Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ - Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC)

Transkrypt

1 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) W iektórych ytuacach decyzyych które daą ię przedtawić w frmie mdeli prgramwaia matematyczeg muimy zrezygwać z załżeia pdzielści i z załżea addytywści pewych wartści pzimów działalści. Na przykład ie zawze mżemy zaakceptwać fakt że pewe zmiee decyzye będą przymwać wartści ułamkwe lub też ie mżemy przyąć załżeia że akłady gółem ą umą akładów idywidualych prceów. Załżeia te pzwalały am przyąć że kreśla w mdelu fukca celu ak i kreśle waruki maą charakter liiwy. W pierwzym przypadku rzważamy ytuacę braku załżeia pdzielści i zakładamy że część zmieych decyzyych lub wzytkie przymuą wartści całkwite. Przykładwe prblemy decyzye: Przykład Przediębirtw przewzwe zamierza zakupić amchdy ciężarwe d bługi dwu w twartych liii. Dae pzczególych typach amchdów zawiera tabela : Dae Typy amchdów I II Ładwść (w t.) 4 Przebieg (w t/km dzieie) 5 5 Cea ( w ty. zł) Całkwita ładwść wych amchdów ma wyieść ie mie iż 4 t a przebieg dziey ie mie iż 5 t/km. Ze względu a rdza przewżych ładuków amchdów drugieg typu pwi być dwa razy więce iż pierwzeg. Zbudwać mdel i wyzaczyć ile amchdów pzczególych typów ależy zakupić żeby łącza uma zakupu była mżliwie aiżza. Przykład Właściel ieci retauraci Smak zamierza twrzyć kilka wych lkali w Łdzi w różych e częściach. Wybór lkalizaci dtyczy ześciu rózych puktów które bemuą kreśle bzary miata. Grupa ekpertów zebrała iezbęde ifrmace raz zacwała pewe parametry takie ak: czay dazdu z pzczególych bzarów mżliwści parkwaia przypływ kumetów rczy zyk raz czyz związay z wyaęciem lkali. Wzytkie iezbęde ifrmace pda w tabeli. Obzar Pukt Zyk (ty zł) 5 7 Czyz (ty zł) Przykład z D. Rgalka Prgramwaie liiwe wyd. Uiwerytetu Łódzkieg Łódź 998 pracwa a pdtawie H.M. Wager Badaia Operacye PWE Warzawa 98

2 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [] Rczy zyk aki przyieie retauraca zacwa przy załżeiu że każdy bzar et bługiway tylk przez edą retauracę. Sfrmułu dpwiedi mdel i rzwiąż prblem decyzyy. Załóż że każdy z bzarów mże być bługiway przez więce iż edą retauracę a celem et miimalizaca kztów dzierżawy wzytkich wybraych puktów lkalizaci. Sfrmułu dpwiedi mdel decyzyy. Zadaia przedtawie w przykładach i rzwiąż przy pmcy mdułu Slver w Ecelu

3 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [] Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) DEFINICJE Zadaiem PLC azywamy atępuące zadaie ptymalizaci liiwe: (4) () () () ma(mi) C C b a a b a a c c z m m m Zadaie (-) azywamy zadaiem regularym. Zadaie (-4) azywamy zadaiem PLC. Stwie d teg pdziału zaczymy zbiry rzwiązań dpuzczalych: X - zbiór rzwiązań dpuzczalych zadaia regulareg (wypukły). X C - zbiór rzwiązań dpuzczalych zadaia PLC (iewypukły); zbiór te pełia czywity waruek X C X Z faktu że zbiór X C ie et zbirem wypukłym wyika iemżść wykrzytaia twierdzeia Weiertraa d zadwaia rzwiązaia ptymaleg zadaia PLC. PRZYKŁAD Rzważmy atępuące zadaie PLC: C C b a z ) ( 7 ) ( ma Na ryuku przedtawi zbiry rzwiązań dpuzczalych X raz X C. Elemety zbiru X C awią ię ak izlwae pukty zawieraące ię w zbirze X.

