aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II"

Transkrypt

1 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) GRY KONFLIKTOWE GRY -OSOBOWE O SUMIE WYPŁT ZERO I. DEFINICJE TWIERDZENI Konflktowe gr dwuosobowe opsuje macerz wpłat ( a ) [ ] mxn j,b j gdze: aj - wgrana gracza I bj - wgrana gracza II Jeel suma wpłat jest równa zero, tj. aj + bj to gr nazwam dwuosobow gr macerzow o sume wpłat zero. Macerz wpłat takej gr jest wc nastpujca [( a, a )] mxn j j W tej stuacj macerz wpłat moe opswa tlko wgrane jednego z gracz. Przjto bdze to gracz I; zatem wgrane gracza II bd automatczne lczbam przecwnm do wgranch gracza I. Def. Macerz wpłat gr dwuosobowej o sume wpłat zero ma posta mxn [ a ] j Element macerz s wgranm gracza I jednoczene przegranm gracza II.

2 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) Def. Stratega meszana Wektor werszow opsujc czsto stosowana poszczególnch strateg przez gracza I. X xm [ x x x m ]... gdze: x dla,,...,m oraz m x Wektor kolumnow opsujc czsto stosowana poszczególnch strateg przez gracza II Y nx... n gdze: j dla j,,...,n oraz n j j Def. Stratega czsta Jeel X lub Y s wersoram to nazwam je strategam czstm. Def. Funkcj wpłat nazwam oczekwan wgran gracza I (nadzej matematczn wgranej gracza I) E ( X Y), XY m n j x a j j

3 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 3 Def. Rozwzanem gr nazwam wektor [ x x x ] X m m Y n n oraz lczb rzeczwst take, e spełnone s warunk ( X ) E j ( ), dla strateg czstch gracza II j,,...,n E,Y dla strateg czstch gracza I,,...,m Stratege X oraz Y nazwam strategam optmalnm, a lczb wartoc gr. Warto gr jest oczekwan wgran (nadzej matematczn wgranej) gracza I jeel obaj gracze stosuj swoje optmalne stratege meszane X oraz Y, tj. E ( X, Y ) Tw. (H.Kuhn'a o punkce sodłowm w teor ger) Oczekwana wgrana (nadzeja matematczna) gracza I stosujcego dowoln strateg meszan X podczas gd gracz II stosuje optmaln strateg Y ne przekracza wartoc gr. I odwrotne, oczekwana wgrana gracza I stosujcego optmaln strateg X podczas gd gracz II stosuje dowoln strateg meszan Y jest ne mnejsza n warto gr ( X, Y ) ( X, Y ) ( X, Y) E E E

4 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 4 Tw. (twerdzene mnmaksowe on Neumana Morgensterna - twerdzene zasadncze ger macerzowch) Dla kadej gr macerzowej stnej s sobe równe welkoc max mn E ( X, Y) oraz mn max E ( X, Y), które odpowadaj wartoc X Y gr, tj. Y X ( X Y) ( X Y) max mn E, mn max E, X Y Y X Kada gra -osobowa o sume wpłat zero ma zawsze rozwzane. Tw. (twerdzene o lczbe stosowanch strateg) Nech m ( n ) oznacza lczb strateg jak uwa bdze postpujc optmalne gracz I (gracz II). Kad z gracz postpujc optmalne uwa bdze ne wcej strateg n wnos mnejsza z lczb m (lczba strateg gracza I) lub n (lczba strateg gracza II), tj. m mn { m, n} { } oraz n mn m, n Def. Dolna warto gr (mnmalna wgrana gracza I) Lczba rzeczwsta taka, e { a } max { } gdze a mn aj Dla dolnej wartoc gr zachodz { } j max mn a j j

5 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 5 Def. Górna warto gr (maksmalna przegrana gracza II) Lczba rzeczwsta taka, e mn j { a } j Dla górnej wartoc gr zachodz { } gdze a j max aj { j} mnmax a j Sposób okrelana dolnej ( ) górnej ( ) wartoc gr nos nazw zasad mnmaksu, tj. zasad odzwercedlajcej ostrone postpowane obu gracz. [ 3] [ ] [ ] 3 5 aj Def. Gra z punktem sodłowm jest to gra, w której dolna ( ) górna ( ) wartoc gr s sobe równe, tj. Def. Punkt sodłow jest to ten z elementów macerz wpłat [ ] a j, któr wznacza doln ( ) górn ( ) warto gr w grze z punktem sodłowm.

