WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO

Transkrypt

1 WOJSKOWA AKADEMIA ECHNICZNA im. Jaroława Dąbrowiego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LONICZEGO Przedmiot: PODSAWY AUOMAYKI (tudia tacjoare I topia) ĆWICZENIE RACHUNKOWE Nr 3 CHARAKERYSYKI CZASOWE I CZĘSOLIWOŚCIOWE UKŁADÓW AUOMAYKI Warzawa 03

2 ĆWICZENIE RACHUNKOWE NR 3 emat: Charaterytyi czaowe i czętotliwościowe uładów automatyi Podcza ćwiczeia poruzae będą atępujące zagadieia: obliczaie odpowiedzi impulowej i oowej uładu; wyzaczeia charateryty czętotliwościowych (amplitudowo-fazowej oraz logarytmiczej: modułu i fazy) uładu.. Obliczaie odpowiedzi impulowej i oowej Aalizując i projetujące ułady terowaia, muimy mieć możliwość porówywaia ich właściwości. W tym celu touje ię oreśloe tetowe ygały wejściowe, umożliwiające porówywaie odpowiedzi badaych uładów a te ygały. Wiele metod projetowaia oparto a taich ygałach lub a odpowiedziach uładów a zmiay waruów początowych bez żadych ygałów tetowych). Wyorzytaie ygałów tetowych wyia z tego, że itieje orelacja pomiędzy odpowiedziami uładu a typowy ygał wejściowy, a zdolością uładu do radzeia obie z rzeczywitymi ygałami wejściowymi. Powzechie wyorzytywaymi tetowymi ygałami wejściowymi ą fucje: oowa, liiowa, impulowa, iuoidala, itp. Dla tych ygałów moża łatwo przeprowadzić aalizę matematyczą i eperymetalą uładów terowaia, poieważ ygały te ą bardzo protymi fucjami do wygeerowaia. Poadto przeztałceie Laplace a umożliwia wyzaczeie tramitacji operatorowej liiowego uładu, tóra rówież oreśla właości dyamicze uładu (model) iezależie od rodzaju ygału wejściowego. ramitacja operatorowa jet bardzo wygoda dla aalizy pracy liiowych uładów i dlatego jet powzechie toowaa. Umożliwia oa rówież przedtawieie zaadiczych cech uładów w potaci graficzej, pozwalającej a pierwzy rzut oa oceić właściwości dyamicze. Biorąc pod uwagę dziedzię, w jaiej przedtawia ię te właściwości, moża wyróżić: charaterytyi czaowe; charaterytyi czętotliwościowe. Charaterytyi czaowe dają możliwość (w odieieiu do uładów jedowymiarowych) bezpośrediej ocey uładu, poieważ charaterytya czaowa jet przebiegiem w czaie odpowiedzi uładu dyamiczego y(t) a oreśloe wymuzeie x(t). Najczęściej toowaymi wymuzeiami ą:

3 So jedotowy (t) (tzw. fucja Heaviide a) mówimy wówcza o odpowiedzi (charaterytyce) oowej h(t): x t t 0 dla dla t 0 t 0 Impul Diraca (t) (tzw. fucja wagi uładu) mówimy wówcza o odpowiedzi (charaterytyce) impulowej g(t): x t g t 0 dla dla t 0 t 0 Charaterytyą (odpowiedzią) oową uładu dyamiczego azywamy odpowiedź uładu a wymuzeie w potaci ou jedotowego przy zerowych waruach początowych modelu. Odpowiedź oową uładu dyamiczego wyzacza ię ze wzoru: G () ht L () W zależości od modelu uładu (model zmieych tau lub model tramitacyjy) wyzaczeie charaterytyi oowej polega a rozwiązaiu rówań zmieych tau dla wymuzeia (t) lub zalezieiu traformaty odwrotej tramitacji obietu, pomożoej przez traformatę operatorową fucji (t). Oczywiście, rodzaj toowaej traformaty operatorowej zależy od charateru badaego uładu (ciągły lub dyrety). Charaterytya oowa poazuje, w jai poób zachowuje ię uład przy ciągłym dotarczaiu mu tałych porcji eergii. Odpowiedź oową moża wyzaczyć rówież doświadczalie. Zajomość odpowiedzi a o jedotowy h(t) pozwala wyzaczyć jego odpowiedź a dowoly ygał wejściowy x(t), z zależości zwaej całą Duhamela: lub y y t h t x ht x t 0 d t h t x h x t 0 t 0 d 0 3

