Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie

Transkrypt

1 SZKOŁA GŁÓWNA HANDLOWA W WARSZAWIE STUDIUM DYPLOMOWE KIERUNEK: Meody Ilościowe i Sysemy Informacyjne Michał Rubaszek Nr alb Arbiraż cenowy na przykładzie Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie Praca magiserska napisana w Insyucie Ekonomerii Pod kierunkiem naukowym Prof. dr hab. Aleksandra Welfe Warszawa 00

2 SPIS TREŚCI WSTĘP I. TEORIA ARBITRAŻU CENOWEGO 3.. Model analizy czynnikowej 3.. Teoria arbirażu cenowego 7 II. DYNAMICZNA TEORIA ARBITRAŻU CENOWEGO 5.. Modele klasy ARCH 6.. Wielowymiarowe modele ARCH.3. Dynamiczna eoria arbirażu cenowego 7 III. CZYNNIKI WPŁYWAJĄCE NA WYCENĘ AKCJI Rola rynku akcji w gospodarce Model zdyskonowanych dywidend Czynniki wpływające na wycenę akcji Sposoby usalania wpływu zmiennych na cenę akcji 36 IV. ZASTOSOWANIE DLA POLSKIEGO RYNKU KAPITALOWEGO Klasyczna APT Dynamiczna APT 46 ZAKOŃCZENIE 5 Załącznik. Źródła danych 53 LITERATURA 55

3 WSTĘP Klasyczna eoria arbirażu cenowego (ang. Arbirage Pricing Theory, APT, por. Ross S. [976]) sanowi jedną z podsawowych eorii rynku kapiałowego. Model arbirażu cenowego rakować można jako alernaywę lub rozszerzenie modelu CAPT (ang. Capial Asse Pricing Theory, por. Sharpe a W [964]). Obydwa modele należą do grupy eorii porfelowych objaśniających właściwości doyczące zysku (j. warości oczekiwanej sopy zwrou) i ryzyka (j. wariancji sopy zwrou) zespołu inwesycji w papiery warościowe. Podsawową różnicą między wspomnianymi eoriami jes określenie źródeł ryzyka. Model Sharpe a zakłada, że wspólna zmienność cen akcji wynika jedynie z chwiejności indeksu odzwierciedlającego ogólną koniunkurę na rynku. Zgodnie ze specyfikacją Rossa zmienność a może być kszałowana przez dowolną liczbę czynników. Począkowa, klasyczna wersja eorii arbirażu cenowego opiera się na założeniu, że sopy zwrou z inwesycji w akcje generowane są przez sacjonarny proces sochasyczny. Wyniki analizy empa wzrosu cen akcji (por. np. Keim D., Sambaugh R. [986], Danielsson J. [994], Hamilon J., Lin G. [996],) dowodzą zmienności wariancji ego procesu. Zmienność a jes uwzględniona w dynamicznej specyfikacji modelu arbirażu cenowego (por. Engle R., Ng V., Rohschild M [990]). Część badań doyczących eorii arbirażu cenowego (por. Chen N., Roll R., Ross S. [986], Cragg J. I Donald S. [99], Sokalska M. [996]) sanowi analizę zależności między cenami akcji a poziomem zmiennych makroekonomicznych. Wyniki wskazują, że ceny akcji reagują na informacje związane z koniunkurą na rynku, zmianami poziomu produkcji przemysłowej oraz oczekiwaniami doyczącymi kszałowania się sóp procenowych. Niesey, oprócz ych nielicznych prac nie ma wielu dowodów 3

4 wskazujących na isnienie sałych powiązań pomiędzy sferą realną gospodarki a cenami papierów udziałowych. Prezenowane opracowanie sanowi analizę zależności pomiędzy zmiennymi ekonomicznymi a kursami akcji noowanych na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie. W pierwszym rozdziale pracy przedsawione zosały założenia eorii arbirażu cenowego, ogólna posać modelu oraz esy służące określeniu jego jakości. Nasępnie podana jes procedura, za pomocą kórej worzy się porfele inwesycyjne o usalonych właściwościach doyczących oczekiwanej sopy zwrou i ryzyka. Ponieważ eoria APT wykorzysuje procedury analizy czynnikowej (ang. facor analysis, FA) meoda a opisana jes na począku rozdziału. W rozdziale drugim omówiono modele klasy ARCH, ze szczególnym uwzględnieniem specyfikacji ARCH czynnikowego. Ponado przedsawiono meody esymacji paramerów dynamicznego modelu arbirażu cenowego. Rozdział rzeci zawiera analizę roli rynku kapiałowego w gospodarce narodowej oraz mechanizmów oddziaływania wybranych zjawisk ekonomicznych na ceny akcji. Kryerium wyboru zmiennych opare jes na bazie modelu zdyskonowanych dywidend. W osanim, czwarym rozdziale przedsawione są wyniki zasosowania eorii arbirażu cenowego do wyceny 6 akcji noowanych na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie w okresie syczeń 997 lisopad 00. Inerpreacja orzymanych wyników oraz wskazanie możliwych zasosowań omówionej meody do podejmowania decyzji inwesycyjnych kończą pracę. 4

