Ile wynosi suma miar kątów wewnętrznych w pięciokącie?

Transkrypt

1

2 1 Ile wynos suma mar kątów wewnętrznych w pęcokące? 1 Narysuj pęcokąt foremny 2 Połącz środek okręgu opsanego na tym pęcokące ze wszystkm werzchołkam pęcokąta 3 Oblcz kąty każdego z otrzymanych trójkątów równoramennych: - kąt przy werzchołku znajdującym sę w środku, oblcz dzeląc na lczbę trójkątów, - Pozostałe dwa kąty są jednakowe wraz z kątem środkowym suma ch mar wynos 4 Kąt wewnętrzny pęcokąta foremnego składa sę z dwóch kątów, znajdujących sę przy podstawe trójkątów, stąd aby wyznaczyć jego marę wystarczy od odjąć marę kąta trójkąta znajdującego sę w środku pęcokąta 5 Pomnóż otrzymaną marę kąta wewnętrznego przez 5

3 2 Ile wynos suma mar kątów wewnętrznych w sześcokące? 1 Narysuj sześcokąt foremny 2 Połącz środek okręgu opsanego na tym sześcokące ze wszystkm werzchołkam sześcokąta 3 Oblcz kąty każdego z otrzymanych trójkątów równoramennych: - kąt przy werzchołku znajdującym sę w środku oblcz dzeląc na lczbę trójkątów, - pozostałe dwa kąty są jednakowe wraz z kątem środkowym suma ch mar wynos 4 Kąt wewnętrzny sześcokąta foremnego składa sę z dwóch kątów, znajdujących sę przy podstawe trójkątów, stąd aby wyznaczyć jego marę wystarczy od odjąć marę kąta trójkąta znajdującego sę w środku 5 Pomnóż otrzymaną marę kąta wewnętrznego przez 6

4 3 Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych jest podobny do trójkąta o obwodze równym 6 Oblcz długość przecwprostokątnych obu trójkątów Długość przecwprostokątnej w perwszym trójkące oblcz z twerdzena Ptagorasa: 2 Oblcz obwód perwszego trójkąta 3 Wyznacz skalę podobeństwa trójkątów, wedząc, że skala podobeństwa jest równa stosunkow obwodów dwóch ﬁgur podobnych 4 Wykorzystaj skalę podobeństwa do oblczena boków trójkąta drugego

5 4 Trójkąt prostokątny o przecwprostokątnej równej 100 jest podobny do trójkąta o przyprostokątnych równych 12 3,5 Oblcz obwody obu trójkątów Długość przecwprostokątnej w drugm trójkące oblcz z twerdzena Ptagorasa: 3 Wyznacz skalę podobeństwa trójkątów, wedząc, że skala podobeństwa jest równa stosunkow odpowednch boków dwóch ﬁgur podobnych (np dwóch przecwprostokątnych) 4 Wykorzystaj skalę podobeństwa do oblczena przyprostokątnych trójkąta perwszego 5 Obwody trójkątów są sumą otrzymanych długośc boków w poszczególnych trójkątach

6 5 W trapeze równoramennym podstawy mają długość, a wysokość Oblcz wartośc funkcj trygonometrycznych kąta zawartego mędzy dłuższą podstawą trapezu oraz jego ramenem 1 Narysuj trapez o dłuższej podstawe zgodne z treścą polecena 2 Narysuj wysokośc CE DF Zauważ, że odcnek EF jest równy krótszej podstawe CD 3 Oblcz długośc odcnków BE BC 4 Dlugość ramena oblcz korzystajac z twerdzena Ptagorasa w trójkące : 5 Wyznacz wartośc funkcj trygonometrycznych kąta Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej

7 6 Oblcz pole trójkąta prostokątnego, wedząc, że wysokość poprowadzona z werzchołka kąta prostego podzelła przecwprostokątną na dwa odcnk o długośc 1 Narysuj trójkąt prostokątny Oznacz werzchołk ( przy werzchołku - kąt prosty) 2 Z werzchołka narysuj wysokość, opadającą na podstawę AB Punkt przecęca wysokośc z bokem nazwj 3 Kąt przy werzchołku nazwj, a przy werzchołku B nazwj 4 Wedząc, że trójkąty są podobne do trójkąta (mają po dwa kąty take same, węc trzec też mus być tak sam), nazwj brakujące kąty lub ß 5 Odcnkom przypsz wartośc 3 4 Wysokość nazwj 6 Korzystając z proporcj trójkątów utwórz proporcję z odpowednch boków trójkątów (odpowedne bok leżą przy tych samych kątach)

