IDENTYFIKACJA MATEMATYCZNYCH MODELI LEPKOSPRYSTYCH MATERIAŁÓW BIOLOGICZNYCH METOD PRONY'EGO

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "IDENTYFIKACJA MATEMATYCZNYCH MODELI LEPKOSPRYSTYCH MATERIAŁÓW BIOLOGICZNYCH METOD PRONY'EGO"

Transkrypt

1 Acta Sc. Pol., echnca Agrara 4() 005, 4-59 IDEYFIKACJA MAEMAYCZYCH MODELI LEPKOSPRYSYCH MAERIAŁÓW BIOLOGICZYCH MEOD PROY'EGO Anna Stankewcz Akadema Rolncza w Lublne Streszczene. W pracy przedstawono bazujcy na metodze Pronye'go algorytm dentyfkacj modułu relaksacj lnowych materałów lepkosprystych opsanych modelem Maxwella. Udowodnono, e jel rzeczywsty moduł relaksacj dany jest czteroelementowym modelem Maxwella, a jego pomary ne s obcone zakłócenam, to algorytm ten zapewna dentyfkowalno rzeczywstych parametrów modułu relaksacj. Pokazano, e wszystke zadana oblczenowe algorytmu s dobrze postawone w sense Hadamarda podano koneczne dostateczne warunk stosowalnoc algorytmu do zadana dentyfkacj czteroelementowych model Maxwella. Efektywno algorytmu zlustrowano wyznaczajc funkcj relaksacj napre próbk korzena buraka cukrowego w warunkach stanu jednoosowego odkształcena oraz dla danych Lanczosa. Słowa kluczowe: lepkosprysto, funkcja relaksacj napre, model Maxwella, metoda Prony'ego, algorytm dentyfkacj WPROWADZEIE W zakrese newelkch deformacj zwzek pomdzy odkształcenem ε ( t) a napr- enem σ ( t) w zotropowych materałach lepkosprystych opsuje całkowe równane konstytutywne [Flügge 967, Dersk Zemba 968] σ t ( t) G( t λ) ε ( λ) dλ () gdze G ( t) jest lnowym modułem relaksacj (jednoosow funkcj relaksacj). Równane () wynka z zasady superpozycj Boltzmanna jest włacwe dowolnym lnowym systemom stacjonarnym. Bazujc na modelach mechancznych złoonych z lnowych Adres do korespondencj Correspondng Author: Anna Stankewcz, Katedra Podstaw echnk, Akadema Rolncza w Lublne, ul. Dowadczalna 50A, 0-80 Lubln, e-mal:

2 4 A. Stankewcz elementów sprystych lepkch zwzek pomdzy odkształcenem a naprenem w materale lepkosprystym mona take opsa za pomoc lnowego równana rónczkowego postac: b n n d σ dt ( t) dσ ( t) n m ( t) dε( t) d ε + + b + b0σ ( t) dm + + d d ε ( t) m + 0 () dt dt dt w którym nterpretacja fzyczna stałych b d j zaley od struktury modelu [Flügge 967]. Powszechne przyjtym sposobem opsu zjawska relaksacj napre zachodzcego w materale lnowo lepkosprystym jest uogólnony model Maxwella o strukturze przedstawonej na rysunku. Jednoosowa funkcja relaksacj napre G ( t) przyjmuje dla modelu Maxwella posta [Dersk Zemba 968] k j E j e t τ j (3) gdze E j oznaczaj moduły sprystoc, τ η E to czasy relaksacj, natomast η j s współczynnkam lepkoc dynamcznej, k oznacza lczb gałz w modelu (rys. ). Moduły sprystoc E j oraz czasy relaksacj j j j τ j wyznacza s zazwyczaj na podstawe dyskretnych pomarów funkcj relaksacj t G zgromadzonych w standardowym tece relaksacj napre [Gołack 998, Rao 999]. Problem dentyfkacj modelu Maxwella (3) jest wc zadanem aproksymacj danych pomarowych sum dodatnch funkcj wykładnczych. Jak wadomo, problem aproksymacj danych sum funkcj wykładnczych (3) jest zadanem skomplkowanym, stosunkowo trudnym w mplementacj, a przede wszystkm le postawonym [Kammler 98, Varah 985]. Standardowe metody dentyfkacj, take jak nelnowa metoda najmnejszej sumy kwadratów, ne s wc skutecznym narzdzem wyznaczena parametrów modelu Maxwella (3). W cgu ostatnch klkudzescu lat opracowano klka specjalnych metod aproksymacj danych pomarowych sum funkcj wykładnczych [Kammler 979, Evans n. 980, Ruhe 980]. Osborne [975] a nastpne Osborne Smyth [995], Psarenko [Oubrahm 989] oraz Petersson Holmström [998] zastosowal do rozwzana tego zadana de starej osemnastowecznej metody Prony ego [795]. W tej pracy zastosowano modyfkacj metody Prony ego przypsywan Hldebrandow [956], która w przypadku czteroparametrowych model Maxwella prowadz do bardzo prostego w mplementacj schematu dentyfkacj. Funkcje relaksacj napre materałów lnowo lepkosprystych dane s wykładnczym szeregem Prony'ego, zastosowane metody Pronye'go do dentyfkacj parametrów tego modelu, jest wc zarówno naturalne, jak bardzo dogodne, co wykazano w tej pracy. Metoda Pronyego jej modyfkacje s od lat stosowane do dentyfkacj modelowana systemów sygnałów w automatyce [rudnowsk n. 998, Hasanovc n. 004], do modelowana dentyfkacj systemów napdowych [Lu n. 00, awfk Morcos 00, Hasanovc n. 004], a take w systemach radarowych [Younan 000]. Acta Sc. Pol.

3 Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych σ E E E j E k η η η j η k σ Rys.. Model Maxwella (σ naprene) Fg.. Maxwell model (σ stress) Ju od klkudzescu lat znajduje ona równe zastosowane do modelowana przetwarzana sygnałów [Rbero n. 003], w tym sygnałów radowych [Street n. 000], a nawet w technkach ekcj mn [Brooks Maer 996] lokalzacj uszkodze awar [awfk Morcos 00]. Metoda Prony'ego jest take stosowana w algorytmach modelowana oraz przetwarzana sygnałów w bolog [Fargues n. 993] w medycyne [Sz- Wen 000]. Unwersalno metody Prony'ego potwerdzaj równe jej zastosowana w algorytmach z zakresu sztucznej ntelgencj: w technkach sec neuronowych [Farrokh Isk 994] oraz sterowanu opartym na zborach rozmytych [Lu n. 00]. MAERIAŁ I MEODY Problem dentyfkacj funkcj relaksacj materałów bologcznych Funkcj relaksacj G ( t) materałów rolnnych mona przybly [Chen Chen 986, Bzowska-Bakalarz 994, Gołack 998, Rao 999] stosujc czteroelementowy model Maxwella, w którym funkcja relaksacj dana jest sum dwu dodatnch funkcj wykładnczych: gdze a j τ, j,. echnca Agrara 4() 005 j at a t ( t) E e + E e G (4) Funkcj relaksacj G ( t) mona wyznaczy eksperymentalne rejestrujc sł reakcj próbk badanego materału w standardowym tece relaksacj napre, podczas którego próbka najperw cskana jest gwałtowne wzdłu os a do uzyskana załoonego odkształcena, a nastpne rejestruje s przebeg sły reakcj próbk w czase utrzymujc stałe odkształcene [Gołack 998, Rao 999]. Bdzemy zakłada, e przeprowadzono eksperyment dyskretny (test relaksacj napre), którego rezultatem jest zbór pomarów funkcj relaksacj G ( t ) dla t 0, 0,,,.

4 44 A. Stankewcz Problem dentyfkacj modelu Maxwella polega na wyznaczenu takch parametrów E E oraz a a, dla których model (4) najlepej przybla dane eksperymentalne G. W klasyczne sformułowanym zadanu wyboru optymalnego modelu postac { } t (4) współczynnk sprystoc E E oraz wykładnk a a dobera s tak, aby model (4) przyblał wynk eksperymentu jak najlepej w sense najmnejszej sumy kwadratów mn ( E, E, a, a ) 0 at at [ G( t ) ( E e + E e )] Jak wadomo, nelnowy problem rednokwadratowej aproksymacj danych sum funkcj wykładnczych (5) jest nawet w rozpatrywanym w tej pracy przypadku sumy dwu funkcj wykładnczych trudny numeryczne [Kammler 979, Varah 985]. ake stnene jego rozwzana mona wykaza tylko wówczas, gdy nałoy s dodatkowe ogranczena na klas model (3) lub zbór danych dowadczalnych. Kammler [979] G ) jest monotonczne malejcy, wykazał, e jeel cg danych pomarowych (tu: { } to optymalny model postac (4) stneje zarówno parametry t E j jak wykładnk (5) a j s dodatne. Lanczos [956], a nastpne Kammler [979] oraz Varah [985] pokazal, w rozpatrywanym tu zadanu aproksymacj cgu monotonczne malejcego sum dwu funkcj wykładnczych, moe stne klka model optymalnych. Lanczos wskazał take na skrajn wralwo wykładnków a na nawet bardzo małe zaburzena danych. j Standardowe numeryczne technk mnmalzacj, take jak algorytmy kerunków poprawy lub metody kerunków sprzonych, ne s wc skutecznym narzdzem rozwzana zadana (5), szczególne wówczas, gdy ne dysponujemy dobrym punktem startowym. W tej pracy do dentyfkacj modelu (4) zastosowano modyfkacj metody Prony ego. Zastosowane metody Prony ego do dentyfkacj modelu Maxwella Dany jest zbór pomarów { } t Rozwamy problem dentyfkacj czteroelementowego modelu Maxwella postac (4). t, G, 0,,, przeprowadzonych w stałych odstpach czasu, tzn. t. Dla t zachodz równoc gdze ( t ) G( ) E E G +, 0,,, (6) a e, a e (7) ech bd perwastkam nastpujcego równana algebracznego + p + p 0 (8) Łatwo sprawdz, e zachodz nastpujce lnowe równana róncowe ( t ) p G( t ) + p G( t ) G, 0,,, 3 (9) Acta Sc. Pol.

