1 Metody optymalizacji wielokryterialnej Ogólna charakterystyka problemu Tradycyjne metody optymalizacji wielokryterialnej...

Transkrypt

1 1 Metody optymalzacj welokryteralnej Ogólna charakterystyka problemu Tradycyjne metody optymalzacj welokryteralnej Metoda ważonych kryterów Metoda optymalzacj herarchczne Metoda ogranczonych kryterów Metoda kryterum globalnego Metody funkcj odległośc Mn-Maxu Metoda programowana celów Ewolucyjne metody optymalzacj welokryteralnej Wstępne nformacje o algorytmach ewolucyjnych Algorytm VEGA Algorytm HLGA Algorytm FFGA Algorytm NPGA Algorytm NSGA Lteratura:... 19

2 1 Metody optymalzacj welokryteralnej. 1.1 Ogólna charakterystyka problemu. Optymalzację welokryteralną najproścej przedstawć w odnesenu do optymalzacj jednokryteralnej, w której to funkcja celu zwraca jedną wartość. Wele problemów podejmowana decyzj, projektowana tp. trudno jest jednak sformułować jako take zdane, gdyż zamast jednego lczbowego kryterum oceny, musmy nekedy uwzględnć cały ch zbór. Co za tym dze rozwązanem takego problemu welokryteralnego ne jest jeden punkt, tylko zbór punktów (rysunek 1). W celu lepszego uśwadomena różncy pomędzy optymalzacją welokryteralna a jednokryteralną wprowadźmy parę prostych przykładów: Przykład 1. Kupno optymalnego samochodu (pod uwagę berzemy cenę, wyposażene, moc slnka, zużyce palwa ) Przykład 2. Konstruktor mus zaprojektować urządzene, tak aby było tane w produkcj oraz wysokej jakośc Przykład 3. Projektowane pręta wspornkowego o jak najmnejszej mase jak najmnejszym ugęcu końca. W przedstawonych wyżej przykładach z reguły ne będze możlwe znalezene takego rozwązana dla którego wszystke krytera będą optymalne. Dzeje sę tak poneważ w wększośc przypadków krytera ne są ze sobą zgodne (mnmalzacja jednego z nch może powodować wzrost nnych), o takej sytuacj mówmy że jedno kryterum domnuje nad nnym co możemy zapsać symbolczne w następujący sposób: x y f ( x) f ( y), słowne : rozwązane x domnuje nad rozwązanem y wtedy tylko wtedy gdy wartość funkcj celu dla x ne jest wększa nż dla rozwązana y w przypadku mnmalzacj funkcj celu. Naturalny staje sę zatem podzał możlwych rozwązań zadana optymalzacj welokryteralnej na zdomnowane nezdomnowane. Rozwązane jest nezdomnowane (paretooptymalne) wówczas gdy, ne jest możlwe znalezene rozwązana lepszego z uwag na co najmnej jedno kryterum bez pogorszena z uwag na pozostałe. Grafczne zasadę tą przedstawono na rysunku 1. Strona 1

3 Rysunek 1 Zbór Pareto dla zadana mnmalzacj Rozwązane C może zostać polepszone zarówno wobec kryterum f 1, jak f 2. Dla rozwązań A B taka możlwość ne stneje poprawa względem jednego kryterum powoduje pogorszene z uwag na druge należą one zatem do zboru rozwązań optymalnych w sense Pareto. Rozwązana zdomnowane nezdomnowane możemy równeż zdefnować w następujący sposób: Dla zadana mnmalzacj zestawu k funkcj celu: f(x)=(f 1 (x), f 2 (x),...,f (x)) Rozwązane x jest zdomnowane, jeśl stneje dopuszczalne rozwązane y ne gorsze od x, tzn. dla każdej funkcj celu f : f (x) f (y); ( dla =1,... k) W przecwnym wypadku x jest rozwązanem nezdomnowanym (paretooptymalnym). Dla zadana maksymalzacj zestawu k funkcj celu: f(x)=(f 1 (x), f 2 (x),...,f (x)) Rozwązane x jest zdomnowane, jeśl stneje dopuszczalne rozwązane y ne gorsze od x, tzn. dla każdej funkcj celu f : f (x) f (y); (dla =1,... k) W przecwnym wypadku x jest rozwązanem nezdomnowanym. Strona 2