5 ROZDZIAŁ I TEORIA ARBITRAŻU CENOWEGO.. Model analizy czynnikowej Analiza czynnikowa zosała po raz pierwszy zasosowana do badania zależności pomiędzy ocenami, uzyskanymi przez uczniów, z sześciu różnych esów przedmioowych (por. Spearman C. [904]). Wyniki wskazywały, że każdy z uczniów uzyskiwał podobne noy ze wszyskich esów. Sformułowana zosała hipoeza, że zw. ukryy czynnik (kóry można inerpreować jako iloraz ineligencji ucznia) uwarunkowywał orzymane oceny. Zasosowanie analizy czynnikowej umożliwiło dokonanie charakerysyki każdego z uczniów za pomocą ylko jednej zmiennej ( ukryego czynnika ). Oczywiście redukcja badanych zmiennych z sześciu do jednej odbyła się koszem uray informacji. Analiza czynnikowa jes modelem za pomocą kórego można skonsruować grupę szucznych zmiennych, zwanych dalej czynnikami wspólnymi (ang. common facors, CF), kóre odzwierciedlają informację zawarą w macierzy obserwacji dużo liczniejszego zbioru zmiennych. Głównym kryerium w procesie esymacji warości czynników wspólnych jes minimalizacja uray informacji, kóra wynika z redukcji zmiennych. Analiza czynnikowa jes zazwyczaj sosowana w przypadku gdy ilość zaobserwowanych zmiennych jes zby duża, aby móc je przeworzyć do dalszych badań. Oznaczmy macierz obserwacji dla N zmiennych losowych w okresach =,,...,T przez Y=[y () y ()... y N() ]. Ponado niech y i() =[y i y i... y it ] T i y (i) =[y y... y N ] oznaczają odpowiednio i-ą kolumnę oraz -y wiesz macierzy Y. Analiza czynnikowa opiera się na założeniu, że niezależnie od momenu wekor T y (i) jes generowany przez proces o N- wymiarowym rozkładzie normalnym N(µ, Ω), gdzie µ=[µ µ... µ N ] T jes wekorem warości 5

6 ε = Μ ε oczekiwanych, naomias Ω jes macierzą kowariancji. Dodakowo dla każdego usalonego i=,,...,n każda ze zmiennych y i() jes funkcją K<N czynników wspólnych f k() =[f k f k... f kt ] T (k=,,...,k) oraz zmiennej losowej ε i() =[ε i ε i... ε it ] T, zwanej czynnikiem swoisym (ang. indiosyncraic facor, IF). W dalszej części zakłada się, że y i() są kombinacją liniową czynników wspólnych i czynników swoisych (por. Roll R. i Ross S. [980]), zn.: y i = µ β... i i f βi f βik f K ε i. (.) Paramery β ik zwane ładunkami czynnikowymi (ang. facor loadings, FL), reprezenują wpływ k-ego czynnika wspólnego na i-ą zmienną obserwowalną. Równanie (.) można zapisać akże w posaci macierzowej: gdzie: Y = FB, (.) F=[f () f ()... f K() ] jes macierzą warości czynników wspólnych, ε=[ε () ε ()... ε N() ] jes macierzą warości czynników swoisych, B=[β (k) β (k)... β N(k) ] jes macierzą ładunków czynnikowych, M=[µ () µ ()... µ N() ] jes macierzą wyrazów wolnych. Zakłada się, że warość zmiennej µ i nie zależy od okresu obserwacji, zn. µ i =µ i, Dalej przyjmuje się, że zmienne losowe f k() i ε i() spełniają nasępujące założenia (por. Laudański i Wójcik [989], s.5): a) warości oczekiwane czynników wspólnych i czynników swoisych są równe zeru, zn.: E f ] = 0 dla k=,,...,k (.3a) [ k() E [ i() ] 0 dla i=,,...,n (.3b) b) Czynniki wspólne są nawzajem oronormalne, zn.: 0 dla k l Cov[ f k(), fl() ] = dla k,l=,,...,k (.3c) dla k = l 6

