PIERWIASTKI ROZMYTE RÓWNAŃ PRZEDZIŁOWYCH

Transkrypt

1 Marusz GONERA, Ludmła DYMOWA, Paweł SEWASTJANOW Instytut Informatyk Teoretyczne Stosowane ul. Dąbrowskego, 73, Częstochowa PIERWIASTKI ROZMYTE RÓWNAŃ PRZEDZIŁOWYCH 285 słów Znaczna cześć problemów przy modelowanu procesów, zawsk w narozmatszych dzedznach sprowadza sę do rozwązywana układów równań lnowych algebracznych. Dzś można powedzeć, że problemy ch rozwązywana w przypadku opsu parametrów przez lczby rzeczywste są w zasadze rozwązane. Jednak w rzeczywstośc parametry tych układów równań są często wadome z dokładnoścą do przedzałów. Konstatuemy, że, ścśle mówąc, układ równań, realzuący, na przykład, zagadnene mechank, rozwązywany za pomocą metody elementów skończonych, ma być przedstawony w kształce przedzałowym. Równeż dotyczy to systemów ekonometrycznych, których parametry maą awne przedzałowy charakter uż na zasadze wewnętrznych właścwośc metod statystycznych, wykorzystywanych dla ch otrzymana. Problem rozwązywana równań przydzałowych est ednym z ważneszych zagadneń arytmetyk przedzałowe. Mmo, że formalne rozszerzene przedzałowe systemów zwykłych z punktu wdzena algebracznego wydae sę banalnym, konkretne realzace, na przykład, rozmytoprzedzałowe odmany procedury Gaussa doprowadzą do znacznego rozszerzena wynkowych przedzałów. Odnotowana cecha to est wewnętrzny problem arytmetyk przedzałowe, w zwązku z czym powstało klka e modyfkac. Wszystke te sposoby są efektywne w odnesenu do określonych klas sytuac. W całośc wzrost przedzałów wynkowych całkowce odzwercedla rzeczywstość w stoce odpowada zasadze wzrastana neoznaczonośc (entrop). Przyczyną ch powstana est właśne dążene do skonstruowana matematyk przedzałowe, pozwalaące otrzymywać wynk w forme dosyć wąskch przedzałów. Drug metodologczny problem rozwązywana równań przedzałowych, to problem stnena zera przedzałowego. W nnesze pracy zaproponowana została metoda rozwązywana równań przedzałowych, całkowce rozwązuąca problem drug w znaczącym stopnu problem perwszy. Naturalny efekt osąga sę w skutku wprowadzena nektórych ogranczeń, które będzemy nazywal naturalnym. Przy tym perwastk równań przedzałowych otrzymuemy w forme dosyć wąskch przedzałów rozmytych. W nnesze pracy opsane są ogólne metodologczne zasady zaproponowane metody. Metoda została zlustrowana przykładem rozwązywana układu równań lnowych przedzałowych. Otrzymane wynk są porównane z wynkam rozwązywana tego samego zagadnena przez bezpośredne rozszerzene przedzałowe procedury Gaussa. SŁOWA KLUCZOWE: ranga, lczba przedzałowa, przedzałowa metoda Gaussa 1.WPROWADZENIE Znaczna cześć problemów przy modelowanu procesów, zawsk w narozmatszych dzedznach sprowadza sę do rozwązywana układów równań lnowych algebracznych. Dzś można powedzeć, że problemy ch rozwązywana w przypadku opsu parametrów przez lczby rzeczywste są w zasadze rozwązane. Jednak w rzeczywstośc parametry tych układów równań są często wadome z dokładnoścą do przedzałów. Na przykład, dobre nformatorze właścwośc materałów podaą z reguły dane w forme m±σ, gdze σ charakteryzue sę szerokoścą przedzałów zadanego parametru. Ne będzemy tuta zagłębać sę w flozofę nepewnośc danych weścowych (zwykle est zwązana z nedokładnoścą pomarów, prognoz, - 1 -