6 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 6 Tw. (twerdzene o rozwzanu gr z punktem sodłowm) Rozwzanem gr z punktem sodłowm jest para strateg czstch (wersorów) X Y oraz warto gr [ ] [ ] X [ ] Y [ ] 4 5 Def. Gra smetrczna. Gr nazwam gr smetrczn jeel macerz wpłat tej gr jest macerz skono-smetrczn, tj. [ a a ] m j j Tw. (twerdzene o rozwzanu gr smetrcznej) W grze smetrcznej optmalne stratege obu gracz s dentczne, a warto gr wnos zero, tj. X Y oraz / [ ] a X [ ] Y j 5 5 / 3/ 5/ 3/ 3 5/ 3 5

7 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 7 Tw. (twerdzene o dodanu stałej do macerz wpłat) Dla dwóch ger macerzowch B o macerzach wpłat mxn [ a j ] oraz B mxn [ b j a j + c] gdze c R \ {} wartocach gr odpowedno oraz B zachodz nastpujce zwzk:. optmalne stratege meszane sa dentczne, tj. X X oraz Y Y B B. wartoc gr rón s o stał c, tj. + c B [ ] [ ] X [ ] Y [ ] 4 5 [ ] [ 6] B + [ ] X [ ] Y B 6 B B [ ] B B B B B

8 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 8 II. ROZWIZYWNIE GIER MCIERZOWYCH II.. Redukcja macerz wpłat Redukcja macerz polega na zastpenu wjcowej macerz mxn ekwwalentn macerz kxr gdze zachodz prznajmnej jeden z przpadków k<m lub r<n. Rozwzana gr wjcowej ekwwalentnej s dentczne. Def. Wersz domnujc, zdomnowan (stratega gracza I domnujca lub zdomnowana) Mówm, e wersz t jest zdomnowan przez wersz s jeel a tj asj dla wszstkch j Wersz s-t nazwam domnujcm, a wersz t-t zdomnowanm. Def. Kolumna domnujca, zdomnowana (stratega gracza II domnujca lub zdomnowana) Mówm, e kolumna p jest zdomnowana przez kolumn r jeel a p ar dla wszstkch Kolumn r-t nazwam domnujc, a kolumn p-t zdomnowan.

9 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 9 Z wjcowej macerz mxn usuwam wszstke wersze kolumn zdomnowane. Odpowadajce m stratege ne bd uwane przez optmalne postpujcch gracz, tj. odpowedne czstoc x oraz j bd równe zero. PRZYKŁD 4 x z z z z z x x x

10 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) II.. Grafczne rozwzwane ger macerzowch Jeel przed lub po redukcj wmarów macerz wpłat ma dwa wersze lub dwe kolumn (jest macerz xn lub mx ), to odpowadajc jej gr mona rozwza grafczne. Dla gr o macerz wpłat x 3 postpowane wglda nastpujco. [ ] [ ] 3 5 x Wektor strateg meszanch obu gracz maj posta X x [ x ] Y 3 Z załoena x + x. Przjmujc x x mam x x. Std X [ x x] Wznaczam oczekwane wgrane gracza I, jeel gracz II stosuje swoje stratege czste, tj. E[ j] Nanosm otrzmane proste na układ xo. X,. Oznacza je bdzem krótko E j. O Ox ogranczm do odcnka [,] rozcgajc go neproporcjonalne w stosunku do jednostek na os O. Wstawam pomocncz prost o równanu x. O O powem z wgran, tj. z funkcj wpłat E[X,Y].

11 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) E E[ X, ] [ x x] x E E[ X, ] [ x x] x + 5 E3 E[ X, 3] [ x x] x 5 Zgodne z zasad mnmaksu okrelam dla kadej wartoc x [,] mnmaln (gwarantowan) wgran. Bd to wartoc wnkajce z E, E, E. Najwksza z mnmalnch dolnej obwedn { 3} (gwarantowanch) wgranch wstpuje prz przeccu E z E E E x + 4 x + x 3 / 4

12 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) Optmalna stratega meszana dla gracza I ma wc posta X [ 3 / 4 / 4] Warto wgranej prz x3/4 jest równa wartoc gr 5 / E E [ [ ] ] [ ] E 3 / 4 / 4, 3 / / [ ] E 3 / 4 / 4, 3 / / Gracz II ne pownen stosowa adnej swojej strateg, prz której wgrana optmalne postpujcego gracza I błab wksza od wartoc gr 5/. Mus welmnowa wszstke stratege, dla którch E[ j] Warunek tak spełna stratega 3 ponewa [ ] X, > 5 /. E X, 3 5 / 4 > 5 /. Zatem w optmalnej strateg meszanej gracza II 3. b okrel pozostałe składowe wektora Y nale rozwza pomocncz układ równa z def. + + [ Y ] [ Y ] 3 E, / 3 E, / 3 Ponewa 3, to powsz układ równa mona zastp [ Y ] [ Y ] + E, / E, /

13 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 3 Wkorzstujc dwa dowolne wbrane równana powszego układu otrzmam / oraz / Rozwzane omawanej gr o macerz wpłat x 3 jest nastpujce X [ 3 / 4 / 4] Y / / oraz 5 / Dla ger o macerz wpłat mx postpowa bdzem podobne. Rsunek dotczł bdze gracza II, o którm nale pamta, e jest zanteresowan w mnmalzacj waroc gr. Optmalne czstoc w wektorze Y wznaczm tutaj analzujc górn obwedn { E, E,..., E m }, poszukujc na nej mnmalnej wartoc gr (mnmalnej przegranej gracza II). Dla gr o macerz wpłat 3x postpowane wglda nastpujco. [ ] 3 x [ 4] 4 4 Wektor strateg meszanch obu gracz maj tutaj posta X [ x x x3 ] Y

