ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
|
|
- Bożena Urbaniak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
2 Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014
3 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska mariangewert@ pwredupl wwwimpwredupl/ gewert Zbigniew Skoczylas Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska zbigniewskoczylas@ pwredupl wwwimpwredupl/ skoczylas Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c by Oficyna Wydawnicza GiS Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich Składwykonanowsystemie L A TEX ISBN Wydanie XV zmienione, Wrocław 2014 Oficyna Wydawnicza GiS, sc, wwwgiswrocpl Druk i oprawa: Oficyna Wydawnicza ATUT 4
4 Spis treści Wstęp 7 Zestawy zadań z kolokwiów 9 Pierwszekolokwium 9 Drugiekolokwium 19 Zestawy zadań z egzaminów 34 Egzaminpodstawowy 34 Egzaminpoprawkowy 53 Odpowiedzi i wskazówki 73 Pierwszekolokwium 73 Drugiekolokwium 81 Egzaminpodstawowy 87 Egzaminpoprawkowy 92 5
5 Wstęp Niniejszyopracowanie jesttrzeciączęściązestawupodręcznikówdoprzedmiotu Algebra z geometrią analityczną Pozostałymi częściami zestawu są Algebra i geometria analityczna Definicje, twierdzenia, wzory oraz Algebra i geometria analityczna Przykłady i zadania Opracowanie zawiera zestawy zadań, które w ubiegłych latach studenci Politechniki Wrocławskiej rozwiązywali na kolokwiach i egzaminach Zadania obejmują liczby zespolone, wielomiany, macierze i wyznaczniki, układy równań liniowych oraz geometrię analityczną w przestrzeni Do wszystkich zestawów z kolokwiów oraz do zestawów egzaminacyjnych o numerach nieparzystych podane są odpowiedzi Opracowanie pozwala studentom zapoznać się z rodzajami oraz stopniem trudności zadań kolokwialnych i egzaminacyjnych Jest to jednocześnie dodatkowy materiał do samodzielnej nauki Z tego wydania zbioru usunięto zestawy zadań z egzaminu na ocenę celującą Będą one częścią nowego opracowania pt Algebra i analiza Egzaminy na ocenę celującą Ponadto poprawiono zauważone błędy i usterki Dziękujemy Koleżankom i Kolegom z Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej za zestawy z kolokwiów i egzaminów, a także za uwagi o poprzednich wydaniach tego zbioru Marian Gewert Zbigniew Skoczylas Do2005rksiążkamiałatytuł Algebraliniowa1Kolokwiaiegzaminy 7
6 Egzamin poprawkowy 53 x+2y+3z+4t=10 x+ y+2z+3t= 0 4 Rozwiązać układ równań Wykorzystać metodę eliminacji Gaussa x+ y+ z+2t=10 x+ y+ z+ t= 0 5ObliczyćA 2 ia 3 inastępnieznaleźćwzórogólnynaa n dlaa= x= 2+ t 6 Znaleźć rzut prostopadły prostej l: y= 3t (t R)napłaszczyznęπ: z= 1 t 2x+3y z 9=0 Zestaw 40 1Korzystajączliczbzespolonychobliczyćsin π ( 12 Wskazówka Wykorzystać równości arg 1+i ) 3 = π 3,arg(1+i)=π 4 2Liczbaz 1 =1+2ijestpierwiastkiemwielomianuW(z)=z 4 +z 3 +3z 2 +7z+20 Znaleźć pozostałe pierwiastki 3 z z 2 z 3 3Dlajakiejwartościz Cwyznacznik z 4 z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 z 10 z 11 jest równy 2? z 12 z 13 z 14 z 15 4ZnaleźćmacierzekwadratoweAstopnia2takie,żeA 2 jestmacierzątrójkątną górną x+3y z+2t=1 5 Rozwiązać układ równań 2x y+z t=2 4x+5y z+3t=3 6 Obliczyć odległość między prostymi x=1+2t x= s l 1 : y= 4t (t R), l 2 : y=3+2s z=3+3t z=1 s Egzamin poprawkowy (s R) Zestaw 1 odp str 92 { } π 1 Naszkicować zbiór z C: 6 argz(1+i) 1+i π 3 ( ) 4 2+i 2 Znaleźć postać algebraiczną liczby 3 i