4 Charaterytyą impulową uładu dyamiczego azywamy odpowiedź uładu a wymuzeie w potaci impulu Diraca przy zerowych waruach początowych modelu. Odpowiedź impulowa daa jet wzorem: g t L G () W zależości od modelu uładu (model zmieych tau lub model tramitacyjy) wyzaczeie charaterytyi impulowej polega a rozwiązaiu rówań zmieych tau dla wymuzeie (t) lub zalezieiu traformaty odwrotej tramitacji obietu pomożoej przez traformatę operatorową fucji (t). Oczywiście, rodzaj toowaej traformaty operatorowej zależy od charateru badaego uładu (ciągły lub dyrety). W przypadu uładu dyretego ależy pamiętać o tym, że impul Diraca jet zatępoway impulem jedotowym. Charaterytya impulowa poazuje, w jai poób zachowuje ię uład przy jedorazowym dotarczaiu mu jedotowej porcji eergii. Pomiędzy omawiaymi charaterytyami (gdy rząd względy fucji wymierej, z tórej ma być obliczoa traformata jet więzy od zera)zachodzą atępujące związi: oraz d g t h t dla h(0)=0 (3) dt h t t 0 g Odpowiedź impulowa jet więc pochodą odpowiedzi oowej. Zając odpowiedź impulowa g(t), moża wyzaczyć, orzytając z twierdzeia o plocie, odpowiedź y(t) uładu a dowole wymuzeie x(t): y t d t g t x t g xt d gt x * d 0 t 0 4

5 . Odwrote przeztałceie Laplace a.. Defiicja i właściwości W wyia ze wzorów () i () odpowiedzi oowe oblicza ię z wyorzytaie odwrotego przeztałceia Laplace a tz. zając fucję zmieej zepoloej F(), ależy wyzaczyć fucję f(t), dla tórej F() jet obrazem. Zachodzą atępujące pytaia: ja wyzaczyć orygiał f(t), zając jego traformatę (obraz) F()? czy ażdej traformacie odpowiada tylo jede orygiał? jaie warui powia pełić fucja F() zmieej zepoloej = u + jv, aby była traformatą? F 0 e t f t dt (4) Jeżeli fucja f(t) jet rozwiązaiem rówaia (4), to te fat będziemy zapiywać w potaci wzoru: f t L F (5) tóry azwiemy odwrotym przeztałceiem Lapalce a. Jeżeli fucja F() jet traformatą orygiału f(t) o wyładiu wzrataia m 0, to w ażdym pucie ciągłości fucji f(t) zachodzi wzór: f j j t t F e d lim F j j j j e t d (6) gdzie: Re = > m 0. Ze wzoru (6), tóry azywamy wzorem Mellia-Fouriera, wyia, że jeżeli dwa orygiały f (t) i f (t) mają tę amą traformatę, to orygiały f (t) i f (t) mogą być róże tylo w woich putach ieciągłości, atomiat poza tymi putami ą idetycze. Jeżeli fucja F() pełia warui: Jet fucją aalityczą w półpłazczyźie Re > > m 0 ; lim F 0 ; Re j Cała F e t d jet bezwzględie zbieża; j o fucja F() jet traformatą, a jej orygiał ma potać: 5

6 f t j j F j e t d (7) Właściwości odwrotej traformaty Laplace a: liiowość: L F() F () L F() L F () f () t f () t (8) jedorodość: L cf cl F cf t () () (9).. Metody obliczaia odwrotej traformaty Laplace a a podtawie reiduów wierdzeie o rozładzie Orygiał traformaty F() jet rówy umie reiduów fucji F()e t w bieguach,,, (dla topia miaowia więzego od topia m liczia), czyli: L f t L F L ref e M t (0) Reiduum fucji F() jet w bieguie o rotości i oblicza ię ze wzoru: t d re F e lim F e i i i t i! d () a dla jedorotego biegua ze wzoru uprozczoego: t re F e F e () t lim Wzór Heaviide a Jeżeli F() jet fucją wymierą oraz >m: 6