14 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 4 +. Przjmujc. Std Z załoena Y mam Wznaczam oczekwane wgrane gracza II, jeel gracz I stosuje swoje stratege czste, tj. E[,Y ]. Oznacza je bdzem krótko E. + E E[,Y ] [ ] E E[,Y ] [ ] E E[,Y ] [ ] E E / 5

15 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 5 Optmalna stratega meszana dla gracza II ma wc posta Y / 5 3 / 5 Warto wgranej prz /5 jest równa wartoc gr E E 3 E E / 5, 5 / / 5 / 5 3, 5 / 5 3/ 5 Gracz I ne pownen stosowa adnej swojej strateg, prz której przegrana optmalne postpujcego gracza II błab mnejsza od wartoc gr (wgrana gracza I błab mnejsza od wartoc gr!!!). Mus welmnowa wszstke stratege, dla którch E[,Y ] <. Warunek tak spełna stratega ponewa [ ] E, Y 8 / 5 <. Zatem w optmalnej strateg meszanej gracza I x. b okrel pozostałe składowe wektora X nale rozwza pomocncz układ równa z def. x + x + x [ X, ] [ X, ] 3 E x x + 5x 3 E x + 4x + x 3

16 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 6 Ponewa x, to powsz układ równa mona zastp [ X, ] [ X, ] x + x 3 E x + 5x 3 E 4x + x 3 Wkorzstujc dwa dowolne wbrane równana powszego układu otrzmam x / oraz x 3 / Rozwzane omawanej gr jest nastpujce X [ / / ] Y / 5 3 / 5 oraz

17 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 7 II.3. Gr macerzowe a programowane lnowe Kadej grze macerzowej o sume wpłat zero jest równowana smetrczna para dualnch wzgldem sebe zada programowana lnowego. Wem pod uwag gr o macerz wpłat mxn. Załóm, e warto gr jest lczb dodatn, tj. > Na moc odpowednch twerdze defncj prawdzwe s dwa nastpujce układ równa nerównoc j m n x j j E[ X, j] E[, Y],,..., n które po rozpsanu maj nastpujc posta,,..., m x + x... + xm ax + ax... + am xm a nx + anx... + amn xm x x... xm n a + a... + a nn am + am... + amn n... n Podzelm obe stron powszch równa nerównoc przez warto gr (>!!!) zdefnujm nowe zmenne x x / / j j,,..., m j,,..., n Prawe stron obu perwszch równa bd mał posta /.

18 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 8 Celem gr gracza I jest maksmalzacja wartoc gr, tj. mnmalzacja welkoc /. Celem gr gracza II jest mnmalzacja wartoc gr, tj. maksmalzacja welkoc /. Prowadz to nas do nesprzecznej (gra ma zawsze rozwzane) par smetrcznch zada PL x + x... + xm mn a x + a x... + am xm a n x + an x... + amn xm x x... xm n max a + a... + a n n am + am... + amn n... n Nech X o x optmalnm, a w o o o oraz Y o j bd rozwzanam optmaln wartoc funkcj celu obu zada PL. Rozwzane gr, tj. X [ x ] oraz Y [ ] otrzmam poprzez nastpujc retransformacj j oraz warto gr o x x / w / w o,,..., m j,,..., n j o j o / w o

19 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 9 Dla gr z macerz wpłat 3 5 x < 3 odpowedna smetrczna para dualnch zada programowana lnowego jest nastpujca x x + x mn x + 4x 3x + x 5x + x x max Rozwzana optmalne obu zada s nastpujce X o [ 3 / / 5] Y o / / 5 oraz w o / 5 Natomast rozwzane gr X [ 3 / 4 / 4] Y / / oraz 5 /

20 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) Dla gr z macerz wpłat x warto gr moe b ujemna. Nale wc doda do macerz wpłat stał c >, ab warto gr bła dodatna ( > ). Stał tak moe b na przkład c + 3. Prowadz to do gr z macerz wpłat B 4 B x 3 B 3 B < dla której warto gr spełna warunek B >. B Dla gr z macerz wpłat B para dualnch zada PL ma posta x x + x mn x + 3x x + x 4x x x max

21 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) Rozwzana optmalne obu zada s nastpujce X B [ ] o / / 6 o Y B / 3 / 3 oraz w o B / 3 Std rozwzane gr z macerz wpłat B wnos X B [ 3 / 4 / 4] Y B / / oraz B 3 / Zgodne z twerdzenem o dodanu stałej do macerz wpłat rozwzane gr z macerz wpłat jest nastpujce X [ 3 / 4 / 4] Y / / oraz 3 3 / 3 3 / B