2 wpływu zewnętrznego otoczena tp.). Konstatuemy, że, ścsłe mówąc, układ równań, realzuący, na przykład, zagadnene mechank, rozwązywany za pomocą metody elementów skończonych, ma być przedstawony w kształce przedzałowym. Równeż dotyczy to systemów ekonometrycznych, których parametry maą awne przedzałowy charakter uż na zasadze wewnętrznych właścwośc metod statystycznych, wykorzystywanych dla ch otrzymana. Problem rozwązywana równań przydzałowych est ednym z ważneszych zagadneń arytmetyk przedzałowe [1]. Mmo, że formalne rozszerzene przedzałowe systemów zwykłych z punktu wdzena algebracznego wydae sę banalnym, konkretne realzace, na przykład, rozmyto-przedzałowe odmany procedury Gaussa doprowadzą do znacznego rozszerzena wynkowych przedzałów. Odnotowana cecha to est wewnętrzny problem arytmetyk przedzałowe, w zwązku z czym powstało klka e modyfkac. Nabardze znanym spośród nch są: arytmetyka przedzałowa z nestandardowym odemowanem dzelenem [2], uogólnona arytmetyka przedzałowa [3], matematyka segmentowa [4], forma scentrowana [1], MV-forma [5]. Wszystke te sposoby są efektywne w odnesenu do określonych klas sytuac. W całośc wzrost przedzałów wynkowych całkowce odzwercedla rzeczywstość w stoce odpowada zasadze wzrastana neoznaczonośc (entrop). Przyczyną ch powstana est właśne dążene do skonstruowana matematyk przedzałowe, pozwalaące otrzymywać wynk w forme dosyć wąskch przedzałów. Drug metodologczny problem rozwązywana równań przedzałowych, to problem stnena zera przedzałowego. Na przykład, mamy bazowe rzeczywste równane f(x) = 0. Jego naturalne rozszerzene przedzałowe [1] może być przedstawone przez zastępstwo zwykłych zmennych przez zmenne przedzałowe wszystkch operac arytmetycznych przez odpowedne operace przedzałowe. W wynku otrzymuemy równana przedzałowe w forme: [f]([x]) = 0. Ścsłe mówąc, równane ne ma sensu, poneważ ego lewa część przedstawa przedzał, a prawa degenerowane zero. Rzeczywśce, eżel ([ ]) [ f ] x = [ f, f ], to wtedy równane [f]([x]) = 0 est prawdzwe tylko, eśl f = f = 0. To znaczy, że przychodzmy do sprzecznośc. W nnesze pracy zaproponowana została metoda rozwązywana równań przedzałowych, całkowce rozwązuąca problem drug w znaczącym stopnu problem perwszy. Naturalny efekt osąga sę w skutku wprowadzena pewnych ogranczeń, które będzemy nazywal naturalnym. Przy tym perwastk równań przedzałowych otrzymuemy w forme dosyć wąskch przedzałów rozmytych. Pozostała część nnesze pracy zorganzowana została w następny sposób. W sekc 2 opsane są ogólne metodologczne zasady zaproponowane metody. W sekc 3 metoda została zlustrowana przykładem rozwązywana układu równań lnowych przedzałowych. Otrzymane wynk są porównane z wynkam rozwązywana tego samego zagadnena przez bezpośredne rozszerzene przedzałowe procedury Gaussa. 2. METODA ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH PRZEDZIAŁOWYCH Aby móc prześć do formułowana metody rozwązywana układów równań lnowych przedzałowych przedstawmy nektóre podstawy arytmetyk przedzałowe, które szczegóły można znaleźć w prace - 2 -