7 54 Zestawy zadań z egzaminów 3Sprawdzić,czywektoryu=(1,1,1),v=(1,2,1),w=(1,1,3)sąwspółpłaszczyznowe 4 Obliczyć Wykorzystać metodę operacji elementarnych Wyznaczyć równanie prostej zawierającej dłuższą przekątną równoległoboku ABCD owierzchołkacha=(1,1,3),b=(3,2,3),c=(1,4,3) 2x+2y z+ t =4 4x+3y z+2t =6 6Zukładurównań obliczyć niewiadomą x stosując 8x+5y 3z+4t=12 3x+3y 2z+2t =6 wzory Cramera Zestaw 2 1 Naszkicować zbiór { z C: } z 1 z i >1,argz<π 2 Obliczyć W( i) i następnie znaleźć pierwiastki wielomianu W(z)=z 4 +z 3 +2z 2 +z+1 3Znaleźćzbiórtychliczbzespolonychz,dlaktórychmacierzA= jestnieosobliwaobliczyća 1 dlaz=i x+2y z t=1 2x y+z 2t=2 4 Rozwiązać układ równań 3x+ y 3t=3 5x +z 5t=5 1 0 z 0 1+z 0 z Obliczyć kosinus kąta między bokami równoległoboku, którego przekątnymi są wektoryu= 2i+2j+k,v=4i+j+5k 6 Napisać równanie prostej l przechodzącej przez punkt przecięcia prostych x= 2+2t x= 3+3s l 1 : y= 2+ t (t R), l 1 : y= s (s R) z= 1 t z= 1+ s i prostopadłej do nich Zestaw 3 odp str 92 1Rozwiązaćrównanie(2+i)z 2 (5 i)z+(2 2i)=0 2 Funkcję wymierną x x 4 1 rozłożyćnarzeczywisteułamkiproste
8 Egzamin poprawkowy 55 Wykorzystać metodę eli- 3 Rozwiązać układ równań minacji Gaussa 4 Obliczyć x y+2z+2t= 2 y z+2t= 7 x+2y 2t= 7 x+2y 2z t= 1 5 Obliczyć kosinus kąta między przekątnymi równoległoboku rozpiętego na wektorach u=(1,2,3),v=(2,1,0) 6 Znaleźć równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P =(1, 2, 3) i prostopadłej do prostych x= t x=1+2s l 1 : y=1+2t (t R), l 2 : y= s (s R) z= 3t z=2+ s Zestaw 4 1 Naszkicować zbiór { z C: 1+iz 3,arg(z+1) π } 2 2Rozwiązanierównaniaz 6 =2(1 i) 4 przedstawićwpostacialgebraicznej 3ZnaleźćpierwiastkiwielomianuW(z)=z 4 5z 3 +10z 2 10z+4,jeśliwiadomo, żejednymznichjestz 1 =1+i x 2y 3z= 7 4 Rozwiązać układ 3x+ y+4z= 5 Wykorzystać metodę eliminacji Gaussa 2x+5y+ z= 18 5 Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A =(3, 1, 4), która jest równoległadoosioz 6W R 3 danesąpunktya=(1,2,3),b=(2,4,1),c=(1, 3,5),D=(4, 2,3) Obliczyć objętość czworościanu ABCD Zestaw 5 odp str 92 1WielomianW(x)=x 3 +x 2 x+2rozłożyćnarzeczywisteczynnikinierozkładalne 2 Obliczyć kosinus kąta między płaszczyznami π 1 :x 2y+z=0, π 2 :2x y 3z+1=0 x+ y+ z+t=5 3 Rozwiązać układ równań x+2y z+t=2 3x +3z+t=8
9 56 Zestawy zadań z egzaminów Obliczyć wyznacznik [ ] 1 x 5 Czy kwadrat macierzy może być macierzą zerową dla odpowiednio dobranych wartości x, y? y 1 6 Obliczyć pierwiastki 3 8 8iizaznaczyćjenapłaszczyźniezespolonej Zestaw 6 { } z 1 Naszkicować zbiór z C:z 3 5 =i przechodząc do postaci wykładniczej liczb zz zespolonych 2 Rozwiązać równanie macierzowe A = A Funkcjęwymierną x+1 x 4 +1 rozłożyćnarzeczywisteułamkiproste x+y+z+2t= 0 x+y z+2t= 1 4 Rozwiązać układ równań Wykorzystać metodę eliminacji x y+z 2t= 4 x+y z+2t= 4 Gaussa 5Obliczyćkątmiędzypłaszczyznamiπ 1 :x 2y+z=1,π 2 :x+ 2y z= 3 6 Wyznaczyć odległość między prostymi x= 1+t k: y= t (t R), l: z= 2+t { x 3y 3=0 y z+1=0 Zestaw 7 odp str 93 1Wyznaczyćpostaćalgebraicznąelementówzbioru 8 6i 2Obliczyć ( 1+i 3 ) 12 Wynikpodaćwpostacialgebraicznej Czy istnieje macierz odwrotna do macierzy ? { ax+ 2y= 3 4 Rozwiązać układ równań z parametrem a x+(a 3)y= 3