22 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) II.4. Iteracjne rozwzwane ger macerzowch Jedn z metod przblonego rozwzwana ger jest metoda smulacjna oparta na analze skumulowanch wgranch. Omówm j na przkładze. 3 5 x Proces teracjn prowadzm w tablc do momentu, gd wkonam mnmaln lczb teracj (np. 8). Po ch wkonanu moem zakocz proces smulacj gr, gd: otrzmam błd oszacowana wartoc gr (ε) ne wksz od załoonego pozomu (np. ε.) osgnem maksmaln lczb teracj (np. ) lub W kolumne (k) odnotowuje s numer becej teracj, a w kolumne (ε) błd oszacowana wartoc gr. W kolumnach (gracz II) odnotowuje s skumulowane wpłat gracza II, a w kolumnach (gracz I) skumulowane wgrane gracza I.. Smulacj rozpocznam od dodana do kolumn (gracz II) perwszego wersza macerz wpłat. W kolumnach (gracz II) wberam najmnejsz skumulowan wpłat; jest to wpłata odpowadajca strateg gracza II. Do kolumn (gracz I) dodajem zatem kolumn macerz wpłat. W kolumnach (gracz I) wberam najwksz skumulowan wgran; jest to wgrana 4 odpowadajca strateg gracza I. Tak wbór powoduje, e w kolejnej (k) teracj do kolumn (gracz II) dodajem wersz macerz wpłat.. W kolumnach (gracz II) wberam najmnejsz skumulowan wpłat; jest to wpłata 4 odpowadajca strateg gracza II. Do kolumn (gracz I) dodajem zatem kolumn macerz wpłat. W kolumnach (gracz I) wberam najwksz skumulowan wgran; jest to wgrana 5 odpowadajca strateg gracza I (wbór bł tutaj nejednoznaczn; wbrano strateg o nszm numerze). W wnku tego w kolejnej (k3) teracj do kolumn (gracz II) dodajem wersz macerz wpłat.

23 M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) 3 W ten sposób przebegaj kolejne teracje. Po 8 teracjach wolno nam zakocz proces oblczenow jeel błd oszacowana wartoc gr ne przekracza % (ε.). Taka stuacja ma mejsce dopero po teracjach. Rozwzane gr uzsujem zlczajc w kolumnach (gracz I) (gracz II) krotno uca kadej strateg. Dzelc te krotnoc przez lczb wkonanch teracj otrzmam oszacowana składowch wektorów X Y. Przblone rozwzane gr uzskane w wnku smulacj jest nastpujce X [ 7 / 3 / ] Y / / 3 5 x 3 4 oraz 49 / gracz II gracz I ε teracja stratega stratega stratega 3 stratega stratega k a a a 3 a j / k a a a / k ( ) / / 9/ / /3 /3 5/ 4 5 5/ 5/ 5/ 5 3 /5 4 4/5 /5 3/ / / /6 / / /7 /7 5/ 8 3 5/ 5/ 5/ /9 4 4/9 /9 3/9 + / / / / 49/ krotno uca warto gr czsto 5/ 5/ 7/ 3/ 49/

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 1

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 1 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata, którą zgodnie

Bardziej szczegółowo

11/22/2014. Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej.

11/22/2014. Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej. /22/24 Dwuosobowe gry o sume zero DO NAUCZENIA I ZAPAMIĘTANIA: Defnca zaps ger o sume zero, adaptaca ogólnych defnc. Punkt sodłowy Twerdzena o zwązkach punktu sodłowego z koncepcam rozwązań PRZYPOMNIENIE:

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO DO OPRACOWANIA STRATEGII REDUKCJI EMISJI GAZÓW

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO DO OPRACOWANIA STRATEGII REDUKCJI EMISJI GAZÓW ZASTOSOWANIE PROGRAOWANIA DYNAICZNEGO DO OPRACOWANIA STRATEGII REDUKCJI EISJI GAZÓW ANDRZEJ KAŁUSZKO Instytut Bada Systemowych Streszczene W pracy opsano zadane efektywnego przydzału ogranczonych rodków

Bardziej szczegółowo

ZESTAW ZADAŃ Z INFORMATYKI

ZESTAW ZADAŃ Z INFORMATYKI (Wpsue zdaąc przed rozpoczęcem prac) KOD ZDAJĄCEGO ZESTAW ZADAŃ Z INFORMATYKI CZĘŚĆ II (dla pozomu rozszerzonego) GRUDZIEŃ ROK 004 Czas prac 50 mnut Instrukca dla zdaącego. Proszę sprawdzć, cz zestaw zadań

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :

Bardziej szczegółowo

Programowanie wielokryterialne

Programowanie wielokryterialne Prgramwane welkryteralne. Pdstawwe defncje znaczena. Matematyczny mdel sytuacj decyzyjnej Załóżmy, że decydent dknując wybru decyzj dpuszczalnej x = [ x,..., xn ] D keruje sę szeregem kryterów f,..., f.