7 F m L () b m b... bb M ( ) a a... aa m m 0 0 (3) a rówaie M()=0 ma jedorote pierwiati,,, będące bieguami jedorotymi fucji F(), to a podtawie wzoru oreślającego reiduum moża apiać: t Le () L t re e (4) M() M dla =,,,. W powyżzym wyrażeiu ależy ajpierw podzielić M() przez (- ), a atępie podtawić = (iaczej otrzyma ię wyrażeie ieozaczoe): t Le () L e re M () M t (5) Na podtawie twierdzeia o rozładzie moża apiać wzór Heaviide a: L () t t f t L Ae Ae... A e M() t (6) przy czym: A Pierwiati zepoloe L L lim M M (7) Pierwiati rówaia M()=0, będące bieguami fucji wymierej F(), ą rzeczywite lub zepoloe przężoe. Niech, + ozaczają parę przężoych pierwiatów zepoloych (jedorotych) rówaia M()=0, wtedy: j j (8) Zgodie ze wzorem Heaviide a wpółczyi A, A + moża przedtawić w potaci wyładiczej: 7

8 A A L j j Ae (9) M L j j (0) M wobec czego uma ładiów odpowiadających pierwiatom, + we wzorze Heaviidea a wyoi: Pierwiati wielorote t t t Re Ae A e A e A e () Jeżeli rówaie M()=0 poiada pierwiati wielorote,,, i oraz pierwiati jedorote i+, i+,, to załadając >m traformatę odwrotą oblicza ię jao: L () Le () f t L re Ae Metoda rozładu a ułami prote i t t () M () M () i Jeżeli traformata F()=L()/M() jet fucją wymierą, gdzie: (3) (4) przy czym l < oraz wzytie wpółczyii a 0,, a -,, b 0,, b l ą liczbami rzeczywitymi, to jedą z metod wyzaczaia fucji f(t) jet metoda oparta a zaym z algebry rozładzie fucji wymierej a ułami prote i wyoaiu odwrotego przeztałceia Lapalce a L - ażdego z ułamów z ooba. Po rozłożeiu miaowia M() a czyii topia pierwzego otrzymujemy: (5) gdzie,,, ą pierwiatami, ogólie biorąc, zepoloymi o rotościach rówych odpowiedio α, α,, α (jet ich różych), przy czym: (6) 8

9 Rozład (5) będziemy azywać rozładem zepoloym. Jeśli N 0 ozacza liczbę różych pierwiatów rzeczywitych wielomiau M(), to: (7) gdzie 0 jet liczbą różych par pierwiatów przężoych. Zatem otrzymamy rozład fucji wymierej a ułami prote o potaci: (8) przy czym wpółczyii C i ą, ogólie biorąc, zepoloe. Moża je wyliczyć w zay poób, prowadzając prawą troę wzoru (8) do wpólego miaowia M() i przyrówując tożamościowo liczii. Uwzględiając wzór: dla t 0 mamy:! (9) Dla dowolych zepoloych i, wyoując odwrote przeztałceie Laplace a obu tro rówości (8), otrzymujemy ogóly wzór w potaci: (30)! Wpółczyii C i moża rówież obliczyć bezpośredio ze wzoru: gdzie: =,,, α i ; i=,,,. lim! (3) W pratyce iżyieriej ajczęściej potyamy ię z przypadiem, iedy wzytie pierwiati i miaowia M() ą pojedycze. Poieważ wzytie wpółczyii α i dla tego przypadu ą rówe jedości, to możemy zapiać α i =; i=,,, =, zatem wzytie umy względem waźia (wzór 5) oraz (wzór (30)) reduują ię 9

