10. PROSTE ZGINANIE Stan naprężenia i odkształcenia przy prostym zginaniu

Transkrypt

1 . Wrwł Wkłd mechniki mteriłów 0. ROT ZGINNI 0.. tn nprężeni i odkstłceni pr prostm ginniu Zginnie proste (jednokierunkowe) wstępuje wówcs gd obciążenie ewnętrne redukuje się do wektor momentu ginjącego leżącego w płscźnie prekroju którego kierunek pokrw się jedną głównch centrlnch osi bewłdności prekroju. Rowżm pręt o długości l stłm prekroju obciążon momentem ginjącm (rs. ). Rs. Z powżsego rsunku wnik że jedną siłą prekrojową w rowżnm pręcie jest moment ginjąc którego kierunek pokrw się główną centrlną osią bewłdności prekroju C (rs. ). Ztem pręt ten jest poddn prostemu ginniu. Nprężeni odkstłceni i premiesceni w pręcie pr jego prostm ginniu wncm prjmując nstępujące łożeni uprscjące: (i) wpłw sił msowej jest pomijln więc g g g 0 () gdie g g g są współrędnmi wektor sił msowej; (ii) osie C i C są osimi głównmi centrlnmi prekroju cli gdie 0 0 () oncją moment sttcne ntomist bewłdności; (iii) spełnion jest hipote płskich prekrojów BRNOULLI GO (por. 7.). odśrodkow moment

2 Złożm też że w prpdku prostego ginni w prekroju rowżnego pręt wstępuje tlko nprężenie normlne (rs. ). W tkim prpdku mcier nprężeń (.6) prjmuje postć 0 0 T () [ ] Onc to że pr prostm ginniu wstępuje jednoosiow stn nprężeni. tron ficn Rs. odstwijąc element mcier () do równń ficnch (5.) otrmujem ε ν ε ε νε γ γ γ γ γ γ 0 () gdie jest modułem sprężstości podłużnej (modułem YOUNG) ntomist ν współcnnikiem oisson. Z powżsch relcji wnik że mcier odkstłceń m nstępującą postć: ε νε 0 (5) 0 0 νε [ ] Onc to że stn odkstłceń w pr prostm ginniu jest trójosiow (prestrenn).

3 tron sttcn Wkorstując prwo HOOK () w postci ε (6) or hipoteę płskich prekrojów powljącą predstwić odkstłcenie liniowe ε jko ε b c (7) otrmujem nstępującą leżność określjącą nprężenie normlne prekroju pręt ginnego ( b c) (8) gdie b c stłe które nleż wncć. Z uwgi n stn nprężeni w pręcie leżności (.55) prjmują postć (rs. ) d 0 d d 0 (9) odstwijąc do powżsch wiąków leżność (8) i wkorstując definicje chrkterstk geometrcnch (.) (.) (.9) i (.) dostjem ukłd równń b b b c c c 0 0 (0) gdie onc pole powierchni moment bewłdności prekroju. moment sttcne ntomist Uwględnijąc w powżsch równnich łożenie () otrmujem nstępujące wrtości posukiwnch stłch: b 0 c () Wkorstując powżse stłe we wore (8) otrmujem wór określjąc nprężenie w pręcie pr prostm ginniu

4 () Z powżsego woru wnik że nprężeni normlne w prekroju ginnm mieniją się liniowo po jego wsokości. oniewż nprężeni te nie leżą od współrędnej to prjmują tę smą wrtość we wsstkich punktch o tej smej współrędnej. oniewż nprężenie () jest leżne tlko od miennej ś poostłe nprężeni są równe eru to pr łożeniu () równni równowgi (.) są spełnione tożsmościowo. rrównując powżs wór do er wncm krwędź precięci płscn nprężeń płscną prekroju wną osią obojętną. Z wrunku 0 wnik że rędn punktów leżącch n osi obojętnej wnosi o 0 co onc że pr prostm ginniu oś obojętn pokrw się osią centrlną C. Oś obojętn stnowi grnicę pomięd nprężenimi ściskjącmi or rociągjącmi. Nprężeni te osiągją wrtości ekstremlne w punktch prekroju njbrdiej oddlonch od osi obojętnej. Uwględnienie stłch () we wore (6) powl otrmć leżność określjącą odkstłcenie liniowe pręt ginnego cli ε () gdie nwm stwnością pręt pr ginniu. Z powżsego woru wnik że również odkstłcenie pręt poddnego prostemu ginniu jest leżne od miennej. Ztem równni nierodielności (.7) są spełnione tożsmościowo. tron geometrcn W celu określeni premiesceń pręt pr prostm ginniu (rs. ) wkorstm równni geometrcne (.). Rs.