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH

RÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH Stansław KOWALIK e-mal: skowalk@wsb.edu.pl Wyższa Szkoła Bznesu Dąbrowa Górncza RÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH Streszczene Praca dotyczy nekooperacynych sekwencynych ger dwuosobowych o sume

Bardziej szczegółowo

System M/M/1/L. λ = H 0 µ 1 λ 0 H 1 µ 2 λ 1 H 2 µ 3 λ 2 µ L+1 λ L H L+1. Jeli załoymy, e λ. i dla i = 1, 2,, L+1 oraz

System M/M/1/L. λ = H 0 µ 1 λ 0 H 1 µ 2 λ 1 H 2 µ 3 λ 2 µ L+1 λ L H L+1. Jeli załoymy, e λ. i dla i = 1, 2,, L+1 oraz System M/M// System ten w odrónenu do wczenej omawanych systemów osada kolejk. Jednak jest ona ogranczona, jej maksymalna ojemno jest wartoc skoczon

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim 5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy

Bardziej szczegółowo

Najlepsze odpowiedzi Najlepsze odpowiedzi p. 1/7

Najlepsze odpowiedzi Najlepsze odpowiedzi p. 1/7 Najlepsze odpowedz Rozgrzewka A B C X 1,4 2,12 0,9 Y 3,0 1,2 0,1 Z 1,12 1,0 5,3 Rozgrzewka L P A 0,0 0,0 B -2,1 1,-2 C 1,-2-2,1 Rozgrzewka L P A 0,0 0,0 B -2,1 1,-2 Gracz drug gra L C 1,-2-2,1 Rozgrzewka

Bardziej szczegółowo

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe

Bardziej szczegółowo

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale AIB-Inormatka-Wkła - r Aam Ćmel cmel@.ah.eu.pl Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale [ ] Q spełna je także

Bardziej szczegółowo

Służą opisowi oraz przewidywaniu przyszłego kształtowania się zależności gospodarczych.

Służą opisowi oraz przewidywaniu przyszłego kształtowania się zależności gospodarczych. MODEL EOOMERYCZY MODEL EOOMERYCZY DEFIICJA Modl konomtrczn jst równanm matmatcznm (lub układm równao), któr przdstawa zasadncz powązana loścow pomędz rozpatrwanm zjawskam konomcznm., uwzględnającm tlko

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W 11: Analizy zależnościpomiędzy zmiennymi losowymi Model regresji wielokrotnej

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W 11: Analizy zależnościpomiędzy zmiennymi losowymi Model regresji wielokrotnej Rachunek prawdopodobeństwa statstka W 11: Analz zależnoścpomędz zmennm losowm Model regresj welokrotnej Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Model regresj lnowej Model regresj lnowej prostej

Bardziej szczegółowo

Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi

Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi Róniczka Wraenie d nazwa si róniczk pierwszego rzdu czci liniow przrostu wartoci unkcji Zastosowanie róniczki do oblicze przblionch: Zadanie Za pomoc róniczki oblicz przblion warto liczb Wkorzstam wzór

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

11. CZWÓRNIKI KLASYFIKACJA, RÓWNANIA

11. CZWÓRNIKI KLASYFIKACJA, RÓWNANIA OBWODY SYGNAŁY Wkład : Czwórniki klasfikacja, równania. CZWÓRNK KLASYFKACJA, RÓWNANA.. WELOBEGNNK A WELOWROTNK CZWÓRNK Definicja. Jeśli: wielobiegunnik posiada parzstą liczbę zacisków (tzn. mn) zgrupowanch

Bardziej szczegółowo

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np. Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu

Bardziej szczegółowo

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP I Zadania teoretyczne

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP I Zadania teoretyczne XXX OLIPIADA FIZYCZNA TAP I Zadana teoretczne Nazwa zadana ZADANI T1 Na odstawe wsółczesnch badań wadomo że jądro atomowe może znajdować sę tlo w stanach o oreślonch energach odobne ja dobrze znan atom

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając

Bardziej szczegółowo

dy dx stąd w przybliżeniu: y

dy dx stąd w przybliżeniu: y Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc

Bardziej szczegółowo

Współczynnik korelacji liniowej oraz funkcja regresji liniowej dwóch zmiennych

Współczynnik korelacji liniowej oraz funkcja regresji liniowej dwóch zmiennych Współcznnk korelacj lnowej oraz funkcja regresj lnowej dwóch zmennch S S r, cov współcznnk determnacj R r Współcznnk ndetermnacj ϕ r Zarówno współcznnk determnacj jak ndetermnacj po przemnożenu przez 00

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Bazy danych. Plan wykładu. Zalenoci funkcyjne. Wykład 4: Relacyjny model danych - zalenoci funkcyjne. SQL - podzapytania A B

Bazy danych. Plan wykładu. Zalenoci funkcyjne. Wykład 4: Relacyjny model danych - zalenoci funkcyjne. SQL - podzapytania A B Plan wykładu Bazy danych Wykład 4: Relacyjny model danych - zalenoci funkcyjne. SQL - podzapytania Definicja zalenoci funkcyjnych Klucze relacji Reguły dotyczce zalenoci funkcyjnych Domknicie zbioru atrybutów

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Problem nośności granicznej płyt żelbetowych w ujęciu aktualnych przepisów normowych. Prof. dr hab. inż. Piotr Konderla, Politechnika Wrocławska