4 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [4] Rzwiązaie ptymale () zadaia regulareg (-) ie pełia waruku całkwitliczbwści (4). Rzwiązaie ptymale (4) zadaia PLC (-4) waruek te czywiście pełia. Ry.. Ilutraca zbiru X C dla zadaia PLC z przykładu METODY ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ PLC I. Prte. przegląd zupeły zbiru X C. regularyzaca (zakrągleie) rzwiązaia ptymaleg zadaia (-) II. Złże. regularyzaca zadaia (-4); metdy płazczyz dciaących 4. wykrzytaie kmbiatryczeg charakteru przeglądu zbiru X C ; metda pdziału i graiczeń (brach & bud methd) 5. pzukiwaia przypadkwe i metdy przybliże Ad.. Przegląd zupeły zbiru X C. Pdeście mał elegackie. Mżliwe tylk wtedy gdy zbiór X C et małliczy i kńczy (pr. przykład ). W przeciwym przypadku przegląd et ie d zrealizwaia.

5 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [5] Ad.. Regularyzaca (zakrągleie) rzwiązaia ptymaleg zadaia (-). Częt twae pdeście. Mża e zaliczyć d klay metd przybliżych. Ptępwaie takie krye w bie iebezpieczeńtw geerwaia rzwiązań PLC dalek dbiegaących d zbiru rzwiązań dpuzczalych X C. Skala dtęptwa zależy d wielkści liczb piuących rzwiązaie ptymale zadaia (-). Zilutruemy te prblem a przykładzie (pr. przykład 4). PRZYKŁAD 4 Rzważmy atępuące zadaie PLC: z 4 C C C ma Rzwiązaie zadaia (-) et tuta atępuące: P 4 () () () (4) regularyzaci (zakrągleiu) teg rzwiązaia trzymuemy: 5. Jak miary dpuzczalści (iedpuzczalści) rzwiązaia zakrągleg użyemy tuku różicy prawe try graiczeń (RHS) i lewe try graiczeń (LHS) d prawe try graiczeń t. (RHS-LHS)/RHS. Miarę taką (w wyrażeiu prcetwym mża iterpretwać ak prcetwe pełieie (iepełieie) daeg graiczeia. Uema wartść takie miary wkazue a iepełieie daeg graiczeia. Miary te kztałtuą ię atępuąc: gr ~ 75% gr ~ % gr ~ ()%. Otrzymuemy ygał że zakrągleie rzwiązaia pwdue -prcetwe iepełieie drugieg graiczeia. Zatem prpwae rzwiązaie et rzwiązaiem mc iedpuzczalym. Iacze zachwa ię takie ptępwaie eżeli będziemy zakrąglać duże liczby. Zamieiaąc w przykładzie rygiale parametry RHS ( b 4 b b ) a ie b 45 b 5 b 5 trzymamy ak rzwiązaie zadaia (-): P regularyzaci (zakrągleiu) teg rzwiązaia trzymamy: Omówie wcześie miary zgdści (iezgdści) graiczeń ą teraz atępuące: gr ~ 99% gr ~ % gr ~ %. Wyika z teg że w tym przypadku zakrągleie rzwiązaia zadaia (-) ie prwadzi d zaprpwaia rzwiązaia iedpuzczaleg.