10 do pojedyczych wyrazów dla =. Ozaczając C i =C i, otrzymujemy rozład a ułami prote w potaci: (3a) oraz dla wielorotych pierwiatów: (3b) Poieważ t > 0, po wyoai odwrotego przeztałceia Laplace a L - rówości (3a) dla przypadu pojedyczych pierwiatów i otrzymujemy: (33) Wpółczyii możemy obliczać, prowadzając prawą troę wzoru (3a) do wpólego miaowia, lub ze wzoru ogólego (3), tóry przybiera potać: (34) a dla przypadu wielorotych pierwiatów i :! (35) 3. Charaterytyi czętotliwościowe W dotychczaowych rozważaiach elemety liiowe automatyi charateryzowae były między iymi przez odpowiedzi a ygał oowy. Poiżze zagadieia będą dotyczyły tylo elemetu liiowego, a tórego wejście podao ygał harmoiczy x(t) = A () i(t). Wówcza ygał odpowiedzi uładu ma rówież przebieg harmoiczy opiay zależością y(t) = A () i(t+). Schemat taiego uładu przedtawioo a ry.. 0

11 Ry.. Ogóly ymbol graficzy elemetu liiowego Moża to przedtawić graficzie jao odpowiedie rzuty wetorów A i A a oś x i y, wirujących z prędością ątową - ry.. Ry.. Przebiegi czaowe wymuzeia x(t) i odpowiedzi y(t) Wyróżia ię atępujące rodzaje charateryty czętotliwościowych uładu: charaterytyę amplitudowo-fazową; charaterytyę amplitudową; charaterytyę amplitudową; charaterytyę fazową; charaterytyi logarytmicze (amplitudową i fazową). Charaterytyą amplitudowo fazową F af ) ( ciągłegoo uładu liiowego opiaego tramitacją operatorową G(j) azywamy fucję zepoloąą zmieejj rzeczywitej, w tórej wartości ą oreśloe atępującym wzorem: F af () G j P( ) jq( )

12 Ry.3. Charaterytya amplitudowo - fazowa ramitacja widmowa dla ażdej pulacji, p p. =, jet liczbą zepoloą, a więc wyzaczaa a płazczyźie P(), jq() put o wpółrzędych P( ), Q( ). Put te jet ońcemm wetora G(j ) o długości M( ) i ącie achyleia ( ). Charaterytya amplitudowo fazowa f jet więc miejcem geometryczym putów, jaie zareśla oiec wetora G(j) a płazczyźie zmieej zepoloej przy zmiaiee pulacji ygału wejściowego od 0 do. Charaterytya amplitudowo fazowa uładu rzeczywitego, dla tórego topień wielomiau liczia tramitacji jet iżzy odd topia wielomiau miaowia, dążąą do początu uładu wpółrzędyw ych: G ( j) 0, gdy Charaterytyą amplitudową F a () ciągłego uładu liiowego opiaego tramitacją operatorową G(j) azywamy fucję rzeczywitą zmieej rzeczywitej, tórej wartości ą oreśloe atępującym wzorem: F a ( ) G j Charaterytyą fazową F f () ciągłego uładu liiowego opiaego tramitacją operatorową G(j) azywamy fucję rzeczywitą zmieej rzeczywitej, tórej wartości ą oreśloe atępującym wzorem: F f ( ) arg G Charaterytyii amplitudowa i fazowa, wyreśloe w uładach wpółrzędych, w tórych oś odciętych wyrażoa jet w ali logarytmiczej azywamy charaterytyami logarytmiczymi j

13 L ( ) 0log G j 0log M Ry.4. Charaterytyi logarytmicze: amplitudowa i fazowa 4. Charaterytyi czaowe i czętotliwościowe podtawowych elemetów automatyi 4.. Elemety iercyje i beziercyje Elemetem iercyjym pierwzego rzędu azywać będziemy elemet opiay rówaiem różiczowym o potaci: y y u gdzie: wpółczyiw i wzmocieia oreśloy jao toue odpowiedzi y do wymuzeia u w taie utaloym, tała czaowa. i tramitacją operatorową potaci: G( ) Szczególym przypadiemp elemetu iercyjego pierwzego rzędu dla = 0 jet elemet beziercyjy (proporcjoaly, wzmaciający). Elemetem beziercyjym azywać będziemy elemet opiay rówaiem algebraiczym o potaci: y u i tramitacja operatorową potaci: G( ) 3