Problem nośności granicznej płyt żelbetowych w ujęciu aktualnych przepisów normowych. Prof. dr hab. inż. Piotr Konderla, Politechnika Wrocławska Proble nośnośc grancznej płt żelbetowch w ujęcu aktualnch przepsów norowch Prof. dr hab. nż. Potr Konderla Poltechnka Wrocławska 1. Wprowadzene Przedote analz jest płta żelbetowa zbrojona ortogonalne paraetrzowana

Bardziej szczegółowo

ANALIZA TEKSTUR W OBRAZACH CYFROWYCH I JEJ ZASTOSOWANIE DO OBRAZÓW ANGIOGRAFICZNYCH

ANALIZA TEKSTUR W OBRAZACH CYFROWYCH I JEJ ZASTOSOWANIE DO OBRAZÓW ANGIOGRAFICZNYCH POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI I TECHNIK INFORMACYJNYCH INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI STOSOWANEJ mgr n. Ewa Sntkowska ANALIZA TEKSTUR W OBRAZACH CYFROWYCH I JEJ ZASTOSOWANIE DO OBRAZÓW

Bardziej szczegółowo

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r. mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania obiektowego

Podstawy programowania obiektowego Podstaw programowania obiektowego wkład 5 klas i obiekt namespace ConsoleApplication1 // współrzędne punktu int, ; Jak, korzstając z dotchczasowej wiedz, zdefiniować w programie punkt? = 3; = 2; Może tak?

Bardziej szczegółowo

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika

Bardziej szczegółowo

KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO JAKOŚĆ MIERZONA WARTOŚCIĄ WSPÓŁCZYNNIKA R 2 (K)

KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO JAKOŚĆ MIERZONA WARTOŚCIĄ WSPÓŁCZYNNIKA R 2 (K) STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 31 Mchał Kolupa Poltechnka Radomska w Radomu Joanna Plebanak Szkoła Główna Handlowa w Warszawe KOINCYDENTNOŚĆ MODELU EKONOMETRYCZNEGO A JEGO

Bardziej szczegółowo

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia, Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego. RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu

Bardziej szczegółowo

1. SPRAWDZENIE WYSTEPOWANIA RYZYKA KONDENSACJI POWIERZCHNIOWEJ ORAZ KONDENSACJI MIĘDZYWARSTWOWEJ W ŚCIANIE ZEWNĘTRZNEJ

1. SPRAWDZENIE WYSTEPOWANIA RYZYKA KONDENSACJI POWIERZCHNIOWEJ ORAZ KONDENSACJI MIĘDZYWARSTWOWEJ W ŚCIANIE ZEWNĘTRZNEJ Ćwczene nr 1 cz.3 Dyfuzja pary wodnej zachodz w kerunku od środowska o wyższej temperaturze do środowska chłodnejszego. Para wodna dyfundująca przez przegrody budowlane w okrese zmowym napotyka na coraz

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 30 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 30 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. uzicki Zadanie 0 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzon Zadanie 0. an jest sześcian (zobacz rsunek), którego krawędź ma długość 5. unkt i dzielą krawędzie i w stosunku :, to znacz, że 0. łaszczzna

Bardziej szczegółowo

MODELE TEORII GIER. Modelowanie matematyczne. dr inż. Zbigniew Tarapata Wykład nr 5: Modele teorii gier

MODELE TEORII GIER. Modelowanie matematyczne. dr inż. Zbigniew Tarapata Wykład nr 5: Modele teorii gier MODELE TEORII GIER Podejmowne decyzj nwestycyjnych często jest dokonywne w sytucjch, w których ne wdomo, jk będze stn otoczen lub też, jką decyzję podejmą nn decydenc, mjący wpływ n wynk decyzj przez ns

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.

Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń. Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno

Bardziej szczegółowo

Wstp. Warto przepływu to

Wstp. Warto przepływu to 177 Maksymalny przepływ Załoenia: sie przepływow (np. przepływ cieczy, prdu, danych w sieci itp.) bdziemy modelowa za pomoc grafów skierowanych łuki grafu odpowiadaj kanałom wierzchołki to miejsca połcze

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I.1

Analiza Matematyczna I.1 Aalza Matematycza I. Sera, Potr Nayar Zadae. Nech a k >, k =,..., b d lczbam rzeczywstym o tym samym zaku. Udowodj,»e prawdzwa jest erówo± + a + a... + a + a + a +... + a. Czy zaªo»ee,»e lczby a k maj

Bardziej szczegółowo

Ruch po równi pochyłej

Ruch po równi pochyłej Sławomir Jemielit Ruch po równi pochłej Z równi pochłej o kącie nachlenia do poziomu α zsuwa się ciało o masie m. Jakie jest przspieszenie ciała, jeśli współcznnik tarcia ciała o równię wnosi f? W jakich

Bardziej szczegółowo

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA WYBORU ARCHITEKTURY SIECI NEURONOWYCH - FINANSOWE CZY BŁ DU PROGNOZY