6 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [6] Ad.. Metdy płazczyz dciaących. Ogólą ideę rzwiązywaia zadań PLC pdał w rku 957 twórca metdy implek Gergie B. Datzig. Zgdie z ią eżeli p rzwiązaiu zadaia (-) ie trzymuemy rzwiązaia w liczbach całkwitych t d zadaia (-) ależy dłączyć we graiczeia które muzą pełić dwa waruki: detą (ie bemą) uzykaeg wcześie rzwiązaia zadaia (-); ie był t rzwiązaie w liczbach całkwitych raz będzie wiadm że we graiczeia ie detą wzytkich rzwiązań w liczbach całkwitych t. bemą przyamie ed rzwiązaie dpuzczale w liczbach całkwitych. Tę tukw prtą ideę ilutruą dwa algrytmy. Są t pdeścia zaprpwae przez:. Niezczeriakva (płazczyzami dciaącymi będą wartwice fukci celu) raz. Gmry eg (płazczyzami dciaącymi będą dpwiedi przekztałce rówaia z tablicy implekwe zawieraące rzwiązaie ptymale rzzerzaeg zadaia (-)). W bu pdeściach wykrzytue ię zwykłe metdy rzwiązywaia zadań PL (klayczy algrytm implek dualy algrytm implek itp.). Ad. 4. Metda pdziału i graiczeń. Ogóla idea metdy plega a ciągłym pdziale i rzwiązywaiu zadaia (-). Zadaie (-) et dziele a klee zadaia w których zbiór rzwiązań dpuzczalych X et w wyiku każdeg pdziału zawężay. P kńcze liczbie pdziałów zadaia (-) uzykue ię rzwiązaie zadaia PLC ( ile itiee). W każdym pdziale d rzwiązaia zadaia pdzieleg wykrzytue ię zwykłe metdy rzwiązywaia zadań PL (klayczy algrytm implek zrewidway algrytm implek zmdyfikway algrytm implek itp.). Ad. 5. Pzukiwaia przypadkwe i metdy przybliże. Trud tuta wymieić kkrete pby rzwiązywaia zadaia PLC. Naczęście ą t ptępwaia związae z kkretymi zatwaiami. Wchdzą tuta w grę ptępwaia które gólie azwać mżemy ptępwaiami heurytyczymi. Częt wykrzytuą e uprzcze fragmety ygalizwaych wcześie ptępwań. Geeralie chdzi w ich t aby zybk i prawie rzwiązać prblem PLC i trzymać rzwiązaie ak abliżze iezaemu rzwiązaiu ptymalemu PLC. Z gólie mówiych metd zaprezetuemy metdę Gmry eg raz pdziału i graiczeń. G.B.Datzig Dicrete-variable etremum prblem Op. Re

7 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [7] Algrytm GOMORY eg!!! ZAŁOŻENIE!!! Wzytkie parametry LHS i RHS graiczeń muzą być liczbami całkwitymi. Jeżeli rygiale graiczeia ie pełiaą teg waruku t ależy pmżyć każde z ich z ba przez dpwiedi dbraą dla ieg ddatią tałą a p uzykaiu rzwiązaia ptymaleg ależy wartść zmiee wbde pdzielić przez tą tałą. Iteraca Ptępwaie rzpczyamy d rzwiązaia zadaia regulareg (-). Jeżeli zadaie et przecze alb ie piada kńczeg rzwiązaia ptymaleg t kńczymy ptępwaie. Jeżeli rzwiązaie ptymale dae et w liczbach całkwitych t kńczymy ptępwaie. Jeżeli rzwiązaie ie pełia waruku całkwitliczbwści t przechdzimy d klee iteraci. Iteraca k (k) W zbirze wartści zmieych bazwych zaduemy wartść awiękze części ułamkwe. W przypadku ieedzaczeg wybru kieruemy ię zaadą iżzeg umeru (iżze pzyci a liście zmieych bazwych). Niech taką zmieą będzie zmiea bazwa umerze (l) t. B B l : l l i i i B B ma. Obciamy zbiór rzwiązań dpuzczalych X zadaia regulareg (-) ddaąc d zbiru graiczeń półpłazczyzę zdefiiwaą atępuąc: B B yl yl l l i rzwiązuemy we zadaie regulare (-). Nawiay [ ] zaczaą fukcę Etier a elemety B y l raz l pchdzą z l-teg wierza tablicy implekwe zawieraące rzwiązaie ptymale zadaia (-) rzwiązywaeg w iteraci k-. Techiczie ptępwaie bciaia zbiru X aktualeg zadaia regulareg (-) realizuemy atępuąc:. D tablicy implekwe zawieraące rzwiązaie ptymale zadaia (-) rzwiązywaeg w iteraci k- dkładamy ddatkwe rówaie : B B yl yl l l