14 Charaterytya amplitudowo-fazowa jet wyreem tramitacji widmowej: G( j) j tórą otrzymujemy z tramitacji operatorowej G( ) podtawiając = jω. Charaterytya ta ma potać półoręgu o średicy, położoego w czwartej ćwiartce (ry.3b). a) c) h(t) L(ω) db 3dB rzeczywita aymptotycza 0 t lgω 0 ω=/ ω b) d) Q(ω) 0 ω= / ω=0 φ=45 P(ω) φ(ω) 0 lgω ω -45 -/ ω=/ G(jω)=P(ω)+jQ(ω) -90 Ry.5. Charaterytyi elemetu iercyjego pierwzego rzędu: a) oowa, b) amplitudowo-fazowa, c) logarytmicza amplitudowa, d) logarytmicza fazowa Zależość oreślającą logarytmiczą charaterytyę amplitudową L( ) 0lg G( j) 0lg ( ) moża aproymować wyrażeiem: 0lg dla L( ) 0lg 0lgdla 4

15 Aymptotycza logarytmicza charaterytya amplitudowa ma więc potać łamaej złożoej z dwóch półprotych (ry.5c). Putem załamaia tej charaterytyi jet put ω = /. Najwięza różica między logarytmiczą charaterytyą amplitudową rzeczywitą i aymptotyczą wytępuje w pucie załamaia i wyoi: 0 lg ( ) 0 lg 0 lg 3dB Ry.6. Charaterytyi elemetu beziercyjego: a) oowa, b) amplitudowofazowa, c) logarytmicza amplitudowa, d) logarytmicza fazowa Logarytmiczą charaterytyę fazową elemetu iercyjego pierwzego rzędu (ry.5d) oreśla wzór: ( ) arg G( j) arctg Charaterytyę oową, amplitudowo-fazową oraz logarytmicze charaterytyi amplitudową i fazową elemetu beziercyjego przedtawia ry.6. Charaterytya amplitudowo-fazowa elemetu beziercyjego jet putem położoym dla >0 a dodatiej, a dla <0 a ujemej półoi liczb rzeczywitych (ry.6b). Logarytmicza charaterytya amplitudowa elemetu beziercyjego (ry.6c) ma wartość tałą rówą 0lg, a logarytmicza charaterytya fazowa (ry.6d) przyjmuje wartość 0 dla >0 oraz -80 dla <0. 5

16 4.. Elemety całujące Elemetem całującym z iercją azywać będziemy elemet automatyi opiay rówaiem różiczowym o potaci:, y y u gdzie: wpółczyi wzmocieia prędościowego, oreśloy jao toue pochodej odpowiedzi y do wymuzeia u w taie utaloym, tała czaowa. i tramitacji operatorowej potaci: G( ) ( ) Szczególym przypadiem elemetu całującego z iercją dla = 0 jet elemet całujący zway idealym elemetem całującym. Elemetem całującym azywać będziemy elemet automatyi opiay rówaiem różiczowym o potaci: y u i tramitacją operatorową potaci: G( ) Charaterytyę oową, amplitudowo-fazową oraz charaterytyi logarytmicze amplitudową i fazową elemetu całującego z iercją przedtawia ry.7. Charaterytyę amplitudowo-fazową elemetu całującego z iercją, będącą wyreem tramitacji widmowej: G( j) P( ) jq( ) j( j ) gdzie: P( ) ( ), Q( ) [ ( ) ] przedtawia ry.7b. 6

17 Ry.7. Charaterytyi człou całującego z iercją: a) oowa, b) amplitudowo-fazowa, c) logarytmicza amplitudowa, d) logarytmicza fazowa Zależość oreślającą logarytmiczą charaterytyę amplitudową: L( ) 0lg G( j) 0lg ( ) moża aproymować wyrażeiem: 0lg 0lg L ( ) 0lg 40lg Aymptotycza logarytmicza charaterytya amplitudowa ma więc potać łamaej złożoej z dwóch półprotych (ry.7c). Putem załamaia tej charaterytyi jet put ω = /. Najwięza różica między logarytmiczą charaterytyą amplitudową rzeczywitą i aymptotyczą wytępuje w pucie załamaia i wyoi: 0 lg (0 lg 0 lg ) 0 lg 3dB / ( ) Logarytmiczą charaterytyę fazową elemetu całującego z iercją (ry.0c) oreśla wzór: 7