KRYTERIA WYBORU ARCHITEKTURY SIECI NEURONOWYCH - FINANSOWE CZY BŁ DU PROGNOZY KRYTERIA WYBORU ARCHITEKTURY SIECI NEURONOWYCH - FINANSOWE CZY BŁDU PROGNOZY HENRYK MARJAK Zachodnopomorsk Unwersytet Technologczny w Szczecne Streszczene Klasyczne podejce do zastosowana sec neuronowych

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-1)

LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-1) LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-) wwwmuepolslpl/~wwwzmape Opracował: Dr n Jan Około-Kułak Sprawdzł: Dr hab n Janusz Kotowcz Zatwerdzł: Dr hab n Janusz Kotowcz Cel wczena Celem wczena jest

Bardziej szczegółowo

PROCEDURA OCENY EFEKTÓW KSZTAŁCENIA, OSI GANYCH PRZEZ STUDENTÓW SPECJALNO CI INFORMATYCZNYCH

PROCEDURA OCENY EFEKTÓW KSZTAŁCENIA, OSI GANYCH PRZEZ STUDENTÓW SPECJALNO CI INFORMATYCZNYCH PROCEDURA OCENY EFEKTÓW KSZTAŁCENIA, OSIGANYCH PRZEZ STUDENTÓW SPECJALNOCI INFORMATYCZNYCH WALERY SUSŁOW, ADAM SŁOWIK, TOMASZ KRÓLIKOWSKI Streszczene W nnejszym artykule przedstawono procedury organzacyjne

Bardziej szczegółowo

11/22/2014 STRATEGIE MIESZANE - MOTYWACJA. ROZWAśMY PRZYKŁAD:

11/22/2014 STRATEGIE MIESZANE - MOTYWACJA. ROZWAśMY PRZYKŁAD: //4 Gry o sue zero - gry rozgrywae w strategach eszaych STRATEGIE IESZANE - OTYWACJA. ROZWAśY PRZYKŁAD: 5 DEFINICJA..6 Strategą eszaą π gracza P azyway kaŝdy rozkład prawdopodobeństwa określoy a zborze

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji wykład 5

Pochodna funkcji wykład 5 Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren

Bardziej szczegółowo

METODA POMIARU WYBRANYCH PARAMETRÓW METROLOGICZNYCH PI TARCZOWYCH Z W GLIKAMI SPIEKANYMI PRZY ZASTOSOWANIU TECHNIK WIZYJNYCH

METODA POMIARU WYBRANYCH PARAMETRÓW METROLOGICZNYCH PI TARCZOWYCH Z W GLIKAMI SPIEKANYMI PRZY ZASTOSOWANIU TECHNIK WIZYJNYCH DIAGOSTYKA 3 (39)/6 5 BASZU, KRÓL, PISZCZEK, Metoda pomaru wbranch parametrów metrologcznch p tarczowch METODA POMIARU WYBRAYCH PARAMETRÓW METROLOGICZYCH PI TARCZOWYCH Z WGLIKAMI SPIEKAYMI PRZY ZASTOSOWAIU

Bardziej szczegółowo

1.1 Analiza decyzji- tablica decyzyjna, klasyfikacja

1.1 Analiza decyzji- tablica decyzyjna, klasyfikacja A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger1 ANALIZA DECYZJI(AD) 1.1 Analza decyz- tablca decyzyna, klasyfkaca problemów W celu formalzac klasyfkac problemów decyzynych wprowadzmy

Bardziej szczegółowo

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

Definicja wartości bezwzględnej. x < x y. x =

Definicja wartości bezwzględnej. x < x y. x = 1.9. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Definicja wartości bezwzględnej... gd... 0 =... gd... < 0 Własności wartości bezwzględnej 0 = = = n a n = a, gd n jest liczbą parzstą Przkład 1.9.1. Oblicz: a) b) c) 1 d) 0 e)

Bardziej szczegółowo

Grupa obrotów. - grupa symetrii kuli, R - wszystkie możliwe obroty o dowolne kąty wokół osi przechodzących przez środek kuli

Grupa obrotów. - grupa symetrii kuli, R - wszystkie możliwe obroty o dowolne kąty wokół osi przechodzących przez środek kuli Grupa obrotów - grupa smetr kul R - wsstke możlwe obrot o dowolne kąt wokół os prechodącch pre środek kul nacej O 3 grupa obrotów właścwch - grupa cągła - każd obrót określa sę pre podane os l kąta obrotu

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

V JURAJSKI TURNIEJ MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM FINAŁ 14 maja 2005 r.