8 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [8]. Jak kleą (tatią) zmieą bazwą w we tablicy przymuemy zmieą.. Tablica taka zawiera zawze rzwiązaie bazwe dualie dpuzczale które et edak iedpuzczle prymalie (kładwa z wartścią we zmiee bazwe dkleeg rówaia et uema). 4. Wykuemy itercę DLSX udpuzczaliaącą prymalie aktuale rzwiązaie bazwe dualie dpuzczale. W krku 4 mgą zaitieć trzy ytuace. Mża wykać iteracę DLSX i trzymae rzwiązaie et całkwitliczbwe. Kiec ptępwaia. Mża wykać iteracę DLSX ale trzymae rzwiązaie ie et całkwitliczbwe. Przechdzimy d iteraci k+. Nie mża wykać iteraci DLSX (brak elemetów uemych w wierzu (l)). Kiec ptępwaia. Rzwiązywae zadaie ie piada rzwiązaia ptymaleg w liczbach całkwitych. PRZYKŁAD 4 Rzważmy zadaie PLC z przykładu. z C C Ograiczeia teg zadaia ie pełiaą załżeia wtępeg algrytmu Gmry eg. Mżymy graiczeia (b) przez tałą. P takim zabiegu we zadaie PLC pełia uż załżeie wtępe algrytmu. Rzwiązywae zadaie regulare ma ptać: z ma ( a) C C ma 7 7 ( a) ( b) ( b)

9 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [9] Iteraca Tablica implekwa zawieraąca rzwiązaie ptymale et atępuąca: B Zmiee / / B c bazwe / / / / / / c z /4 / / Rzwiązaie ie et całkwitliczbwe. Przechdzimy d iteraci. Iteraca Pzycą w bazie awiękze części ułamkwe przy wartści zmiee bazwe et (l=).. Rówaie bciaące zbiór X ależy wygeerwać z rówaia dla zmiee Rówaie t ma atępuącą ptać: Rzzerza tablica implekwa z rzwiązaiem ptymalym zadaia regulareg (-) z iteraci raz iteraca udpuzczaliaąca DLSX ą atępuące: B Zmiee / / B c bazwe / / / / / / / / c z /4 / / c z / y /6 l / / / / z c /4 /6 /4 Otrzymae w wyiku zatwaia DLSX rwiązaie ie et całkwitliczbwe. Należy prześć d klee iteraci.

10 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [] Iteraca Pzycą w bazie awiękze części ułamkwe przy wartści zmiee bazwe et teraz (l=). Klee rówaie bciaące zbiór X ależy wygeerwać z rówaia dla zmiee. Rówaie t ma atępuącą ptać: 4 4 Rzzerza tablica implekwa z rzwiązaiem ptymalym zadaia regulareg (-) z iteraci raz iteraca udpuzczaliaąca DLSX ą atępuące: B c Zmiee bazwe / / 4 / / / / 4 / / c z /4 /6 /4 c z / yl / / / c z /6 / Otrzymae w wyiku zatwaia DLSX rwiązaie et całkwitliczbwe. Kńczymy ptępwaie. Rzwiązaie kńcwe przykładweg zadaia PLC et atępuące: ma z Klee dcięcia zbiru X w algrytmie Gmry eg mża prześledzić a ryuku. B

11 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [] Kmetarz d ryuku. Pkazae a ryuku dcięcia i ą dwzrwaiami płazczyz dciaących z przetrzei -wymiarwe (>) a płazczyzę (przetrzeń R ). I tak 4 : ierówść et dwzrwaiem w przetrzei R ierówści dciaące (iteraca ) z przetrzei R 4 ierówść 5 et dwzrwaiem w przetrzei R ierówści dciaące (iteraca ) z przetrzei R 5. Ry.. Ilutraca dcięć zbiru X w algrytmie Gmry eg (dla przykładu 4) 4 Opiae przekztałceia wyka tradycyie ( ręczie ) wykrzytuąc ptaci kaicze mdeli zadaia regulareg (-) z kle dłączaymi zmieymi wbdymi raz rówaiami dcięć. Prce zadwaia dwrwań mża zautmatyzwać wykrzytuąc przekztałceia liiwe przetrzei wektrwe (pr. E.Żółtwka E.Prazińka J.Żółtwki Algebra liiwa Wydawictw ABSOLWENT Łódź rzdział II).