8 7 Trapez równoramenny o podstawach długośc 4 8 oraz kące ostrym 45 jest podobny do trapezu, którego ramę ma długość 12 Oblcz obwody obydwu trapezów trapezy o dłuższych podstawach Oznacz dane z zadana 2 Z werzchołków narysuj wysokośc, których punkty przecęca z podstawą oznacz 3 Wedząc, że trapez jest równoramenny, zastanów sę, jak wyznaczyć długość odcnków 4 Korzystając z odpowednej funkcj trygonometrycznej w trójkące prostokątnym, oblcz długość boku 5 Wyznacz skalę podobeństwa trapezów na podstawe stosunku długośc ramon 6 Znając skalę podobeństwa, wyznacz długośc podstaw 7 Oblcz obwody trapezów

9 8 Prostokąt o bokach długośc jest podobny do prostokąta o obwodze Oblcz pole wększego prostokąta 1 Narysuj prostokąty oznacz dane z zadana 2 Oblcz obwód perwszego prostokąta wyznacz skalę podobeństwa prostokątów jako stosunek ch obwodów 3 Za pomocą skal podobeństwa utwórz odpowedne proporcje do oblczena boków prostokąta drugego

10 9 Suma obwodów dwóch figur podobnych jest równa 260 cm, a ch skala podobeństwa Oblcz obwód każdej z tych figur 1 Wedząc, że skala podobeństwa dwóch figur podobnych jest równa stosunkow ch obwodów, utwórz równane z newadomym 2 Druge równane utwórz, wykorzystując znajomość sumy obwodów 3 Rozwąż otrzymany układ równań

11 10 Suma pól dwóch figur podobnych jest równa 340, a ch skala podobeństwa Oblcz pole każdej z tych figur 1 Wedząc, że kwadrat skal podobeństwa dwóch figur podobnych jest równy stosunkow ch pól, utwórz równane z newadomym 2 Druge równane utwórz, wykorzystując znajomość sumy pól 3 Rozwąż otrzymany układ równań

12 11 W trójkące prostokątnym jeden z kątów ostrych ma marę a dłuższa przyprostokątna ma długość 9 Oblcz pole koła opsanego na tym trójkące 1 Narysuj trójkąt prostokątny z wyraźną różncą w długośc przyprostokątnych Odpowedno zaznacz kąt 2 Środek okręgu opsanego na trójkące prostokątnym znajduje sę na środku przecwprostokątnej 3 Z odpowednej funkcj trygonometrycznej oblcz długość przecwprostokątnej: Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej Następne oblcz długość promena okręgu opsanego na trójkące 4 Oblcz pole koła o promenu ze wzoru:

13 12 Obwód trójkąta prostokątnego jest równy, a najdłuższy bok ma Oblcz długość pozostałych boków tego trójkąta 1 Narysuj trójkąt prostokątny, Odpowedno oznacz najdłuższy bok 2 Przyprostokątne oznacz 3 Utwórz równane z newadomym, wykorzystując znajomość obwodu trójkąta Z otrzymanego równana wyznacz wzór na 4 Stosując twerdzene Ptagorasa:, utwórz druge równane z newadomym, podstaw za wyrażene z punktu 3 Rozwąż równane z newadomą x Zastosuj wzór skróconego mnożena: 5 Oblcz y z równana z punktu 3

14 13 Przecwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość Długość jednej z przyprostokątnych jest średną arytmetyczną długośc przecwprostokątnej drugej przyprostokątnej Oblcz obwód tego trójkąta 1 Narysuj trójkąt prostokątny, Odpowedno oznacz przecwprostokątną 2 Przyprostokątne oznacz x y 3 Utwórz równane z newadomym x y, wedząc, że średną arytmetyczną lczb a b lczymy następująco: Z otrzymanego równana wyznacz wzór na y 4 Stosując twerdzene Ptagorasa:, utwórz druge równane z newadomym x y, podstaw za y wyrażene z punktu 3 Rozwąż równane z newadomą x Zastosuj wzór skróconego mnożena: 5 Oblcz y z równana z punktu 3 6 Oblcz obwód trójkąta (suma długośc boków)

