aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II

Transkrypt

1 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) GRY KONFLIKTOWE GRY -OSOBOWE O SUMIE WYPŁT ZERO I. DEFINICJE TWIERDZENI Konflktowe gr dwuosobowe opsuje macerz wpłat ( a ) [ ] mxn j,b j gdze: aj - wgrana gracza I bj - wgrana gracza II Jeel suma wpłat jest równa zero, tj. aj + bj to gr nazwam dwuosobow gr macerzow o sume wpłat zero. Macerz wpłat takej gr jest wc nastpujca [( a, a )] mxn j j W tej stuacj macerz wpłat moe opswa tlko wgrane jednego z gracz. Przjto bdze to gracz I; zatem wgrane gracza II bd automatczne lczbam przecwnm do wgranch gracza I. Def. Macerz wpłat gr dwuosobowej o sume wpłat zero ma posta mxn [ a ] j Element macerz s wgranm gracza I jednoczene przegranm gracza II.

2 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) Def. Stratega meszana Wektor werszow opsujc czsto stosowana poszczególnch strateg przez gracza I. X xm [ x x x m ]... gdze: x dla,,...,m oraz m x Wektor kolumnow opsujc czsto stosowana poszczególnch strateg przez gracza II Y nx... n gdze: j dla j,,...,n oraz n j j Def. Stratega czsta Jeel X lub Y s wersoram to nazwam je strategam czstm. Def. Funkcj wpłat nazwam oczekwan wgran gracza I (nadzej matematczn wgranej gracza I) E ( X Y), XY m n j x a j j

3 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 3 Def. Rozwzanem gr nazwam wektor [ x x x ] X m m Y n n oraz lczb rzeczwst take, e spełnone s warunk ( X ) E j ( ), dla strateg czstch gracza II j,,...,n E,Y dla strateg czstch gracza I,,...,m Stratege X oraz Y nazwam strategam optmalnm, a lczb wartoc gr. Warto gr jest oczekwan wgran (nadzej matematczn wgranej) gracza I jeel obaj gracze stosuj swoje optmalne stratege meszane X oraz Y, tj. E ( X, Y ) Tw. (H.Kuhn'a o punkce sodłowm w teor ger) Oczekwana wgrana (nadzeja matematczna) gracza I stosujcego dowoln strateg meszan X podczas gd gracz II stosuje optmaln strateg Y ne przekracza wartoc gr. I odwrotne, oczekwana wgrana gracza I stosujcego optmaln strateg X podczas gd gracz II stosuje dowoln strateg meszan Y jest ne mnejsza n warto gr ( X, Y ) ( X, Y ) ( X, Y) E E E

4 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 4 Tw. (twerdzene mnmaksowe on Neumana Morgensterna - twerdzene zasadncze ger macerzowch) Dla kadej gr macerzowej stnej s sobe równe welkoc max mn E ( X, Y) oraz mn max E ( X, Y), które odpowadaj wartoc X Y gr, tj. Y X ( X Y) ( X Y) max mn E, mn max E, X Y Y X Kada gra -osobowa o sume wpłat zero ma zawsze rozwzane. Tw. (twerdzene o lczbe stosowanch strateg) Nech m ( n ) oznacza lczb strateg jak uwa bdze postpujc optmalne gracz I (gracz II). Kad z gracz postpujc optmalne uwa bdze ne wcej strateg n wnos mnejsza z lczb m (lczba strateg gracza I) lub n (lczba strateg gracza II), tj. m mn { m, n} { } oraz n mn m, n Def. Dolna warto gr (mnmalna wgrana gracza I) Lczba rzeczwsta taka, e { a } max { } gdze a mn aj Dla dolnej wartoc gr zachodz { } j max mn a j j

5 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 5 Def. Górna warto gr (maksmalna przegrana gracza II) Lczba rzeczwsta taka, e mn j { a } j Dla górnej wartoc gr zachodz { } gdze a j max aj { j} mnmax a j Sposób okrelana dolnej ( ) górnej ( ) wartoc gr nos nazw zasad mnmaksu, tj. zasad odzwercedlajcej ostrone postpowane obu gracz. [ 3] [ ] [ ] 3 5 aj Def. Gra z punktem sodłowm jest to gra, w której dolna ( ) górna ( ) wartoc gr s sobe równe, tj. Def. Punkt sodłow jest to ten z elementów macerz wpłat [ ] a j, któr wznacza doln ( ) górn ( ) warto gr w grze z punktem sodłowm.

