1.8. PROSTE ŚCINANIE

Transkrypt

1 .8. PROSTE ŚCINNIE.8.. Wprowadeie Proste ściaie wstępuje wówcas, gd obciążeie ewętre redukuje się do wektora sił poprecej T, której kieruek pokrwa się główą, cetralą osią prekroju O. Prostm ściaie praktcie ie wstępuje pr oblicaiu budowlach elemetów kostrukcjch. Istieje jedak sereg techicie ważch prpadków, p. połąceia itowae, spawae c też klejoe, kied to decdując wpłw a sta aprężeia mają sił poprece i aprężeia stce. Pr oblicaiu takich połąceń wkle pomija się wstępujące jedoceśie aprężeia wwołae giaiem. Taki prpadek awam ściaiem techologicm (techicm), w którm bierem pod uwagę średią wartość aprężeń tącch, pomijając sprawę ich rokładu w ropatrwam prekroju..8.. Sta aprężeia i odkstałceia Roważm pręt o długości l porówwalej wmiarami prekroju poprecego, obciążo siłą skupioą P (rs. ). Rs. Z rsuku tego wika, że w pręcie wstępują dwie sił prekrojowe, a miaowicie: siła popreca T i momet giając M. Jedak uwagi a małą długość pręta ałożm, że aprężeia ormale wwołae mometem giającm są acie miejse od aprężeń stcch wwołach pre siłę poprecą. W takim prpadku możem prjąć, że roważa pręt jest podda prostemu ściaiu. Sta aprężeń i odkstałceń w pr prostm ściaiu wacm prjmując astępujące ałożeia uprascające: (i) wpłw sił masowej jest pomijal

2 g g g () x (ii) osie C i C są osiami główmi, cetralmi prekroju S S, I () (iii) spełioa jest hipotea płaskich prekrojów BERNOULLI EGO (iv) spełioa jest hipotea DE SINT-VENNT Stroa geometrca Ze sposobu odkstałceia pręta ściaego wika, że wsstkie jego prekroje poprece premiescają się rówolegle do płasc O, poostając godie ałożeiem (iv) płaskie po odkstałceiu (rs. ). Rs. Zatem wektor premiesceia w każdm prekroju takiego pręta ma tlko jedą ieerową współrędą w, która jest ależa włącie od odległości x od miejsca utwierdeia. Poostałe dwie współręde wektora premiesceia, a więc u i v są rówe eru. Możem atem prjąć, że w każdm pukcie ściaego pręta gdie a jest stałą, którą ależ wacć. u, v, w ax () Rówaia geometrce (.4.) apisae w postaci wkorstującej smbole użwae w agadieiach iżierskich (.4.8) mają astępującą postać:

3 ε u x x, x, ε v,, x x u u v,,, + v + w, x + w ε, x, w, (4) skąd, po uwględieiu postaci współrędch (), otrmujem x x x x a ε ε ε Zatem macier odkstałceń (.4.8) ma postać (5) a [ ε ] ij (6) a Stroa fica Uwględiając współręde tesora odkstałceń (6) w rówaiach ficch (.5. ), pr wkorstaiu oaceń (..6), dostajem współręde tesora aprężeń x x x σ σ x Ga σ (7) gdie G jest modułem sprężstości poprecej (modułem KIRCHOFF). W reultacie macier aprężeń (..6) ma postać Stroa statca Z uwagi a sta aprężeia w pręcie (rs. ) ag [ σ ] ij (8) ag

4 Rs. ależości (..56),4 (rówaia rówowagi elemetarego wcika pręta ściaego) prjmują postać d ag d T ( ) d ag d (9) aś poostałe są spełioe tożsamościowo. Poieważ ałożeie (iii) d S, atem ależości (9) wika, że atomiast waruek (9) jest spełio tożsamościowo. d, atomiast uwagi a T a () G.8.. Naprężeie stce, odkstałceie postaciowe i premiesceia Podstawiając stałą () do woru (7) otrmujem formułę określającą aprężeie stce w pręcie pr prostm ściaiu T () Poieważ aprężeie to jest stałe, aś poostałe aprężeia są rówe eru, atem pr ałożeiu () rówaia rówowagi (..) są spełioe tożsamościowo. Uwględieie wiąku () we wore (5) powala otrmać ależość określającą odkstałceie postaciowe pręta ściaego, cli