4 1.2 Tradycyjne metody optymalzacj welokryteralnej Metoda ważonych kryterów. Weghted Objectves Method Polega ona na sprowadzenu optymalzacj welokryteralnej do jednokryteralnej przez wprowadzene kryterum zastępczego, będącego sumą ważoną kryterów: k gdze: k lość funkcj celu; x wektor rozwązań; w wag take, że: F( x) 1 w f ( x) W wynku takego przekształcena uzyskujemy pojedynczą funkcję celu F(x), którą optymalzujemy przy użycu metod typowych dla zadana jednokryteralnego. Grafczne rozwązane można przedstawć jako punkt przecęca obszaru rozwązań dopuszczalnych z hperprostą P, zależną od wartośc ważnośc kryterów w (rysunek 2). Problematyczny w tej metodze jest wybór wartośc wag kryterów, co w oczywsty sposób może prowadzć do różnych rozwązań. Newątplwą zaletą tej chyba najczęścej stosowanej metody jest łatwy sposób mplementacj. Rysunek 2. Rozwązane optymalne w metodze ważonych kryterów Strona 3

5 1.2.2 Metoda optymalzacj herarchczne. Herarchcal Optmzaton Metod Polega ona, podobne jak metoda przedstawona poprzednm punkce, na sprowadzenu optymalzacj welokryteralnej do optymalzacj jednokryteralnej kolejno wykonywanej względem wszystkch kryterów. W tym celu należy wykonać następujące procedury: Uszeregować krytera od najważnejszego (f 1 ) do najmnej ważnego (f m ). Znaleść rozwązane optymalne X 1 względem kryterum f 1 perwotnych ogranczenach. Poszukwać rozwązań optymalnych X, = 2, 3,...,M względem pozostałych kryterów przy wprowadzanu dodatkowych ogranczeń: Gdze: - jest to procentową wartoścą warancj dozwoloną dla funkcj kryteralnej f. Wartość ta jest swostą ważnoścą oblczonego w poprzednm kroku postępowana optmum. Wartość warancj może równeż przyjmować wartośc równe zero, wtedy taką metodę welokryteralną nazywa sę metodą leksykografczną (ang. Lexcographc Method) Metoda ogranczonych kryterów. Trade-Off Metod W tej metodze z kole są ustalane pozomy wartośc, jake mogą przyjmować poszczególne krytera co prowadz do ogranczena przestrzen rozwązań dopuszczalnych. Problem optymalzacj welokryteralnej jest sprowadzany do problemu optymalzacj względem wybranego kryterum f r przy zwększonej o (M-1) lczbe ogranczeń wynkających z pozostałych kryterów, co matematyczne można zapsać następująco: f ( X ) f ( X ) g r k ( X ) h ( X ) j MIN ; 0; k 0; j 1,..., M ; 1,..., K 1,..., J Gdze: - wartość pozomu ogranczającego dane kryterum, g k (X) perwotne ogranczena nerównoścowe, h j (X) perwotne ogranczena równoścowe. r Strona 4

6 1.2.4 Metoda kryterum globalnego. Global Crteron Method W metodze tej poszukuje sę rozwązana przyblżonego F(X*) (może nm być rozwązane stanowące ekstremum dla poszczególnych kryterów rozpatrywanych osobno) dla sformułowana kryterum dla optymalzacj jednokryteralnej o postac: M f ( X ) 1 f ( X ) f ( X ) P MIN, przy zachowanu ogranczeń równoścowych nerównoścowych. Wartość wykładnka P jest przyjmowana najczęścej z przedzału (1, 2) Metody funkcj odległośc Mn-Maxu. Method of Dstance Functons, Mn-Max Method Metody te są zblżone do metody kryterum globalnego, gdze równeż na początku postępowana poszukuje sę pewnego rozwązana przyblżonego (lub dealnego), mnmalzując w drugej faze funkcję o postac: f ( X ) f ( X ) 1 f ( X ) M P 1 P MIN Jeżel P = 2 wtedy mnmalzujemy odległość mędzy rozwązanem przyblżonym a optymalnym (Metoda funkcj odległośc). Wartość P = prowadz do metody Mn-Max mnmalzacj maksymalnych odchyleń rozwązana optymalnego od przyblżonego: f ( X ) f ( X ) MAX 1,..., M f ( X ) MIN Stosuje sę równeż metodą Mn-Max z wagam, przypsanym do poszczególnych kryterów: MAX w f ( X ) f ( X ) f ( X j 1,..., M ) MIN Strona 5