15 14 Podaj wartośc funkcj trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego o bokach długośc: 3,4,5 1 Narysuj trójkąt prostokątny Oznacz odpowedno dane (pamętaj, że przecwprostokątna jest najdłuższym bokem) 2 Kąty ostre nazwj 3 Skorzystaj z deﬁncj: Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej

19 18 Oblcz wartośc funkcj trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym jedna przyprostokątna jest dwa razy dłuższa od drugej przyprostokątnej 1 Narysuj trójkąt prostokątny Oznacz przyprostokątne: oraz przecwprostokątną 2 Kąty ostre nazwj 3 Stosując twerdzene Ptagorasa: a, utwórz równane z newadomym x y Wyznacz z równana wzór na 4 Skorzystaj z deﬁncj: Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej

20 19 W trapeze równoramennym podstawy mają długość 6 cm 10 cm, a wysokość 5 cm Oblcz wartośc funkcj trygonometrycznych kąta zawartego mędzy dłuższą podstawą trapezu oraz jego przekątną 1 Narysuj trapez równoramenny, gdze - dłuższa podstawa, - krótsza podstawa Z werzchołków narysuj wysokośc Punkty ch przecęca z podstawą nazwj odpowedno Narysuj przekątną 2 Kąt mędzy podstawą przekątną nazwj 3 Ustal długość odcnka 4 Stosując twerdzene Ptagorasa:, w trójkące oblcz przecwprostokątną 5 Skorzystaj z deﬁncj: Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej

21 20 Dany jest równoległobok nebędący prostokątem o bokach długośc Jedna z przekątnych dzel równoległobok na dwa trójkąty prostokątne Oblcz wartośc funkcj trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów 1 Narysuj równoległobok oraz krótszą przekątną 2 Kąt jest kątem prostym Pozostałe kąty w trójkące nazwj 3 Stosując twerdzene Ptagorasa:, w trójkące oblcz przyprostokątną 4 Skorzystaj z deﬁncj: Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej

22 21 Nacągnęty sznurek długośc, na którego końcu zamocowany jest latawec, tworzy z pozomem kąt 70 Jak wysoko nad zemą znajduje sę latawec? 1 Narysuj trójkąt prostokątny przedstawający sytuację z zadana oznacz odpowedno dane 2 Skorzystaj z odpowednej funkcj trygonometrycznej (jej wartość dla kąta odczytaj z tablc) 3 Deﬁncje funkcj trygonometrycznych: Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej 4 Oblcz wysokość z odpowednego równana

23 22 Jak kąt z powerzchną zem tworzą promene słoneczne, jeśl drzewo o wysokośc rzuca ceń długośc? 1 Narysuj trójkąt prostokątny, oznacz odpowedno dane: wysokość drzewa jego ceń stanową przyprostokątne 2 Skorzystaj z odpowednej funkcj trygonometrycznej (znając jej wartość odczytaj z tablc marę kąta) 3 Deﬁncje funkcj trygonometrycznych: Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej

24 23 Trapez równoramenny ma podstawy długośc, a jego obwód jest równy Oblcz mary kątów tego trapezu 1 Narysuj trapez równoramenny, gdze - dłuższa podstawa, - krótsza podstawa Z werzchołków narysuj wysokośc Punkty ch przecęca z podstawą nazwj odpowedno 2 Kąt ostry mędzy podstawą ramenem nazwj 3 Ustal długośc odcnków 4 Wykorzystując znajomość obwodu trapezu, oblcz długość jego ramon 5 Stosując twerdzene Ptagorasa:, w trójkące ADF oblcz wysokość DF 6 Oblcz marę kąta, skorzystaj z odpowednej deﬁncj: Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej 7 Kąt rozwarty trapezu oblcz jako różncę:

25 24 W trapeze równoramennym o wysokośc krótszej podstawe równej odcnek łączący środk ramon ma długość Oblcz marę kąta, jak przekątna trapezu tworzy z jego podstawą 1 Narysuj trapez równoramenny, gdze - dłuższa podstawa, - krótsza podstawa Z werzchołków narysuj wysokośc Punkty ch przecęca z podstawą AB nazwj odpowedno Narysuj przekątną BD 2 Kąt mędzy podstawą przekątną nazwj 3 Wykorzystaj nformację, że długość odcnka łączącego środk ramon trapezu jest równy średnej arytmetycznej długośc jego podstaw Oblcz długość dłuższej podstawy 4 Ustal długość odcnka 5 Skorzystaj z odpowednej deﬁncj w trójkące : Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej 6 Znając wartość funkcj trygonometrycznej, odczytaj z tablc marę kąta

26 25 Oblcz wartośc pozostałych funkcj trygonometrycznych kąta ostrego, jeśl 1 Podstaw wartość cosnusa do wzoru na jedynkę trygonometryczną: Oblcz 2 Wartość tangensa oblcz ze wzoru: 3 Wartość cotangensa oblcz ze wzoru:

28 27 Oblcz wartośc pozostałych funkcj trygonometrycznych kąta ostrego, jeśl 1 Podstaw wartość snusa do wzoru na jedynkę trygonometryczną: Oblcz 2 Wartość tangensa oblcz ze wzoru: 3 Wartość cotangensa oblcz ze wzoru:

29 28 Oblcz wartośc pozostałych funkcj trygonometrycznych kąta ostrego, jeśl 1 Podstaw wartość snusa do wzoru na jedynkę trygonometryczną: Oblcz 2 Wartość tangensa oblcz ze wzoru: 3 Wartość cotangensa oblcz ze wzoru:

31 30 Oblcz wartośc pozostałych funkcj trygonometrycznych kąta ostrego, jeśl 1 Wartość cotangensa oblcz ze wzoru: 2 Podstaw do wzoru: wartość tangensa przekształć równane wyznaczając wzór na 3 Wyznaczony w punkce 2 wzór na snusa podstaw do wzoru na jedynkę trygonometryczną: Oblcz 4 Oblczony snus z punktu 2 oblcz

32 31 Oblcz długość przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, jeśl jest jednym z kątów ostrych tego trójkąta oraz, a długość przecwprostokątnej jest równa 1 Narysuj trójkąt prostokątny Oznacz jego bok aznacz kąt ostry 2 Skorzystaj z deﬁncj: Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Wyznacz wzór na za pomocą 3 Stosując twerdzene Ptagorasa:, utwórz równane z newadomym Wstaw do równana wyrażene na z punktu 2 oblcz 4 Oblcz ze wzoru z punktu 2

33 32 Oblcz długośc przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, jeśl jest jednym z kątów ostrych tego trójkąta oraz a długość przecwprostokątnej jest równa 1 Narysuj trójkąt prostokątny Oznacz jego bok aznacz kąt ostry 2 Skorzystaj z deﬁncj: Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Wyznacz wzór na za pomocą 3 Stosując twerdzene Ptagorasa:, utwórz równane z newadomym Wstaw do równana wyrażene na z punktu 2 oblcz 4 Oblcz ze wzoru z punktu 2

34 33 W trójkące o polu bok AB ma długość 4 Oblcz długość boku jeśl kąt ma marę: 30 1 Narysuj trójkąt oznacz dane z zadana 2 Wykorzystaj wzór na pole trójkąta:, gdze są bokam trójkąta, kątem mędzy tym bokam Podstaw odpowedno dane oblcz długość boku

35 34 Podstawa trójkąta równoramennego jest cztery razy dłuższa od wysokośc opuszczonej na tę podstawę Oblcz obwód tego trójkąta, jeśl jego pole jest równe 36 1 Narysuj trójkąt równoramenny, wysokość oznacz jako, podstawę, na którą ona opada jako 2 Wykorzystaj wzór na pole trójkąta:, gdze jest bokem trójkąta, na który opada wysokość Podstaw odpowedno dane do wzoru oblcz Teraz możesz równeż wyznaczyć długość podstawy 3 Ramona trójkąta oznacz jako W trójkące o bokach: zastosuj twerdzene Ptagorasa: Oblcz, a następne obwód trójkąta

36 35 Oblcz pole trójkąta o bokach długośc 4, 5, 7, korzystając ze wzoru Herona Wzór Herona na pole trójkąta o bokach długośc :, gdze (połowa obwodu trójkąta)