18 ( ) argg( j) 90 arctg. Charaterytyę oową, amplitudowo-fazową oraz logarytmicze charaterytyi amplitudową i fazową elemetu całującego przedtawia ry.8. Charaterytya amplitudowo fazowa tego elemetu, będąca wyreem tramitacji widmowej: G( j) j porywa ię z ujemą półoią urojoą (ry.8b). Ry.8. Charaterytyi elemetu całującego z iercją: a) oowa, b) amplitudowo-fazowa, c) logarytmicza amplitudowa, d) logarytmicza fazowa Logarytmicza charaterytya amplitudowa, oreśloa zależością: L ( ) 0lg G( j) 0lg 0lg jet liią protą o wpółczyiu ieruowym 0dB/deadę, tóra przecia oś odciętych w pucie ω = (ry.8c). Logarytmicza charaterytya fazowa (ry.8d) jet oreśloa zależością: ( ) arcg ( j) 90 8

19 4.3. Elemety różiczujące Elemetem różiczującym z iercją (lub rzeczywitym elemetem różiczującym) azywać będziemy elemet automatyi opiay rówaiem różiczowym o potaci: y y u, gdzie: wpółczyi wzmocieia, oreśloy jao toue odpowiedzi y do pochodej wymuzeia u w taie utaloym, tała czaowa. i o tramitacji operatorowej potaci: G( ) Szczególym przypadiem człou różiczującego z iercją dla = 0 jet elemet różiczujący idealy, tóry róto azywać będziemy elemetem różiczującym. Elemetem różiczującym azywać będziemy elemet automatyi opiay rówaiem o potaci: y u i tramitacji operatorowej potaci: G( ) Charaterytyę oową, amplitudowo fazową oraz charaterytyi logarytmicze amplitudową i fazową elemetu różiczującego z iercją przedtawia ry.9. Charaterytya amplitudowo fazowa elemetu różiczującego z iercją jet wyreem tramitacji widmowej o potaci: j G( j) P( ) jq( ), j 9

20 Ry.9. Charaterytyi elemetu różiczującego z iercją: a) oowa, b) amplitudowo-fazowa, c) logarytmicza amplitudowa, d) logarytmicza fazowa przy czym: P( ) ( ) ( ), Q( ) Charaterytya ta ma potać półoręgu położoego w pierwzej ćwiartce o średicy / i środu w pucie (/,0) (ry.9b). Zależość, oreślającą logarytmiczą charaterytyę amplitudową: L( ) 0lg G( j) 0lg ( ) moża aproymować wyrażeiem: 0l lg 0lg L ( ) 0lg Aymptotycza logarytmicza charaterytya amplitudowa ma więc potać łamaej złożoej z dwóch półprotych (ry.9c). Putem załamaia tej charaterytyi jet put ω = /. Najwięza różica 0

21 między logarytmiczą charaterytyą amplitudową rzeczywitą i aymptotyczą wytępuje w pucie załamaia i wyoi: 0 lg t (0lg 0 lg ) 0lg 3dB / ( ) Logarytmiczą charaterytyę fazową elemetu różiczującego z iercją (ry.9d) oreśla wzór: ( ) arcg( j) 90 arctg Charaterytyę oową, amplitudowo fazową oraz logarytmicze charaterytyi amplitudową i fazową elemetu różiczującego przedtawia ry.0. Ry.0. Charaterytyi człou różiczującego: a) oowa, b) amplitudowofazowa, c) logarytmicza amplitudowa, d) logarytmicza fazowa Charaterytya amplitudowo fazowa tego człou, będąca wyreem tramitacji widmowej: G( j) j porywa ię z dodatią półoią urojoą (ry.0b). Logarytmicza charaterytya amplitudowa, oreśloa zależością:

22 L ( ) 0lg G( j) 0lg 0lg jet liią protą o wpółczyiu ieruowym 0dB/deadę, przeciającą oś odciętych w pucie ω = / (ry.0c). Logarytmiczą charaterytyę fazową elemetu różiczującego (ry.0c) oreśla zależość: ( ) arcg ( j) Elemet ocylacyjy Elemetem ocylacyjym (drugiego rzędu) azywać będziemy elemet automatyi opiay rówaiem różiczowym o potaci: y ( y y u lub y y y u gdzie: ore drgań właych ie tłumioych, ω = / pulacja drgań właych ie tłumioych, - względy wpółczyi tłumieia (0<<), wpółczyi wzmocieia oreśloy jao toue odpowiedzi y do wymuzeia u w taie utaloym. oraz tramitacji operatorowej potaci: G( ) a po podtawieiu / : G( ) Zauważmy, że dla 0<< bieguy tramitacji G( ), czyli pierwiati rówaia: M ( ) 0 ą zepoloe przężoe o ujemej części rzeczywitej:

23 ( j ), ( j ). Dla bieguy i ą rzeczywite i elemet ocylacyjy taje ię elemetem iercyjym drugiego rzędu. Charaterytyę amplitudowo fazową przedtawia ry.. Ry.. Charaterytyi człou ocylacyjego: a) oowa, b) amplitudowo - fazowa Charaterytya amplitudowo fazowa elemetu ocylacyjego jet wyreem tramitacji widmowej o potaci: G j) P( ) jq( ) j, ( gdzie: ( ) P( ) ( ) ( ), 3 Q( ) ( ) ( ). Charaterytyę tę dla trzech różych wartości przedtawia ry.b. Zależość, oreślającą logarytmiczą charaterytyę amplitudową: L( ) 0lg G( j) 0lg ( ) ( ) dla 0,4 0, 6 moża aproymować wyrażeiem: 0lg L( ) 0lg 40lg 3

24 W tym przypadu aymptotycza logarytmicza charaterytya amplitudowa ma więc potać łamaej złożoej z dwóch półprotych. Logarytmicza charaterytya fazowa elemetu ocylacyjego oreśloa jet zależością: ( ) arcg ( j) arctg 4.5. Elemet opóźiający Elemetem opóźiającym azywać będziemy elemet automatyi opiay rówaiem o potaci: y( t) u( t 0 ) gdzie: wpółczyi wzmocieia oreśloy jao toue odpowiedzi y do wymuzeia u dla t> 0, 0 cza opóźieia. i o tramitacji operatorowej potaci: 0 G( ) e. Ry.. Charaterytyi elemetu opóźiającego: a) oowa, b) amplitudowo fazowa c) logarytmicza amplitudowa, d) logarytmicza fazowa Charaterytya amplitudowo fazowa tego człou, będąca wyreem tramitacji widmowej: G( j) e j 0 4

25 ma potać oręgu o promieiu i środu w początu uładu wpółrzędych (ry.b). Logarytmicza charaterytya amplitudowa tego człou, oreśloa zależością: L( ) 0lg ma potać protej poziomej (ry. c), a logarytmicza charaterytya fazowa, oreśloa zależością: ( ) argg( j) 0 maleje ze wzrotem pulacji ω (ry.d) Elemet forujący Elemetem forujący azywać będziemy elemet automatyi opiay rówaiem różiczowym o potaci: gdzie: tała y y u oraz tramitacji operatorowej potaci: G ( ) Ry.3. Charaterytyi forującego: a) oowa, b) amplitudowo - fazowa 5

26 Pratycza realizacja taiego elemetu jet iemożliwa ze względu a wytępowaie w uładach rzeczywitych iercji. Dlatego też, do dalzej aalizy, ależałoby przyjąć, że przedtawioe charaterytyi mają charater idealy. Charaterytyę amplitudowo fazową i charaterytyi logarytmicze elemetu forującego przedtawia ry.3. Charaterytya amplitudowo fazowa elemetu forującego jet wyreem tramitacji widmowej o potaci: G( j) j, Moduł tramitacji widmowej oreśloy jet zależością; G( j), atomiat argumet; ( ) arctg, Zależość, oreślającą logarytmiczą charaterytyę amplitudową: L ( ) 0lg G( j) 0lg Charaterytyę tę moża aproymować wyrażeiem: 0 dla L( ) 0lg dla W tym przypadu aymptotycza logarytmicza charaterytya amplitudowa ma więc potać łamaej złożoej z dwóch półprotych. Przyład. Zaleźć orygiał traformaty F. W tym przypadu do obliczeia orygiału traformaty F() wyorzytae zotaie twierdzeie o rozładzie. W tym celu zotaie wyorzytaa zależość (7): 6

27 f t L F ref e t Aby rozwiązać powyżze rówaie ależy orzytać ze wzoru (), poieważ fucja F() poiada dwa bieguy jedorote: = 0; = -. Stąd: f t L lim t F ref e lim F t t F e lim F e lim 0 t t lim e lim e e 0 t t e lim e t e t Przyład. Zaleźć orygiał traformaty F. W tym przypadu do obliczeia orygiału traformaty F() wyorzytae zotaie twierdzeie o rozładzie. W tym celu zotaie wyorzytaa zależość (0): f t L F ref e t Aby rozwiązać powyżze rówaie ależy orzytać ze wzoru (), poieważ fucja F() poiada jede biegu dwuroty: = -; t d t f t L F ref e lim F e d Stąd d t d t t f t lim e e te d lim d 7

28 Przyład 3. Daa jet traformata F. 3 Wyzaczyć orygiału traformaty F() metodą rozładu a ułami prote. Na podtawie wzoru (8) możemy zapiać: F A 3 3 atępie wyrażeie to prowadzamy do wpólego miaowia i otrzymujemy: 3 A A A A3 F 3 3 Rozwiązując powyżze rówaie, otrzymujemy: A =-/8, A =/8, A =-/4, A 3 =/. Wyliczając orygiał f(t) możemy zapiać w potaci: f Przyład t t t t t t e e te t e e t 4t e t Wyzaczyć charaterytyę oową i impulowa uładu dyamiczego opiaego atępującą tramitacją operatorową: G. W pierwzym etapie wyzaczoa zotaie odpowiedź oowa uładu. Zgodie z zależością (6) odpowiedź oowa jet rówa: h t A 8 L G W związu z tym, podtawiamy do powyżzego wzoru zależość G i otrzymujemy wówcza: A 8 A 3 8

29 9 L L G L t h W dalzych przeztałceia zotaie wyorzytae twierdzeie o rozładzie, zgodie z tórym orygiał traformaty jet rówy umie reiduów fucji (G()/)e t w bieguach,,,, czyli t t e G e G G re t h lim lim Uład poiada dwa pierwiati =- / t i =0. Stąd: t t e e t h lim lim t t e e 0 lim lim 0 t t e e Natomiat charaterytyę impulową g(t) będziemy wyzaczać z zależości (6), czyli: G L t g Potępując aalogiczie, ja przy wyzaczaiu charaterytyi oowej otrzymujemy: t t t e e e t h lim lim

30 Przyład 5. Wyzaczyć charaterytyę Bode uładu dyamiczego opiaego atępującą tramitacją operatorową: 0 0, G. 0,0 Na początu oreślae ą parametry uładu: wzmocieie uładu 0 0, ; tała czaowa człou forującego 0, 0; tała czaowa człou iercyjego 0, ; tała czaowa człou iercyjego 4 ; wzmocieie człou różiczującego 5 Dla uładu opiaego tramitacją G() ryujemy w pierwzej olejości charaterytyi ładowych elemetów automatyi zgodie z ww. parametrami. Ze względu a charater przybliżoy charaterytyi uładu, dla tych celów orzytać będziemy z tzw. charateryty aymptotyczych. 30

31 L(ω) db +0 db/de +0 db/de 0-0 db/de lgω 0,0 0, ω -0 db/de +0 db/de 0 db/de +0 db/de 0 db/de φ(ω) ,0 0, lgω ω Czło iercyjy Czło iercyjy Czło forujący 6. Literatura Czło różiczujący Ry.. Charaterytyi Bode uładu opiaego tramitacją 0 0, G 0,0. Jauz KOWAL Podtawy automatyi, Uczeliae Wydawictwa Nauowo-Dydatycze AGH, Kraów 004, Sygatura:

32 . Jauz KOWAL Podtawy automatyi, Uczeliae Wydawictwa Nauowo-Dydatycze AGH, Kraów 004, Sygatura: adeuz Kaczore eoria terowaia. om I Ułady liiowe ciągłe i dyrete. Pańtwowe Wydawictwo Nauowe, Warzawa Dariuz Horla Podtawy automatyi. Ćwiczeia rachuowe. Część I, Wydawictwo Politechii Pozańiej, Pozań Zbigiew WAŁACH Cyberetya techicza. Część I Eploatacja oprzętu, Wydział Wydawiczy WA, Warzawa 983 3