Przykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego

Transkrypt

1 Prkład.1. Projektowane prekroju gnanego Na belkę wkonaną materału o wtrmałośc różnej na ścskane rocągane dałają dwe sł P 1 P. Znając wartośc tch sł, schemat statcn belk, wartośc dopuscalnego naprężena na rocągane ścskane ora kstałt prekroju poprecnego wnac mnmalną długość a krawęd prekroju tak ab ngde w belce ne nastąpło prekrocene naprężeń dopuscalnch. P 16P P 1 6P Prekrój - Dane lcbowe: P1kN, 1m, naprężene dopuscalne na rocągane k r 1. Pa, naprężene dopuscalne na ścskane k c 1.6 Pa. Uwaga Sukan wmar a wnacm rowąując nerównośc będące matematcnm sformułowanem warunku neprekracana w żadnm punkce belk naprężeń dopuscalnch k r k c. W nasm adanu, jak sę prekonam, odległośc górnej dolnej krawęd belk od os obojętnej pr gnanu są różne, różne są także adane wartośc naprężeń dopuscalnch k c k r, a funkcja momentu gnącego (x) wględem os belk mena nak. W takm adanu musm sprawdć maksmalne naprężena normalne od gnana w dwóch prekrojach belk. W prekroju, w którm moment gnąc osąga maksmum w prekroju, w którm osąga mnmum. W wpadku gdb k c k r bł jednakowe lub gdb prekrój poprecn mał tak kstałt,że odległośc górnej dolnej krawęd belk od os obojętnej pr gnanu błb jednakowe wówcas do rowąana adana wstarc określć najwękse naprężene normalne tlko w tm prekroju, w którm wstępuje najwęks co do wartośc bewględnej moment gnając. Rowąane Rowąane składać sę będe następującch kroków: 1. oblcene charakterstk prekroju poprecnego belk,. wnacene funkcj momentu gnącego,. wbrane prekrojów do anal naprężeń,. naleene naprężeń normalnch, 5. apsane nerównośc ograncającej naprężena wnacene sukanej welkośc.

2 Wnacm charakterstk prekroju poprecnego potrebne do wnacana naprężeń pr prostm gnanu. W celu dokonana oblceń podelm fgurę na dwa prostokąt, wnacm środek cężkośc wartość momentu bewładnośc wględem os poomej. W oblcenach uwględnm, że prekrój poprecn ma oś smetr. Współrędne środka cężkośc wnacam e woru: Σ S c Σ F, We wore prjęto onacena: F - pole powerchn -tej fgur, na które podelono cał prekrój, S F - jest momentem statcnm wględem os -tej fgur, na które podelono cał prekrój. oment statcn wględem os równ jest locnow pola powerchn tej fgur pre współrędną jej środka cężkośc. Rachunk możem sbko preprowadć wkorstując arkus kalkulacjn. Tabela, w której wnacam położene środka cężkośc nr fgur pole pow. S 1 [a ] 1 [a] 1 [a ] 1 [a ] 5 [a] 60 [a ] Σ [a ] [a] 7 [a ] Σ S Σ F 7 c Po wnacenu położena środka cężkośc prekroju oblcam moment bewładnośc główn, centraln wględem os poomej. () () + () a + 8a + + 8a 1 + () 1 a a 5a 1 1

3 W kolejnm kroku należ wnacć wkres momentu gnącego. ożem wkonać to adane wkorstując asadę superpocj. Narsujem łatwe do wnacena wkres momentów dla osobno dałającch sł cnnch P 1 P. oment gnąc dla jednoceśne dałającch sł jest sumą momentów dla sł ropatrwanch osobno. P 6P 6P Wkres momentu gnącego dla belk obcążonej jedne sła P 1 6P 16P 8P Wkres momentu gnącego dla belk obcążonej jedne sła P 16P Sumując moment predstawone na poprednch dwóch wkresach otrmujem ostatecne wkres momentów dla obcążena obdwoma słam jednoceśne. P 16P 6P P 1 6P α β α β 5P oment osągają wartośc ekstremalne w dwóch prekrojach. W prekroju α-α moment α wnos 5P a w prekroju β-β β wnos -6P.

4 Oblcm dalej maksmalne mnmalne naprężena normalne od gnana w prekrojach, w którch moment osągają wartośc ekstremalne. Naprężene normalne pr gnanu prostm wraża sę worem: J gde, - moment gnąc, J - moment bewładnośc prekroju wględem os głównej centralnej, - współrędna warstw dla której wnacane jest naprężene. Najwękse wartośc naprężena wstępują w warstwach belk, dla którch współrędna osąga wartośc ekstremalne, cl na górnej dolnej krawęd prekroju. Na nżej predstawonm rsunku onacono dwa punkt B, w którch badać będem naprężena. Zacnem od oblceń dla prekroju α-α. Prekrój α-α oment gnąc α 5P 5 knm Punkt -a 5[ knm] 15[ knm] ( [ a]) J 16[ a ] 16[ a ] Punkt B 5a 5[ knm] B (5[ a]) J 16[ a ] 16[ a ] Następne wkonam oblcena dla prekroju β-β. wkres naprężena normalnego od gnana Prekrój β-β oment gnąc β -6P -6 knm Punkt -a 6[ knm] 18[ knm] ( [ a]) J 16[ a ] 16[ a ] Punkt B 5a 6[ knm] 0[ knm] B (5[ a]) J 16[ a ] 16[ a ] wkres naprężena normalnego od gnana

5 Na podanch wżej rsunkach obsar prekroju poprecnego, w którm wstępuje ścskane onacono kolorem elonm, a obsar rocągane onacono kolorem sarm. Do dalsej anal wberem dwe ekstremalne wartośc naprężena. Najwękse naprężene rocągające najwękse ścskające.(wbrane welkośc onacono kołam) Zapsm warunk ne prekracana naprężeń dopuscalnch. Warunek wtrmałośc na rocągane wraża nerówność: kr 1.[ Pa] 16[ a ] Warunek wtrmałośc na ścskane wraża nerówność: 0[ knm] kc 1.6[ Pa] 16[ a ] Z nerównośc perwsej mam a, a stąd a 5.5[ cm] 16[ a ] 100[ kn ] m Z drugej nerównośc dostanem 0[ knm] a, a stąd a 5.17[ cm] 16[ a ] 1600[ kn ] m Ostatecne naprężena ne będą prekracał wartośc dopuscalnch jeżel wmar a prekroju będe węks bądź równ 5.5 cm. Zdecdował o tm naprężena w punkce B prekroju α-α. Warto auważć, że w prekroju tm moment co do wartośc bewględnej ne osąga maksmum. 5