5 odstwijąc do tch równń element mcier odkstłceń (5) pr uwględnieniu relcji ε c gdie c jest określone leżnością () dostjem u u c v v u νc w v w w νc 0 () Cłkując pierwse tr powżsch równń otrmujem nstępujące współrędne wektor premiesceń: u c c v ν c c (5) νc w gdie c c c c są stłmi cłkowni. c ( ) c ( ) odstwijąc do poostłch trech równń () pochodne powżsch funkcji cli otrmujem u u v v w w 0 c c u u v w ν c c c 0 0 c u v 0 c v w 0 c w c ν c c ν c c c ( ) νc c c νc ( ) d d (6) (7) Uwględnijąc powżse stłe we worch (5) dostjem gdie d d d. u c c c w v ν c c (8) ( ν ν ) d oniewż w miejscu utwierdeni pręt 0 wsstkie tr współrędne wektor premiesceni są równe eru (wrunki bregowe w premiescenich) tem (8) wnik że ( ) c 0 v( 0) c 0 w( 0) d 0 u (9) 0 5

6 i w konsekwencji dostjem osttecną postć współrędnch wektor premiesceń w pręcie pr jego prostm ginniu u c v νc c w ( ν ν ) (0) W prpdku punktów leżącch n osi podłużnej pręt gdie 0 powżse współrędne prjmą postć u w ( ) 0 v( ) c ( ) odstwijąc do osttniej powżsch współrędnch stłą c określoną worem () dostjem postć funkcji określjącej premiesceni pionowe punktów leżącch n osi podłużnej pręt pr jego prost ginniu w 0 ( ) () () owżs wór m stosownie tlko w prpdku prostego ginni kied jedną siłą prekrojową jest moment ginjąc. Ze woru () wnik iż ugięcie końc pręt o długości l ginnego momentem jest równe l w l w( l) () m oniewż nprężeni () odkstłceni () i premiesceni (0) spełniją wsstkie równni i wrunki bregowe tem otrmne rowiąnie gdnieni prostego rociągni jest ścisłe (dokłdne). 0.. Nprężeni w dowolnm prostokątnm ukłdie odniesieni eśli nie jest spełnione łożenie () cli osie C i C nie są osimi głównmi centrlnmi prekroju to po rowiąniu ukłdu równń (0) (scegół njdują się w dile Wprowdeni ) otrmm nstępujące wrtości posukiwnch stłch: 6

7 b c () odstwijąc powżse stłe do wiąku (8) i porądkując otrmn reultt otrmujem skomplikowną leżność określjącą nprężeni normlne pr prostm ginniu w dowolnm prostokątnm ukłdie odniesieni ( ) ( ) (5) Wncenie nprężeń pr wkorstniu powżsej leżności wmg obliceni wsstkich momentów sttcnch i momentów bewłdności wględem osi prjętego ukłdu odniesieni. edną jej letą jest to że nie musim wncć środk ciężkości i osi głównch centrlnch prekroju. W ukłdie osi głównch 0 powżs leżność prjmuje postć ( ) (6) w ukłdie osi centrlnch 0 uprsc się on do postci (7) ntomist w ukłdie osi głównch centrlnch 0 or 0 otrmujem wór (). Z porównni wiąków (5) (6) (7) i () wnik że leżność określjąc nprężeni normlne pr ginniu prjmuje njprostsą postć w ukłdie osi głównch centrlnch. Dltego tk wżn jest umiejętność ich wncni. twierdenie to jest słusne również w innch prpdkch wtrmłościowch. rkłd. W prpdku prekroju jk n rs.. wncć położenie osi obojętnej or nprężeni normlne wględem wbrnch ukłdów odniesieni (rs..b-e). Dne: b h l l ukne: o 7