12 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [] Metda PODZIAŁU i OGRANICZEŃ (Brach & Bud Methd) Metda ie wymaga żadych załżeń dśie d parametrów zadaia PLC (-4). Dla uprzczeia piu zakładamy że zadaie plega a zadwaiu wartści awiękze fukci celu (makymalizaca). Jeżeli et dwrtie (miimalizaca) t mżymy fukcę celu przez (-) a p zakńczeiu ptępwaia e wartść ptymalą ależy pmżyć przez (-). D zadaia PLC (-4) dłączamy ddatkwe waruki (5). Waruki (5) ą graiczeiami widełkwymi dla zmieych t. arzucaą idywidualie zakre dpuzczalych wartści pzczególych zmieych. Ograiczeia (5) maą ptać: d g (5) Graice graiczeń widełkwych (5) t. parametry d raz g pwiy być liczbami całkwitymi. Naczęście przymue ię że dle graiczeia dla zmieych ą rówe zer (d =). Z klei dla górych graiczeń (g ) przymue ię dtateczie dużą całkwitą liczbę M (M>>). W eie gemetryczym dbór parametrów kreślaących dlą (d ) i górą (g ) wartść zmiee ( ) et taki że hiperprtpadłścia H geerway przez (5) pkrywa a pczątek zbiór rzwiązań dpuzczalych X zadaia regulareg (-) t. H X. W całym prceie bliczeiwym metdy pdziału i graiczeń rzwiązywae et zadaie regulare (-)(5). Z uwagi a graiczeia (5) wygdą metdą rzwiązywaia zadaia regulareg (-)(5) et zmdyfikwaa metda implek 5 (GUB; Geeral Upper Bud methd). Iteraca Ptępwaie rzpczyamy d rzwiązaia zadaia regulareg (-)(5). Jeżeli zadaie et przecze t kńczymy ptępwaie. Jeżeli rzwiązaie ptymale dae et w liczbach całkwitych t kńczymy ptępwaie. UWAGA!!! Jeżeli ptymala wartść akieklwiek zmiee et rówa rygiale (pczątkwe) wartści e góreg graiczeia (g ) t zadaie PLC (-4) ie piada kńczeg rzwiązaia ptymaleg. Jeżeli rzwiązaie ie pełia waruku całkwitliczbwści t przechdzimy d krku 4 w iteraci. 5 Mdyfikaca metdy implek plega tuta a tym że w tablicy implekwe przetwarzay et tylk układ graiczeń (). Ograiczeia (5) ą ktrlwae pza tablicą implekwą pprzez rzbudwaie kryterium ptymalści weścia i wyścia. Kmplikue t iezaczie am przepatrywaie rzwiązań ale rzmiary zadaia PL ą zdecydwaie mieze. Zwiękza t w eie umeryczym tabilść i dkładść prceu bliczeiweg. Z ppularych prgramów kmputerwych metdę GUB d rzwiązywaiu regularych zadań PL (-) wykrzytue pakiet WiStrm.