7 , ε dla ε ψ ε ε ε ε ε Ψ c) Macierz kowariancji czynników swoisych, oznaczana jako Ψ, jes diagonalna, zn.: ε ψ0 dla i j Cov[ i(), j() ] = ij = i,j=,,...,n (.3d) i dla i = j = d) Czynniki swoise i czynniki wspólne są wzajemnie orogonalne, zn.: Cov [ i((), fk() ] 0 dla i=,,...,n ; k=,,...,k (.3e). Powyższe założenia pozwalają wyznaczyć elemeny macierzy Ω jako funkcję elemenów macierzy Β i macierzy Ψ: T T T T T T T T T = Var ( Y) = ( B F )( FB ) = B F FB B F = B B (.4) Tożsamość (.4) można zapisać oddzielnie dla każdego z elemenów macierzy Ω jako: ω = Var( ) = β β β ψ (.5a) ii y i i i... ik i ω = Cov y, y ] = β β β β... β β dla i j (.5b) ij [ i j i j i j ik jk Pierwszym eapem analizy czynnikowej jes esymacja elemenów macierzy Β i Ψ. Kryerium jes maksymalizacja roli czynników wspólnych przy równoczesnym eliminowaniu wpływu czynników swoisych w procesie określania zmienności cech Y. Dokonuje się ego poprzez odpowiedni dobór ładunków czynnikowych. Do najpowszechniejszych meod wyznaczania macierzy ładunków należą meoda cenroidalna (por. Plua W. [977] s.64-76), meoda głównych składowych (por. Laudański Z., Wójcik A. [989] s.50-53), meoda najmniejszych kwadraów (por. Fine J. [993]) oraz meoda największej wiarygodności (por. Joreskog K. [967]). W dalszej części pracy sosowana będzie osania z wymienionych meod, ponieważ najwięcej wiadomo na ema jej saysycznych właściwości. W przypadku gdy macierz kowariancji Ω dana przez (.4) jes nieosobliwa, do wyznaczenia szukanych paramerów wysarczające są informacje zaware w macierzy ˆ T T = ( y(i) (i) ) ( y(i) (i) ) (.6) T = 7

8 Ψ Ψ Β Μ Μ Μ Μ Β Μ Β Ψ Ψ Μ Β Β Ψ gdzie ^ oznacza esymaor Ω. Zakłada się, że esymaor ˆ należy do rozkładu Wishara. W rezulacie warość funkcji wiarygodności wynosi (por. Morrison D. [990], s.454): T N T ˆ ˆ T L( ) = c exp[ r( ˆ )], (.7) gdzie c jes pewną sałą. Podsawiając (.4) do (.7) i logarymując orzymuje się: ˆ T N ˆ T T T T l( ) = ln c ln ln r[( ) ˆ ]. (.8). Maksymalizując (.8) po elemenach macierzy Β i Ψ przy resrykcjach zerowych nałożonych na nie-diagonalne elemeny macierzy Ψ uzyskuje się esymaory macierzy Β i Ψ (szerzej w: Joreskog K. [967]). W nasępnym eapie analizy czynnikowej dokonuje się aproksymacji warości czynników wspólnych. W celu uproszczenia esymacji zakłada się, że oszacowania czynników wspólnych są kombinacją liniową odchyleń zmiennych obserwowalnych od ich warości oczekiwanej, a więc: Fˆ = (Y Μ)C, (.9) gdzie C jes macierzą esymowanych paramerów o wymiarach N K. Isnieje wiele meod wyznaczenia macierzy C (szerzej w: Fine J. [993]), z kórych przedsawiona zosanie meoda największej wiarygodności. Jeżeli przyjmie się, że Y jes Ψ generowane przez proces o rozkładzie normalnym, o esymaor MNW macierzy C uzyskuje się maksymalizując funkcję (por. Barle M.S. [937]): ΒΨ ˆ T ˆ l = r{ [ ( Y ) FB ] [ ( Y ) FB ] } = (.0) T = r{ [ ( Y ) ( Y ) CB ] [ ( Y ) ( Y ) CB ] } Powyższe wyrażenie osiąga maksimum dla (por. Fine J. [993]): ˆ T T C [( ) ] (.) = ΒΨ 8

9 Μ Β ΒΒ ΨΨ Β ΒΨ Wsawiając (.) do (.9) orzymuje się esymaor macierzy czynników wspólnych: ˆ T T F ( Y )[ ( ) ] (.) W kolejnym eapie należy sprawdzić, czy K czynnikowy model isonie odwarza Β macierz kowariancji daną przez (.6). Dokonuje się ego za pomocą esu Barle a. Sprawdzianem jes zespołu hipoez: H : = T 0 Ψ (.3a) H T : (.3b) jes saysyka: (por. Morrison D. [990] s.463): ˆ ˆ ˆ χ = [ T (N 5) K]ln, (.4) 6 3 ˆ = ΒΨ ΒTΒ o rozkładie χ o ν = [( N K) N K] sopniach swobody. Warości saysyki większe od warości kryycznej wskazują na przyjęcie hipoezy H... Teoria arbirażu cenowego W dalszej analizie przyjmować będziemy nasępujące założenia. Po pierwsze, że nie ma koszów ransakcji. Oznacza o, że składając zlecenia kupna lub sprzedaży nie płaci się prowizji od dokonanej ransakcji. Po drugie zakłada się doskonałą podzielność insrumenów finansowych. Pomimo iż najmniejszą jednoską jes akcja, kórej nie można sprzedawać w częściach, o jednak w przypadku dosaecznie dużych kapiałów można przyjąć, że dana lokaa jes doskonale podzielna. Po rzecie przyjmuje się, że nie ma podaków od dochodów uzyskanych na rynkach kapiałowych. Jes o nieprawdą w przypadku rynków rozwinięych. W Polsce isnieją jedynie plany opodakowania dochodów z inwesycji w akcje. 9