8 Rs.. Rowiąnie: rpdek. Oś odciętch ukłdu odniesieni pokrw się dolną ntomist oś rędnch lewą krwędią prekroju (rs...b). Krok. Oblicm pole powierchni or moment sttcne i moment bewłdności w prjętm ukłdie odniesieni h b b h Krok. odstwim wrtości powżsch chrkterstk geometrcnch prekroju or woru (7) ( ) ( ) b h b h b h b h b h ( l) l do skąd po prekstłcenich otrmujem nstępującą postć leżności określjącej nprężeni normlne w prjętm ukłdie odniesieni Krok. Wncm położenie osi obojętnej 6l ( h ) (i) h 0 o (ii) Krok. Oblicm nprężeni w punktch njbrdiej oddlonch od osi obojętnej (punktch skrjnch prekroju) 8

9 B D 6l 6l ( h h) 6l 6l ( h 0) (iii) ołożenie osi obojętnej or wkres nprężeń predstwi rs... Rs.. rpdek. Oś odciętch ukłdu odniesieni pokrw się dolną krwędią prekroju ntomist oś rędnch jego osią smetrii (rs..c). Krok. Oblicm pole powierchni or moment sttcne i moment bewłdności w prjętm ukłdie odniesieni (ukłdie osi głównch) h 0 0 Krok. odstwim wrtości powżsch chrkterstk geometrcnch prekroju or woru (7) któr w rowżnm ukłdie odniesieni prjmie postć ( ) ( l) 6l ( h ) l do owżs leżność jest identcn jk w prpdku więc położenie osi obojętnej określ wór (ii) nprężeni w punktch skrjnch prekroju wor (iii) ntomist wkres nprężeń rs... Ztem presunięci poiome ukłdu odniesieni nie mieniło wników otrmnch w prpdku. rpdek. Oś odciętch ukłdu odniesieni pokrw się górną krwędią prekroju ntomist oś rędnch jego osią smetrii (rs..d). Krok. Oblicm pole powierchni or moment sttcne i moment bewłdności w prjętm ukłdie odniesieni (ukłdie osi głównch) 9

10 h 0 0 Krok. odstwim wrtości powżsch chrkterstk geometrcnch prekroju or woru (7) któr w rowżnm ukłdie odniesieni prjmie postć ( ) Krok. Wncm położenie osi obojętnej ( l ) 6l ( h ) l do 0 o h Krok. Oblicm nprężeni w punktch njbrdiej oddlonch od osi obojętnej (punktch skrjnch prekroju) B D 6l 6l ( h 0) 6l 6l ( h h) ołożenie osi obojętnej or wkres nprężeń predstwi rs... rpdek. Osie ukłdu odniesieni pokrwją się osimi smetrii prekroju (rs..e). Krok. Oblicm pole powierchni or moment sttcne i moment bewłdności w ukłdie odniesieni jk n rsunku.e (ukłdie osi głównch centrlnch) Krok. odstwim wrtości powżsch chrkterstk geometrcnch prekroju or 0 do woru (7) któr w rowżnm ukłdie odniesieni prjmie postć ( ) l m Krok. Wncm położenie osi obojętnej l l o 0 0 więc w rowżnm prpdku oś obojętn pokrw się poiomą osią centrlną. 0