V JURAJSKI TURNIEJ MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM FINAŁ 14 maja 2005 r. V JURAJSKI TURNIEJ MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM FINAŁ 4 maja 005 r. Przecztaj uważnie poniższą instrukcję: Test składa się z dwóch części. Pierwsza część zawiera 0 zadań wielokrotnego wboru. Tlko

Bardziej szczegółowo

Projektowanie algorytmów rekurencyjnych

Projektowanie algorytmów rekurencyjnych C9 Projektowanie algorytmów rekurencyjnych wiczenie 1. Przeanalizowa działanie poniszego algorytmu dla parametru wejciowego n = 4 (rysunek 9.1): n i i

Bardziej szczegółowo

WPŁYW AKCESJI POLSKI DO UNII EUROPEJSKIEJ NA ROZWÓJ ROLNICTWA EKOLOGICZNEGO. Lidia Luty

WPŁYW AKCESJI POLSKI DO UNII EUROPEJSKIEJ NA ROZWÓJ ROLNICTWA EKOLOGICZNEGO. Lidia Luty 74 LIDIA LUTY ROCZNIKI NAUKOWE EKONOMII ROLNICTWA I ROZWOJU OBSZARÓW WIEJSKICH, T. 11, z. 1, 214 WPŁYW AKCESJI POLSKI DO UNII EUROPEJSKIEJ NA ROZWÓJ ROLNICTWA EKOLOGICZNEGO Lda Lut Katedra Statstk Matematcznej

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

ORGANIZACJA ZAJĘĆ OPTYMALIZACJA GLOBALNA WSTĘP PLAN WYKŁADU. Wykładowca dr inż. Agnieszka Bołtuć, pokój 304, e-mail: aboltuc@ii.uwb.edu.

ORGANIZACJA ZAJĘĆ OPTYMALIZACJA GLOBALNA WSTĘP PLAN WYKŁADU. Wykładowca dr inż. Agnieszka Bołtuć, pokój 304, e-mail: aboltuc@ii.uwb.edu. ORGANIZACJA ZAJĘĆ Wykładowca dr nż. Agneszka Bołtuć, pokój 304, e-mal: aboltuc@.uwb.edu.pl Lczba godzn forma zajęć: 15 godzn wykładu oraz 15 godzn laboratorum 15 godzn projektu Konsultacje: ponedzałk 9:30-11:00,

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn

Bardziej szczegółowo

CZĘŚĆ 6. MODEL REGRESJI, TREND LINIOWY ESTYMACJA, WNIOSKOWANIE

CZĘŚĆ 6. MODEL REGRESJI, TREND LINIOWY ESTYMACJA, WNIOSKOWANIE CZĘŚĆ 6. MODEL REGRESJI, TREND LINIOWY ESTYMACJA, WNIOSKOWANIE Zadane 1. Na podstawe obserwacj dotczącch welkośc powerzchn ekspozcjnej (cecha X w m kw.) oraz welkośc dzennego obrotu punktu sprzedaż płtek

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników Rozwiązwanie układu równań metodą przeciwnch współcznników Sposob postępowania krok po kroku: I. przgotowanie równań. pozbwam się ułamków mnoŝąc kaŝd jednomian równania równań przez najmniejszą wspólną

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek

Bardziej szczegółowo

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia. rzkład 10.3. Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej

Bardziej szczegółowo

3.3. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci

3.3. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci .. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Równanie liniowe z dwiema niewiadommi Równaniem liniowm z dwiema niewiadommi i nazwam równanie postaci A B C 0, gdzie A, B, C R i A B 0 m równania z dwiema niewiadommi nazwam

Bardziej szczegółowo

PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:

PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych: Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow

Bardziej szczegółowo

Symetrie i struktury ciała stałego - W. Sikora

Symetrie i struktury ciała stałego - W. Sikora Symetre struktury cała stałego - W. Skora ( W wykładach zostały wykorzystane fragmenty materałów opracowanych w ramach praktyk wakacyjnej przez studentk specjalnośc Fzyka Cała Stałego WFIS: Sylwę Chudy,

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya

Bardziej szczegółowo

Skojarzenia. Najliczniejsze skojarzenia: Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych.

Skojarzenia. Najliczniejsze skojarzenia: Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych. 206 Skojarzenia Najliczniejsze skojarzenia: grafy proste dwudzielne, dowolne grafy proste. Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych. 207 Definicje Def Zbiór

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Przykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego

Przykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego Prkład.1. Projektowane prekroju gnanego Na belkę wkonaną materału o wtrmałośc różnej na ścskane rocągane dałają dwe sł P 1 P. Znając wartośc tch sł, schemat statcn belk, wartośc dopuscalnego naprężena

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

Ruch kulisty bryły. Kinematyka

Ruch kulisty bryły. Kinematyka Ruch kulist bł. Kinematka Ruchem kulistm nawam uch, w casie któego jeden punktów bł jest stale nieuchom. Ruch kulist jest obotem dookoła chwilowej osi obotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b)

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE - zadania powtórzeniowe

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE - zadania powtórzeniowe PROGNOZOWANIE I SYMULACJE - zadana powórzenowe Zadana I. Na podsawe danych z la 88- zbudowano model: y = + 3, 5 s = szuk, R =,3 opsujcy lczb sprzedawanych arówek w yscach szuk w pewnej frme. Wyznaczy prognoz

Bardziej szczegółowo

Przykład 3.2. Rama wolnopodparta

Przykład 3.2. Rama wolnopodparta rzykład ama wonopodparta oecene: Korzystając ze wzoru axwea-ohra wyznaczyć wektor przemeszczena w punkce w ponższym układze oszukwać będzemy składowych (ponowej pozomej) wektora przemeszczena punktu, poneważ

Bardziej szczegółowo