39 38 Oblcz pole równoległoboku, w którym kąt rozwarty ma marę 150, a bok mają długość Oblcz kąt ostry równoległoboku, wedząc, że suma kątów leżących przy jednym boku równoległoboku wynos 2 Wykorzystaj wzór na pole równoległoboku: gdze

40 39 Pole rombu o obwodze równym 48 wynos 108 Oblcz promeń okręgu wpsanego w ten romb 1 Narysuj romb o boku wysokość poprowadzoną przez środek okręgu wpsanego w ten romb 2 Ustal wzór na obwód rombu Oblcz długość boku 3 Ze wzoru na pole rombu: 4 Oblcz promeń okręgu wpsanego w romb, wedząc, że stanow on połowę wysokośc

41 40 W prostokące o przekątnej długośc 12 połączono odcnkam środk sąsednch boków Otrzymany romb ma pole równe Oblcz wartośc funkcj trygonometrycznych kąta ostrego tego rombu 1 Narysuj prostokąt romb zgodne z nstrukcją z zadana Dodatkowo dorysuj przekątne rombu 2 Z rysunku wynka, ż bok rombu jest połową przekątnej prostokąta 3 Korzystając ze wzoru na pole rombu o boku :, oblcz wartość 4 Podstaw wartość snusa do wzoru na jedynkę trygonometryczną: Oblcz 5 Wartość tangensa oblcz ze wzoru: 6 Wartość cotangensa oblcz ze wzoru:

42 41 Trapez równoramenny o podstawach oraz opsany jest na okręgu o promenu Oblcz pole mary kątów tego trapezu 1 Narysuj trapez równoramenny o dolnej podstawe górnej oraz wpsany w nego okrąg zgodne z nstrukcją z zadana 2 Oznacz dane na rysunku 3 Zwróć uwagę na to, że wysokość trapezu składa sę z dwóch promen 4 Korzystając ze wzoru na pole trapezu o podstawach oraz wysokośc :, oblcz pole trapezu 5 Z werzchołków narysuj wysokośc Oblcz długośc odcnków 6 W trójkące oblcz wartość odpowednej funkcj trygonometrycznej, odczytaj dla nej marę kąta 7 Marę kąta rozwartego trapezu oblczysz, wedząc, że suma mar katów leżących przy jednym ramenu wynos

43 42 Oblcz pole trapezu równoramennego, którego kąt ostry ma marę 30, a podstawy mają długość 1 Narysuj trapez równoramenny o dolnej podstawe górnej zgodne z nstrukcją z zadana 2 Oznacz dane na rysunku 3 Z werzchołków narysuj wysokośc Oblcz długośc odcnków 4 W trójkące zastosuj wzór na odpowedną funkcję trygonometryczną wyznacz z otrzymanego równana wysokość 4 Korzystając ze wzoru na pole trapezu o podstawach oraz wysokośc :, oblcz pole trapezu

44 43 Oblcz wysokość oraz pole trójkąta równobocznego, na którym opsano okrąg o promenu 1 Narysuj trójkąt równoboczny o boku oraz okrąg opsany na tym trójkące 2 Wykorzystaj do oblczena wysokośc nformację, ż promeń okręgu opsanego na trójkące równobocznym stanow jego wysokośc 3 Podstaw oblczoną wysokość do wzoru na wysokość trójkąta równobocznego: oblcz z nego 4 Oblczone a podstaw do wzoru na pole trójkąta równobocznego:

45 44 Do podstawy trójkąta równoramennego poprowadzono wysokość równą Oblcz obwód tego trójkąta wedząc, że opsano na nm okrąg o promenu równym 1 Narysuj trójkąt równoramenny o ramonach wysokość z werzchołka Punkt przecęca wysokośc z podstawą nazwj 2 Środek okręgu opsanego na trójkące jest punktem przecęca symetralnych boków trójkąta, stąd też znajdze sę na wysokośc Oblcz długość odcnka 3 Wykorzystaj twerdzene Ptagorasa: w trójkące oblcz długość odcnka 4 Wykorzystaj ponowne twerdzene Ptagorasa w trójkące oblcz długość ramena 5 Oblcz obwód

