Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optyczne
|
|
- Daria Czech
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optycze Soczewka cieka - rówaie zlifierzy oczewek Rozważyy teraz dwie powierzchi ferycze oddzielające ośrodki o wpółczyikach załaaia kolejo i odległych od iebie o d. Niech proień krzywizy pierwzej powierzchi wyoi R, a drugiej - R. Przyjujey oczywiście, że obraz wytworzoy przez pierwzą powierzchię taowić będzie przediot dla powierzchi drugiej, a zate d. (4.) Tu pierwzy doly wkaźik, tak jak poprzedio, jet rówy zero dla przediotu, jede - dla obrazu, a drugi wkaźik ueruje powierzchie załaujące. Wzytkie odległości:,,,, ą liczoe względe, odpowiedio, puktu V lub V, tak jak dla pojedyczej powierzchi. Stoując dwukrotie rówaie pojedyczej powierzchi załaującej otrzyujey: + i R +. (4.) R Suując troai te dwa rówaia, uwzględiając związek d i grupując odpowiedie wyrazy zajdujey ( + ) ( ) ( ) + R R. (4.3) d Dla ciekiej oczewki d, a zate drugi wyraz po prawej troie rówaia (XXV.3) ożey zaiedbać i wtedy ozaczając i otrzyujey tzw rówaie zlifierzy oczewek : + R R. (4.4) 33
2 Z rówaia zlifierzy oczewek wyika, że obie ogikowe, przediotowa i obrazowa, będą obie rówe: f R R P f O f. (4.5) R R Dla oczewek zbierających f jet dodatie, (p dla oczewki dwuwypukłej, poieważ R jet ujee, zate i liczik i iaowik ą ujee i wzytko ię zgadza), dla rozprazających (p dwuwklęłych) ogikowa f będzie ujea. Rówaie oczewkowe Gaua i Newtoa Podtawiając wyrażeie (4.5) do rówaia zlifierzy oczewek (4.4) dotajey rówaie, które azywa ię rówaie oczewkowy Gaua: +. (4.6) f Z rówaia Gaua atychiat wyika, że dla oczewek rozprazających ( f < ), dla dowolego dodatiego (czyli dla dowolego przediotu rzeczywitego) ui być ujee (czyli obraz będzie zawze pozory i proty) itd. itp. Rówaie oczewkowe w iej potaci, tzw. rówaie oczewkowe Newtoa, wiąże ze obą ie wielkości; zaiat odległości przediotowej i obrazowej i wytępują w i odległości od odpowiedich puktów ogikowych, ozaczoe x i x. Potać taka jet czae wygodiejza, p dla grubych oczewek, kiedy łatwiej jet zierzyć bezpośredio odległości ogik, a pote przediotu i obrazu, od ajbliżzych powierzchi zewętrzych oczewki. Żeby otrzyać rówaie oczewkowe w potaci ewtoowkiej, podtawy do rówaia w potaci gauowkiej związki poiędzy odległościai gauowkii i ewtoowkii: x + f oraz x + f. Otrzyujey wtedy: x + + f x. (4.7) + f f Skąd przez prote przekztałceia zajdujey rówaie oczewkowe Newtoa: x. (4.8) x f Z rówaia (4.8) wyika bezpośredio, że zaki odległości ewtoowkich x i x uzą być jedakowe (obie dodatie, albo obie ujee, jedocześie), a zate przediot i jego 34
3 obraz uzą zajdować ię po przeciwych troach odpowiedich puktów ogikowych). Wyzaczaie biegu proiei dla oczewki ciekiej Do zalezieia obrazu przediotu oża toować etodę, podobą jak dla zwierciadła. Dla utaleia położeia obrazu wytarczy oczywiście wyzaczeie biegu dwóch dowolie wybraych proiei z wiązki padającej a układ. Najłatwiej jet wykorzytaie trzech proiei, których bieg w układzie optyczy oża łatwo zaleźć. Są to atępujące trzy proiei: ) proień główy ieodchyloy proień przechodzący przez środek krzywizy (dla pojedyczej powierzchi) lub środek oczewki (proień S O ); ) proień rówoległy - proień rówoległy do oi optyczej, po