10 Egzamin poprawkowy 57 5ObliczyćpoletrójkątaABCowierzchołkachA=(1,1,1),B=(1,2,3),C = ( 1,1,0) { } 6 Na płaszczyźnie zespolonej przedstawić zbiór z C: z z+i 1 Zestaw 8 1Naszkicowaćzbiór { z C: Im ( z 4) 0 } 2ZnaleźćpierwiastkizespolonewielomianuW(z)=z 6 +z 4 +2z 2 4iprzedstawić je w postaci algebraicznej 3Funkcjęwymierną x2 5x+9 x 2 +5x+6 rozłożyćnasumęwielomianuiułamkówprostych 2x+ y z+ t= 5 x+ y+z 2t= 1 4Zukładurównań wyznaczyć niewiadomą x wykorzystując wzory x 2y+z+ t= 2 x +z = 3 Cramera 5 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P =(4, 3, 2) i prostopadłejdopłaszczyznπ 1 :x+2y z=0,π 2 :2x 3y+4z 5=0 x=1+2t 6Przezprostąl: y=2+ t (t R) poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do z= 3t płaszczyznyπ:3x 2y+4z+6=0 Zestaw 9 odp str Obliczyć 3 (1 i) 2Wynikpodaćwpostacialgebraicznej 2ZnaleźćpierwiastkizespolonewielomianuW(x)=x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +x+1 [ ] [ ] ZnaleźćmacierzA,któraspełniarównanieA = x+ +z= 1 4Dlajakichwartościparametrum Rukładrównań mx my+z= m jest x+my+z= 3 układem Cramera? 5 Napisać równanie parametryczne { płaszczyzny przechodzącej przez punkt P =(4, 7, 2) 3x+2y z=3 iprostopadłejdoprostejl: x y 3z=6 6Obliczyćmiarękątamiędzyprostąl:x=3+2t,y=1,z= 2+3t(t R)i płaszczyznąπ:x z=0
11 58 Zestawy zadań z egzaminów Zestaw 10 { 1 Naszkicować zbiór z C: Im z } z+2 >0, z+1 i <2 ( 2 Obliczyć cos π 8Wynikpodaćwpostacialgebraicznej 3 6) +isinπ z+ t= 4 4x+3y z+2t= 6 3Zukładurównań wyznaczyć niewiadomą x korzystając ze wzorów 3z+4t=12 y 2z+2t= 6 Cramera 4 Rozwiązać równanie macierzowe Y = Macierz odwrotną wyznaczyć posługując się metodą bezwyznacznikową 5ZnaleźćpierwiastkiwielomianuW(x)=x 4 5x 3 +10x 2 10x+4 6 Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A =( 1, 1, 2) i prostą x= 1+5t l: y= 1+ t (t R) z= 2t Zestaw 11 odp str 93 1Rozwiązaćrównaniez 6 +2i z 6 =(z) 6 używającodpowiedniejpostaciliczbyzespolonej Otrzymane pierwiastki zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej 2Liczbę (1+i)3( 3 i ) 2 i 2( 1+ 3i ) 3 przedstawićwpostacialgebraicznej 3 Znaleźć wielomian rzeczywisty W możliwie najniższego stopnia taki, że W(2i) = 0, W(i)=3+3i 4Obliczyćpoletrójkątależącegonapłaszczyźnieπ: 2x 3y+2z=3,którego wierzchołkami są punkty przecięcia tej płaszczyzny z prostymi k:x=t,y=t,z=t(t R), l:x=2s,y=s,z= 2s(s R), m:x=3u,y=2u,z=3u(u R) 5 Znaleźć macierz X spełniającą równanie X= Sprawdzić,czypunktyA=( 1, 2,2),B=( 1,3,3),C=(2, 2,2),D=(1,0,3) leżą na jednej płaszczyźnie
12 Egzamin poprawkowy 59 Zestaw 12 1 Naszkicować zbiór { z C: Re ( z 2 3 ) >0, } z z+1 <1 2Rozwiązaćrównaniez 3 =(z i) 3 3x 2y 5z+ t= 3 2x 3y+ z+5t= 3 3 Rozwiązać układ równań Wykorzystać metodę eliminacji x+2y 4t= 3 x y 4z+9t= 22 Gaussa 4 Rozwiązać równanie macierzowe Y = Macierz odwrotną wyznaczyć posługując się wzorem wyznacznikowym 5WielomianW(x)=x 4 x 3 +x 2 3x+2rozłożyćnailoczynwielomianówstopnia pierwszego 6ZnaleźćrównaniepłaszczyznyπprzechodzącejprzezpunktA=(1,3,0)irównoległej do prostych { x= 1 t x+y z+3=0 l 1 : 2x y+5z+1=0, l 2: y= t (t R) z= 3 6t Zestaw 13 odp str 93 1Rozwiązaćrównaniez 4 2z 2 +4=0 2Naszkicowaćzbiór{z C: z 1 =Re(z+1)} 4x 3 Funkcję wymierną (x+1)(x 2 +1) 2rozłożyćnazespoloneułamkiproste 4 Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy , korzystając z definicji Trójkąt ABC rozpięty jest na wektorach AB=(1,5, 3) AC=( 1,0,4)Obliczyć wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka C 6 Określić i opisać zbiór punktów wspólnych płaszczyzn Zestaw 14 π 1 :3x+y+z+1=0, π 2 :x+2z+6=0, π 3 :3y+2z=0 1Naszkicowaćzbiór{z C: z i <Imz+3}