46 45 Do podstawy trójkąta równoramennego poprowadzono wysokość równą 6 cm Oblcz obwód tego trójkąta wedząc, że opsano na nm okrąg o promenu równym 1 Narysuj trójkąt równoramenny o ramonach wysokość z werzchołka Punkt przecęca wysokośc z podstawą nazwj 2 Środek okręgu opsanego na trójkące jest punktem przecęca symetralnych boków trójkąta, stąd też znajdze sę na przedłużenu wysokośc (poza trójkątem) Oblcz długość odcnka 3 Wykorzystaj twerdzene Ptagorasa: w trójkące oblcz długość odcnka 4 Wykorzystaj ponowne twerdzene Ptagorasa w trójkące oblcz długość ramena 5 Oblcz obwód

47 46 W trójkące równoramennym kąt mędzy ramonam ma marę a podstawa ma długość Oblcz promeń okręgu opsanego na tym trójkące 1 Narysuj trójkąt równoramenny o ramonach Zaznacz środek okręgu opsanego na tym trójkące nazwj go Odcnk są promenam okręgu opsanego na trójkące, nazwj je 2 Wykorzystaj twerdzene: kąt wpsany oparty na łuku jest równy połowe kąta środkowego opartego na tym samym łuku Wyznacz marę kąta 3 Zastosuj twerdzene Ptagorasa : w trójkące oblcz długość

48 47 Oblcz promeń okręgu wpsanego w trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długośc Znając długośc przyprostokątnych, oblcz pole trójkąta prostokątnego 2 Z twerdzena Ptagorasa: oblcz długość przecwprostokątnej 3 Wykorzystaj wzór na pole trójkąta:, gdze - długośc boków trójkąta, promeń okręgu wpsanego w trójkąt Podstaw do wzoru wartośc: Oblcz

49 48 Oblcz promeń okręgu wpsanego w trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długośc Znając długośc przyprostokątnych, oblcz pole trójkąta prostokątnego 2 Z twerdzena Ptagorasa: oblcz długość przecwprostokątnej 3 Wykorzystaj wzór na pole trójkąta:, gdze - długośc boków trójkąta, promeń okręgu wpsanego w trójkąt Podstaw do wzoru wartośc: Oblcz

50 49 Na okręgu o promenu 4 cm opsano trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długośc 10 cm Oblcz długośc pozostałych boków tego trójkąta Narysuj trójkąt prostokątny o przecwprostokątnej 2 Wpsz w trójkąt okrąg Punkty stycznośc okręgu z bokam oznacz kolejno 3 Poprowadź promene do punktów Zauważ, że odcnk równeż wynoszą 4 Wedząc, że wynos, oblcz długość odcnka, przyjmując, że przyprostokątna ma długość 5 Odcnek jest równy, a odcnek jest równy 6 Nazwj odcnek, a następne zastosuj twerdzene Ptagorasa: oblcz długość Pamętaj o zastosowanu wzoru skróconego mnożena:

51 50 Na okręgu o promenu 2 cm opsano trójkąt prostokątny o przecwprostokątnej długośc 10 cm Oblcz długośc pozostałych boków tego trójkąta Narysuj trójkąt prostokątny o przecwprostokątnej 2 Wpsz w trójkąt okrąg Punkty stycznośc okręgu z bokam oznacz kolejno 3 Poprowadź promene do punktów Zauważ, że odcnk równeż wynoszą 4 Wedząc, że wynos, oblcz długość odcnka, przyjmując, że przyprostokątna ma długość 5 Odcnek jest równy, a odcnek jest równy 6 Nazwj odcnek, a następne zastosuj twerdzene Ptagorasa: oblcz długość Pamętaj o zastosowanu wzoru skróconego mnożena:

52 51 Na okręgu o promenu 3 opsano trójkąt równoramenny o kące mędzy ramonam równym 120 Oblcz długośc boków tego trójkąta o ramonach oraz wysokość poprowadzoną do podstawy 2 Ustal marę kąta 3 Zaznacz środek okręgu wpsanego w trójkąt oraz punkty stycznośc okręgu z ramonam oraz z podstawą trójkąta, oznacz je kolejno 4 Odcnk są promenam okręgu wpsanego w trójkąt o długośc 3 5 Skorzystaj z odpowednej deﬁncj w trójkące : Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej Oblcz długość odcnka, a następne długość wysokośc 6 Korzystając z odpowednej deﬁncj w trójkące, oblcz długość odcnków oraz