5 T G () gdie G awam stwością pręta pr ściaiu. Z powżsego woru wika, że rówież odkstałceie pręta poddaego prostemu rociągaiu jest stałe. Zatem rówaia ierodielości (.4.7) są spełioe tożsamościowo. Podstawiając () do () dostajem wór określając premiesceie pioowe pręta ściaego w T () G ( x) x Z powżsego woru wika, iż premiesceie pioowe końca pręta ściaego (rs. ) wosi Tl wmax w( l) (4) G.8.4. Waruek projektowaia połąceń ściach (a) Waruek wtrmałości T R t (5) gdie T jest siłą ściającą, R t wtrmałością obliceiową a ściaie; jest oa miejsa od wtrmałości a rociągaie, R t.5. 8 R. Powżs waruek moża wkorstać do waceia ośości pręta lub pola powierchi jego prekroju poprecego T R t (6) T (7) R t Tok obliceń połąceń ściach (spawach, itowach itp.) awcaj obejmuje: sprawdeie elemetów łącoch a rociągaie, sprawdeie elemetów łącącch lub spoi a ściaie, sprawdeie połąceia a docisk (acisk powierchiow).

6 Prkład. Wacć aprężeia główe i kieruki główe pr prostm ściaiu Dae: Macier aprężeń pr prostm ściaiu [ σ ] ij Sukae: σ, σ, σ,,, Rowiąaie: Krok. Oblicam aprężeia główe Korstając e woru (..6) oblicam iemieiki macier aprężeń I, I I ( ), x Podstawiając powżse iemieiki do rówaia charakterstcego (..5) otrmujem σ [ σ ( ) ] Powżse rówaie ma astępujące pierwiastki (aprężeia główe) σ σ σ W układie odiesieia wacom pre kieruki główe macier aprężeń ma atem postać [ σ ] ij Krok. Wacam kieruki główe Podstawiając współręde tesora aprężeń do rówań (..) sprowadam je do postaci σ σ + σ x Natomiast waruek (..8) apisujem jako + +

7 Podstawiając do powżsch rówań koleje aprężeia główe otrmujem σ + σ x x + σ Cli aprężeia główe i kieruki główe w prpadku prostego ściaia mają astępującą postać: σ σ σ (,, ),,,, Z powżsch worów wika, że kieruki główe są achloe do osi pręta pod kątem 45º, atomiast aprężeia główe, którch jedo jest rociągające a drugie ściskające, są rówe co do wartości aprężeiom stcm (ściającm). Sta aprężeia w pręcie ściam w układie O ora układie osi główch Ox x predstawia rs. P (wektor jest skierowa prostopadle do płasc rsuku). Rs. P

8 Z kieruku główch aprężeń rociągającch i małej wtrmałości betou a rociągaie wika koiecość odgiaia wkładek brojeiowch belek żelbetowch pr podporach (tam gdie są duże sił o poprece) pod katem 45. Prkład. Wacć wmiar okrągłego ściągu stalowego wmaciającego ściaę ceglaą (rs. P). Rs. P Dae: P kn, R 4MPa, Rt MPa, Rd MPa Sukae: D, h, d Rowiąaie: Krok. Korstając e woru (.7.6) oblicam średicę d ściągu waruku wtrmałości a rociągaie P d R Poieważ pole powierchi rociągaej jest rówe Πd d 4 atem 4P 4 d. m mm 6 ΠR.4 4 Krok. Korstając e woru (7) oblicam grubość h główki ściągu waruku wtrmałości a ściaie h P R t Poieważ pole powierchi ściaej jest rówe

9 h Πdh atem h P ΠdR t m 8mm Krok. Oblicam średicę D główki ściągu waruku wtrmałości a docisk. b w miejscu docisku główki ściągu do powierchi ścia ie powstał odkstałceia trwałe, pole powierchi acisku powierchiowego musi spełiać waruek (.7.6) D P R d Poieważ pole powierchi docisku jest rówe D Π 4 atem ( D d ) D 4P 4 + d + 6 ΠR.4 d (.).7 m 7mm