13 60 Zestawy zadań z egzaminów 2Rozwiązaćrównanie2z z =z 4 3Zukładurównań wzory Cramera 2x+3y = 2 x+ y+5z+2t= 1 2x+ y+3t = 3 x+ y+3z = 3 wyznaczyć niewiadomą t stosując 4 Rozwiązać równanie macierzowe Y = Macierz odwrotną wyznaczyć stosując metodę bezwyznacznikową 5 Nie wykonując dzielenia znaleźć resztę z dzielenia wielomianu przezwielomianq(x)=x 3 +x 2 2 P(x)=x 6 +x 5 +3x 2 +x 3 6 Znaleźć równanie płaszczyzny π przechodzącej przez prostą l 1 :x=1+3t,y= 2+4t,z=1+2t(t R), irównoległejdoprostejl 2 :x=5s,y=1+4s,z= 1+3s(s R) Zestaw 15 odp str 94 1Naszkicowaćzbiór{z C: Re[2zz (2+4i)z+(4i 2)z]<0} ( 1+i ) Obliczyć Wynikpodaćwpostacialgebraicznej 1 i 3ZnaleźćinaszkicowaćpierwiastkiwielomianuW(x)=x 4 +8x 3 +x+8orazrozłożyć go na nierozkładalne czynniki rzeczywiste x 2y 3z= 3 4 Rozwiązać układ równań 2x+ 6y 10z= 0 Wykorzystać metodę eliminacji 3x+12y+ 3z= 9 Gaussa 5Znaleźćwektoruwiedząc,żejestonprostopadłydowektorówv=(0,2, 3), w=( 1,4,2)ispełniawaruneku (4,5,1)= 150 6ZnaleźćrównaniepłaszczyznyπprzechodzącejprzezpunktyP 1 =(2,1,3),P 2 = ( 1,2,1)irównoległejdoosiOz Zestaw 16 1 Naszkicować zbiór { z C:arg z+1 = 3 } i 2 π 2Rozwiązaćrównaniez 4 =z(1 i) 5
14 Egzamin poprawkowy 61 2x+ 7y+3z+ t= 5 x+ 3y+5z 2t= 3 3 Rozwiązać układ równań Wykorzystać metodę eliminacji Gaussa x+ 5y 9z+8t= 1 5x+18y+4z+5t=12 4 Rozwiązać równanie macierzowe Y [ ] = Macierz odwrotną wyznaczyć posługując się wzorem wyznacznikowym x 5 Funkcję wymierną x 4 1 rozłożyćnarzeczywisteułamkiproste 6 Znaleźć równanie{ płaszczyzny przechodzącej przez punkt A =(1, 3, 1) i prostopadłejdoprostejl 1 : x+y z+2=0 2x+3y+z 1=0 Zestaw 17 odp str 94 1Napłaszczyźniezespolonejprzedstawićelementyzbioru 3 2 2i 2Funkcjęwymierną x+1 x 3 +x rozłożyćnarzeczywisteułamkiproste 3 Rozwiązać równanie macierzowe [ ] B = [ ] x+2y+3z t= 1 4 Rozwiązać układ równań 3x+6y+7z+ t= 5 Wykorzystać metodę kolumn 2x+4y+7z 4t= 6 jednostkowych 5Zbadać,dlajakichwartościparametrup,punktyA=(1,2,1),B=(3,3, 2), C= ( 2,4, p 2),D=(3,1,0)należądojednejpłaszczyzny { x= 1+ t x 4y+3=0 6Obliczyćkątmiędzyprostymil 1 : x+y z+2=0, l 2: y= 3+2t (t R) z= 2+3t Zestaw 18 1Wyznaczyćelementyzbioru 3 (3 i) 6 ipodaćjewpostacialgebraicznej 2WielomianW(x)=x 4 +16przedstawićwpostaciiloczynurzeczywistychczynników nierozkladalnych 3PodaćwzórnamacierzodwrotnąikorzystajączniegoobliczyćA 1 dla A=
15 62 Zestawy zadań z egzaminów [ ] [ ] [ ] Rozwiązać równanie macierzowe: X = Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia osi układu współrzędnychzpłaszczyznąπ:3x+2y+z=6 6 Napisać równanie ogólne płaszczyzny, która przechodzi przez punkt P =(1, 2, 1) ijestrównoległadopłaszczyznyπ:2x y+3z+5=0 Zestaw 19 odp str 94 { } 1 Narysować zbiór z C: 4i 3 3i z 5 2ZnaleźćpierwiastkiwielomianuW(z)=2z 3 +3z 2 +2z 2 3x+ y+ z+ t=0 3x+3y+ z+ t=0 3 Wyznaczyć niewiadomą x z układu równań,stosując 3x+3y+3z+ t=0 3x+3y+3z+3t=3 wzory Cramera Obliczyć macierz Zastosować metodę operacji elementarnych Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia osi układu współrzędnychzpłaszczyznąπ:3x+2y+z=6 6ZnaleźćpunktsymetrycznydoA=(6, 3,0)względempłaszczyznyπ:x+y+z=0 Zestaw 20 1Stosującpostaćwykładnicząliczbyzespolonejrozwiązaćrównaniez 6 =(z) 6 Na płaszczyźnie zespolonej naszkicować zbiór jego pierwiastków 2WielomianW(z)=z 4 (1 2i) 4 przedstawićjakoiloczynzespolonychczynników nierozkładalnych 3 Stosując operacje elementarne obliczyć wyznacznik stopnia n n n n n n n+2