53 52 Przecwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 8, a jeden z kątów ostrych ma 30 Oblcz promeń okręgu wpsanego w ten trójkąt 1 Narysuj trójkąt prostokątny o przecwprostokątnej 2 Skorzystaj z odpowednej deﬁncj w trójkące : Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej Oblcz długośc przyprostokątnych 3 Znając długość przyprostokątnych, oblcz pole trójkąta ABC 4 Wykorzystaj wzór na pole trójkąta:, gdze długośc boków trójkąta, promeń okręgu wpsanego w trójkąt Podstaw do wzoru wartośc: Oblcz

54 53 W trójkące prostokątnym krótsza przyprostokątna ma długość 6, a jeden z kątów ma marę 60 Oblcz długość okręgu wpsanego w ten trójkąt 1 Narysuj trójkąt prostokątny o przecwprostokątnej Wyraźne zaznacz krótszą przyprostokątną wększy z kątów ostrych 2 Skorzystaj z odpowednej deﬁncj w trójkące Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej Oblcz długośc dłuższej przyprostokątnej przecwprostokątnej 3 Znając długość przyprostokątnych, oblcz pole trójkąta ABC 4 Wykorzystaj wzór na pole trójkąta:, gdze długośc boków trójkąta, promeń okręgu wpsanego w trójkąt Podstaw do wzoru wartośc: Oblcz 5 Oblcz długość okręgu korzystając ze wzoru:

55 54 Oblcz stosunek pola koła opsanego na trójkące równobocznym o boku długośc do pola koła wpsanego w ten trójkąt 1 Pola kół oblcz ze wzoru: 2 Promeń okręgu wpsanego w trójkąt równoboczny, natomast promeń okręgu opsanego na trójkące równobocznym gdze wysokość trójkąta równobocznego

56 55 Różnca mędzy długoścą przekątnej kwadratu długoścą jego boku wynos Oblcz pole obwód tego kwadratu 1 Narysuj kwadrat Jego bok oznacz natomast przekatną 2 Wykorzystaj twerdzene Ptagorasa: Pamętaj o zastosowanu wzoru skróconego mnożena: Oblcz kolejno pole obwód kwadratu

57 56 Bok rombu ma długość, a suma długośc jego przekątnych jest równa Oblcz pole wysokość tego rombu 1 Oznacz przekątne rombu Utwórz równane, wedząc, że ch suma wynos 2 Wedząc, że przekątne w rombe przecnają sę pod kątem prostym, dzeląc sę na połowy, utwórz druge równane z newadomym ykorzystaj twerdzene Ptagorasa: 3 Rozwąż układ równań 4 Oblcz pole rombu ze wzoru: 5 Znając bok rombu P, wykorzystaj wzór na pole rombu: oblcz

58 57 Na trapeze, którego wysokość jest równa, opsano okrąg o promenu Oblcz obwód tego trapezu, jeśl jedna z jego podstaw jest średncą tego okręgu 1 Okrąg można opsać tylko na trapeze równoramennym Narysuj trapez o dłuższej podstawe zgodne z treścą zadana 2 Narysuj wysokośc 3 Do werzchołków poprowadź promene ze środka okręgu 4 W trójkące wykorzystaj twerdzene Ptagorasa: Oblcz Długość odcnka, a następne (podstawa składa sę z dwóch promen) 5 Zastosuj twerdzene Ptagorasa w trójkące oblcz długość ramon trapezu 6 Krótsza podstawa trapezu składa sę z dwóch odcnków

59 58 Oblcz pole trapezu równoramennego o ramenu długośc 10 cm opsanego na okręgu o promenu 4 cm 1 Narysuj trapez równoramenny o dłuższej podstawe oraz wysokośc Wpsz w nego okrąg 2 Zauważ zwązek wysokośc trapezu z promenem okręgu wpsanego w trapez 3 W trójkące wykorzystaj twerdzene Ptagorasa: Oblcz długość odcnka 4 Nazwj podstawę, wtedy podstawa 5 Ułóż równane z newadomą wykorzystaj twerdzene: aby w czworokąt wpsać okrąg, suma przecwległych boków mus być taka sama 6 Oblcz pole trapezu ze wzoru:, gdze podstawy trapezu, wysokość trapezu