13 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [] Iteraca k (k) Klee krki każde iteraci ą atępuące.. Prządkwaie lity zadań. Z lity zadań uuwamy: zadaia uż pdziele zadaia przecze raz zadaia które maą wartść fukci celu miezą lub rówą wartści fukci celu zadań pełiaących waruki całkwitliczbwści. Pztałe a liście zadaia azywamy zadaiami aktywymi.. Sprawdzaie czy mża zakńczyć ptępwaie. Sprawdzamy czy itiee takie zadaie aktywe któreg rzwiązaie ptymale pełia waruki całkwitliczbwści a edcześie a liście ie ma żadeg ieg zadaia aktyweg lub wzytkie pztałe zadaia aktywe maą wartść fukci celu ie więkzą iż w takim zadaiu. Jeżeli itiee takie zadaie aktywe t kńczymy ptępwaie. Zadaie t geerue rzwiązaie ptymale zadaia PLC (-4). [UWAGA!!! Jeżeli ptymala wartść akieklwiek zmiee et rówa rygiale (pczątkwe) wartści e góreg graiczeia (g ) t zadaie PLC (-4) ie piada kńczeg rzwiązaia ptymaleg]. Jeżeli ie itiee takie zadaie aktywe t przechdzimy d kleeg krku.. Wybór zadaia d pdziału. Jak zadaie d pdziału wybieramy t zadaie które ma awiękzą wartść fukci celu i ie pełia waruków całkwitliczbwści. 4. Wybór zmiee wg które dkamy pdziału zadaia. Pdziału zadaia dkuemy zawze ze względu a dwlie wybraą zmieą która w rzwiązaiu ptymalym ie miała wartści całkwite (p.zmiea k ). Załóżmy że graiczeie widełkwe (5) dla te zmiee ma aktualie ptać: dk k gk. 5. Pdział zadaia. W wyiku pdziału zadaia z krku (zadaie matka ) pwtaą zawze dwa we zadaia (zadaie córka raz zadaie y ). Oba we zadaia ą kpiami zadaia dzieleg i różią ię wyłączie graiczeiem widełkwym dla zmiee k które mdyfikuemy atępuąc: dla pierwzeg z zadań ( córka ) przymuemy d ] k k [ k dla drugieg z zadań ( y ) przymuemy [ ] g. k k k W eie gemetryczym w zbirze rzwiązań dpuzczlych X zadaia matka wyciae et pam [ k ] k [ k ] c prwadzi d pdziału teg zbiru a dwa pdzbiry związae dpwiedi z zadaiami córka i y. 6. Rzwiązaie zadań z aktualeg pdziału. P rzwiązaiu bu wych zadań przechdzimy d klee iteraci

14 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [4] PRZYKŁAD 5 Rzważmy atępuące zadaie PLC: z 4 C C C (4) W celu rzwiązaia zadaia PLC metdą pdziału i graiczeń uzupełiamy graiczeia () zepłem ierówści widełkwych (5). ma Iteraca Ozaczeia zadań którymi będziemy pługiwali ię d kńca teg przykładu ą atępuące: Z r bieżący zadaia / r zadaia matki. Rzwiązuemy zadaie regulare (-)(5) i trzymuemy rzwiązaie ptymale: aktuale wartść graiczeia (5) Z / (5) 4 z ma Jak widać zadaie (-)(5) t. zadaie Z / ie et przecze i ma kńcze rzwiązaie ptymale. Rzwiązaie ptymale zadaia Z / ie et edak całkwitliczbwe. Przechdzimy d krku 4 w iteraci. d g () () () Iteraca Krk 4. Wybór zmiee wg które dkamy pdziału zadaia Z /. Zadaiem które ztaie pdziele et zadaie Z /. Zmiea względem które dkamy pdziału t zmiea =4. Krk 5. Pdział zadaia Z /. Dzielimy graiczeie widełkwe (5) dla zmiee które w zadaiu Z / wyglądał atępuąc:. W zadaiu córka (Z / ) będzie atępuące:

15 zadaie et przecze Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [5] [4] czyli 4 W zadaiu y (Z / ) będzie atępuące: [4]+ czyli 5 Krk 6. Rzwiązaie zadań z aktualeg pdziału t.zadań Z / i Z /. Rzwiązaia bu zadań ą atępuące: Z / wartść aktuale graiczeia (5) Z / wartść aktuale graiczeia (5) d g d g z ma z ma Przechdzimy d iteraci. Iteraca Krk. Prządkwaie lity zadań. Aktuala lita zadań et atępuąca: Z / z ma = rzwiązaie iecałkwitliczbwe Z / z ma = rzwiązaie iecałkwitliczbwe Z / zadaie et przecze. Uuwamy z lity zadaie Z / (uż pdziele) raz zadaie Z / (przecze). Uprządkwaa lita zadań t: Z / z ma = rzwiązaie iecałkwitliczbwe Krk. Sprawdzaie czy mża zakńczyć ptępwaie. Jedye a uprządkwae liście zadaie aktywe ie dae rzwiązaia w liczbach całkwitych. Należy prześć d kleeg krku. Krk. Wybór zadaia d pdziału. Wybieramy zadaie awiękze wartści fukci celu pśród zadań adaących ię d pdziału. Jet im zadaie Z /. Krk 4. Wybór zmiee wg które dkamy pdziału zadaia Z /. Zadaiem które ztaie pdziele et zadaie Z /. Zmiea względem które dkamy pdziału t zmiea =5. Krk 5. Pdział zadaia Z /. Dzielimy graiczeie widełkwe (5) dla zmiee które w zadaiu Z / wyglądał atępuąc:. W zadaiu córka (Z 4/ ) będzie atępuące: [5] czyli W zadaiu y (Z 5/ ) będzie atępuące: [5]+ czyli