11 Krok. Oblicm nprężeni w punktch njbrdiej oddlonch od osi obojętnej (punktch skrjnch prekroju) B D l h 6l l h 6l ołożenie osi obojętnej or wkres nprężeń predstwi rs... Z powżsego prkłdu wnik że o ile wor określjące nprężeni w prekroju ginnm w rowżnch ukłdch odniesieni różnią się od siebie podobnie jk równni osi obojętnej to rokłd nprężeń w prekroju jk i położenie osi obojętnej są wse tkie sme (nieleżne od prjętego ukłdu odniesieni). 0.. Rokłd nprężeń w prekroju ginnm Ze woru () wnik że rokłd nprężeń normlnch w prekroju ginnm jest liniow ś wrtości ekstremlne równe m min ( h ) d ( hg ) hg h d (8) nprężeni te osiągją we włóknch skrjnch prekroju poprecnego (rs. ). Rs. oniewż w rowżnm prpdku moment ginjąc jest stł n cłej długości pręt tem rokłd nprężeń normlnch jest tki sm we wsstkich jego prekrojch poprecnch. Nprężeni normlne są też jednkowe we wsstkich punktch prekroju o tkiej smej odległości od osi obojętnej. Njwięksą bewględną wrtość nprężeni oblicm e woru m ( h h ) m g d (9)

12 owżs wór możem pisć w nstępującej postci m (0) W gdie W () m ( h h ) g d nwm wskźnikiem wtrmłości pr ginniu. k łtwo sprwdić w prpdku prekroju prostokątnego o wmirch b h wskźnik ten jest równ Belki espolone Belką espoloną nwm belkę której prekrój poprecn skłd się co njmniej dwóch trwle e sobą połąconch cęści (espolenie pełne) wkonnch mteriłów o różnch modułch sprężstości podłużnej (modułch YOUNG). tn nprężeni i odkstłceni w belce espolonej Roptrm prekrój poprecn ginnej belki espolonej skłdjącej się dwóch różnch mteriłów i (rs. 5). Rs. 5 Zwiąek ficn (6) m w prpdku kżdego mteriłów belki espolonej inną postć cli ε ε () ntomist hipote płskich prekrojów wnik że odkstłcenie liniowe cłego prekroju tkiej belki opisuje jedn leżność (7) w postci

13 c b c b ε ε ε ε () odstwijąc powżsą leżność do wiąków () otrmujem ( ) ( ) c b c b () gdie c b stłe które nleż wncć. W prpdku prekroju espolonego leżności (9) prjmują postć 0 0 d d d d d d d d d (5) skąd po wkorstniu wiąków () dostjem ukłd równń ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 c b c b c b N N (6) gdie d d d d d N d N (7) oncją odpowiednio sił i moment ginjące prpdjące n kżdą obu cęści prekroju espolonego ntomist d d d d d d d d d d d d (8) są chrkterstkmi geometrcnmi tch cęści.

14 W odróżnieniu od prekroju wkonnego jednego mteriłu rowiąnie ukłdu równń (6) m njprostsą postć w ukłdie odniesieni O w którm oś O pokrw się osią obojętną o rędnej o (rs. 5). ołożenie tej osi wncm wrunku 0 (9) oment sttcne obu cęści prekroju espolonego wględem jego osi obojętnej możn predstwić w postci ( o ) ( ) o (0) gdie rędne i o oblicm wględem osi prechodącej pre dolną krwędź prekroju espolonego (rs. 5). odstwijąc powżse leżności do wrunku (9) dostjem równnie którego rowiąnie m postć ( ) ( ) 0 o o () o () Wrto uwżć że w prpdku prekroju espolonego (skłdjącego się różnch mteriłów) oś obojętn nie prechodi pre geometrcn środek ciężkości prekroju (nie pokrw się osią centrlną odciętch) cli jej rędn (rs. 5). o c o oniewż w prjętm ukłdie odniesieni 0 0 or spełnion jest wrunek (9) to rowiąując ukłdu równń (6) otrmujem nstępujące wrtości posukiwnch stłch: b 0 c () Uwględnijąc powżse stłe we wore (7) otrmujem leżność określjącą odkstłcenie pręt ginnego (rs. 5b) ε () odstwijąc ntomist stłe () do wiąków ficnch (5) dostjem

15 (5) owżse leżności powlją wncć rokłd nprężeń normlnch w prekroju espolonm (rs. 5c). rkłd. W prpdku belki espolonej o prekroju i obciążeniu i jk n rs.. nleż wncć położenie osi obojętnej i rokłd nprężeń normlnch. Rs.. Dne: l l 50 ukne: o Rowiąnie: Krok.. Wncm położenie osi obojętnej prekroju (rs..) Rs.. Oblicm pol powierchni i moment sttcne obu cęści prekroju wględem jego dolnej krwędi 5