10 Po czware wymaga się aby ransakcje pojedynczego inwesora nie miały wpływu na cenę insrumenu finansowego. Dla spółek o największej kapializacji noowanych na naszym rynku dany wpływ jes zauważalny jedynie w przypadku poważnych inwesorów insyucjonalnych. Jednak w przypadku spółek o niskiej kapializacji i warości dziennego obrou nie przekraczającej kilku ysięcy złoych pojedyncze ransakcje mogą usalić kurs dnia. Spekakularnym przypadkiem jes zw. spirala poznańska, czyli zmowa kilku inwesorów indywidualnych, kórzy w laach 993/94 dzięki manipulacji spowodowali wzros kursu akcji spółki Efek o kilkase procen. Po piąe zakłada się, że wysępuje króka sprzedaż akcji. Oznacza o, że isnieje możliwość pożyczania akcji od innego inwesora. Nasępnie akcje są sprzedawane, a po upływie wyznaczonego erminu odkupywane oraz oddawane ich pierwonemu właścicielowi. Na rynkach rozwinięych całą ransakcję aranżuje dom maklerski. W Polsce króka sprzedaż jes już uregulowana prawnie i znajduje się w sadium rozwoju. Po szóse przyjmuje się nieograniczoną możliwość udzielania bądź zaciągania kredyu przy sopie wolnej od ryzyka. Sopa procenowa wolna od ryzyka może zosać wyznaczona przez oprocenowanie WIBOR M. W prakyce insyucje finansowe i inni inwesorzy zaciągając kredy muszą poencjalnemu pożyczkodawcy zapłacić premię za ryzyko. Jeżeli jednak przyjmie się, że inwesor posiada lokaę oprocenowaną według sopy WIBOR M, o jej likwidacja może być rakowana za ransakcję równoznaczną z zaciągnięciem kredyu po sopie wolnej od ryzyka. Na koniec zakłada się, że przy podejmowaniu decyzji inwesorzy biorą pod uwagę jedynie oczekiwaną sopę zwrou i ryzyko inwesycji w określone insrumeny finansowe. Z pewnością wielu inwesorów zwraca szczególną uwagę na dwa pierwsze momeny sóp zwrou. Jednakże nie można ze sanowczością swierdzić, że wszyscy kierują się jedynie powyższymi kryeriami przy podejmowaniu decyzji inwesycyjnych. 0

11 Oznaczmy sopę zwrou z i-ej akcji w okresie jako: ci di r i =, (.5) c i, gdzie c i jes ceną akcji na koniec okresu, zaś d i jes warością praw do dywidendy przypadających na jedną akcję, kóre zosały przyznane w okresie. Nasępnie zdefiniujmy nadzwyczajną sopę zwrou (ang. excess asse reurn, EAR) jako: y r r i 0, i =, (.6) r0, gdzie r 0, oznacza sopę zwrou z inwesycji w papiery warościowe o zerowym ryzyku (ang. risk free). W badaniach prowadzonych dla rynku kapiałowego w Sanach Zjednoczonych dokonanych przez Engle a, Ng oraz Rohschilda [99] przyjęo że akim insrumenem finansowym są jednomiesięczne bony skarbowe. Polskim odpowiednikiem, dla kórego isnieje szereg czasowy w okresie syczeń 997-lisopad 00, może być sopa procenowa WIBOR M. W rezulacie warość y i jes równa różnicy sopy zwrou z inwesycji w i-ą akcję i lokay oprocenowanej według sopy WIBOR M. Model APT jes zaliczany do klasy modeli czynnikowych i w związku z ym nadzwyczajne sopy zwrou generowane są przez proces (por. Ross S. [976]): y i = µ β f β f... β f ε. (.7) i i i ik K i Należy zauważyć, że (.8) jes idenyczne z (.). Isnieją dwie możliwości wyznaczania wekorów f (),f (),...,f K(), czyli regresorów modelu (.7). Zgodnie z klasyczną eorią arbirażu cenowego używana jes analiza czynnikowa. Druga z meod polega na odgórnym wyznaczeniu zbioru zmiennych makroekonomicznych mających wpływ na kszałowanie się kursów akcji. Przykładami zasosowania są prace Sokalskiej [996] dla rynku polskiego oraz Chena, Rolla i Rossa [986] dla rynku amerykańskiego.

12 Β Decydując się na wybór klasycznej APT należy arbiralnie określić ilość czynników (np. w badaniach prowadzonych przez Rolla i Rossa [980] dla rynku amerykańsiego model APT szacowano dla pięciu czynników wspólnych). Nasępnie sosując analizę czynnikową orzymuje się esymaory macierzy czynników wspólnych, ładunków czynników oraz czynników swoisych. Powyższe esymaory są wykorzysywane w celu sworzenia porfeli o właściwościach wymaganych przez inwesora. Przykładowo, aby sworzyć porfel wrażliwy jedynie na k-y czynnik wspólny ze współczynnikiem wrażliwości równym (dalej nazywany k-ym porfelem reprezenaywnym), należy rozwiązać układ równań: N i= N i= w ik ik β = ik w β = 0 ij dla j k dla k=,,...,k (.8) Wagi w ik oznaczają warość ransakcji zamiany lokay oprocenowanej według sopy WIBOR M na akcje i-ej spółki (przy konsrukcji porfela wrażliwego jedynie na k-y czynnik). Układ (.8) można zapisać akże w posaci macierzowej: WΒT = I K K, (.9) gdzie: W=[w (k) w (k)... w N(k) ] jes macierzą wag, I K K ΒΒ macierzą jednoskową o wymiarach K K. Przykładem macierzy wag, dla kórej zachodzi (.9) jes: W T = ( ). (.0) Dla usalonej macierzy wag nadzwyczajną sopę zwrou dla k-ego porfela reprezenaywnego w okresie oblicza się za pomocą wzoru: p = w y w y... w k y k k Nk N. (.) W posaci macierzowej równość (.) można zapisać nasępująco:

13 T P = YW, (.) gdzie P=[p () p ()... p K() ] jes macierzą nadzwyczajnych sóp zwrou z inwesycji w porfele reprezenaywne. gdzie: Podsawiając (.) oraz (.9) do (.) orzymuje się: P=(MFBε)W T =MW T FBW T εw T =MW T FεW T, (.3) MW T jes macierzą warości oczekiwanych porfeli, F jes zmiennością objaśnianą przez czynniki wspólne, εw T jes macierzą czynników swoisych porfeli. Dla zdywersyfikowanych porfeli dowodzi się, że IF charakerysyczne dla pojedynczych T akcji wzajemnie znoszą się (por. Roll R., Ross S. [980]), zn. limvar( εw ) = 0. Warości oczekiwane nadzwyczajnej sopy zwrou dwóch porfeli reprezenaywnych zależnych od ego samego czynnika wspólnego muszą przyjmować ę samą warość. Wynika o z prawa jednej ceny, zgodnie z kórym dwa insrumeny finansowe o jednakowym ryzyku nie mogą mieć różnych sóp zwrou. Gdyby aka syuacja zaisniała, pojawiliby się arbirażyści, kórzy zamieniając gorszą lokaę na lepszą osiągaliby zyski bez ponoszenia ryzyka. Ponieważ porfele zależne jedynie od k-ego czynnika wspólnego N są inwesycjami o jednakowym ryzyku, zaem ich sopy zwrou są sobie równe. Oznaczmy przez λ k warość premii za ryzyko związane z k-ym czynnikiem wspólnym (czyli λ k =E[p k ]). Warość oczekiwana nadzwyczajnej sopy zwrou dla i-ej akcji powinna równać się łącznej warości premii za ryzyko związanych ze wszyskimi czynnikami wspólnymi, czyli: E [ y i ] = µ i = λ βi λβi... λk βik ui dla i=,,...,n, (.4) gdzie u i jes składnikiem losowym. 3

14 Β Oszacowania paramerów λ k można uzyskać w na dwa sposoby. Po pierwsze, można λskonsruować ΒΒ porfele reprezenaywne i nasępnie obliczyć λ k =E[p k ] dla k=,,...,k. Drugi ze sposobów polega na zasosowaniu meody najmniejszych kwadraów do opymalizacji modelu (.4). Wówczas esymaor MNK jes dany przez: ˆ T = ( ), (.5) gdzie µ=[µ µ... µ N ] T, zaś λ=[λ λ... λ K ] T oznacza wekor poszukiwanych paramerów. W celu sprawdzenia jakości dopasowania modelu do zaobserwowanych szeregów czasowych sosuje się rzy esy. Pierwszy z nich weryfikuje, czy warość oczekiwana nadzwyczajnej sopy zwrou z inwesycji w akcję jes zależna od warości ładunków czynnikowych charakerysycznych dla danej akcji. Zespół hipoez: H H 0 : λ = λ =... = λ : i {,,..., K} i λ 0 K = 0 (.6) esuje się za pomocą saysyki mnożników Lagrange a posaci: LM = NR, (.7) gdzie R jes współczynnikiem deerminacji modelu (.4). Saysyka LM ma rozkład χ o ν=k sopniach swobody. Warości saysyki mniejsze od poziomu kryycznego wskazują na przyjęcie hipoezy zerowej, kóra oznacza, że APT nie wyjaśnia zmian cen akcji. Drugi z esów, zwany esem Chowa (por. Chow G. [985]), sosuje się do weryfikacji hipoezy o sabilności paramerów λ k. Zgodnie z procedurą zbiór akcji dzieli się na dwa rozdzielne zbiory, a nasępnie dla każdego z nich dokonuje się esymacji paramerów meodą MNK. Oznaczając przez RSS, RSS oraz RSS sumy kwadraów resz odpowiednio dla pierwszej i drugiej grupy oraz dla całej próby oblicza się saysykę: ( RSS RSS RSS) ( N K) F = (.8) RSS RSS K 4