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Marian Gewert Wydział Matematyki
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoTeresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie siódme uzupełnione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie siódme uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2013 Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2000
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoGEODEZJA I KARTOGRAFIA I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka I Nazwa modułu w języku angielskim Mathematics I Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA 1. Lista zadań
ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A ALGEBRA LINIOWA Wszystkie warianty kursu Lista zdań obejmuje cały materiałkursu oraz określa przybliżony stopień trudności zadań, które pojawia się na kolokwiach i egzaminach
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
Bardziej szczegółowoGeodezja i Kartografia I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny) Stacjonarne (stacjonarne / niestacjonarne)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012 r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka I Nazwa modułu w języku angielskim Mathematics I Obowiązuje od
Bardziej szczegółowoTeresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie ósme zmienione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie ósme zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Projekt okadki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2000 2018
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA M1 Nazwa w języku angielskim ALGEBRA M1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Stopień studiów
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Linear algebra and analytical geometry Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka,
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Algebra liniowa Nazwa modułu w języku angielskim Linear algebra Obowiązuje
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowohttp://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
Bardziej szczegółowoInżynieria Środowiska I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/1 z dnia 1 lutego 01r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka Nazwa modułu w języku angielskim Mathematics Obowiązuje od roku akademickiego
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoSpis treści. Spis treści 2
Spis treści Spis treści Algebra. Liczby zespolone.................................................. Liczby zespolone - odpowiedzi.......................................... 5. Macierze......................................................
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa Linear algebra
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa Linear algebra
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoZ-EKO-085 Algebra liniowa Linear Algebra. Ekonomia I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Z-EKO-085 Algebra liniowa Linear Algebra Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE
Bardziej szczegółowo(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kierunek: Inżynieria biomedyczna Linear algebra and analytical geometry forma studiów: studia stacjonarne Kod przedmiotu: IB_mp_ Rodzaj przedmiotu:
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kierunek: Mechatronika Linear algebra and analytical geometry Kod przedmiotu: A01 Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Poziom
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Bardziej szczegółowoZ-ID-103 Algebra liniowa Linear Algebra
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Z-ID-0 Algebra liniowa Linear Algebra Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 0/06 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
WYDZIAŁ ARCHITEKTURY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Matematyka 1 Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma:
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 14 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 30 2 3 5
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x
Bardziej szczegółowoEgzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata.
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz 1. Wzajemne położenia prostych, płaszczyzn w przestrzeni. 2. Graniastosłupy- podział, pole powierzchni i objętość. 3. Ostrosłupy- podział,
Bardziej szczegółowoLiteratura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa Linear Algebra. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Algebra Liniowa Linear Algebra A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Algebra Liniowa Nazwa modułu w języku angielskim Linear Algebra Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoProsta i płaszczyzna w przestrzeni
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoRozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: II 96 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
Bardziej szczegółowoRok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB s Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Nazwa modułu: Matematyka I Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB-1-110-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Inżynieria Biomedyczna Specjalność:
Bardziej szczegółowoRozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2017/2018 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 60 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7. TYP
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria
Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY 9 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Algebra z Geometria Analityczna Nazwa w języku angielskim : Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 Ekonomik w Zielonej Górze KLASA III fl POZIOM PODSTAWOWY I. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowoKurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Przestrzenie liniowe 0 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Liczby zespolone 8 6 Wielomiany 7 Całki nieoznaczone 8 Zastosowania
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 2
Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z =
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowo