szerokoc połowa wysokoc sztaby, - warunk brzegowe:

15 λ λ ( T ) ( T ) T T T ( h, y, τ ) (, h, τ ) σ = 8 σ = 8 ( 0, y, τ ) T(,0, τ ) y = y [ T T ( h, y, τ )] α T T( h, y, τ ) p ( ), [ T T (, h, τ )] α T T(, h, τ ) p = 0, p ( ), p () gdze T p temperatura gazu w pece; α - współczynnk wymany cepła z otoczenem; σ - współczynnk promenowana; warunk pocztkowe: T, y,0 = f, y ; () dδ = dτ ( ) ( ) beca grubo zgorzelny: ( ep( T( τ ) 7) ) δ ; () model procesów deformacj ceplnej zbudowany na podstawe teor prdu przy umocnenu zotropowym z warunkem płynnoc Mzesu, oprazowany przez Brgera (97): j, j = 0, () e p c T j = j j j j, (7) -k, jl kj,l l, jk -lj, k = 0, (8) j m = f, m u = u, (9) gdze j - tensor przyrostów naprena; ε j - tensor przyrostów odkształce; ndeksy e, p, c, t oznaczaj odpowedno spryste, plastyczne, lepke termczne odkształcena Wzór dla becej gruboc zgorzelny () został opracowany na podstawe bada, przeprowadzonych przez Steblowa n (99) z uwzgłednenen pracy Kazancewa (97) Warunk brzegowe () zaeweraj nepewny parametr σ - współczynnk promenowana, dentyfkowany przez eksperyment (rysunek )

16 T, 0 C Tempetatura peca Tempetatura powerzchn sztaby Tempetatura w rodku sztaby τ, mn Rysunek Wynk dentyfkacj parametrycznej modelu matematycznego procesu nagrzewana sztab stalowych w eksperymence (Lne cgłe model, przerywane eksperyment) W wynku porównywana tempetatur sztaby peca, otszymanych z modelu ()-() z danym eksperymentu przemyslowego zdentyfkowalmy odpowedn warto współczynnka promenowana σ, która wynosła 7 do 9 (Wt/(m K)) w przestrzen peca Zadane ()-() rozwzywano metod rónc skoczonych, natomast zadane ()- (9) rozwzuje s metod elementów skoczonych W celu oceny górnej grancy napre chwlowych w sztabe symulowano według modelu ()-(9) procesy ceplne oraz deformacje ceplne w sztabe w reyme nagrzewana przyspeszonego Dla oceny stopna zagroena powstana pkn na powerzchn wewntrz sztaby wykorzystywano kryterum K σ, według ktorego pknca powstaj, gdy ntensywno napre σ w badanym punkce cała przekracza znan z eperymentu warto krytyczn σ T, zalen od temperatury Przynajmnej jedna ze składowych naprena przy tym ma by rocgajca W tym celu oszacowano współczynnk stanu naprena K σ : Kσ = ( σ σ T( T) )/ σt ( T) Jasne, e nebezpeczestwo powsrana pkn wzrasta razem ze wzrostem K σ, szczególne przy K σ > 0 Oszacowane dla reymu nagrzewana przyspeszonego wartoc K σ udowodnły, e naprea rozcgajce, powstajce w sztabe w procese nagrzewana, ne przekraczaj wartoc krytycznych (rysunek ) Z punktu wdzena zagadnena optymalzacj otrzymany rezultat daje molwo ne rozpatrywana współczynnka stanu naprena K σ w postac kryterum lokalnego jakoc procesu

17 y 0 Rysunek Pole współczynnka stanu naprena K σ W wynku przeprowadzonych wstpnych bada, jako procesu nagrzewana sztab oszacowana została według trzech nastpnych kryterów lokalnych: mnmalzacja warstwy zgorzelny δ, dokładno nagrzewana T, gdze T temperatura powerzchn sztaby, oraz mnmalzacja maksymalnej rózncy mdzy temperaturam w rodku na powerzchn sztaby w momence wyładowana - T Funkcj uytecznoc kryterów jakoc przedstawono na rysunku µ δ µ µ δ,mm 0, 0 0 0, 0 Rysunek Funkcje uytecznoc kryterów jakoc nagrzewana sztab Sterujcym parametram technologcznym s: temperatura w perwszej strefy pecy (T ) temperatura w drugej strefy pecy (T ) Ponewa wykorzystane dla rozwazywana zadana optymalzacj modelu ()-(), stworzonego na podstawe równana przewodnctwa ceplnego Fourera, potrzebuje zbyt duych nakładów czasu pracy komputera, zastosowano tzw podejce dwuetapowe Przeprowadzono dwe sere eksperymentów numerycznych na modelu matematycznym ()- () z wykorzystanem metod planowana eksperymentu Rozpatrywano remy nagrzewana

18 8 przy temperaturach pocztkowych sztab T 0 = C (ładowane na zmno) T 0 = C (ładowane na gorco) oraz przy wydajnoc peca P=0 t/godz P=80 t/godz Wynk eksperymentu obrabano według metody, opracowanej przez Sevastanov Tumanov (990), która wykorzystujc dee analzy regresyjnej umolwa otrzymane model nelnowych Dla ładowana zmnego otrzymane w ten sposób wzory wygładaj nastpujco: = δ (0) T = () T = () gdze = 9; = ; = 0 7; = 9 Ponewa zalenoc regresyjne nelnowe (0)-() zapewnaj dokładnoc wylcze T, wkszych n 99% oraz dokładnoc wylcze δ T, wkszych n 9%, przy rozwzywanu zadana optymalzacj zamast model ()-() stało s molwe wykorzystane model (0)-() Globalne kryterum jakoc procesu przedstawono w forme (): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) P,,T T ( ), P,,T (T ), P,,T ( mn,t,t P,T D T T o µ µ δ µ α α α δ = () Ilocowe oceny rang, otrzymane na podstawe macerzy parzystych lngwstycznych porówna wanoc lokalnych kryterów ograncze zgodne z metod (Chu, Kalaba, Sprngarn, 979), s nastpujce: α =07, α =, α =