15 należącą do rozkładu F-Snedecora o ν =K i ν =N-K sopniach swobody. Saysyka a sosowana jes do weryfikacji hipoezy o sabilności paramerów. Warości należące do przedziału kryycznego wskazują na niesabilność paramerów modelu APT. W wielu pracach zosała udokumenowana dodania zależność oczekiwanej sopy zwrou od odchylenia sandardowego (por. np.: Fama E. [993], Roll R., Ross S. [980]). W celu sprawdzenia czy odchylenie sandardowe i ej akcji: s i = T = ( y i µ ) T i (.9) wnosi dodakową informację do modelu (.4) esuje się nasępujący zespół hipoez: H H 0 : µ i = λβ i λβi... λk βik. (.30) : µ = λ β λ β... λ β γs i i i K ik i Ich sprawdzianem jes saysyka mnożników Lagrange a (por..7), gdzie R jes współczynnikiem deerminacji modelu: u i = φ βi φβi... φk βik φksi ηi (.3) (u i są reszami modelu (.4)). Saysyka LM ma rozkład χ o ν= sopniu swobody. Niskie warości saysyki świadczą, że odchylenie sandardowe nie wnosi dodakowej informacji do modelu APT. Model arbirażu cenowego jes arakcyjną alernaywą w sosunku do innych modeli porfelowych. Po pierwsze, przyczyny ryzyka inwesycynego nie są ograniczone ylko do jednego czynnika jak ma o miejsce w przypadku modelu CAPT. Po drugie, zasosowanie procedur analizy czynnikowej umożliwia opymalne wykorzysanie informacji zawarej w macierzy kowariancji nadzwyczajnych sóp zwrou. 5

16 6

17 ROZDZIAŁ II DYNAMICZNA TEORIA ARBITRAŻU CENOWEGO Klasyczna eoria arbirażu cenowego opiera się na założeniu, że nadzwyczajne sopy zwrou z inwesycji w akcje są generowane przez sacjonarny proces sochasyczny o wielowymiarowym rozkładzie normalnym: y T (i) N(, ) dla =,,...,T (.) Badania zmienności kursów giełdowych dowodzą wysępowania szeregu zjawisk świadczących o zmienności w czasie paramerów procesu generującego nadzwyczajne sopy zwrou (por. Bollerslev T., Engle R., Nelson D. [994], Welfe A. [000] s.). Po pierwsze, duże zmiany mają endencję do nasępowania po dużych zmianach, naomias zmiany mniejsze nasępują po mniejszych zmianach. Zjawisko o nazywane jes grupowaniem wariancji (ang. volailiy clusering). Po drugie, noowania akcji firm sosujących finansowanie zewnęrzne, czyli zw. dźwignię finansową, są bardziej wahliwe w momencie spadku warości kapiału własnego danej spółki. Dane zjawisko zosało nazwane jako efek dźwigni (ang. leverage effec). Po rzecie, prognozowalne wydarzenia (ang. forecasable evens) czyli np. ogłoszenie wyniku finansowego, plany fuzji id. powodują ex-ane zwiększoną wahliwość sóp zwrou. Po czware, noowania spółek na giełdzie są zależne od ogólnego sanu gospodarki. Zauważalna jes zwiększona wahliwość w okresach recesji, zaś zmniejszona w okresie wzrosu. Wynika z ego, że na rozkład sóp zwrou ma wpływ niepewność makroekonomiczna. 7

18 α W wyniku przyjmuje się, że nadzwyczajne sopy zwrou są generowane przez dynamiczny proces sochasyczny (por. Hamilon J., Lin G. [996], Keim D., Sambaugh R. [986]): y T (i) N, ). (.) ( W celu uwzględnienia w modelu zmienności paramerów µ i Ω oraz ewenualnego wpływu Ω na µ sosuje się modele z auoregresyjną wariancją warunkową (ang. auoregressive condiional heeroskedasic, ARCH)... Modele klasy ARCH Model ARCH zosał po raz pierwszy zasosowany do badania inflacji Wielkiej Bryanii (por. Engle R. [98]). Specyfikacja ARCH polega na dodaniu do modelu ekonomerycznego równania pomocniczego opisującego zmienność wariancji warunkowej (heeroskedasyczność) składnika losowego. Zakłada się, że kwadray resz są generowane przez proces AR(P): y I h = h( e e = y N( x x, e (l) b (l) b; h ),..., e P, ), (.3) gdzie: y zmienna objaśniana x (l) wekor L zmiennych objaśniających, w ym opóźnione zmienne objaśniane h wariancja warunkowa składnika losowego I zasób informacji w okresie α,b wekory paramerów. Przyjmując liniowość funkcji h() układ (.3) można sprowadzić do posaci: 8