6 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 6 Tw. (twerdzene o rozwzanu gr z punktem sodłowm) Rozwzanem gr z punktem sodłowm jest para strateg czstch (wersorów) X Y oraz warto gr [ ] [ ] X [ ] Y [ ] 4 5 Def. Gra smetrczna. Gr nazwam gr smetrczn jeel macerz wpłat tej gr jest macerz skono-smetrczn, tj. [ a a ] m j j Tw. (twerdzene o rozwzanu gr smetrcznej) W grze smetrcznej optmalne stratege obu gracz s dentczne, a warto gr wnos zero, tj. X Y oraz / [ ] a X [ ] Y j 5 5 / 3/ 5/ 3/ 3 5/ 3 5

7 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 7 Tw. (twerdzene o dodanu stałej do macerz wpłat) Dla dwóch ger macerzowch B o macerzach wpłat mxn [ a j ] oraz B mxn [ b j a j + c] gdze c R \ {} wartocach gr odpowedno oraz B zachodz nastpujce zwzk:. optmalne stratege meszane sa dentczne, tj. X X oraz Y Y B B. wartoc gr rón s o stał c, tj. + c B [ ] [ ] X [ ] Y [ ] 4 5 [ ] [ 6] B + [ ] X [ ] Y B 6 B B [ ] B B B B B

8 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 8 II. ROZWIZYWNIE GIER MCIERZOWYCH II.. Redukcja macerz wpłat Redukcja macerz polega na zastpenu wjcowej macerz mxn ekwwalentn macerz kxr gdze zachodz prznajmnej jeden z przpadków k<m lub r<n. Rozwzana gr wjcowej ekwwalentnej s dentczne. Def. Wersz domnujc, zdomnowan (stratega gracza I domnujca lub zdomnowana) Mówm, e wersz t jest zdomnowan przez wersz s jeel a tj asj dla wszstkch j Wersz s-t nazwam domnujcm, a wersz t-t zdomnowanm. Def. Kolumna domnujca, zdomnowana (stratega gracza II domnujca lub zdomnowana) Mówm, e kolumna p jest zdomnowana przez kolumn r jeel a p ar dla wszstkch Kolumn r-t nazwam domnujc, a kolumn p-t zdomnowan.

9 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 9 Z wjcowej macerz mxn usuwam wszstke wersze kolumn zdomnowane. Odpowadajce m stratege ne bd uwane przez optmalne postpujcch gracz, tj. odpowedne czstoc x oraz j bd równe zero. PRZYKŁD 4 x z z z z z x x x

10 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) II.. Grafczne rozwzwane ger macerzowch Jeel przed lub po redukcj wmarów macerz wpłat ma dwa wersze lub dwe kolumn (jest macerz xn lub mx ), to odpowadajc jej gr mona rozwza grafczne. Dla gr o macerz wpłat x 3 postpowane wglda nastpujco. [ ] [ ] 3 5 x Wektor strateg meszanch obu gracz maj posta X x [ x ] Y 3 Z załoena x + x. Przjmujc x x mam x x. Std X [ x x] Wznaczam oczekwane wgrane gracza I, jeel gracz II stosuje swoje stratege czste, tj. E[ j] Nanosm otrzmane proste na układ xo. X,. Oznacza je bdzem krótko E j. O Ox ogranczm do odcnka [,] rozcgajc go neproporcjonalne w stosunku do jednostek na os O. Wstawam pomocncz prost o równanu x. O O powem z wgran, tj. z funkcj wpłat E[X,Y].

11 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) E E[ X, ] [ x x] x E E[ X, ] [ x x] x + 5 E3 E[ X, 3] [ x x] x 5 Zgodne z zasad mnmaksu okrelam dla kadej wartoc x [,] mnmaln (gwarantowan) wgran. Bd to wartoc wnkajce z E, E, E. Najwksza z mnmalnch dolnej obwedn { 3} (gwarantowanch) wgranch wstpuje prz przeccu E z E E E x + 4 x + x 3 / 4

12 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) Optmalna stratega meszana dla gracza I ma wc posta X [ 3 / 4 / 4] Warto wgranej prz x3/4 jest równa wartoc gr 5 / E E [ [ ] ] [ ] E 3 / 4 / 4, 3 / / [ ] E 3 / 4 / 4, 3 / / Gracz II ne pownen stosowa adnej swojej strateg, prz której wgrana optmalne postpujcego gracza I błab wksza od wartoc gr 5/. Mus welmnowa wszstke stratege, dla którch E[ j] Warunek tak spełna stratega 3 ponewa [ ] X, > 5 /. E X, 3 5 / 4 > 5 /. Zatem w optmalnej strateg meszanej gracza II 3. b okrel pozostałe składowe wektora Y nale rozwza pomocncz układ równa z def. + + [ Y ] [ Y ] 3 E, / 3 E, / 3 Ponewa 3, to powsz układ równa mona zastp [ Y ] [ Y ] + E, / E, /