5 Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych które po wprowadzenu notacj wektorowo-macerzowej ( 0 ) G( t ) G( t ) W, G( t ) 3 mona zapsa w zwartej postac ( ) 3 p U, p (0) G( t ) p U W p () Stosujc do równana () metod najmnejszych kwadratów, czyl mnmalzujc kwadratowy wskank jakoc dentyfkacj U W p zaleny od wektora p, otrzymujemy nastpujce oszacowane wektora współczynnków układu równa róncowych (9) ( W W ) W U p () Znajc współczynnk p p moemy łatwo polczy perwastk równana kwadratowego () oraz na podstawe wzorów (0) parametry a a. a ln a ln (3) Parametry E E wyznaczymy na podstawe układu równa (6). Defnujc wektor wszystkch pomarów Û oraz wektor parametrów E macerz :, ( 0 ) układu równa (6) mona zapsa w równowanej postac E Û, E (4) G( t ) E U ˆ E (5) Stosujc ponowne metod najmnejszych kwadratów do równana (5), tzn. mnmalzujc wskank kwadratowy Uˆ E wzgldem wektora E, otrzymujemy E ( ) Uˆ (6) Wobec tego parametry modelu Maxwella (4) mona wyznaczy na podstawe pomarów funkcj relaksacj napre G ( t) stosujc procedur przedstawon w nastpnym rozdzale. echnca Agrara 4() 005

6 46 A. Stankewcz WYIKI I DYSKUSJA Algorytm dentyfkacj funkcj relaksacj napre Krok. Przeprowad eksperyment dyskretny wyznacz zbór pomarów { G ( t )} funkcj relaksacj G ( t) przeprowadzonych w stałych odstpach czasu, t, dla 0,,,. Krok. Utwórz macerz wektor pomarów W oraz U o strukturze (0), a nastpne wyznacz wektor parametrów p zgodne z wzorem (). Krok 3. Oblcz perwastk, równana kwadratowego (8), a nastpne wyznacz wykładnk a a na podstawe wzorów (3). Krok 4. Utwórz macerz oraz wektor pomarów Û o strukturze (4), a nastpne oblcz wektor współczynnków sprystoc E stosujc wzór (6). Łatwo zauway, e w obu formułach najmnejszych kwadratów () (6) macerze W W to macerze wymarowe, wyznaczene ch odwrotnoc ne wymaga wc stosowana numerycznych technk wyznaczana macerzy odwrotnych. Równe rozwzana równana kwadratowego (8) dane s wzoram analtycznym. Identyfkowalno Podstawowym oczywstym wymaganem stawanym kadej metodze dentyfkacj jest dane aby w przypadku, gdy badany proces opsany jest modelem z przyjtej klasy, a jego pomary ne s obcone zakłócenam, metoda gwarantowała jednoznaczne wyznaczane rzeczywstego opsu procesu, czyl zapewnała jego dentyfkowalno [Bubnck 980]. Dla przedstawonego algorytmu rozstrzyga to nastpujce twerdzene, jego dowód podano w Dodatku A. werdzene. Jel rzeczywsty moduł relaksacj G ( t) opsany jest sum dwu dodatnch funkcj wykładnczych G( t) E e + E e a a t a t a, a jej pomary t, gdze G ne s obcone zakłócenam, to przedstawona procedura dentyfkacj prowadz do wyznaczena rzeczywstych parametrów E E oraz a a. Czy zadana oblczenowe algorytmu s dobrze postawone w sense Hadamarda? Jak wczenej podkrelono, klasyczne nelnowe zadane najmnejszej sumy kwadratów (5) jest zadanem le postawonym. Problem bdzemy nazywa dobrze postawonym w sense Hadamarda, jel rozwzane problemu stneje, jest jednoznaczne cgłe wzgldem danych [Gutenbaum 003]. Cgło rozwzana wzgldem danych gwarantuje, małym zaburzenom danych odpowadaj małe zmany rozwzana. Zapewna to stablno algorytmu. Obecne zbadamy czy kedy poszczególne zadana oblczenowe przedstawonego algorytmu s dobrze postawone w sense Hadamarda. Bdzemy zakłada, e Acta Sc. Pol.

7 Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych (A) pomary modułów relaksacj G ( t ) tworz cg monotonczne malejcy G ( t ) 0 dla 0,,,. (A) faktory ( t ) G( t ) tworz cg nemalejcy, 0,,,. G + Oczywce wobec załoena (A) 0 < <. Załoene (A) jest naturalne w kontekce modelowana procesów relaksacj napre. Aby wyjan załoene (A), roz- w dwu kolejnych przedzałach czasu wamy spadk wartoc funkcj relaksacj t t t t t t dane wzoram + G G( t + ) G( t ) ( ) G( t ) G( t ) G( t ) ( ) G( t ) (7) G Ponewa, wobec (A) równe + >. Std + > > 0 > G > G, czyl na podstawe wzorów (7) zachodz nerówno. Załoene (A), oznacza wc, e spadk G oraz G wartoc modułu relaksacj w kolejnych przedzałach czasu s coraz mnejsze. Jest ono take naturalne dla rozpatrywanego procesu. Rozwamy najperw formuł najmnejszych kwadratów (). Uwzgldnajc struktur macerzy W (0), mona pokaza (Dodatek B, punkt ), e: [ W ] G( t ) G( t ) W (8) k + k k Wobec tego ( W ) W 0 wtedy tylko wtedy, gdy wskank tworz cg stały. Wykorzystujc teor równa funkcyjnych [Aczél 966] łatwo sprawdz, pełna klasa funkcj spełnajcych ten warunek dana jest wzorem G( t) β t γ βt e gdze β β ln( γ ),. Zjawska zachodzce w materale rolnnym podczas procesu relaksacj napre s jednak bardzej skomplkowane n proces opsany modelem wykładnczym postac t e. β Jel wyznacznk > 0 to macerz odwrotna ( W W ) W W stneje wektor optymalnych parametrów p dany reguł najmnejszych kwadratów ( W W ) W U p jest funkcj cgł zarówno macerzy W, jak wektora U, a wc take danych pomarowych { } [Kełbassk Schwetlck 994, str. 60-6]. Zachodz wc nastpujca własno. Własno. Problem najmnejszych kwadratów p ( W W ) W U jest dobrze postawony w sense Hadamarda wtedy tylko wtedy, gdy cg faktorów { } ne jest cgem stałym. Przejdzemy obecne do analzy zada rozwzywanych w kroku 3 algorytmu. Równane kwadratowe (8) posada dwa jednoznaczne perwastk dla dowolnych parametrów p p. Rozwzana równana kwadratowego s funkcjam cgłym jego echnca Agrara 4() 005

8 48 A. Stankewcz współczynnków, a wykładnk a a (3) s cgłym funkcjam, mona wc sformułowa nastpujc własno. Własno. Zadana wyznaczena parametrów oraz wykładnków a a w kroku 3 algorytmu s dobrze postawone w sense Hadamarda. a podstawe znanego warunku neosoblwoc macerzy Vandermonde'a, macerz Vandermonde'a jest pełnego rzdu wtedy tylko wtedy, gdy. Wówczas jest macerz neosoblw formuła najmnejszych kwadratów (6) oblczana w kroku 4 algorytmu jest dobrze postawona. Warunek jest spełnony wtedy tylko wtedy, gdy p 4 p, pozwala to sformułowa nastpujc własno. Własno 3. Zadane najmnejszych kwadratów E ( ) U ˆ jest dobrze postawone w sense Hadamarda wtedy tylko wtedy, gdy, lub równowane p 4 p. Warunk stosowalnoc algorytmu Spełnene warunków podanych we Własnocach 3 ne gwarantuje, wyznaczone parametry modelu (4) s rzeczywste dodatne. a problem wystpowana zespolonych perwastków równana (8), czyl w konsekwencj zespolonych wykładnków a a, zwraca uwag welu autorów, np. [Kundu Mtra 998]. Równe parametry lnowe E E oblczone według wzoru (6), nawet jel s rzeczywste, nekoneczne musz by dodatne. We wszystkch takch przypadkach algorytm, mmo e poprawny numeryczne, prowadz do wyznaczena rozwzana fzykalne bezsensownego. Uzasadna to wprowadzene nastpujcej defncj. Przedstawony algorytm dentyfkacj bdzemy nazywa stosowalnym do zadana dentyfkacj modelu Maxwella jel: () zadana (), (8), (3) oraz (6) s dobrze postawone w sense Hadamarda, () spełnony jest warunek dentyfkowalnoc rzeczywstej funkcj relaksacj danej modelem Maxwella (4), () wyznaczone wykładnk a a s rzeczywste, dodatne a a, (v) wyznaczone współczynnk E E s rzeczywste dodatne. Mona pokaza (Dodatek B, punkt ), e jel spełnone s załoena (A) (A) to p 0 p 0 (9) > Przeanalzujemy kolejno zadana dentyfkacj parametrów nelnowych a a oraz parametrów lnowych E E. e zmnejszajc ogólnoc rozwaa, bdzemy przyjmowa, e perwastk równana kwadratowego (8) spełnaj warunek. Analzujc wzory (3), łatwo zauway, e warunek () stosowalnoc algorytmu jest spełnony wtedy tylko wtedy, gdy rozwzana równana kwadratowego > Acta Sc. Pol.