16 Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [6] Krk 6. Rzwiązaie zadań z aktualeg pdziału t.zadań Z 4/ i Z 5/. Rzwiązaia bu zadań ą atępuące: Z 4/ wartść aktuale graiczeia (5) Z 5/ wartść aktuale graiczeia (5) d g d g z ma 75 z ma Przechdzimy d iteraci. Iteraca Krk. Prządkwaie lity zadań. Aktuala lita zadań et atępuąca: Z / z ma = rzwiązaie iecałkwitliczbwe Z 4/ z ma =75 rzwiązaie iecałkwitliczbwe Z 5/ z ma = rzwiązaie iecałkwitliczbwe. Uuwamy z lity zadaie Z / (uż pdziele). Uprządkwaa lita zadań t: Z 4/ z ma =75 rzwiązaie iecałkwitliczbwe Z 5/ z ma = rzwiązaie iecałkwitliczbwe. Krk. Sprawdzaie czy mża zakńczyć ptępwaie. Brak zadań aktywych rzwiązaiu w liczbach całkwitych. Należy prześć d kleeg krku. Krk. Wybór zadaia d pdziału. Wybieramy zadaie awiękze wartści fukci celu pśród zadań adaących ię d pdziału. Jet im zadaie Z 5/. Krk 4. Wybór zmiee wg które dkamy pdziału zadaia Z 5/. Zadaiem które ztaie pdziele et zadaie Z 5/. Zmiea względem które dkamy pdziału t zmiea =67. Krk 5. Pdział zadaia Z 5/. Dzielimy graiczeie widełkwe (5) dla zmiee które w zadaiu Z 5/ wyglądał atępuąc: 4. W zadaiu córka (Z 6/5 ) będzie atępuące: [67] czyli W zadaiu y (Z 7/5 ) będzie atępuące: [67]+ 4 czyli 4 4 Krk 6. Rzwiązaie zadań z aktualeg pdziału t.zadań Z 6/5 i Z 7/5. Rzwiązaia bu zadań ą atępuące:

17 zadaie et przecze Drta Mizczyńka Marek Mizczyńki KBO UŁ - Optymalizaca liiwa w liczbach całkwitych (PLC) [7] Z 6/5 wartść aktuale graiczeia (5) Z 7/5 wartść Aktuale graiczeia (5) d g d g 4 4 z ma z ma Przechdzimy d iteraci 4. Iteraca 4 Krk. Prządkwaie lity zadań. Aktuala lita zadań et atępuąca: Z 4/ z ma =75 rzwiązaie iecałkwitliczbwe Z 5/ z ma = rzwiązaie iecałkwitliczbwe Z 6/5 z ma = rzwiązaie całkwitliczbwe Z 7/5 zadaie przecze. Uuwamy z lity zadaie Z 5/ (uż pdziele) zadaie Z 4/ (ie da ię z ieg p pdziałach wygeerwać zadaia z wartścią fukci celu więkzą lub rówą ) raz zadaie Z 7/5 (przecze). Uprządkwaa lita zadań t: Z 6/5 z ma = rzwiązaie całkwitliczbwe Krk. Sprawdzaie czy mża zakńczyć ptępwaie. Lita zawiera ed zadaie z rzwiązaiem w liczbach całkwitych. Brak a ie zadań aktywych adaących ię d dalzeg pdziału. Rzwiązaiem ptymalym zadaia PLC (-4) et więc rzwiązaie zadaia Z 6/5. Kiec ptępwaia. Rzwiązaie kńcwe przykładweg zadaia PLC et atępuące: z ma