60 59 Podstawy trapezu równoramennego mają długość Oblcz pole tego trapezu, jeśl można w nego wpsać okrąg 1 Narysuj trapez równoramenny o dłuższej podstawe oraz wysokośc Wpsz w nego okrąg 2 Zauważ, że odcnek jest równy krótszej podstawe CD Oblcz długość odcnków 3 Nazwj ramona trapezu 4 Wykorzystując twerdzene: aby w czworokąt wpsać okrąg, suma przecwległych boków mus być taka sama, oblcz 5 W trójkące wykorzystaj twerdzene Ptagorasa: Oblcz wysokość 6 Oblcz pole trapezu ze wzoru:, gdze podstawy trapezu, wysokość trapezu

61 60 Podstawy trapezu prostokątnego mają długość 1 cm 3 cm Oblcz długośc ramon tego trapezu, jeśl można wpsać w nego okrąg 1 Narysuj trapez prostokątny o dłuższej podstawe Wpsz w nego okrąg 2 Narysuj wysokość CE Zauważ, że odcnek jest równy krótszej podstawe Oblcz długość odcnka 3 Nazwj ramona trapezu 4 Wykorzystując twerdzene: aby w czworokąt wpsać okrąg, suma przecwległych boków mus być taka sama, ułóż równane z newadomym 5 W trójkące wykorzystaj twerdzene Ptagorasa: z newadomym Utwórz druge równane Rozwąż układ równań

62 61 W trapez o kątach ostrych przy dłuższej podstawe wpsano okrąg o promenu Oblcz długośc podstaw tego trapezu 1 Narysuj trapez o dłuższej podstawe zgodne z treścą polecena Wpsz w nego okrąg Zauważ zwązek mędzy wysokoścą trapezu, a promenem okręgu w nego wpsanego 2 Narysuj wysokośc CE DF Zauważ, że odcnek jest równy krótszej podstawe 3 Skorzystaj z odpowednej deﬁncj w trójkące ADF oblcz długośc odcnków oraz w trójkące oblcz długośc odcnków : Snusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc przecwprostokątnej Cosnusem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc przecwprostokątnej Tangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej naprzecw kąta do długośc drugej przyprostokątnej Cotangensem kąta nazywamy stosunek długośc przyprostokątnej leżącej przy kące do długośc drugej przyprostokątnej 4 Nazwj podstawę trapezu 5 Wykorzystując twerdzene: aby w czworokąt wpsać okrąg, suma przecwległych boków mus być taka sama, ułóż równane z newadomą

63 62 W romb o boku długośc kące ostrym 60 wpsano koło Oblcz pole tego koła 1 Narysuj romb wpsz w nego okrąg zgodne z treścą polecena 2 Oblcz pole rombu korzystając ze wzoru: gdze długość boku rombu, kąt ostry rombu 3 Korzystajac ze wzoru na pole rombu:, oblcz 4 Zauważ zwązek mędzy wysokoścą rombu, a promenem okręgu wpsanego w nego 5 Oblcz pole koła ze wzoru:

64 63 Jeden z boków trójkąta jest trzykrotne dłuższy od drugego boku, a kąt mędzy nm zawarty jest równy 60 Oblcz długość tych boków, jeśl trzec bok tego trójkąta ma długość 7 1 Narysuj trójkąt według treśc polecena 2 Bok trójkąta oznacz: 3 Skorzystaj z twerdzena cosnusów:, gdze kąt zawarty mędzy bokam trójkąta Za wstaw wartość 7 4 Rozwąż równane z newadomą

65 64 Jeden z boków trójkąta jest czterokrotne dłuższy od drugego boku, a kąt mędzy nm zawarty jest równy 120 Oblcz długość tych boków, jeśl trzec bok tego trójkąta ma długość 21 1 Narysuj trójkąt według treśc polecena 2 Bok trójkąta oznacz: 3 Skorzystaj z twerdzena cosnusów:, gdze kąt zawarty mędzy bokam trójkąta Za wstaw wartość 21 4 Wykorzystaj wzór: 5 Rozwąż równane z newadomą