16 odstwijąc powżse wielkości do woru () i uwględnijąc że otrmujem rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju (rs..) o (i) Krok.. Oblicm nprężeni normlne w prekroju Oblicm moment bewłdności obu cęści prekroju wględem osi obojętnej ( ) ( ) ( ) odstwijąc powżse wielkości do worów (5) or uwględnijąc że 50 or otrmujem leżności określjące nprężeni normlne w obu cęścich prekroju ( ) ( ) (ii) Wnik nich że ( ) ( ) ( ) D D D D B B Wkres nprężeń normlnch w prekroju predstwi rs..b. Wkres ten powl oblicć wrtości sił (7) i momentów ginjącch (7) prpdjące n kżdą cęści prekroju espolonego. Wrtości te wnosą odpowiednio ( ) d N d N

17 d.8 d or uwgi n smetrię nprężeń wględem osi O Z powżsch leżności wnik że ( 0.75) ( ) ( ) d 0 d 0.9 N N co dowodi spełnieni równń (6). etod prekroju stępcego b uprościć powżse wor i upodobnić je do worów wkorstwnch do oblicni nprężeń w prekroju wkonnm jednego mteriłu możn wkorstć metodę prekroju stępcego (sprowdonego ekwiwlentnego). etod t poleg n stąpieniu recwistego prekroju belki espolonej prekrojem o włściwościch wtrmłościowch (module YOUNG) jednego wbrnego mteriłu (nie m nceni któr to jest mterił). r minie powierchni jednego mteriłu n równowżną powierchnię drugiego nie mienim wsokości prekroju równowżn prekrój stępc otrmujem pre odpowiednie więksenie lub mniejsenie tlko serokości prekroju mteriłu stępownego. Zwięksjąc tem n -krotnie n serokość cęści prekroju espolonego wkonnej mteriłu (rs. 6) otrmujem pierws prekrój stępc (rs. 6b) w którm mterił ostł stąpion mteriłem pr cm w dlsch rowżnich łożm że >. Uwględnijąc w wrżeniu () n otrmujem o (6) gdie n jest momentem sttcnm prekroju stępcego wględem osi prechodącej pre jego dolną krwędź ś n polem powierchni tego prekroju. 7

18 Rs. 6 oniewż prekrój stępc skłd się jednego mteriłu to oś obojętn pokrw się jego osią centrlną C cli (rs. 6). o Uwględnijąc kolei n w leżnościch (5) otrmujem c n (7) gdie n jest momentem bewłdności prekroju stępcego wględem jego osi centrlnej. eśli mniejsm n -krotnie serokość cęści prekroju espolonego wkonnej mteriłu (rs. 6) to otrmm drugi prekrój stępc w którm mterił ostł stąpion mteriłem (rs. 6c) gdie n. oniewż n n to łtwo wkć że pol powierchni moment sttcne or moment bewłdności obu prekrojów stępcch powiąne są nstępującmi leżnościmi n n n (8) n gdie n odstwijąc (8) do (6) dostjem or n. o (9) 8

19 ntomist kłdąc (8) w (7) otrmujem n (50) oniewż wor (6) i (9) wnikją leżności () ntomist (7) i (50) relcji (5) tem położenie osi obojętnej or rokłd nprężeń w prekroju nie leż od wboru prekroju stępcego (nie m nceni c mterił stąpim mteriłem c też n odwrót). etodę prekroju stępcego możn również wkorstć w prpdku prekrojów espolonch więksej licb mteriłów. eśli prekrój espolon skłd się mteriłów o tkich smch współcnnikch sprężstości podłużnej cli to wor () (6) i (9) określjące położenie osi obojętnej or wiąki (5) (7) i (50) określjące rokłd nprężeń w prekroju prjmą odpowiednio postć: c (5) o or (5) gdie jest momentem sttcnm prekroju wględem osi prechodącej pre jego dolną krwędź polem powierchni prekroju ntomist momentem bewłdności prekroju wględem jego poiomej osi centrlnej. owżse wor są ocwiście identcne jk w prpdku prekroju wkonnego jednego mteriłu. rkłd. W prpdku prekroju espolonego jk w prkłdie (rs..) nleż wncć położenie osi obojętnej i rokłd nprężeń normlnch wkorstując metodę prekroju stępcego i stępując mterił mteriłem. Dne: l l 50 ukne: o Rowiąnie: Krok.. Uwględnijąc że n więksm cterokrotnie serokość cęści prekroju espolonego wkonnej mteriłu otrmując prekrój stępc w którm mterił ostł stąpion mteriłem (rs. ). 9