19 9 Dla kadych sztywno ustalonych przez technologów par P* T 0 * rozwzywanem zadana optymalzacj były wartoc T T, wylczone według wzoru (): ( T,T ) ma( D( P*,T*,T,T )) = () T,T Dla rozwzywana zadana optymalzacj () uyto metody krokowej aproksymacj kwadratowej, opracowanej przez Sevastanov Tumanov (990) W tablce przedstawono rezultaty zadana optymalzacj przy logowanu zmnym Tablca Rezultaty zadana optymalzacj, 0,,, δ,,, µ δ µ µ D t godz mm Mona zauway, e zaleno wartoc optymalnych T T od temperatury pocztkowej metalu T 0 ne jest monotonczna Na rysunku przedstawono porównane zaleznoc kryterum globalnego od jednego z parametrów sterujacych T w otoczenu punktu optmum w poblu centrum planu eksperymentu bernego, gdy drug parametr sterujcy T znajduje se w centrum przedzału dopuszczalnej wartoc, tzn T = 0 C, natomast P=0 t/godz, T 0 = 00 0 C D 0 0 Otoczene optymum Otoczene centrum planu T, o C Rysunek Wpływ zman parametrów technologcznych na kryterum globalny Jak wda z rysunku, uywane optymalzacj welokryteralnej dało molwo zwkszena jakoc procesu nagrzewana sztab (kryterum globalne D w punkce optmum równe 08) w porównanu z wartoc kryterum globalnego, wylczonym w centrum planu, równym 0, prawe dwa razy

20 0 WNIOSKI W chwl obecnej zagadnena optymalzacj jakoc wyrobów rozpatrywane s jako szczególny aspekt ogólnego problemu zagadnena zarzdzana jakoc pracy zakładu tzn, uwzgldnajc jako zarzdzana zakładem jako całoc Przy tym coraz czcej powstaj problemy oceny jakoc fnansowo-ekonomcznej organzacyjnej dzałalnoc zakładów, na przykład, oceny jakoc proponowanych kontraktów, nwestycj td W celu rozwzywana podobnych problemów opracowalmy metodolog odpowedne oprogramowane [ ], z powodzenem wdroone w zakładach Rosj Bałorus LITERATURA Bellman R, Zadeh LA, 970, Decson makng n fuzzy envronment, Management Scence, 7, - Brger IA,, Shorr BF, 97, Thermal assurance od machne components, Machnebuldng(n Russan) Cho D-Y, Oh K-W, 000, Asa and applkaton to mult-crtera decoson makng, Fuzzy Sets and Systems,, 89- Chu A, Kalaba R, Sprngarn R, 979, A Comparson of two methods for determnng the weghts of belongng to fuzzy sets, J of Optmzaton Theory and Applcatons, 7,, -8 Dubos D, Koeng JL, 99, Socal choce aoms for fuzzy sets aggregaton, Fuzzy Sets and Systems,, 7-7 Dyckhoff H, 98, Basc concepts for theory of evaluton: herarchcal aggregaton va autodstrbutve connectves n fuzzy sets theory, European J Operaton Research, 0, - Germejer J, 97, Introducton n the theory of operatonal researches, Scence, Moscow (n Russan) Hauke W, 999, Usng Yager's t-norms for aggregaton of fuzzy ntervals, Fuzzy Sets and Systems,, 9- Kazancew EI 97, Industral furnaces, Metallurgy, Moscow(n Russan) Malewch JA, Sedjako DG, Popkowch WN, Sevastjanov PW, Dmowa LG, 989, Optmzaton of the stell heatng process n a pusher furnace wth movng crossbeams, Energetcs, Mnsk, 8, 8-9(n Russan) Mgdalas A, Pardalos PM, 99, Edtoral: herarchcal and blevel programmng, J Globał Optmzaton, 8,, 09- Mtra G, 988, Mathematcal Models for Decson Support, Sprnger, Berln Roubens M, 997, Fuzzy sets and decson analyss, Fuzzy Sets and Systems, 90, 99-0 Saaty T, 977, A Scalng Method for Prortes n Herarhcal Structures, J of Mathematcal Psychology,,, -8 Shh H-S, Lee ES, 000, Compensatory fuzzy multple level decoson makng, Fuzzy Sets and Systems,, 7-87 Sevastanov P, Tumanov N, 990, Mult-crtera dentfcaton and optmzaton of technologcal processes, Scence and Engneerng, Mnsk (In Russan) Steblow AB, Djachenko JW, Tmofeew WS, Tmoshpolsky WI Dmowa L,G, 99, The theoretc and epermental studes of the relatve processes of scalng and decarbonzaton n the heatng of unnterruptedly-casted ngots n the pusher furnace, Energetcs, Mnsk,, -8 (n Russan)

21 Yager R, 979, Multple objektve decson-makng usng fuzzy sets, Int J Man-Mach Studf, 9,, 7-8 Yager RR, 988, On ordered weghted averagng aggregaton operators n multcrtera decson makng, IEEE Trans System Man and Cybern, 8,, 8-90 Zmmerman HJ, Zysno P, 980, Latent connectves n human decson makng, Fuzzy Sets and Systems,, 7- Zmmerman HJ, Zysno P, 98, Decson and evaluatons by herarchcal aggregaton of nformaton, Fuzzy Sets and Systems,, -0