13 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 3 Wkorzstujc dwa dowolne wbrane równana powszego układu otrzmam / oraz / Rozwzane omawanej gr o macerz wpłat x 3 jest nastpujce X [ 3 / 4 / 4] Y / / oraz 5 / Dla ger o macerz wpłat mx postpowa bdzem podobne. Rsunek dotczł bdze gracza II, o którm nale pamta, e jest zanteresowan w mnmalzacj waroc gr. Optmalne czstoc w wektorze Y wznaczm tutaj analzujc górn obwedn { E, E,..., E m }, poszukujc na nej mnmalnej wartoc gr (mnmalnej przegranej gracza II). Dla gr o macerz wpłat 3x postpowane wglda nastpujco. [ ] 3 x [ 4] 4 4 Wektor strateg meszanch obu gracz maj tutaj posta X [ x x x3 ] Y

14 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 4 +. Przjmujc. Std Z załoena Y mam Wznaczam oczekwane wgrane gracza II, jeel gracz I stosuje swoje stratege czste, tj. E[,Y ]. Oznacza je bdzem krótko E. + E E[,Y ] [ ] E E[,Y ] [ ] E E[,Y ] [ ] E E / 5

15 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 5 Optmalna stratega meszana dla gracza II ma wc posta Y / 5 3 / 5 Warto wgranej prz /5 jest równa wartoc gr E E 3 E E / 5, 5 / / 5 / 5 3, 5 / 5 3/ 5 Gracz I ne pownen stosowa adnej swojej strateg, prz której przegrana optmalne postpujcego gracza II błab mnejsza od wartoc gr (wgrana gracza I błab mnejsza od wartoc gr!!!). Mus welmnowa wszstke stratege, dla którch E[,Y ] <. Warunek tak spełna stratega ponewa [ ] E, Y 8 / 5 <. Zatem w optmalnej strateg meszanej gracza I x. b okrel pozostałe składowe wektora X nale rozwza pomocncz układ równa z def. x + x + x [ X, ] [ X, ] 3 E x x + 5x 3 E x + 4x + x 3

16 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 6 Ponewa x, to powsz układ równa mona zastp [ X, ] [ X, ] x + x 3 E x + 5x 3 E 4x + x 3 Wkorzstujc dwa dowolne wbrane równana powszego układu otrzmam x / oraz x 3 / Rozwzane omawanej gr jest nastpujce X [ / / ] Y / 5 3 / 5 oraz

17 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 7 II.3. Gr macerzowe a programowane lnowe Kadej grze macerzowej o sume wpłat zero jest równowana smetrczna para dualnch wzgldem sebe zada programowana lnowego. Wem pod uwag gr o macerz wpłat mxn. Załóm, e warto gr jest lczb dodatn, tj. > Na moc odpowednch twerdze defncj prawdzwe s dwa nastpujce układ równa nerównoc j m n x j j E[ X, j] E[, Y],,..., n które po rozpsanu maj nastpujc posta,,..., m x + x... + xm ax + ax... + am xm a nx + anx... + amn xm x x... xm n a + a... + a nn am + am... + amn n... n Podzelm obe stron powszch równa nerównoc przez warto gr (>!!!) zdefnujm nowe zmenne x x / / j j,,..., m j,,..., n Prawe stron obu perwszch równa bd mał posta /.

18 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 8 Celem gr gracza I jest maksmalzacja wartoc gr, tj. mnmalzacja welkoc /. Celem gr gracza II jest mnmalzacja wartoc gr, tj. maksmalzacja welkoc /. Prowadz to nas do nesprzecznej (gra ma zawsze rozwzane) par smetrcznch zada PL x + x... + xm mn a x + a x... + am xm a n x + an x... + amn xm x x... xm n max a + a... + a n n am + am... + amn n... n Nech X o x optmalnm, a w o o o oraz Y o j bd rozwzanam optmaln wartoc funkcj celu obu zada PL. Rozwzane gr, tj. X [ x ] oraz Y [ ] otrzmam poprzez nastpujc retransformacj j oraz warto gr o x x / w / w o,,..., m j,,..., n j o j o / w o

19 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 9 Dla gr z macerz wpłat 3 5 x < 3 odpowedna smetrczna para dualnch zada programowana lnowego jest nastpujca x x + x mn x + 4x 3x + x 5x + x x max Rozwzana optmalne obu zada s nastpujce X o [ 3 / / 5] Y o / / 5 oraz w o / 5 Natomast rozwzane gr X [ 3 / 4 / 4] Y / / oraz 5 /

20 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) Dla gr z macerz wpłat x warto gr moe b ujemna. Nale wc doda do macerz wpłat stał c >, ab warto gr bła dodatna ( > ). Stał tak moe b na przkład c + 3. Prowadz to do gr z macerz wpłat B 4 B x 3 B 3 B < dla której warto gr spełna warunek B >. B Dla gr z macerz wpłat B para dualnch zada PL ma posta x x + x mn x + 3x x + x 4x x x max

21 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) Rozwzana optmalne obu zada s nastpujce X B [ ] o / / 6 o Y B / 3 / 3 oraz w o B / 3 Std rozwzane gr z macerz wpłat B wnos X B [ 3 / 4 / 4] Y B / / oraz B 3 / Zgodne z twerdzenem o dodanu stałej do macerz wpłat rozwzane gr z macerz wpłat jest nastpujce X [ 3 / 4 / 4] Y / / oraz 3 3 / 3 3 / B

22 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) II.4. Iteracjne rozwzwane ger macerzowch Jedn z metod przblonego rozwzwana ger jest metoda smulacjna oparta na analze skumulowanch wgranch. Omówm j na przkładze. 3 5 x Proces teracjn prowadzm w tablc do momentu, gd wkonam mnmaln lczb teracj (np. 8). Po ch wkonanu moem zakocz proces smulacj gr, gd: otrzmam błd oszacowana wartoc gr (ε) ne wksz od załoonego pozomu (np. ε.) osgnem maksmaln lczb teracj (np. ) lub W kolumne (k) odnotowuje s numer becej teracj, a w kolumne (ε) błd oszacowana wartoc gr. W kolumnach (gracz II) odnotowuje s skumulowane wpłat gracza II, a w kolumnach (gracz I) skumulowane wgrane gracza I.. Smulacj rozpocznam od dodana do kolumn (gracz II) perwszego wersza macerz wpłat. W kolumnach (gracz II) wberam najmnejsz skumulowan wpłat; jest to wpłata odpowadajca strateg gracza II. Do kolumn (gracz I) dodajem zatem kolumn macerz wpłat. W kolumnach (gracz I) wberam najwksz skumulowan wgran; jest to wgrana 4 odpowadajca strateg gracza I. Tak wbór powoduje, e w kolejnej (k) teracj do kolumn (gracz II) dodajem wersz macerz wpłat.. W kolumnach (gracz II) wberam najmnejsz skumulowan wpłat; jest to wpłata 4 odpowadajca strateg gracza II. Do kolumn (gracz I) dodajem zatem kolumn macerz wpłat. W kolumnach (gracz I) wberam najwksz skumulowan wgran; jest to wgrana 5 odpowadajca strateg gracza I (wbór bł tutaj nejednoznaczn; wbrano strateg o nszm numerze). W wnku tego w kolejnej (k3) teracj do kolumn (gracz II) dodajem wersz macerz wpłat.

23 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 3 W ten sposób przebegaj kolejne teracje. Po 8 teracjach wolno nam zakocz proces oblczenow jeel błd oszacowana wartoc gr ne przekracza % (ε.). Taka stuacja ma mejsce dopero po teracjach. Rozwzane gr uzsujem zlczajc w kolumnach (gracz I) (gracz II) krotno uca kadej strateg. Dzelc te krotnoc przez lczb wkonanch teracj otrzmam oszacowana składowch wektorów X Y. Przblone rozwzane gr uzskane w wnku smulacj jest nastpujce X [ 7 / 3 / ] Y / / 3 5 x 3 4 oraz 49 / gracz II gracz I ε teracja stratega stratega stratega 3 stratega stratega k a a a 3 a j / k a a a / k ( ) / / 9/ / /3 /3 5/ 4 5 5/ 5/ 5/ 5 3 /5 4 4/5 /5 3/ / / /6 / / /7 /7 5/ 8 3 5/ 5/ 5/ /9 4 4/9 /9 3/9 + / / / / 49/ krotno uca warto gr czsto 5/ 5/ 7/ 3/ 49/