20 Krok.. Wncm położenie środk ciężkości prekroju stępcego (rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju espolonego) Rs. Oblicm pole powierchni i moment sttcn prekroju stępcego wględem jego dolnej krwędi odstwijąc powżse wielkości do woru (6) otrmujem rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju (rs. ) 8 o (i) Krok.. Wncm rokłd nprężeń normlnch w prekroju stępcm i espolonm Oblicm moment bewłdności prekroju stępcego wględem jego osi centrlnej (.5) 8(.75) ( 8 )( 0.75) 6.9 odstwijąc powżs moment bewłdności do leżności (7) tkże uwględnijąc że or n otrmujem n (ii) Wkorstując powżse wor oblicm wrtości nprężeń normlnch w wbrnch punktch prekroju stępcego i espolonego 0

21 B D D.8 B ( ) D D (.75) Wkres nprężeń normlnch w prekroju stępcm (lini prerwn) i espolonm (lini ciągł) predstwi rs. b. rkłd. W prpdku prekroju espolonego jk w prkłdie (rs..) nleż wncć położenie osi obojętnej i rokłd nprężeń normlnch wkorstując metodę prekroju stępcego i stępując mterił mteriłem. Dne: l l 50 ukne: o Rowiąnie: Krok.. Uwględnijąc że n 0. 5 mniejsm cterokrotnie serokość cęści prekroju espolonego wkonnej mteriłu otrmując prekrój stępc w którm mterił ostł stąpion mteriłem (rs. ). Rs. Krok.. Wncm położenie środk ciężkości prekroju stępcego (rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju espolonego) Oblicm pole powierchni i moment sttcn prekroju stępcego wględem jego dolnej krwędi

22 odstwijąc powżse wielkości do woru (9) otrmujem rędną punktów leżącch n osi obojętnej prekroju (rs. ) 7 o. 75 (i) Krok.. Wncm rokłd nprężeń normlnch w prekroju stępcm i espolonm Oblicm moment bewłdności prekroju stępcego wględem jego osi centrlnej (.5) (.75) ( 0.5)( 0.75) odstwijąc powżs moment do leżności (50) tkże uwględnijąc że n 0.5 otrmujem n or (ii) Wkorstując powżse wor oblicm wrtości nprężeń normlnch w wbrnch punktch prekroju stępcego i espolonego B B D D 5.5 B B ( 0.75 ). D D (.75) 9.6 Wkres nprężeń normlnch w prekroju stępcm (lini prerwn) i espolonm (lini ciągł) predstwi rs..b. () Wrunek wtrmłości 0.5. Wrunki wmirowni prętów ginnch R (5) W gdie R onc wtrmłość obliceniową mteriłu pręt. eśli prekrój jest espolon to powżs wrunek nleż sprwdić w prpdku kżdego mteriłu. owżs wrunek możn wkorstć do wnceni nośności pręt WR (5)

23 lub wskźnik wtrmłości prekroju (wmirów prekroju poprecnego) (b) Wrunek stwności gdie w dop onc dopusclne ugięcie pręt. W R (55) wm w dop (56) Zgdnieni n egmin. Zdefiniowć proste ginnie; podć i omówić równni stron: sttcnej geometrcnej i ficnej w prpdku pręt ginnego.. odć rokłd nprężeń normlnch w prekroju ginnm; podć i omówić wrunki projektowni prętów ginnch.. Zdefiniowć belkę espoloną or mówić sposób wncni położeni osi obojętnej i nprężeń normlnch.