3 [1]. Załóżmy na początku, że lczby przedzałowe [x] oraz [y] opszemy za pomocą przedzałów wartośc odpowedno [ x, x ], oraz [ y, y ]. Przemuemy naczęśce używane operac przedzałowe [1]: dodawane: [x]+[y] = [ x + y, x + y ], (1) odemowane: [x]-[y] = [ x y, x y ], (2) mnożene: [x]*[y] = [ mn{ x y},max{ x y} ], (3) dzelene: [x]/[y] = [x]*(1/[y]). (4) Zawarta w pracy [1] metoda rozwązywana układów równań lnowych za pomocą metody Gaussa w werse przedzałowe wygląda w następuący sposób. Nech mamy układ n zwykłych równań lnowych w postac macerzowe A*x = b. Stosuąc rozkładu macerzy A na dwe macerze tróątne otrzymuemy algorytm dwuprzebegowy, na który składaą sę postępowane wprost, polegaące na elmnac do zer elementów, leżących pod dagonalną macerzy A, oraz postępowane odwrotne. Przedzałowy odpowednk metody Gaussa budue sę poprzez zastosowane analogcznych etapów przetwarzana macerzy A oraz wektorów x b, których elementy składowe [ ] [ będą mały postać: [ ] a, a ] a =, [ x ] = [ x x ] [,, oraz b = b, b ], przy czym, = 1, 2,..., n. W wynku rekurencynych przekształceń, zgodne z klasycznym algorytmem Gaussa, otrzymuemy następuący algorytm: a) Etap postępowana wprost: [ m, m ] [ a, a ]/[ a, a ]; [ a, a ] = [ a, a ] [ m, m ]*[ a, a ] = ; (5) [ m, m ] [ a, a ]/[ a, a ]; [ b, b ] = [ b, b ] [ m, m ]*[ b, b ] = (6) k k gdze = 1, 2,, n, = +1, ; k =,,n. b) Postępowane odwrotne: = n, n s = [, s] [ a, a ]*[ x, x ]; = (7) = 0, = [ x, x ] ([ b, b ] [ s, s] ) /[ a, a = ] (8) - 3 -

4 gdze: = n, n - 1,,0; = = n, n - 1,,. gdze [m ], [s ] zmenne pomocncze. W wynku otrzymuemy przedzałowy wektor [x] = [[ x 1, x1],[ x2, x2 ],...,[ x n, xn ]]. Skupmy sę na etape postępowana odwrotnego. Równane (8) przewdue welokrotne dzelene wartośc przedzałowe przez przedzał. Poneważ, ak wadomo, operaca dzelena powodue znaczne rozszerzene przedzału wynkowego, proponuemy następuące rozwązane tego problemu. Aby wyelmnować z równana dzelene należy e przekształcć do równo ważne postac: [ a ]*[ x] [ b] = [0], gdze przez zaps [0] rozumemy przedzałową postać zera. Z zasad arytmetyk przedzałowe (1)-(4) wynka, że [ a, a] [ a, a] = [ a a, a ]. a. To znaczy, że odemowane od sebe te same wartośc dae w wynku symetryczny wokół rzeczywste lczby zero przedzał. Zgodne z tą wdzą możemy zdefnować [0] ako następuący przedzał [0]=[-y, y], gdze y oznaczać będze symetryczną odchyłkę wokół zera rzeczywstego. Ostateczne nasze równane będze meć postać: [ a, a] *[ x, x] [ b, b] = [ y, y] (9) ako: Otrzymane równane przedzałowe można zgodne z zasadam arytmetyk przedzałowe przedstawć [ a * x, a * x] [ b, b] = [ y, y]. (10) Powyższe równane może być z kole rozpsane na dwa równana dotyczące lewych prawych granc przedzałów borących w nm udzał: a * x b = y, a * x b = y. (11) W wynku te transformac otrzymalśmy układ dwóch równań z trzema newadomym. Aby uproścć otrzymany układ równań możemy oba równana dodać stronam w wynku czego otrzymamy edno równane lnowe z dwoma newadomym: a * x b + a * x b = 0. (12) - 4 -