9 Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych (8) s rzeczywste spełnaj nerównoc 0 < < <. Oczywstym warunkem konecznym dostatecznym na to, aby były rzeczywste take, e, jest p > 4 p. Wobec (9) nerówno p > 4 p jest, w przypadku (A)-(A), równe warunkem wystarczajcym na to, aby perwastek p p 4 p > 0. Łatwo take sprawdz, e gdy p > 4 p, to 0 < p + p 4 p < wtedy tylko wtedy, gdy 0 < p 4 p < + p, lub równowane 4 p < 4 + p 4 > 0 < p + p, czyl p + p + 0. Udowodnlmy wc nastpujc własno. Własno 4. Jel spełnone s załoena (A) (A), to parametry nelnowe a a modelu Maxwella (4) generowane przez przedstawony algorytm spełnaj warunek () wtedy tylko wtedy, gdy składowe p p wektora p () spełnaj nerównoc p > 4 p p + p + 0 (0) > Mona pokaza (Dodatek B, punkt 3), e jel spełnone s załoena (A) (A), to p p < + p () erówno ta jest słabsza n drug z warunków konecznych dostatecznych (0), jednak wszystke przetestowane przykłady wskazuj, e w przypadku (A)-(A) spełnony jest take warunek p + p + > 0, dowód nerównoc () bazuje bowem na cgu bardzo slnych oszacowa (p. Dodatek B, nerówno (D6)). Przejdzemy obecne do analzy zadana najmnejszych kwadratów (6) rozwzywanego w kroku 4 algorytmu. Zgodne z Własnoc 3 zadane to jest dobrze postawone, wtedy tylko wtedy, gdy, czyl równowane p 4 p. Jel p > 4 p, to oraz s rzeczywste. Wartoc rzeczywste przyjmuj wc take elementy wektora E. Ponewa wektor E spełna równane normalne E Uˆ, a jak łatwo sprawdz, wszystke elementy wymarowej macerzy oraz wektora U ˆ s dodatne, przynajmnej jeden z elementów wektora E jest równe dodatn. Warunek koneczny dostateczny na to aby E > 0 równoczene E > 0 podaje nastpujca własno, wyprowadzona w Dodatku C, punkt. Własno 5. Jel spełnone s załoena (A)-(A) p > 4 p, to parametry lnowe E E modelu Maxwella (4) s rzeczywste dodatne wtedy tylko wtedy, gdy spełnone s dwe nerównoc 0 echnca Agrara 4() 005

10 50 A. Stankewcz Acta Sc. Pol. k > () > (3) Mnoc nerównoc () (3), obustronne otrzymujemy warunek koneczny na to, aby parametry E E były rzeczywste dodatne > (4) Z kole uwzgldnajc struktur macerzy (4) łatwo sprawdz, e wyznacznk 0 0 czyl równowane (5) Wyznacznk 0 > wtedy tylko wtedy, gdy, na mocy wzoru (5) warunek koneczny (4) jest wówczas spełnony tosamocowo. Badana numeryczne przeprowadzone dla danych emprycznych, a take badana symulacyjne wskazuj, e w przypadku (A)-(A) spełnene warunku (4) gwarantuje, e parametry E E s dodatne, jel tylko. Ponej podano take prosty warunek wystarczajcy, udowodnony w Dodatku C, punkt. Własno 6. Jel spełnone s załoena (A)-(A) 4 p p > oraz dla kadego,, spełnone s nerównoc (6) (7) to parametry lnowe E E modelu Maxwella (4) s rzeczywste dodatne.

11 Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych... 5 Przykład W pracy [Stankewcz Gołack 004] przedstawony algorytm zastosowano do wyznaczena model Maxwella opsujcych funkcje relaksacj próbek korzena buraka cukrowego Oktawa w stane jednoosowego naprena w stane jednoosowego odkształcena na podstawe danych uzyskanych dowadczalne przez Gołackego. Zastosowane lepkosprystego lnowego modelu Maxwella do opsu własnoc mechancznych próbek korzena buraka cukrowego uzasadnaj wynk bada prezentowane w welu pracach, np. [Bzowska-Bakalarz 994, Gołack 00]. abela. Parametry modelu Maxwella (4) wyznaczone dla jednoosowej funkcje relaksacj G X ( t) próbk korzena buraka cukrowego able. he parameters for Maxwell model (4) of unaxal relaxaton functons G X ( t) of a sample of the sugar beet root E, MPa E, MPa a, s - a, s - J, MPa Metoda Pronye'go Metoda uas-ewtona G X ( t), MPa 30 0 Rys.. Funkcja relaksacj G X ( t) próbk korzena buraka cukrowego w stane jednoosowego odkształcena: wyznaczona metod Prony'ego (lna cgła) wynk eksperymentu (lna przerywana) G X of a sample of the sugar beet root n the state of unaxal stran ermned by usng the Prony method (sold lne) and the expermental results (dash lne) Fg.. Relaxaton functon ( t) W tabel zestawono wartoc parametrów modelu Maxwella opsujcego przykładow funkcj relaksacj G X ( t) w stane jednoosowego odkształcena wyznaczonych na podstawe przedstawonego algorytmu parametrów wyznaczonych standardow metod uas-ewtona. Oblczena bazuj na pomarach sły reakcj próbk w 40 echnca Agrara 4() t, s

12 5 A. Stankewcz punktach pomarowych rozłoonych równomerne w przedzale czasu oceny jakoc obu model zastosowano rednokwadratowy wskank jakoc J 0 at at [ G( t ) ( E e + E e )] 0 0 s. Do Przebeg funkcj relaksacj G X ( t) wyznaczonej metod Prony'ego przedstawono na rysunku. Przykład Efektywno algorytmu Prony'ego lustruje take nastpujcy przykład, bazujcy na hstorycznych ju danych Lanczosa [956, str. 76] podanych w tabel, którym swoje rozwaana lustruje welu autorów, np. [Varah 985]. W tabel 3 zestawono parametry modelu wykładnczego postac (4) uzyskane metod Pronye'go oraz metod uas- ewtona dla dwu punktów pocztkowych. Do oceny jakoc model zastosowano klasyczny kwadratowy wskank jakoc 0 at at [ G( t ) ( E e + E e )] J (8) abela. Dane Lanczosa [Lanczos 956] able. he Lanczos data [Lanczos 956] t G(t ) t G(t ) abela 3. Parametry modelu wykładnczego postac (4) wyznaczone dla danych Lanczosa able 3. he parameters for exponental model of (4) form computed for Lanczos data Parametry E E a a J Metoda Pronye'go Wyznaczone parametry Metoda uas-ewtona Punkt startowy Wyznaczone parametry Punkt startowy Wyznaczone parametry Jel dysponujemy dobrym punktem startowym (drug punkt), to metoda uas- ewtona zapewna lepsz aproksymacj danych n metoda Prony'ego. Jednak wówczas, gdy punkt startowy jest le dobrany (perwszy punkt), moe ona prowadz do Acta Sc. Pol.

13 Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych G ( t) t, s Rys. 3. Przebeg funkcj G ( t) danej modelem wykładnczym (4) wyznaczonej metod Prony'ego (lna cgła) wynk eksperymentu (punkty) dla danych Lanczosa descrbed by exponental model of (4) form computed by usng the Prony method (sold lne) and the expermental results (ponts) for Lanczos data Fg. 3. he functon wyznaczena rozwzana fzykalne bezsensownego (parametr E < 0 ), metoda ta zapewna bowem tylko wyznaczena lokalnego mnmum wskanka jakoc J (8). Przebeg wyznaczonej metod Prony'ego funkcj G ( t) danej modelem postac (4) przedstawono na rysunku 3. PODSUMOWAIE Zastosowane metody Prony'ego do dentyfkacj modelu Maxwella prowadz do dwustopnowego schematu dentyfkacj. ajperw w kroku wyznaczane s współczynnk równa róncowych (9) optymalne w sense najmnejszych kwadratów, to umolwa wyznaczene parametrów nelnowych modelu a a. astpne w 4 kroku wyznacza s lnowe parametry modelu E E, stosujc ponowne metod najmnejszych kwadratów. aka dekompozycja klasycznego nelnowego zadana najmnejszych kwadratów (5) powoduje, e otrzymany model jest z reguły suboptymalny w sense globalnego kwadratowego wskanka jakoc wystpujcego w (5). Oblczena s jednak znaczne szybsze n przy bezporednej mnmalzacj wskanka jakoc, metoda ne wymaga te wyznaczana wektora gradentu macerzy hesjanu funkcj celu oraz doboru punktu startowego zapewna bardzo dobre rezultaty w przypadku pomarów bezszumowych oraz przy newelkch zakłócenach. W przypadku slnejszych zakłóce lepsze rezultaty mona osgn, stosujc mnej efektywn oblczenowo, metod Osborna Smytha [995], ewentualne stosujc wstpn fltracj sygnałów. echnca Agrara 4() 005

14 54 A. Stankewcz Rozpatrywany w tej pracy problem aproksymacj danych sum funkcj wykładnczych jest jednym z najstotnejszych najczcej w analze danych wystpujcych problemów dentyfkacj. Modele wykładncze s bowem stosowane ne tylko do modelowana własnoc mechancznych materałów lepkosprystych, ale take w modelowanu przepływów mdzykomorowych w medycyne bolog, tak posta przyjmuj równe modele kompartmentowe [Kundu Mtra 998, Gutenbaum 003]. Załoene dodatnej wartoc współczynnków E oraz wykładnków a jest take typowe dla j welu dzedzn zastosowana. Z matematycznego punktu wdzena koresponduje ono z załoenem, e dane pomarowe tworz cg monotonczne malejcy. j DODAEK A Dowód werdzena. ech rzeczywsta funkcja relaksacj ( t) a t a t ( t) E e + E e a a E 0, 0 G G bdze postac, gdze > E >. ech W U oznaczaj t E + E a, gdze e a a e. macerze o strukturze (0) dla G Defnujc macerze V M oraz wektor M V, 3 3 ( ) ( ) E E M E E, E M E (D) macerz W wektor U mona zapsa w postac W V M U V M. Std wektor parametrów p wyznaczany w kroku algorytmu według formuły () dany jest wzorem ( W W ) W U ( M V V M) M V V M p (D) Ponewa, macerz V V jest neosoblwa (V jest macerz Vandermonde'a). Równe macerz M jest neosoblwa, ponewa ( M ) EE ( ) > 0. W konsekwencj na podstawe wzoru (D) mamy p ( M V V M) M V V M ( M) ( V V ) ( M ) M V V M czyl p ( M ) M. Std uwzgldnajc struktur macerzy M wektora M (D), otrzymujemy p E E E E E ( ) E E E ( ) Acta Sc. Pol.

15 Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych ostateczne po prostych przekształcenach p ( ) + Wobec tego s jedynym perwastkam równana (8) rozwzywanego w kroku 3 algorytmu dla parametrów p p ( + ). a podstawe wzo- a ln a ln. rów (3) uzyskujemy wc a a ech Û oznaczaj macerze Û o strukturze (4) dla. Ponewa E + E, uwzgldnajc struktur macerzy Û (4) oraz [ E E ] ˆ E, łatwo sprawdz, e zachodz równo U E. Macerz jest neosoblwa, gdy. Wobec tego wektor współczynnków sprystoc E ˆ oblczony w kroku 4 algorytmu jest równy E ( ) U ( ) E E. Algorytm dentyfkacj gwarantuje wc wyznaczene rzeczywstych parametrów E, E oraz a a. DODAEK B. Wyprowadzene wzoru (8). Uwzgldnajc struktur macerzy W łatwo sprawdz, e W W 0 0 Wykorzystujc tosamo Lagrange a [Lemanowcz Ło 97]: k k + x y x y + k [ x y x y ] po prostych przekształcenach algebracznych otrzymujemy ( W W ) G( t ) G( t ) G( t ) G( t ) [ ] k + a std, po uwzgldnenu defncj faktorów k, wynka wzór (8).. Dowód nerównoc (9). Analzujc struktur macerzy wektora U łatwo sprawdz, e parametr p dany jest wzorem k W ( W W ) oraz p + ( W W ) echnca Agrara 4() 005 G( t ) G( t ) G( t ) G( t ) G( t ) G( t ) +

16 56 A. Stankewcz Wykorzystujc tosamo Czebyszewa [Lemanowcz Ło 97]: mona pokaza, e ( W W ) x y x y k + [ x x ][ y y ] [ G( t ) G( t ) G( t ) G( t )] [ G( t ) G( t ) G( t ) G( t )] p k + k k k + + lub równowane p ( W W ) k k + k [ ][ ][ G( t ) G( t )] k k k Ponewa ( W ) W > 0 k k (D3), w przypadku (A)-(A) perwsza z nerównoc (9) wynka wprost z (D3). Podobne mona pokaza, e p [ ][ ][ G( t ) G( t )] ( W W ) k + k k k a std, w przypadku (A)-(A), natychmast otrzymujemy nerówno p < Dowód nerównoc (). Łatwo sprawdz, e k (D4) (D5) [ ][ ] [ ] + [ [ ][ ] k k k k k k k k Std, jel spełnone jest załoene (A), to (D6) [ ][ ] [ ] + [ [ ][ ] k k k k k k 0 Mnoc nerówno (D6) obustronne przez [ G ( t ) G( t )] k k k, a nastpne sumujc obustronne po,, oraz k +, W W dany wzorem (8), oraz uwzgldnajc wzory (D3) (D4), otrzymujemy nerówno ()., dzelc przez DODAEK C. Dowód Własnoc 5. Ponewa dla p > 4 p parametry macerz jest neosoblwa. Analzujc struktur macerzy, ( ) oraz Û, łatwo sprawdz, e Acta Sc. Pol.

17 Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych echnca Agrara 4() E (D9) 0 0 E (D0) Std, ponewa dla wyznacznk 0 >, na mocy wzoru na sum szeregu geometrycznego natychmast otrzymujemy warunk () (3).. Dowód Własnoc 6. a podstawe (D9) mamy E (D) Ponewa t G (D) równoczene t G (D3) na podstawe (D) otrzymujemy oszacowane E Wobec tego jel spełnona jest nerówno (6), to 0 > E, ponewa przynajmnej dla nerówno (6) jest nerównoc ostr. Podobne wykorzystujc wzór (D0) oraz oszacowana (D) (D3) mona pokaza, e jel spełnona jest nerówno (7), to 0 > E. PIMIEICWO Aczél J., 966. Lectures on functonal euatons and ther applcatons. Academc Press ew York. Barrodale, I., Olesk, D.D., 98. Exponental approxmaton usng Prony's method. In: Baker, C..H., Phllps, C., he umercal Soluton of onlnear Problems, Brooks J.W., Maer M.W., 996. Applcaton of system dentfcaton and neural networks to classfcaton of land mnes. EUREL Int. Conf. he Detecton of Abandoned Land Mnes: A Humantaran Imperatve Seekng a echncal Soluton. Conf. Publ. 43, Bubnck Z., 980. Identfcaton of Control Plants. PW Warszawa, Elsever Amsterdam. Bzowska-Bakalarz M Włacwoc mechanczne korzen buraków cukrowych. Rozpr. auk. AR w Lublne, 66.

18 58 A. Stankewcz Chen P., Chen S., 986. Stress relaxaton functons of apple under hgh loadng rates. ransacton of the ASAE. 9, Dersk W., Zemba S., 968. Analza model reologcznych. PW Warszawa. Evans J. W., Gragg W.B., LeVeue R. J., 980. On Least-Suares Exponental Sum Approxmaton wth Postve Coeffcents. Mathematcs of Computatons 34(49), 03. Fargues M.P., Crst R., Vanderkamp M.M., 993. Modelng and classfcaton of bologcal sgnals usng least suares Prony-SVD AR modelng. Proc. of the 36th Mdwest Symp. on Crcuts and Systems. 6-8 Aug. 993., Farrokh M., Isk C., 994. Applcaton of Prony sgnal analyss to recurrent neural networks. Proc. IEEE World Congress on Computatonal Intellgence and IEEE Int. Conf. on eural etworks. 7 June July 994,, Flügge W., 967. Vscoelastcty. Blasdell Publshng Company Waltham, oronto, London. Gołack K., 998. Charakterystyk lepkospryste korzen marchw w szerokm zakrese prdko- c obce mechancznych. Rozpr. auk. AR w Lublne. 6. Gołack K., 00. Lepkospryste charakterystyk korzen buraków cukrowych. Acta Agroph. 78, Gutenbaum J., 003. Modelowane matematyczne systemów. EXI Warszawa. Hasanovc A., Felach A., Bhatt.B., DeGroff A.G., 004. Practcal robust PSS desgn through dentfcaton of low-order transfer functons. IEEE rans. on Power Systems 9(3), Hldebrand F. B., 956. Introducton to umercal Analyss. McGraw-Hll ew York. Kammler D. W., 979. Least suares approxmaton of completely monotonc functons by sums of exponentals. SIAM J. umer. Anal. 6(5), Kełbassk A., Schwetlck H., 994. umeryczna algebra lnowa. Wprowadzene do oblcze zautomatyzowanych. W, Warszawa. Kundu D., Mtra A., 998. Estmatng the parameters of the lnear compartment model. J. Statst. Plannng Infer. 70, Lanczos C., 956. Appled Analyss. Prentce Hall Englewood Clfs. Lemanowcz L., Ło J., 97. Zbór zada z algebry. PW, Warszawa. Lu J., ehrr M.H., Perre D.A., 00. A fuzzy logc-based self tunng power system stablzer optmzed wth a genetc algorthm. Electr. Power Syst. Res. 60, Osborne, M. R., 975. Some specal nonlnear least suares problems. SIAM J. um. Anal., Osborne, M. R., Smyth, G. K., 995. A modfed Prony algorthm for fttng sums of exponental functons. SIAM J. Sc. Comput. 6, Oubrahm H., 989. Prony, Psarenko, and the matrx pencl: a unfed presentaton. IEEE ransact. Acoust., Speech and Sgnal Proc. 37(), Petersson J., Holmström K., 998. Intal values for two-classes of exponental sum least suares fttng problems. Research Report IMa-OM Mälardalen Unversty, Sweden. Perre D.A., rudnowsk D.J., Hauer J.F., 99. Identfyng lnear reduced-order models for systems wth arbtrary ntal condtons usng Prony sgnal analyss. IEEE rans. on Automatc Control 37 (6), Prony G. R., 795. Essa éxpermental et analytue: sur les los de la dlatablté de fludes élastue et sur celles de la force expansve de la vapeur de l'alkool, à dfférentes températures. Journal de l'école Polytechnue (), Rao M. A., 999. Rheology of Flud and Semsold Foods. Prncples and Applcatons. Aspen Publshers, Inc. Gathersburg, Maryland. Acta Sc. Pol.

19 Identyfkacja matematycznych model lepkosprystych materałów bologcznych Rbero M. P., Ewns D. J., Robb D. A., 003. on-statonary Analyss and ose Flterng Usng a echnue Extended from the Orgnal Prony Method. Mech. Syst. Sgnal Proc. 7(3), Ruhe A., 980. Fttng emprcal data by postve sums of exponentals. SIAM J. Sc. Stat. Comput. (4), Stankewcz A., Gołack K., 004. Algorytm dentyfkacj zmennych w czase modułów odkształcena postacowego objtocowego rolnnych materałów lepkosprystych. Acta Sc. Pol., echnca Agrara 3( ), Street A.M., Lukama L., Edwards D.J.,000. Rado magng usng SVD Prony. Electr. Letters 36 (3), Sz-Wen C., 000. A two-stage dscrmnaton of cardac arrhythmas usng a total least suares- -based Prony modelng algorthm. IEEE ran. on Bomedcal Engn. 47(0), awfk M.M., Morcos M.M., 00. Prony applcaton for locatng faults on loop systems. IEEE Power Engneerng Revew. (8), rudnowsk D.J., Johnson J.M., Hauer J.F., 998. SIMO system dentfcaton from measured rngdowns. Proc. of the Amercan Control Conference. Phladelpha, 5, Varah J. M., 985. On fttng exponentals by nonlnear least suares. SIAM J. Sc. Stat. Comput. 6 (), Younan.H., 000. Radar target dentfcaton va a combned E-pulse/SVD-Prony method. he Record of the IEEE 000 Internatonal Radar Conference, 7 May 000, IDEIFICAIO OF HE MAHEMAICAL MODELS OF VISCOELA- SIC BIOLOGICAL MAERIALS USIG PROY MEHOD Abstract. An algorthm, based on Prony approach, for dentfcaton of the relaxaton modulus of lnear vscoelastc materals descrbed by Maxwell model s presented. It s proved, that f the real relaxaton modulus s four-element Maxwell and the measurements are not corrupted by nose, then the dentfablty of the real parameters of the relaxaton modulus s guaranteed. It s also proved that all the computatonal tasks solved n the dentfcaton scheme are well-posed n the Hadamard sense. ext the necessary and suffcent condtons for the applcablty of the algorthm to dentfyng the four-parameter Maxwell models are derved. he effectveness of the method s demonstrated through the computaton of the relaxaton functon of the beet sugar root samples n the state of the unaxal stran. he second example usng Lanczos data s also enclosed. Key words: vscoelastcty, stress relaxaton functon, Maxwell model, dentfcaton algorthm Zaakceptowano do druku Accepted for prnt: echnca Agrara 4() 005

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO DO OPRACOWANIA STRATEGII REDUKCJI EMISJI GAZÓW

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO DO OPRACOWANIA STRATEGII REDUKCJI EMISJI GAZÓW ZASTOSOWANIE PROGRAOWANIA DYNAICZNEGO DO OPRACOWANIA STRATEGII REDUKCJI EISJI GAZÓW ANDRZEJ KAŁUSZKO Instytut Bada Systemowych Streszczene W pracy opsano zadane efektywnego przydzału ogranczonych rodków

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II

aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) GRY KONFLIKTOWE GRY -OSOBOWE O SUMIE WYPŁT ZERO I. DEFINICJE TWIERDZENI Konflktowe gr dwuosobowe opsuje macerz wpłat ( a ) [ ] mxn j,b j gdze: aj

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-1)

LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-1) LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-) wwwmuepolslpl/~wwwzmape Opracował: Dr n Jan Około-Kułak Sprawdzł: Dr hab n Janusz Kotowcz Zatwerdzł: Dr hab n Janusz Kotowcz Cel wczena Celem wczena jest

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO Walenty OWIECZKO WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI A IEPEWOŚĆ WYIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO STRESZCZEIE W artykule przedstaono ynk analzy nepenośc pomaru ybranych cech obektu obrazu cyfroego. Wyznaczono

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH

OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I P O Z N AŃSKIEJ Nr Budowa Maszyn Zarządzane Produkcją 005 PIOTR GORZELAŃCZYK, JAN ADAM KOŁODZIEJ OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI

Bardziej szczegółowo

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 2(88)/2012

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 2(88)/2012 ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW (88)/01 Hubert Sar, Potr Fundowcz 1 WYZNACZANIE ASOWEGO OENTU BEZWŁADNOŚCI WZGLĘDE OSI PIONOWEJ DLA SAOCHODU TYPU VAN NA PODSTAWIE WZORU EPIRYCZNEGO 1. Wstęp asowy moment

Bardziej szczegółowo

KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO JAKOŚĆ MIERZONA WARTOŚCIĄ WSPÓŁCZYNNIKA R 2 (K)

KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO JAKOŚĆ MIERZONA WARTOŚCIĄ WSPÓŁCZYNNIKA R 2 (K) STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 31 Mchał Kolupa Poltechnka Radomska w Radomu Joanna Plebanak Szkoła Główna Handlowa w Warszawe KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO

Bardziej szczegółowo

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej

Bardziej szczegółowo

ORGANIZACJA ZAJĘĆ OPTYMALIZACJA GLOBALNA WSTĘP PLAN WYKŁADU. Wykładowca dr inż. Agnieszka Bołtuć, pokój 304, e-mail: aboltuc@ii.uwb.edu.

ORGANIZACJA ZAJĘĆ OPTYMALIZACJA GLOBALNA WSTĘP PLAN WYKŁADU. Wykładowca dr inż. Agnieszka Bołtuć, pokój 304, e-mail: aboltuc@ii.uwb.edu. ORGANIZACJA ZAJĘĆ Wykładowca dr nż. Agneszka Bołtuć, pokój 304, e-mal: aboltuc@.uwb.edu.pl Lczba godzn forma zajęć: 15 godzn wykładu oraz 15 godzn laboratorum 15 godzn projektu Konsultacje: ponedzałk 9:30-11:00,

Bardziej szczegółowo

9 konkurs ICT Objective: 9.11 FET Proactive Neuro-bio. 9 konkurs ICT

9 konkurs ICT Objective: 9.11 FET Proactive Neuro-bio. 9 konkurs ICT Dzeń Informacyjny ICT dla podmotów zanteresowanych uczestnctwem w mędzynarodowych projektach B+R w ramach 7 Programu Ramowego: 9 konkurs ICT Warszawa, 31.01.2012 9 konkurs ICT Objectve: 9.11 FET Proactve

Bardziej szczegółowo

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ], STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE POLITHNIKA RZSZOWSKA Katedra Podstaw lektronk Instrkcja Nr4 F 00/003 sem. letn TRANZYSTOR IPOLARNY HARAKTRYSTYKI STATYZN elem ćwczena jest pomar charakterystyk statycznych tranzystora bpolarnego npn lb

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE CZASU MIESZANIA WIELOSKŁADNIKOWEGO UKŁADU ZIARNISTEGO PODCZAS MIESZANIA Z RECYRKULACJĄ SKŁADNIKÓW

OKREŚLENIE CZASU MIESZANIA WIELOSKŁADNIKOWEGO UKŁADU ZIARNISTEGO PODCZAS MIESZANIA Z RECYRKULACJĄ SKŁADNIKÓW Inżynera Rolncza 8(96)/2007 OKREŚLENIE CZASU MIESZANIA WIELOSKŁADNIKOWEGO UKŁADU ZIARNISTEGO PODCZAS MIESZANIA Z RECYRKULACJĄ SKŁADNIKÓW Jolanta Królczyk, Marek Tukendorf Katedra Technk Rolnczej Leśnej,

Bardziej szczegółowo

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe

Bardziej szczegółowo

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA WYBORU ARCHITEKTURY SIECI NEURONOWYCH - FINANSOWE CZY BŁ DU PROGNOZY

KRYTERIA WYBORU ARCHITEKTURY SIECI NEURONOWYCH - FINANSOWE CZY BŁ DU PROGNOZY KRYTERIA WYBORU ARCHITEKTURY SIECI NEURONOWYCH - FINANSOWE CZY BŁDU PROGNOZY HENRYK MARJAK Zachodnopomorsk Unwersytet Technologczny w Szczecne Streszczene Klasyczne podejce do zastosowana sec neuronowych

Bardziej szczegółowo

System M/M/1/L. λ = H 0 µ 1 λ 0 H 1 µ 2 λ 1 H 2 µ 3 λ 2 µ L+1 λ L H L+1. Jeli załoymy, e λ. i dla i = 1, 2,, L+1 oraz

System M/M/1/L. λ = H 0 µ 1 λ 0 H 1 µ 2 λ 1 H 2 µ 3 λ 2 µ L+1 λ L H L+1. Jeli załoymy, e λ. i dla i = 1, 2,, L+1 oraz System M/M// System ten w odrónenu do wczenej omawanych systemów osada kolejk. Jednak jest ona ogranczona, jej maksymalna ojemno jest wartoc skoczon

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI

OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 36, s. 187-192, Glwce 2008 OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI ZBIGNIEW KOSMA, BOGDAN NOGA Instytut Mechank Stosowane,

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POBLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO

OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POBLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 81 Electrcal Engneerng 015 Mkołaj KSIĄŻKIEWICZ* OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 ZESZYTY NAUKOWE NSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 Hubert Sar, Potr Fundowcz 1 WYZNACZANE MASOWEGO MOMENTU BEZWŁADNOŚC WZGLĘDEM OS PODŁUŻNEJ DLA SAMOCHODU TYPU VAN NA PODSTAWE WZORÓW DOŚWADCZALNYCH 1. Wstęp

Bardziej szczegółowo

Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model

Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model Jadwga LAL-JADZIAK Unwersytet Zelonogórsk Instytut etrolog Elektrycznej Elżbeta KAWECKA Unwersytet Zelonogórsk Instytut Informatyk Elektronk Ocena dokładnośc estymacj funkcj korelacyjnych z użycem modelu

Bardziej szczegółowo

WikiWS For Business Sharks

WikiWS For Business Sharks WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej...

Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej... Adam Waszkowsk * Adam Waszkowsk Zastosowane welowymarowej analzy porównawczej w doborze spó³ek do portfela nwestycyjnego Zastosowane welowymarowej analzy porównawczej... Wstêp Na warszawskej Ge³dze Paperów

Bardziej szczegółowo

Neural networks. Krótka historia 2004-05-30. - rozpoznawanie znaków alfanumerycznych.

Neural networks. Krótka historia 2004-05-30. - rozpoznawanie znaków alfanumerycznych. Neural networks Lecture Notes n Pattern Recognton by W.Dzwnel Krótka hstora McCulloch Ptts (1943) - perwszy matematyczny ops dzalana neuronu przetwarzana przez nego danych. Proste neurony, które mogly

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM SRM

BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM SRM Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 88/2010 13 Potr Bogusz Marusz Korkosz Jan Prokop POLITECHNIKA RZESZOWSKA Wydzał Elektrotechnk Informatyk BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE NR x(xx) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Metody wymiarowania obszaru manewrowego statku oparte na badaniach rzeczywistych

ZESZYTY NAUKOWE NR x(xx) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Metody wymiarowania obszaru manewrowego statku oparte na badaniach rzeczywistych ISSN 009-069 ZESZYTY NUKOWE NR () KDEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE IV MIĘDZYNRODOW KONFERENCJ NUKOWO-TECHNICZN E X P L O - S H I P 0 0 6 Paweł Zalewsk, Jakub Montewka Metody wymarowana obszaru manewrowego

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 1 z 14 METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW dr hab. nż. Marusz B. Bogack Marusz.Bogack@put.poznan.pl www.fct.put.poznan.pl/cv23.htm Marusz B. Bogack 1 Metody

Bardziej szczegółowo

PROCEDURA OCENY EFEKTÓW KSZTAŁCENIA, OSI GANYCH PRZEZ STUDENTÓW SPECJALNO CI INFORMATYCZNYCH

PROCEDURA OCENY EFEKTÓW KSZTAŁCENIA, OSI GANYCH PRZEZ STUDENTÓW SPECJALNO CI INFORMATYCZNYCH PROCEDURA OCENY EFEKTÓW KSZTAŁCENIA, OSIGANYCH PRZEZ STUDENTÓW SPECJALNOCI INFORMATYCZNYCH WALERY SUSŁOW, ADAM SŁOWIK, TOMASZ KRÓLIKOWSKI Streszczene W nnejszym artykule przedstawono procedury organzacyjne

Bardziej szczegółowo

ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO

ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO Artur Zaborsk Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO Wprowadzene Od ukazana

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

Sieci Neuronowe 1 Michał Bereta

Sieci Neuronowe 1 Michał Bereta Wprowadzene Zagadnena Sztucznej Intelgencj laboratorum Sec Neuronowe 1 Mchał Bereta Sztuczne sec neuronowe można postrzegać jako modele matematyczne, które swoje wzorce wywodzą z bolog obserwacj ludzkch

Bardziej szczegółowo

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2 T A R C Z A Z E G A R O W A ASTYGMATYZM 1.Pojęca ogólne a) astygmatyzm prosty (najbardzej zgodny z pozomem) - najbardzej płask połudnk tzn. o najmnejszej mocy jest pozomy b) astygmatyzm odwrotny (najbardzej

Bardziej szczegółowo

PRZENOŚNY ANALIZATOR DIAGNOSTYCZNY DO WYKRYWANIA USZKODZEŃ STOJANA I WIRNIKA W SILNIKACH INDUKCYJNYCH

PRZENOŚNY ANALIZATOR DIAGNOSTYCZNY DO WYKRYWANIA USZKODZEŃ STOJANA I WIRNIKA W SILNIKACH INDUKCYJNYCH Zeszyty problemowe Maszyny Elektryczne Nr 00/03 cz. I 77 Marcn Pawlak Poltechnka Wrocławska PRZENOŚNY ANALIZATOR DIAGNOSTYCZNY DO WYKRYWANIA USZKODZEŃ STOJANA I WIRNIKA W SILNIKACH INDUKCYJNYCH PORTABLE

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA . OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,

Bardziej szczegółowo

ZMODYFIKOWANA METODA ZASILANIA I STEROWANIA SILNIKA RELUKTANCYJNEGO PRZEŁĄCZALNEGO

ZMODYFIKOWANA METODA ZASILANIA I STEROWANIA SILNIKA RELUKTANCYJNEGO PRZEŁĄCZALNEGO Maszyny Elektryczne Zeszyty Problemowe r 3/2015 (107) 51 Potr Bogusz, Marusz Korkosz, Jan Prokop Poltechnka Rzeszowska ZMODYFIKOWAA METODA ZASILAIA I STEROWAIA SILIKA RELUKTACYJEGO PRZEŁĄCZALEGO MODIFIED

Bardziej szczegółowo

Metody predykcji analiza regresji

Metody predykcji analiza regresji Metody predykcj analza regresj TPD 008/009 JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyk Poltechnka Poznańska Przebeg wykładu. Predykcja z wykorzystanem analzy regresj.. Przypomnene wadomośc z poprzednch przedmotów..

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE KSZTAŁTOWANIA SIĘ MIKROKLIMATU BUDYNKÓW INWENTARSKICH MOśLIWOŚCI I OGRANICZENIA

PROGNOZOWANIE KSZTAŁTOWANIA SIĘ MIKROKLIMATU BUDYNKÓW INWENTARSKICH MOśLIWOŚCI I OGRANICZENIA InŜynera Rolncza 7/2005 Jan Radoń Katedra Budownctwa Weskego Akadema Rolncza w Krakowe PROGNOZOWANIE KSZTAŁTOWANIA SIĘ MIKROKLIMATU BUDYNKÓW INWENTARSKICH MOśLIWOŚCI I OGRANICZENIA Streszczene Opsano nawaŝnesze

Bardziej szczegółowo

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII Tadeusz Kwlosz Instytut Nafty Gazu, Oddzał Krosno Zastosowane metody statystycznej do oszacowana zapasu strategcznego PMG, z uwzględnenem nepewnośc wyznaczena parametrów

Bardziej szczegółowo

Modelowanie charakterystyki przy œciskaniu oraz w³aœciwoœci u ytkowe hiperelastycznych materia³ów poliuretanowych stosowanych w budowie maszyn

Modelowanie charakterystyki przy œciskaniu oraz w³aœciwoœci u ytkowe hiperelastycznych materia³ów poliuretanowych stosowanych w budowie maszyn 544 POLIMERY 8, 53, nr 7 8 AA BOZKOWSKA ), KAMIL BABSKI ), JERZY OSIÑSKI ), PIOTR AH ) Modelowane charakterystyk przy œcskanu oraz w³aœcwoœc u ytkowe hperelastycznych matera³ów poluretanowych stosowanych

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ Jan JANKOWSKI *), Maran BOGDANIUK *),**) SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ W referace przedstawono równana ruchu statku w warunkach falowana morza oraz

Bardziej szczegółowo

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej

Bardziej szczegółowo

APLIKACJA METODY BADAŃ WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH ZAWIESZEŃ POJAZDÓW SAMOCHODOWYCH O DMC POWYŻEJ 3,5 TONY W PROGRAMIE LABVIEW

APLIKACJA METODY BADAŃ WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH ZAWIESZEŃ POJAZDÓW SAMOCHODOWYCH O DMC POWYŻEJ 3,5 TONY W PROGRAMIE LABVIEW ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 015 Sera: TRANSPORT z. 86 Nr kol. 196 Jan WARCZEK, Kaml BRONCEL APLIKACJA METODY BADAŃ WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH ZAWIESZEŃ POJAZDÓW SAMOCHODOWYCH O DMC POWYŻEJ 3,5 TONY

Bardziej szczegółowo

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA Krzysztof Serżęga Wyższa Szkoła Informatyk Zarządzana w Rzeszowe Streszczene Artykuł porusza temat zwązany

Bardziej szczegółowo

Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane

Bardziej szczegółowo

Zadanie na wykonanie Projektu Zespołowego

Zadanie na wykonanie Projektu Zespołowego Zadane na wykonane Projektu Zespołowego Celem projektu jest uzyskane następującego szeregu umejętnośc praktycznych: umejętnośc opracowana równoległych wersj algorytmów (na przykładze algorytmów algebry

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe fraktalnych basenów przyciągania.

Modelowanie komputerowe fraktalnych basenów przyciągania. Modelowane komputerowe fraktalnych basenów przycągana. Rafał Henryk Kartaszyńsk Unwersytet Mar Cure-Skłodowskej Pl. M. Cure-Skłodowskej 1, 0-031 Lubln, Polska Streszczene. W artykule tym zajmujemy sę prostym

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *)

ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *) Wojcech KRAJEWSKI ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *) STRESZCZENIE W artykule przeprowadzono analzę dokładnośc metod:

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Janik. Instytut Kształtowania i Ochrony Środowiska, Akademia Rolnicza Pl. Grunwaldzki 24, 50-363 Wrocław e-mail: janik@miks.ar.wroc.

Grzegorz Janik. Instytut Kształtowania i Ochrony Środowiska, Akademia Rolnicza Pl. Grunwaldzki 24, 50-363 Wrocław e-mail: janik@miks.ar.wroc. Acta Agrophysca, 26, 8(), 3-7 DYNAMIKA WILGOTNOŚCI WIERZCHNIEJ WARSTWY GLEBY JAKO INFORMACJA O INTENSYWNOŚCI AROWANIA * Grzegorz Jank Instytut Kształtowana Ochrony Środowska, Akadema Rolncza l. Grunwaldzk

Bardziej szczegółowo

ANALIZA I MODELOWANIE SIECI TRANSPORTOWYCH Z WYKORZYSTANIEM SIECI Z O ONYCH

ANALIZA I MODELOWANIE SIECI TRANSPORTOWYCH Z WYKORZYSTANIEM SIECI Z O ONYCH PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 97 Transport 2013 Zbgnew Tarapata Wojskowa Akadema Technczna, Wydza Cybernetyk ANALIZA I MODELOWANIE SIECI TRANSPORTOWYCH Z WYKORZYSTANIEM SIECI ZOONYCH Rkops

Bardziej szczegółowo

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO 3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STŁEGO I PRZEMIENNEGO 3.1. Cel zakres ćwczena Celem ćwczena jest zapoznane sę z podstawowym właścwoścam łuku elektrycznego palącego sę swobodne, w powetrzu o cśnentmosferycznym.

Bardziej szczegółowo

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE METOD ANALIZY EFEKTYWNOŚCI NA PRZYKŁADZIE SERWERA APLIKACJI W SIECI LOKALNEJ

PORÓWNANIE METOD ANALIZY EFEKTYWNOŚCI NA PRZYKŁADZIE SERWERA APLIKACJI W SIECI LOKALNEJ STUDI IFORMTIC Volume 3 umber 3 (98) Tadeusz CZCHÓRSKI, Krzysztof GROCHL Instytut Informatyk Teoretycznej Stosowanej Polskej kadem auk dam JÓZEFIOK, Tomasz YCZ Poltechnka Śląska, Instytut Informatyk PORÓWIE

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 1 Statystyka opsowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 W statystyce opsowej mamy pełne nformacje

Bardziej szczegółowo

Wielokategorialne systemy uczące się i ich zastosowanie w bioinformatyce. Rafał Grodzicki

Wielokategorialne systemy uczące się i ich zastosowanie w bioinformatyce. Rafał Grodzicki Welokategoralne systemy uząe sę h zastosowane w bonformatye Rafał Grodzk Welokategoralny system uząy sę (multlabel learnng system) Zbór danyh weśowyh: d X = R Zbór klas (kategor): { 2 } =...Q Zbór uząy:

Bardziej szczegółowo

( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu.

( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu. Elementy rchunku prwdopodoeństw f 0 f() - gęstość rozkłdu prwdopodoeństw X f d P< < = f( d ) F = f( tdt ) - dystryunt rozkłdu E( X) = tf( t) dt - wrtość średn D ( X) = E( X ) E( X) - wrncj = f () F ()

Bardziej szczegółowo

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału 5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B

Bardziej szczegółowo

Zmodyfikowana technika programowania dynamicznego

Zmodyfikowana technika programowania dynamicznego Zmodyfkowana technka programowana dynamcznego Lech Madeysk 1, Zygmunt Mazur 2 Poltechnka Wrocławska, Wydzał Informatyk Zarządzana, Wydzałowy Zakład Informatyk Wybrzeże Wyspańskego 27, 50-370 Wrocław Streszczene.

Bardziej szczegółowo

POMIAR MOCY MECHANICZNEJ MASZYN ELEKTRYCZNYCH POPRZEZ POMIAR KĄTA SKRĘCENIA WAŁU

POMIAR MOCY MECHANICZNEJ MASZYN ELEKTRYCZNYCH POPRZEZ POMIAR KĄTA SKRĘCENIA WAŁU Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne r 82/2009 236 omasz Barszcz, Jacek rbanek, Akadema Górnczo Hutncza, Kraków Bernard Schmdt, EC Systems Sp. z o.o., Kraków POMIAR MOCY MECHAICZEJ MASZY ELEKRYCZYCH

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie lokalizacji obiektu logistycznego z zastosowaniem metody wyważonego środka ciężkości studium przypadku

Wyznaczanie lokalizacji obiektu logistycznego z zastosowaniem metody wyważonego środka ciężkości studium przypadku B u l e t y n WAT Vo l. LXI, Nr 3, 2012 Wyznaczane lokalzacj obektu logstycznego z zastosowanem metody wyważonego środka cężkośc studum przypadku Emla Kuczyńska, Jarosław Zółkowsk Wojskowa Akadema Technczna,

Bardziej szczegółowo

STAN DYNAMICZNY MASZYN

STAN DYNAMICZNY MASZYN ...le zaczte - le s koczy... ROZDZIAŁ II STAN DYNAMICZNY MASZYN 1. WSTP 2. POWSTAWANIE OBCIE DYNAMICZNYCH 3. STUDIUM DYNAMIKI MASZYN 4. IDEALIZACJA UKŁADÓW RZECZYWISTYCH 5. DRGANIA W BUDOWIE MASZYN 1.

Bardziej szczegółowo

WSKAŹNIK OCENY HIC SAMOCHODU OSOBOWEGO W ASPEKCIE BEZPIECZEŃSTWA RUCHU DROGOWEGO

WSKAŹNIK OCENY HIC SAMOCHODU OSOBOWEGO W ASPEKCIE BEZPIECZEŃSTWA RUCHU DROGOWEGO WSKAŹNIK OCENY SAMOCHODU OSOBOWEGO W ASPEKCIE BEZPIECZEŃSTWA RUCHU DROGOWEGO Dagmara KARBOWNICZEK 1, Kazmerz LEJDA, Ruch cała człoweka w samochodze podczas wypadku drogowego zależy od sztywnośc nadwoza

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA WAHANIA SEZONOWE

PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA WAHANIA SEZONOWE STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36 Krzysztof Dmytrów * Marusz Doszyń ** Unwersytet Szczecńsk PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA

Bardziej szczegółowo

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010 EKONOMETRIA I Spotkane, dn. 5..2 Dr Katarzyna Beń Program ramowy: http://www.sgh.waw.pl/nstytuty/e/oferta_dydaktyczna/ekonometra_stacjonarne_nest acjonarne/ Zadana, dane do zadań, ważne nformacje: http://www.e-sgh.pl/ben/ekonometra

Bardziej szczegółowo

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE Janusz Wątroba, StatSoft Polska Sp. z o.o. W nemal wszystkch dzedznach badań emprycznych mamy do czynena ze złożonoścą zjawsk procesów.

Bardziej szczegółowo

STEROWANIE FORMACJĄ ROBOTÓW METODĄ ŚLEDZENIA LIDERA

STEROWANIE FORMACJĄ ROBOTÓW METODĄ ŚLEDZENIA LIDERA MODEOWANIE INŻYNIERSKIE nr 45, t. 14, rok 01 ISSN 1896-771X STEROWANIE FORMACJĄ ROBOTÓW METODĄ ŚEDZENIA IDERA Andrzej Burghardt 1a, Zenon Hendzel 1b, Józef ergel 1c, Marcn Nawrock d 1 Katedra Mechank Stosowanej

Bardziej szczegółowo

Autoreferat. 2. Posiadane dyplomy, stopnie naukowe z podaniem nazwy, miejsca i roku ich uzyskania oraz tytułu rozprawy doktorskiej

Autoreferat. 2. Posiadane dyplomy, stopnie naukowe z podaniem nazwy, miejsca i roku ich uzyskania oraz tytułu rozprawy doktorskiej Załącznk 2 Autoreferat 1. Imę nazwsko: Grzegorz Lentka 2. Posadane dyplomy, stopne naukowe z podanem nazwy, mejsca roku ch uzyskana oraz tytułu rozprawy doktorskej Magster nżyner dyplom z wyróżnenem Wydzał

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

MIARY ZALEŻNOŚCI ANALIZA STATYSTYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU METALI NIEŻELAZNYCH

MIARY ZALEŻNOŚCI ANALIZA STATYSTYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU METALI NIEŻELAZNYCH Domnk Krężołek Unwersytet Ekonomczny w Katowcach MIARY ZALEŻNOŚCI ANALIZA AYYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU MEALI NIEŻELAZNYCH Wprowadzene zereg czasowe obserwowane na rynkach kaptałowych

Bardziej szczegółowo

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie Proste modele ze złożonym zachowanem czyl o chaose 29 kwetna 2014 Komputer jest narzędzem coraz częścej stosowanym przez naukowców do ukazywana skrzętne ukrywanych przez naturę tajemnc. Symulacja, obok

Bardziej szczegółowo

Udoskonalona metoda obliczania mocy traconej w tranzystorach wzmacniacza klasy AB

Udoskonalona metoda obliczania mocy traconej w tranzystorach wzmacniacza klasy AB Julusz MDZELEWSK Wydzał Eletron Techn nformacyjnych, nstytut Radoeletron, oltechna Warszawsa do:0.599/48.05.09.36 dosonalona metoda oblczana mocy traconej w tranzystorach wzmacnacza lasy AB Streszczene.

Bardziej szczegółowo

Kompleksowa automatyzacja i monitorowanie sieci sn kluczowym elementem poprawy niezawodności i ciągłości dostaw energii

Kompleksowa automatyzacja i monitorowanie sieci sn kluczowym elementem poprawy niezawodności i ciągłości dostaw energii mgr nż. Stansław Kuback dr nż. Jacek Śwdersk mgr nż. Marcn Tarasuk Kompleksowa automatyzacja montorowane sec sn kluczowym elementem poprawy nezawodnośc cągłośc dostaw energ 1. Wstęp Prawodawstwo Un Europejskej

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE CENTRALNYCH ROTATABILNYCH PLANÓW KOMPOZYCYJNYCH W OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW METODY BALL-CRATERING

ZASTOSOWANIE CENTRALNYCH ROTATABILNYCH PLANÓW KOMPOZYCYJNYCH W OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW METODY BALL-CRATERING 6-2013 T R I B O L O G I A 77 Edyta OSUCH-SŁOMKA *, Ryszard RUTA * ZASTOSOWANIE CENTRALNYCH ROTATABILNYCH PLANÓW KOMPOZYCYJNYCH W OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW METODY BALL-CRATERING APPLICATION OF THE CENTRAL

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE DYNAMIKI PRZESYŁÓW TCP/IP Z UWZGLĘDNIENIEM MECHANIZMU RED 1

MODELOWANIE DYNAMIKI PRZESYŁÓW TCP/IP Z UWZGLĘDNIENIEM MECHANIZMU RED 1 STUDIA INFORMATICA 2012 Volume 33 Number 3A (107) Monka M. NYCZ Poltechnka Śląska, Instytut Informatyk Tadeusz CZACHÓRSKI Instytut Informatyk Teoretycznej Stosowanej Polskej Akadem Nauk MODELOWANIE DYNAMIKI

Bardziej szczegółowo

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadane teoretyczne Rozwąż dowolne rzez sebe wybrane dwa sośród odanych nże zadań: ZADANIE T Nazwa zadana: Protony antyrotony A. Cząstk o mase równe mase rotonu, ale

Bardziej szczegółowo

Oddzia³ywanie indukcyjne linii elektroenergetycznych wysokiego napiêcia na gazoci¹gi czêœæ I

Oddzia³ywanie indukcyjne linii elektroenergetycznych wysokiego napiêcia na gazoci¹gi czêœæ I WOJCIECH MACHCYÑSKI Instytut Elektrotechnk Przemys³owej, Poltechnka Poznañska, Poznañ WOJCIECH SOKÓLSKI SPP Corrpol, Gdañsk Oddza³ywane ndukcyjne ln elektroeneretycznych wysokeo napêca na azoc¹ czêœæ I

Bardziej szczegółowo

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ Autor: Joanna Wójcik

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ   Autor: Joanna Wójcik Opracowane w ramach projektu System Przecwdzałana Powstawanu Bezroboca na Terenach Słabo Zurbanzowanych ze środków Europejskego Funduszu Społecznego w ramach Incjatywy Wspólnotowej EQUAL PARTNERSTWO NA

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ IV REALIZACJA BADA

ROZDZIAŁ IV REALIZACJA BADA ...ne tra ngdy czasu na ogldane s za sebe, kto moe c włane dogana... ROZDZIAŁ IV REALIZACJA BADA 4. Wstp Poprawne przygotowane bada oparte o przedstawone zasady realzacj, omówone w poprzednm rozdzale dotycz

Bardziej szczegółowo

Materiały z II Konferencji Naukowo-Technicznej "Diagnostyka w sieciach elektroenergetycznych zakładów przemysłowych", Płock, 2001, str.3-10.

Materiały z II Konferencji Naukowo-Technicznej Diagnostyka w sieciach elektroenergetycznych zakładów przemysłowych, Płock, 2001, str.3-10. Materały z II Konferencj Naukowo-Techncznej "Dagnostyka w secach elektroenergetycznych zakładów przemysłoch", Płock, 001, str.3-10. Andrzej OLENCKI Poltechnka Zelonogórska, 65-46 Zelona Góra, ul. Podgórna

Bardziej szczegółowo

ANALIZA TEKSTUR W OBRAZACH CYFROWYCH I JEJ ZASTOSOWANIE DO OBRAZÓW ANGIOGRAFICZNYCH

ANALIZA TEKSTUR W OBRAZACH CYFROWYCH I JEJ ZASTOSOWANIE DO OBRAZÓW ANGIOGRAFICZNYCH POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI I TECHNIK INFORMACYJNYCH INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI STOSOWANEJ mgr n. Ewa Sntkowska ANALIZA TEKSTUR W OBRAZACH CYFROWYCH I JEJ ZASTOSOWANIE DO OBRAZÓW

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych W rozdzale 8, część I przedstawono elementarne nformacje dotyczące metod oceny decyzj nwestycyjnych.

Bardziej szczegółowo

Programowanie wielokryterialne

Programowanie wielokryterialne Prgramwane welkryteralne. Pdstawwe defncje znaczena. Matematyczny mdel sytuacj decyzyjnej Załóżmy, że decydent dknując wybru decyzj dpuszczalnej x = [ x,..., xn ] D keruje sę szeregem kryterów f,..., f.

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH

ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH Grzegorz PRZEKOTA ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH Zarys treśc: W pracy podjęto problem dentyfkacj cykl gełdowych.

Bardziej szczegółowo

WERYFIKACJA EKONOMETRYCZNA MODELU CAPM II RODZAJU DLA RÓŻNYCH HORYZONTÓW STÓP ZWROTU I PORTFELI RYNKOWYCH

WERYFIKACJA EKONOMETRYCZNA MODELU CAPM II RODZAJU DLA RÓŻNYCH HORYZONTÓW STÓP ZWROTU I PORTFELI RYNKOWYCH SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA PWSZ m. J. A. Komeńskego w Leszne R o k 0 0 8, n r 6 TOMASZ ŚWIST* WERYFIKACJA EKONOMETRYCZNA MODELU CAPM II RODZAJU DLA RÓŻNYCH HORYZONTÓW STÓP ZWROTU I PORTFELI RYNKOWYCH

Bardziej szczegółowo

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne ś POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA PROWADZĄCY: mgr nż. Łukasz Amanowcz Systemy Ochrony Powetrza Ćwczena Laboratoryjne 2 TEMAT ĆWICZENIA: Oznaczane lczbowego rozkładu lnowych projekcyjnych

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI

MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI Alcja Wolny-Domnak Unwersytet Ekonomczny w Katowcach MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI Wprowadzene

Bardziej szczegółowo

7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera

7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera Wocech Grega, Metody Optymalzac 7 Wykład VII: Warunk Kuhna-Tuckera 7 Warunk koneczne stnena ekstremum Rozważane est zadane z ogranczenam nerównoścowym w postac: mn F( x ) x X X o F( x ), o { R x : h n

Bardziej szczegółowo

Określanie zapasu wody pod stępką w porcie Ystad na podstawie badań symulacyjnych

Określanie zapasu wody pod stępką w porcie Ystad na podstawie badań symulacyjnych Scentfc Journals Martme Unversty of Szczecn Zeszyty Naukowe Akadema Morska w Szczecne 2008, 13(85) pp. 22 28 2008, 13(85) s. 22 28 Określane zapasu wody pod stępką w porce Ystad na podstawe badań symulacyjnych

Bardziej szczegółowo

WPŁYW POSTACI FUNKCJI JAKOŚCI ORAZ WAG KRYTERIÓW CZĄSTKOWYCH NA WYNIKI OPTYMALIZACJI ZDERZENIA METODĄ GENETYCZNĄ

WPŁYW POSTACI FUNKCJI JAKOŚCI ORAZ WAG KRYTERIÓW CZĄSTKOWYCH NA WYNIKI OPTYMALIZACJI ZDERZENIA METODĄ GENETYCZNĄ PIOTR KRZEMIEŃ *, ANDRZEJ GAJEK ** WPŁYW POSTACI FUNKCJI JAKOŚCI ORAZ WAG KRYTERIÓW CZĄSTKOWYCH NA WYNIKI OPTYMALIZACJI ZDERZENIA METODĄ GENETYCZNĄ THE INFLUENCE OF THE SHAPE OF THE QUALITY FUNCTION AND

Bardziej szczegółowo

Computer maintenance managing systems (CMMs) in mining machinery and equipment exploitation

Computer maintenance managing systems (CMMs) in mining machinery and equipment exploitation Scen fc Journals Mar me Unversty of Szczecn Zeszyty Naukoe Akadema Morska Szczecne 2009, 19(91) pp. 10 15 2009, 19(91) s. 10 15 Computer mantenance managng systems (CMMs) n mnng machnery and equpment explotaton

Bardziej szczegółowo