7 1.2.6 Metoda programowana celów. Goal Programmng Method jest pewną ogólną technką optymalzacj welokryteralnej. W tym podejścu krytera są traktowane jako cele które należy osągnąć lub jako wartośc progowe których wartośc kryterów ne mogą przekroczyć. Na wartośc kryterów mogą zostać zatem narzucone warunk: wększy lub równy, mnejszy lub równy, równy.rozważmy problem optymalzacj welokryteralnej z uwag na dwe funkcje f 1 f 2. Przyjmjmy perwszy cel kryterum f 1 będze mnejsze lub równe z 1, oraz drug nech f 2 będze równe z 2. Wtedy zaps metody programowana celów będze następujący: Z uwzględnenem ogranczeń równoścowych nerównoścowych. W powyższym wzorze w są współczynnkam kary odpowadającym każdej odchyłce wartośc kryterum d które wyznaczają nepożądane odchylena osągnętego celu. Podsumowując tradycyjne metody optymalzacj welokryteralnej są cągle bardzo popularne. Jest to spowodowane tym że, dają one dobre rezultaty w znajdywanu potencjalnych rozwązań (dla ne welkej lczby rozwązań w sense Paret), a także poneważ wedza na ch temat dostępność materałów jest dzsaj szeroka. Ne mnej jednak metody te ne pozostają bez wad. O le dla ne welkej lośc zboru Pareto-optymalnego spsują sę całkem ne źle, to już wększy zbór powoduje w znacznym stopnu wzrost kosztu oblczeń. Dzeje sę tak bowem zazwyczaj metody tradycyjne wymagają klkukrotnego uruchomena w celu wyznaczena zboru Pareto-optymalnego. Ponadto nektóre technk take jak na przykład metoda ważonych kryterów, są wrażlwe na kształt frontu Pareto-optymalnego. Strona 6

8 1.3 Ewolucyjne metody optymalzacj welokryteralnej. Pommo cągłej popularnośc przedstawonych w poprzednm punkce tradycyjnych metod optymalzacj welokryteralnej, coraz częścej ch alternatywą w welu problemach stają sę algorytmy ewolucyjne. Jest to spowodowane tym ż lepej one radzą sobe w przypadku gdy mamy odczynena z potencjalne duża lczbą rozwązań w sense Pareto Wstępne nformacje o algorytmach ewolucyjnych Defncja algorytmu ewolucyjnego Algorytm ewolucyjny przeszukuje przestrzeń alternatywnych rozwązań problemu w celu odnalezena rozwązań najlepszych lub potencjalne najlepszych. Zalcza sę go do klasy algorytmów heurystycznych. Przeszukwane odbywa sę za pomocą mechanzmów ewolucj oraz doboru naturalnego. W praktyce te słowa oznaczają, że wykorzystujemy ewolucję, aby poprzez krzyżowane mutacje stworzyć z grupy losowych zestawów danych to, co nas będze satysfakcjonować. Perwszy algorytm ewolucyjny został zaproponowany przez Johna Hollanda w 1975 roku, który bardzo nteresował sę bologą często czerpał z nej nsprację w swych pracach nformatycznych. Zasada dzałana: Algorytm ewolucyjny przetwarza populacje osobnków, z których każdy jest propozycją rozwązana postawonego problemu. Dzała on w środowsku, które można zdefnować na podstawe problemu rozwązywanego prze z algorytm. W środowsku każdemu osobnkow jest przyporządkowana określona wartość która cechuje jakość reprezentującego przez nego rozwązana; wartość ta jest nazwana przystosowanem osobnka. Każdy osobnk jest wyposażony w nformację stanowącą jego genotyp, na podstawe którego tworzony jest fenotyp czyl zestaw cech, który podlega ocene środowska. Właśne ta ocena jest przystosowanem osobnka opsywanym wcześnej. Proces tworzena fenotypu z genotypu nazywamy kodowanem. Można powedzeć, że fenotyp należą do przestrzen rozwązań problemu, natomast genotyp do przestrzen kodów. Sposób ocenana fenotypu opsujemy za pomocą funkcj przystosowana, która w sposób całkowty opsuje środowsko. Funkcja ta może być stacjonarna, zmenna w czase bądź podlegać randomzacj. Genotyp osobnka jest budowany przez chromosomy. Natomast każdy chromosom składa sę z zestawu genów, których wartoścam są allele. Dzałane algorytmu ewolucyjnego sprowadza sę do wykonywana pętl pokazanej na rysunku 3., w której następuj po sobe: reprodukcja, operacje genetyczne, ocena, sukcesja. Strona 7