19 9 b x b x (l) 0 (l)... ) ; ( = = P p y e e e e h h N I y α α α α (.4) Jeżeli oznaczymy kwadray resz jako sumę wariancji warunkowej h oraz składnika losowego ) 0, ( ν σ ν N, czyli h e ν =, o układ (.4) można przekszałcić do: b x b x (l) 0 (l)... ) ; ( = = P p y e e e e e h N I y ν α α α α (.5) Badania empiryczne wykazały, że modele ARCH(P) częso wymagają wprowadzenia wysokich opóźnień (wysoka warość P), co powoduje zmniejszenie liczby sopni swobody. Dany problem można rozwiązać poprzez zasosowanie uogólnionego modelu z auoregresyjną wariancją warunkową (ang. generalized auoregressive condiional heeroskedasic, GARCH) (por. Bollersleva T. [986]), w kórym w równaniu pomocniczym dodaje się opóźnienia wariancji warunkowej (h -, h -,...,h -Q ): b x b x (l) 0 (l) ) ; ( = = Q Q P P y e h h h e e e e h N I y ν γ γ γ α α α α (.6) Podsawiając wyrażenie e ν w miejsce h orzymuje się (por. Bollerslev T., Engle R., Nelson D.[994]): Q Q S S S e e e = ν γ ν γ ν γ α γ α α... ) (... ) ( 0, (.7) czyli reprezenację ARMA(S,Q) procesu generującego kwadray resz (S=max(P,Q)). W eorii finansów wiele modeli, w ym APT, opiera się na założeniu że wariancja emp wzrosu cen papierów warościowych (nazywana ryzykiem) w znacznej mierze objaśnia empa wzrosu cen akcji. Zasosowanie modeli klasy ARCH do badania danej zależności dokonuje się poprzez wprowadzenie wariancji warunkowej h jako dodakowego regresora w równaniu opisującym zmienność nadzwyczajnych sóp zwrou (por. Engle R.,

20 Lilien D., Robins R. [987]). Dana specyfikacja o model GARCH-M(p,q), sanowi układ równań: y I e e = y 0 N ( x = α α e x (l) b (l) b δh ; h ) α e... α e P P γ h γ h... γ h Q Q ν (.8) W przypadku nieliniowej zależności pomiędzy y i h równanie podsawowe może mieć przykładowo nasępującą posać: y y N( x b δ h ; h ) (.9) I (l) N ( x b δ ln h ; h ) (.0) I (l) Pozosałe modele ARCH zosały przedsawione między innymi w Welfe A. [000]. s.5-3. W procesie esymacji modeli klasy ARCH należy pamięać o dwóch ograniczeniach. Po pierwsze, wymaga się aby bezwarunkowa wariancja składnika losowego (por. Bollerslev T., Engle R., Nelson D.[994]): α0 Var( ε ) σ = (.) P Q ( γ ) α p p= q= q była dodania i skończona, czyli aby proces {y } miał sacjonarną wariancję (ang. covariance saionary). Po drugie, wymaga się aby proces {y } był regularny, czyli aby wariancja warunkowa była dodania dla każdego okresu (por. Engle R. [98]): h 0 dla każdego =,,...,T (.) W ym celu na paramery modeli ARCH narzuca się nasępujące resrykcje (por. Bollerslev T., Engle R., Nelson D. [994]): P Q p α γ < (.3a) p= q= q α 0 > 0 (.3b) 0

21 γ α 0 dla p=,,...,p (.3c) p γ 0 dla q=,,...,q. (.3d) q Decydując się na wybór modelu ARCH przed przysąpieniem do esymacji należy sprawdzić, czy składnik losowy jes heeroskedasyczny. Dokonuje się ego za pomocą esu mnożnika Lagrange a (por. wzór.7) isoności paramerów modelu: e = a0 ae ape P... ς, (.4) gdzie e jes reszą regresji y względem x (l). Saysyka (.7) ma rozkład χ o P sopniach swobody. Wysokie warości saysyki świadczą o wysępowaniu efeku ARCH. Inuicja powyższego esu jes dosyć prosa. Jeżeli kwadray resz są od siebie niezależne, czyli składnik losowy jes homoskedasyczny, wedy współczynnik deerminacji i warość saysyki (.7) są niskie. Nasępnym eapem jes esymacja paramerów układu (.5), (.6) lub (.8) w zależności od wybranego modelu. Najczęściej używanym jes esymaor meody największej wiarygodności. Sosując MNW należy założyć, że dla każdego okresu zmienna objaśniana ma rozkład normalny o paramerach y N x b; h ) dla modeli ( (l) ARCH i GARCH lub y N x b δh ; h ) dla modelu GARCH-M. W akim przypadku ( (l) warość funkcji wiarygodności dla pojedynczego okresu wynosi: L 0,5 e = (π h ) exp{ ) (.5) h gdzie e jes reszą daną przez (.5), (.6) lub (.8). W rezulacie, logarym funkcji wiarygodności dla całego okresu próby przyjmuje warość: T T T e l( y α, b,, δ ) = ln(π ) ln h (.6) h = = W celu uzyskania esymaorów paramerów α, b, γ, δ należy znaleźć maksimum wyrażenia (.6). Algorymem za pomocą kórego dokonuje się maksymalizacji, sugerowanym przez