5 Należałoby sę teraz zastanowć, w ak sposób możemy otrzymać rozwązana szczegółowe w ake one będą postac? W celu rozwązana równana (11) musmy dodać pewne ogranczene. Nabardze naturalnym w przypadku wększośc zagadneń fzyk albo ekonomk wygląda ogranczene typu x >0, czyl przepuszczene, że wartość pozyskwanego przez nas parametru może być wyłączne dodatne. Gdy przeanalzuemy równane (11) maąc na uwadze ogranczene typu x >0, to dodzemy do wnosku, że gdy warto ść x będze namnesza, czy l x = 0, to x osągne wartość maksymalną, z czego wynka, że długość przedzału [ x, x ] będze nawększa. Gdy wartość x przesuwać będzemy na prawo od zera to w pewnym momence rozpętość przedzału [ x, x ] osągne wartość 0, gdyż x przesuwaąc sę w kerunku początku układu współrzędnych zrówna sę wartoścą z x. Oczywśce, że w praktyce x ne obowązkowo pownno być równym zero. To znaczy, że w ogóle x = x 0, gdze x 0 ogranczene, wynkaące z sensu rozwązywanego problemu. Na perwszy rzut oka wprowadzene takego rodzau ogranczeń w algebrze lnowe (co prawda, przedzałowe) wygląda dość nezwykłe. Jednak wystarczy wspomneć, że w zagadnenach programowana lnowego ogranczena są uż nezbędnym elementem zagadnena. Wprowadzaąc ogranczena w nasze sytuac faktyczne ne zmneszamy dokładnośc otrzymanego rozwązana, poneważ w realnych zagadnenach możlwe grancy poszukwanego rozwązana z reguły są wadome. Rozpatrywane przypadk podsuwaą rozwązane postac, aką przyme w nasze metodze wynk dzelena dwóch przedzałów. W wynku otrzymamy ne przedzał, lecz lczbę rozmytą (ang. fuzzy number) w postac tróątne x ~ =[l, m, u], gdze l, m, u oznaczaą charakterystyczne dla tróątne lczby rozmyte parametry: l-lewa granca, u-prawa granca, m - środek przedzału. Rozważmy procedurę otrzymana rozmytego wynku, gdy przymuemy x = x 0, gdze x 0 mnmalna możlwa wartość dolne grancy. Wtedy z równana (12) otrzymamy maksymalną wartość x z kole maksymalną szerokość przedzału w([x]) = x - x = w max. Gdy przesunemy x na prawo, otrzymamy mnesze x mneszą szerokość przedzałowego rozwązana w. Oczywśce względną szerokość przedzału w/ w max możemy traktować ak naturalny względny stopeń nepewnośc przedzałowego rozwązana. Jeżel skoarzyć stopeń nepewnośc w/ w max z α- pozomem lczby rozmyte, możemy przedstawć cągły zbór możlwych przedzałowych rozwązań (równane (12)) w forme lczby rozmyte, przedstawone na rys. 1. µ(x) 1 α-pozome 0 x mn =x 0 x= x x max Rys. 1. Przedstawene grafczne rozmytego rozwązana równana przedzałowego - 5 -

6 Z rysunku 1 równana (12) wynka, że przy x = x, (w=0) mamy mnmalną nepewność rozwązana, czemu w zgodnośc z zasadam teor zborów rozmytych odpowada maksymalna wartość α = 1. Aby móc porównać wynk, uzyskane za pomocą klasyczne operac dzelena przedzałów, z wynkam, uzyskanym przy pomocy nasze metody, która ch dae w postac ne przedzałów, lecz lczb rozmytych, rozpatrzymy przykład dzelena dwóch przedzałów: [b]/[a], gdze [a] = [1, 3], [b] = [3, 5]. Dzelene [b]/[a]według reguły (4) da w wynku przedzał [x] = [1, 5]. Wynkem operac dzelena według równana (12) będze lczba rozmyta ~ x =[0, 2, 2.7] z nośnkem [x] = [0, 2.7]. Analzuąc powyższe wynk, możemy zauważyć, że proponowana przez nas metoda dzelena przedzałowego ma klka charakterystycznych cech. Uzyskuemy znaczne węższe przedzały wynkowe (szerokość przedzału [x] równa est 4, nośnk lczby rozmyte ~ x ma szerokość 2.7). Jądrem lczby rozmyte x~ est wartość, która równa sę wartośc asymptotyczne, równe wynku dzelena centrów przedzałów [b] [a], w naszym przykładze to: 4/2 = 2. Natomast centrum przedzału, otrzymanego w wynku dzelena klasycznego w naszym przykładze równe est 3. To znaczy, że nasze podeśce gwarantue ne tyko mnesze szerokośc przedzałów wynkowych, ale też w odróżnenu od dzelena klasycznego zachowywane poważnych asymptotycznych cech. Lczba rozmyta ~ x w dalszych wylczenach może być wykorzystywana albo w te same postac, albo w postac zwykłego przedzału, którego grancy można łatwo wylczyć, w zależnośc od pożądanego stopnu ryzyku, zwązanego z szerokoścą wynków przedzałowych. 3. ROZWIĄZYWANIE UKŁADU RÓWNAŃ LINIOWYCH PRZEDZIAŁOWYCH Opracowaną przez nas metodę rozwązywana równań typu (8) na etape postępowana odwrotnego w metodze Gaussa zademonstruemy na przykładze przedzałowe macerzy, zaweraące przedzały uemne dodatne różne szerokośc. Macerz (13) zaczerpnęta została z zagadnena poszukwana współczynnków względne ważnośc na podstawe macerzy parzystych porównań [6]. Cechą charakterystyczną tego zadana est koneczność, aby [x 1 ], [x 2 ], [x 3 ] były dodatne, co pozwała wprowadzć naturalne ogranczena x1 = x 2 = x 3 = 0. [ 2.112,2.67] [ 3.9, 2.79] [ 6.25, 4.17] [ 3.9, 2.79] [ 8.41,15.58] [ 3.17, 1.9] [ ] [ ] [ ] 6.25, , ,44.25 [ ] x1 * [ ] x2 [ x3] = 0 0 (13) 0 Równane macerzowe (13) mus zostać poddane dzałanu specalzowanego algorytmu Gaussa dla lczb przedzałowych, którego propozycę przedstawlśmy w sekc 2 nnesze pracy. Efektem rozwązana są szukane współczynnk względne ważnośc kryterów szczegółowych (rang) w postac tróątnych lczb - 6 -

7 rozmytych. W tabel 1 przedstawone zostały wynk rozwązywana tego samego zagadnena, uzyskane w postac zwykłych przedzałów na podstawe algorytmu Gaussa, proponowanego przez Moore a [1]. TABELA 1. Współczynnk względne ważnośc uzyskane z wykorzystanem zmodyfkowanego algorytmu Gaussa na podstawe algorytmu Gaussa, proponowanego przez Moore a [1]. Nośnk lczb rozmytych, uzyskanych na podstawe zmodyfkowanego przedzałowego algorytmu Gaussa Przedzały, uzyskane na podstawe klasycznego przedzałowego algorytmu Gaussa [x 1 ] [0, 0.84, 0.912] [0.2, 15] [x 2 ] [0, 0.27, 0.356] [0.1, 7.2] [x 3 ] [0, 0.16, 0.189] [0.08, 0.74] Łatwo zauważyć, że nośnk lczb rozmytych w kolumne 2 tabel 1 są znaczne mnesze, nż odpowedne rozstępy przedzałów w kolumne 3, a to w sposób nepodważalny śwadczy o tym, że proponowany przez nas zmodyfkowany przedzałowy algorytm Gaussa est lepszy od standardowego przedzałowego algorytmu Gaussa, przedstawonego w [1]. PODSUMOWANIE Proponowana metoda modyfkowanego dzelena przedzałów pozwala na rozwązane zarówno poedynczych równań przedzałowych, ak ch układów. Przy tym wynk otrzymywane są w postac lczb rozmytych. Na konkretnym przykładze pokazano, że dla układu równań lnowych otrzymane nośnk wynkaących lczb przedzałowych maą szerokośc około dzesęć węce razy mnesze, nż odpowedne prze- z klasycznego przedzałowego algorytmu dzały, wynkaące Gaussa. LITERATURA [1] Moore R.E., Interval analyss, Englewood Clffs. N.J., Prentce-Hall [2] Markov S.M., A non-standard subtracton of ntervals, Serdca 1977, 3, [3] Hansen E., A generalzed nterval arthmetc. Interval Mathematcs/ Ed. by K.Ncke, Lecture Notes n Computer Scence, 29, Berln - Hedelberg: Sprnger-Verl. 1975, [4] Sendov B., Some topcs of segment analyss, Interval Mathematcs, 1980/ Ed. by K.Nckel. N.Y.e.a.: Academc Press 1980, [5] Capran O., Madsen K., Mean value forms n nterval analyss, Computng 1980, 25, 2, [6] Mkhalov L., Dervng prortes from fuzzy parwse comparson udgments, Fuzzy Sets and Systems 2003, 134,