9 Rysunek 3 Schemat algorytmu ewolucyjnego. Reprodukcja W połączenu z operatoram genetycznym modeluje rozmnażane, podczas którego materał genetyczny rodzców jest przekazywany potomkom. Powstałe w wynku reprodukcj kope, zwane są osobnkam rodzcelskm, poddawane są operacją genetycznym (mutacj krzyżowanu). Mutacja polega na perturbacj genotypu jednego osobnka rodzcelskego. Krzyżowane z kole dzała na welu osobnkach rodzcelskch prowadz do wygenerowana jednego lub welu osobnków potomnych, których chromosomy powstają w wynku wymeszana odpowednch chromosomów pochodzących z rożnych osobnków rodzcelskch. Osobnk utworzone w wynku dzałana operatorów genetycznych stanową populacje potomną. Populacja potomna jest poddawana ocene środowska, po czym następuje sukcesja tworzy sę nową populację bazową, mogącą zawerać osobnk zarówno z populacj potomnej jak ze starej populacj bazowej. Strona 8

10 1.3.2 Algorytm VEGA. Schaffer s Vector Evaluated Genetc Algorthm Podejśce do zagadnena welokryteralnego w tym algorytme przedstawł w 1985 r. Schaffer. Istotą tego podejśca jest neco nny sposób przeprowadzana selekcj osobnków, reprezentujących pojedyncze rozwązane danego problemu, w odnesenu do prostego algorytmu genetycznego. Manowce populacja bazowa P t dzelona jest na k-podzborów, gdze k oznacza lczbę kryterów, następne z każdego podzboru dokonywana jest selekcja takej samej lczby (N/k) najlepszych osobnków względem jednego z kryterów. Wybrane w procese selekcj osobnk są przenoszone do populacj tymczasowej P gdze są meszane podawane operacją genetycznym: mutacj krzyżowanu. Obrazowo proces selekcj dla k=2 przedstawona na rysunku ponżej. Rysunek 4 Selekcja w metodze VEGA. Schemat krokowy algorytmu VEGA Dane podawane na wejśce: N rozmar populacj, T maksymalna lczba pokoleń, p c prawdopodobeństwo krzyżowana, p m prawdopodobeństwo mutacj Wyjśce algorytmu: A zbór rozwązań nezdomnowanych. Krok 1: Krok 2: Incjalzacj: Nech P0= oraz t=0. Następne dla =1,,N wykonaj a) wyberz osobnka, b) dodaj osobnka do populacj P0. Przystosowane selekcja: Ustaw P = oraz =1 wykonaj: Strona 9

11 a) dla każdego osobnka wyznacz jego przystosowane według wzoru:, b) dla j=1,,n/k dokonaj selekcj osobnka skopuj go do populacj tymczasowej:, c) przypsz =+1, d) jeżel przejdź do a) w przecwnym raze przejdź do Kroku 3. Krok 3: Krok 4: Krok 5: Rekombnacja: Ustaw P = dla każdego =1,,N/2 wykonaj: a) wyberz dwa osobnk, j a następne usuń je z P, b) skrzyżuj osobnk rodzcelske oraz j. Wynkem tego otrzymujesz osobnk potomne k, l, c) dodaj k, l do P z prawdopodobeństwem pc w przecwnym raze przeneś osobnk rodzcelske, j do P. Mutacja: Ustaw P = dla każdego P wykonaj: a) podaj mutacj osobnka z prawdopodobeństwem pm. wynku mutacj powstaje osobnk j, b) dodaj osobnka j do P. Kończene algorytmu: Ustaw nowe pokolene bazowe Pt+1=P oraz t=t+1. Sprawdź jeżel t T lub dodatkowe kryterum stopu jest spełnone, umeść rozwązana nezdomnowane z populacj Pt w zborze A zakończ dzałane algorytmu. W przecwnym raze przejdź do Krok 2. Newątplwą zaletą przedstawonego wyżej algorytmu jest jego prosta mplementacja. Nestety algorytm ten ma tendencje do poszukwana ekstremalnych rozwązań nezdomnowanych tzw. takch, które znajdują sę blsko krańców zboru rozwązań nezdomnowanych (pomjane rozwązań pośrednch). Można zapobegać temu zjawsku, stosując technk podzału przystosowana, jednakże stneje wówczas ryzyko wystąpena trudnośc z osągnęcem rozwązań nezdomnowanych. Innym rozwązanem jest ogranczene wymany osobnków mędzy populacjam zarówno jej częśc (ne w każdej populacj), jak ntensywnośc (ne wszystke osobnk tylko np. najlepsze ) Algorytm HLGA. Hajela and Ln s Weghtng-based Genetc Algorthm Algorytm ten opracowal Hajela and Ln w Podejśce to bazuje na przestawonej w punkce metodze ważonych kryterów. Tutaj jednak wag ne są przydzelane bezpośredno do każdego kryterum tylko koduje sę je wraz z danym osobnkem. Dzęk temu każdy osobnk ewoluuje wobec różnej kombnacj wag, naczej mówąc każdy osobnk ewoluuje Strona 10

12 przy nnej funkcj kryteralnej. Powoduje to że optymalzacja jest wykonywana w tym przypadku w welu kerunkach równocześne (rysunek 5). Nemnej jednak wady metody przestawonej w punkce mogą w znaczący sposób obnżyć efektywność tej ewolucyjnej metody. Rysunek 5 Selekcja w metodze HLGA. Schemat krokowy algorytmu HLGA Dane podawane na wejśce: N rozmar populacj, T maksymalna lczba pokoleń, p c prawdopodobeństwo krzyżowana, p m prawdopodobeństwo mutacj Wyjśce algorytmu: A zbór rozwązań nezdomnowanych. Krok 1: Krok 2: Krok 3: Incjalzacj: Nech P 0 = oraz t=0. Następne dla =1,,N wykonaj a) wyberz osobnka, b) dodaj osobnka do populacj P 0. Przystosowane: Dla każdego osobnka wykonaj: a) wydostań wagę wj (j=1,,k) z osobnka, b) oblcz przystosowane osobnka według wzoru:. Selekcja: Ustaw. Następne dla każdego =1,,N wykonaj: a) wyberz jednego osobnka pod kontem najlepszej wartośc przystosowana F(). b) Dadaj do populacj tymczasowej danego osobnka. Strona 11

13 Krok 4: Krok 5: Krok 6: Rekombnacja: Ustaw P = dla każdego =1,,N/2 wykonaj: a) wyberz dwa osobnk, j a następne usuń je z P, b) skrzyżuj osobnk rodzcelske oraz j. Wynkem tego otrzymujesz osobnk potomne k, l, c) dodaj k, l do P z prawdopodobeństwem p c w przecwnym raze przeneś osobnk rodzcelske, j do P. Mutacja: Ustaw P = dla każdego P wykonaj: a) poddaj mutacj osobnka z prawdopodobeństwem p m. wynku mutacj powstaje osobnk j, b) dodaj osobnka j do P. Kończene algorytmu: Ustaw nowe pokolene bazowe Pt+1=P oraz t=t+1. Sprawdź jeżel t T lub dodatkowe kryterum stopu jest spełnone, umeść rozwązana nezdomnowane z populacj P t w zborze A zakończ dzałane algorytmu. W przecwnym raze przejdź do Krok Algorytm FFGA. Fonseca and Flemng s Multobjectve Genetc Algorthm Algorytm ten został opracowany w 1993 r. przez Fonseca Flemng, ne mnej koncepcja takego podejśca została już wcześnej bowem w 1989 r. przedstawona przez Goldberga. Bazuje ona na nadawanu rang osobnkom, które późnej determnują wartość ch przystosowana. Rang są nadawane w tak sposób że z populacj bazowej wyberane są osobnk nezdomnowane przypsywana jest m ranga jeden a następne są one tymczasowo usuwane z populacj. Z pozostałych osobnków wyberamy znowu te które są nezdomnowane nadajemy m rangę równą dwa. Postępujemy tak do pók ne nadamy rang wszystkm osobnkom. Należy jednak pamętać ż ne każda wartość rang mus zostać nadana. Na ponższym rysunku została przedstawona przykładowa populacja z przypsanym rangam dla poszczególnych osobnków. Osobnk które ne są zdomnowane mają rangę równą 1, podczas gdy najgorszym przypsano rangę równą 10. Na podstawe tych rang jest wypełnana populacja tymczasowa. Ponad to wdzmy że ne ma klku pośrednch wartośc rang, gdyż ne jest to wymagane. Strona 12

14 Rysunek 6 Nadane rang w dwu-kryteralnym zadanu (Algorytm FFGA). Schemat krokowy algorytmu FFGA. Dane podawane na wejśce: N rozmar populacj, T maksymalna lczba pokoleń, p c prawdopodobeństwo krzyżowana, p m prawdopodobeństwo mutacj - promeń nszy. Wyjśce algorytmu: A zbór rozwązań nezdomnowanych. Krok 1: Incjalzacj: Nech P 0 = oraz t=0. Następne dla =1,,N wykonaj wyberz osobnka, dodaj osobnka do populacj P 0. Krok 2: Przystosowane: a) Dla każdego P t oblcz rangę: gdze lczba osobnków domnujących osobnka w danym pokolenu, b) posortuj populacje według nadanej rang (od najlepszej do najgorszej), c) przypsz każdemu osobnkow Pt wartość wstępnego przystosowana F () uzyskaną poprzez lnową nterpolację od najlepszej rang do najgorszej, d) Wyznacz wartość przystosowana F() uśrednając wartość funkcj F () dla takch Pt dla których wartośc są dentyczne. Strona 13

15 Take same jak w algorytme HLGA (p ). Rozpatrując tego typu metody, bazującej na domnacj należy zwrócć szczególna uwagę na mogący sę pojawć problem nerównomernego pokrycu zboru rozwązań nezdomnowanych. Problem ten ujawna sę zwykle przy newelkch populacjach bazowych, gdze wększość osobnków, reprezentujących poszczególne rozwązana, jest zdomnowana. Schemat selekcj preferujący nezdomnowane osobnk prowadz do ntensywnejszego przeszukana ch sąsedztwa. W efekce pojawają sę skupska osobnków wokół uprzedn ne zdomnowanych. W skutek tego rozmeszczene osobnków w zborze punktów nezdomnowaych jest bardzo nerównomerne. Aby zapowedz temu zjawsku w powyższej metodze zastosowano technkę optymalzacj welomodalnej, podzału przystosowana (ftness sharng). Metoda ta została opracowana przez Goldberg Rchardson w 1987 r. Głowna dea tej metody polega na podzelenu populacj na stablne podpopulacje zwane nszam. Funkcja podzału określa zmnejszene dopasowana osobnka w stosunku do sąsada oddalonego o pewną marę odległośc uzależnona jest promena nszy. Matematyczne funkcję podzału można to zdefnować w następujący sposób: gdze: funkcja podzału, - pewna stała wartość. Znając powyższą zależność możemy w końcu zdefnować matematyczne funkcję przystosowań F(): gdze: - wartość wstępnego przystosowana Strona 14

16 Analzując powyżej wzory z łatwoścą możemy zauważyć że funkcja przystosowana F() zmnejsza sę proporcjonalne do lczby blskośc sąsednch punktów. Oznacza to że kedy sąsadują ze sobą welu osobnków, to wpływają one na lczebność nszy, w ten sposób obnżając własne wartośc dopasowań. Dzk temu ograncza sę właśne nekontrolowany wzrost osobnków danej nszy zapobega nerównomernemu pokrycu zboru rozwązań Algorytm NPGA. Nched Pareto Gentc Algorthm Podejśce do rozwązana zadań welokryteralnych zawarte w tej metodze zostało przedstawone przez Horn Nafplots w 1993 r. Algorytm NPGA podobne jak przestawony w p algorytm FFGA bazuje na technce opartej na domnacj, z jednocześne wprowadzoną selekcją turnejową. W celu przeprowadzena selekcj w odpowedn sposób,tak aby zachować odpowedn nacsk selekcj oraz kontrole nad loścą rozwązanam nezdomnowanych tworzy sę losowy zbór osobnków porównawczych P dom o lczebnośc określonej przez wartość nacsku domnacj t dom. Ten osobnk który zdomnuje losowy zbór P dom wygrywa selekcję zostaje przenoszony do populacj tymczasowej P. Proces selekcj grafczne przedstawono na rysunku ponżej. Na bało zaznaczono zwycęzców turneju selekcj. Rysunek 7 Selekcja w algorytme NPGA. Strona 15

17 Schemat krokowy algorytmu NPGA. Dane podawane na wejśce: N rozmar populacj, T maksymalna lczba pokoleń, p c prawdopodobeństwo krzyżowana, p m prawdopodobeństwo mutacj - promeń nszy. Wyjśce algorytmu: A zbór rozwązań nezdomnowanych. Krok 1: Krok 2: Incjalzacj: Nech P0= oraz t=0. Następne dla =1,,N wykonaj a) wyberz osobnka, b) dodaj osobnka do populacj P0. Przystosowane Selekcja: Ustaw =1 oraz. a) Wylosuj dwa osobnk, j Pt do rywalzacj oraz zapełnj losowym osobnkam zbór porównawczy Pdom Pt zgodne z wartoścą tdom, b) Jeżel osobnk dojmuje nad zborem Pdom oraz osobnk j ne domnuje nad Pdom wówczas jest zwycęzcą turneju zostaje przenesony do populacj tymczasowej, c) jeżel zaś osobnk j domnuje nad zborem Pdom oraz osobnk ne domnuje nad Pdom to, d) jeżel warunk w punkace b) oraz c) ne są spełnone wówczas: a. oblcz lczbę osobnków w populacj tymczasowej których odległość od osobnka jest mnejsza od promena nszy, posłuż sę wzorem: b. postępując jak w p. a. oblcz n(j), c. jeśl n()<n(j) wówczas w przecwnym wypadku. e) Ustaw =+1, jeżel <N dź do p. a), w przecwnym raze dź do Krok 3. Take same jak w algorytme VEGA (p ). Strona 16