22 Engle R., Lilien D., Robins R. [987] jes algorym BHHH przedsawiony przez Brend E., Hall B., Hall R., Hausman J. [974]. W rakcie esymacji sosuje się między innymi nasępujące rzy esy. Pierwszym z nich jes współczynnik deerminacji modelu (por. Welfe A. [000], s.3): e φ φ ς = 0 h (.7) Drugim miernikiem jes współczynnik kierunku zmian: (por. Welfe A. [000], s.4-5): N{ y ˆ y > 0} Q =. (.8) N{ y yˆ 0) Mianownik wyrażenia (.8) oznacza ilość obserwacji dla kórych warość eoreyczna i obserwowana były idenycznego znaku, naomias licznik wskazuje na ilość obserwacji dla kórych warość obserwowana lub eoreyczna były różne od zera. Warości danej saysyki dla niezależnych y i yˆ przyjmują warość 50%. Warości większe od 70% świadczą o dobrym dopasowaniu. Osani z esów jes sosowany do weryfikacji hipoezy, że wysandaryzowane składniki losowe: e z = (.9) h należą do niezależnego rozkładu normalnego N(0,). W ym celu sosuje się saysykę: MR = T z = (.0) należącą do rozkładu χ o T sopniach swobody. Zby niskie lub zby wysokie warości świadczą, że wysandaryzowany składnik losowy nie należy do rozkładu normalnego N(0,).

23 Α.. Wielowymiarowe modele ARCH Wiele modeli z zakresu eorii finansów, w ym APT, opisuje zachowanie wielowymiarowych zmiennych losowych. Przyczyną są wzajemne relacje cen insrumenów finansowych. Przykładowo Diebold F. I Nerlove M. [989] dowiedli, że pojawiające się informacje mają jednoczesny wpływ na noowania dolara w sosunku do siedmiu różnych walu. Podobne wnioski doyczące wspólnej zmienności cen akcji można uzyskać poprzez analizę noowań giełdowych. Uwzględnienie w modelu zależności wysępujących pomiędzy zmiennymi, czyli niezerowych kowariancji, prowadzi do uzyskania większej efekywności szacowanych paramerów. Co więcej, jeżeli macierz kowariancji badanych zmiennych nie jes sała w czasie, o uwzględnienie ej informacji pozwala na dalsze zwiększenie precyzji szacunku. Precyzyjny esymaor macierzy kowariancji jes cenną informacją dla insyucji finansowych, gdyż umożliwia im zopymalizować posiadany porfel (por. King M., Senana E., Wadhwani S.[994]). Modelowanie zmienności macierzy kowariancji jes możliwe za pomocą wielowymiarowej specyfikacji ARCH. Analogicznie do przypadku jednowymiarowego (parz równanie (.3)) definiuje się wielowymiarowy model ARCH: y(i) I N( x(l) ; ) = ( e(i), e(i),..., e(i) P, ), (.) e = y x (i) (i) (l) gdzie: y (i) wekor N zmiennych objaśnianych x (l) wekor L zmiennych objaśniających, w ym opóźnione zmienne objaśniane Ω warunkowa macierz wariancji-kowariancji składnika losowego I zasób informacji w okresie 3

24 A, macierze esymowanych paramerów. Aby proces ARCH był regularny (parz definicja.), czyli aby wariancje warunkowe były dodanie oraz aby dodakowo zachodziła nierówność ω, ij, ωii, ω jj, funkcja Ω musi być określona półdodanio. W celu uproszczenia wnioskowania zazwyczaj przyjmuje się, że funkcja Ω ma posać liniową i ylko akie przypadki będą rozparywane w dalszej części pracy. Przy doborze specyfikacji funkcji szczególną uwagę należy zwrócić na rzy aspeky. Po pierwsze, rzeba zasanowić się jakie są rudności w urzymaniu założenia o półdodaniej określoności macierzy kowariancji Ω. Po drugie, powinno się zadbać aby ilość esymowanych elemenów macierzy Α i była możliwie najmniejsza. Po rzecie, należy uwzględnić przyczynowość kowariancyjną, czyli wzajemną przyczynowość pomiędzy zmiennymi będącymi elemenami macierzy Ω dla =,,...,T. W lieraurze ekonomicznej (por. Bollerslev T., Engle R., Nelson D. [994]) pojawiają się rzy specyfikacje wielowymiarowe. Pierwszą z nich jes wekorowy ARCH, kóry jes bezpośrednim uogólnieniem modelu ARCH na przypadek wielowymiarowy. Oznacza o, że każdy elemen macierzy wariancji kowariancji Ω modelu (.) jes kszałowany przez proces (por. Diebold F., Nerlove M. [989]): ω α, (.) T T T ij, = ij,0 e(i) Aij,e (i) e(i) Aij, e(i)... e(i) PAij, pe(i) P gdzie A ij,p jes macierzą symeryczną o wymiarach N N. Wielką zaleą specyfikacji (.) jes o, że pozwala ona na uwzględnienie w modelu zjawiska przyczynowości kowariancyjnej. Pomimo ego wekorowy ARCH nie zyskał popularności, ponieważ ilość esymowanych paramerów jes zasraszająco wielka i wynosi N( N ) N ( N ) n = ( P). Pierwsza część wyrażenia oznacza ilość elemenów ω ij macierzy Ω, kóre są szacowane za pomocą (.), naomias liczba w nawiasie jes 4