18 1.3.6 Algorytm NSGA. Nondomnated Sortng Genetc Algorthm Algorytm NSGA po raz perwszy został zamplementowany w 1994 r. przez Srnvas Deb. Metoda ta podobne jak algorytm przedstawony w p bazuje na koncepcj Goldberga z 1989 r. Idea takego podejśca skupa sę na podzelenu osobnków w podpopulacje, ze względu na nada m rang, następne korzystając z metody nszowej zapewna równomerne pokryce zboru rozwązań. Dokładne podejśce to zostało wyjaśnone w p Podstawowym celem takego rozwązana było wyelmnowane wady algorytmu VEGA polegającej na pomjanu pewnych pośrednch rozwązań a skupanu sę na poszukwanu rozwązań znajdujących sę blsko krańców zboru rozwązań nezdomnowanych. Takch samych założeń jak w przypadku wcześnej wymenonych metod, jak równeż podobnego skutku w dzałanu metoda ta różn sę mędzy nnym neco zmenona postacą funkcj przystosowań a co za tym dze równeż selekcją (rysunek 8.). Rysunek 8 Selekcja w algorytme NSGA. Jeszcze przed selekcją populacja jest porządkowana pod względem domnacj. Wszystke osobnk nezdomnowane zalcza sę do perwszego frontu (przydzelając m sztuczną wartość funkcj przystosowań F d proporcjonalna do lczebnośc populacj, aby zapewnć tym osobnkom równy potencjał reprodukcyjny). Dla utrzymana różnorodnośc populacj stosuje sę dzelene tej sztucznej funkcj przystosowań (patrz p ). Następne tą grupę osobnków nezdomnowanych gnoruje sę tymczasowo, resztę populacj podaje sę temu samemu mechanzmow wyznacza sę drugą warstwę rozwązań nezdomnowanych. Nowemu zborow osobnków przypsuje sę nową wartość sztucznego Strona 17

19 przystosowana, która jest trochę mnejsza od poprzednej. Ten proces jest powtarzany dopók cała populacja ne zostane sklasyfkowana. Schemat krokowy algorytmu NSGA. Dane podawane na wejśce: N rozmar populacj, T maksymalna lczba pokoleń, p c prawdopodobeństwo krzyżowana, p m prawdopodobeństwo mutacj - promeń nszy. Wyjśce algorytmu: A zbór rozwązań nezdomnowanych. Krok 1: Krok 2: Incjalzacj: Nech P0= oraz t=0. Następne dla =1,,N wykonaj a) wyberz osobnka, b) dodaj osobnka do populacj P 0. Przystosowane: Ustaw Preman =Pt zancjalzuj wartość sztucznego dopasowana Fd lczbą N. a) Ustal zbór rozwązań nezdomnowanych Pnondom wyberając ze zboru Preman osobnk nezdomnowane. Następne usuń je przyszłego procesu klasyfkacj P reman = P reman P nondom, b) przydzel osobnkom z Pnondom wartość przystosowana F d, następne wykonaj podzał przystosowana (sparng ftness). c) Zmnejsz wartość funkcj sztucznego przystosowana tak aby była ona mnejsza od najmnejszej wartośc ze zboru Pnondom:, d) jeżel wówczas dź do punktu a) w przecwnym wypadku dź do Krok 3. Take same jak w algorytme HLGA (p ). Mmo lepszych wynków w stosunku do algorytmu VEGA przedstawony wyżej algorytm ne unknął także pewnych wad. Jedną z nch jest duża złożoność oblczenowa która dla NSGA wynos O(kN 3 ). Do wad równeż można zalczyć brak tutaj selekcj eltarnej która za zwyczaj przyspesza Strona 18

20 dzałane algorytmu ewolucyjnego, ale także pomaga zapobegać w pomjanu dobrych rozwązań problemu. Powyższe wady jak newątplwe zalety algorytmu NSGA skłonły naukowców do opracowana jego szybszej wersj o nazwe NSGA-II, której w danej pracy ne zaprezentowano. 2 Lteratura: [1] Eckart Ztzler: Evolutonary Algorthms for Multobjectve Optmzaton: Methods and Applcatons, Zürch [2] Jarosław Arabas: Wykłady z algorytmów ewolucyjnych, WNT [3] Mchalewcz Z.: Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy ewolucyjne, WNT 1999; s [3] Eckart Ztzler, Marco Laumanns, and Stefan Bleuler: A Tutoral on Evolutonary Multobjectve Optmzaton, Swss Federal Insttute of Technology (ETH) Zurch. [4] Jeffrey Horn, Ncholas Nafplots, Davd E. Goldberg: A Nche Pareto Genetc Algorthm for Multobjectve Optmalzaton, IEEE 1994, Volume 1, pp [5] N. Srnvas, Kalyanmoy Deb: Multobjectve Optmzaton Usng Nondomnated Sortng In Genetc Algorthm, Department of Mechancal Engneerng, Indana Insttute of Technology. Źródła nternetowe: [6] [7] [8] Strona 19