załaaiu przechodzi o przez ogiko obrazowe (proień S A); 3) proień ogikowy - proień przechodzący przez ogiko przediotowe, po załaaiu proień te poruza ię po torze rówoległy do oi optyczej (proień S F P ). Bieg dwóch pośród trzech wyliczoych wyżej proiei do puktu ich przecięcia (w przypadku obrazu pozorego ależy przedłużyć proieie wtecz ), wytarcza do zalezieia obrazu dowolego puktu. Powiękzeie poprzecze i podłuże obrazu utworzoego przez oczewkę cieką. Powiękzeie poprzecze T obrazu defiiujey w poób atępujący: T y y. (4.9) Przypoiy, że odległości powyżej oi optyczej liczyy jako dodatie, a poiżej jako ujee. Tak więc dla obrazu rzeczywitego T będzie zawze ujee ( i dodatie), a wartość bezwzględa oże być zarówo więkza jak iejza od. Porówując trójkąty S S F P i P OBF a także P P FO i O AOF zajdujey: T y y. (4.) x f f x 35
4 gdzie x P FO i x SFP ą odległościai przediotu i obrazu od odpowiedich ogik (ą to odległości ewtoowkie, które wprowadziliśy poprzedio). Powiękzeie podłuże obrazu L defiiujey jako: L d. (4.) d dx dx Korzytając z rówaia Newtoa ( x x ) otrzyujey f dx / x, a zate dx f / dx f. (4.) L T dx x Z rówaia (4.) wyika, że po pierwze, ubytko x towarzyzą przyroty x (trzałka kierowaa do oczewki zotaie odwzorowaa w trzałkę kierowaą od oczewki), a po drugie, że oba powiękzeia ą róże; oża więc oczekiwać dytorji obrazu, zczególie wtedy, gdy oczekujey dużych powiękzeń lub poiejzeń. Soczewki grube i układy złożoe Rozpatrując oczewki grube i złożoe układy optycze (kładające ię z kilku oczewek, ciekich lub grubych) przyjiey za Möbiue i Gaue (bez dowodu), że dowoly układ optyczy oża opiać przy poocy protego odelu, w który zakłada ię, że załaaie proiei wiązki światła w układzie zachodzi tylko i wyłączie w dwóch tzw. płazczyzach główych protopadłych do oi optyczej i zlokalizowaych a ogół wewątrz układu. Właości płazczyz główych ą atępujące:. Rówoległa do oi optyczej wiązka światła padająca a układ z jedej troy wychodzi z układu z drugiej troy kupiając ię w ogiku odległy o ogikową f od drugiej płazczyzy główej i, aalogiczie, rówoległa wiązka światła padająca a układ z drugiej troy, wychodzi z układu po przeciwej troie kupiając ię w ogiku odległy o tę aą odległość ogikową f od pierwzej płazczyzy główej.. Rozbieża wiązka proiei wychodząca z jedego z ogik układu opuści układ po przeciwej troie jako wiązka rówoległa. 36
5 3. Jeżeli odległości przediotową i obrazową będziey ierzyć od, odpowiedio, pierwzej i drugiej płazczyzy główej, to rówaie opiujące relację poiędzy tyi wielkościai i ogikową f będzie iało potać: +. f Dla oczewki ciekiej obie płazczyzy główe pokrywają ię, dla oczewek grubych płazczyzy te ą zlokalizowae w pobliżu zewętrzych powierzchi oczewki, a dla układu optyczego kładającego ię z kilku oczewek zajdują ię, odpowiedio, w pobliżu pierwzej powierzchi pierwzej oczewki i drugiej powierzchi otatiej oczewki w układzie. Dla oczewki grubej pukty przecięcia płazczyz główych z oią optyczą, tzw pukty główe, powiy zate być zlokalizowae iezbyt daleko od puktów wierzchołkowych. Właości ogikujące (obrazujące) układu optyczego ą całkowicie wyzaczoe przez położeia płazczyz główych i ogik tego układu. Zajoość położeń płazczyz główych i ogik przediotowego i obrazowego, pozwala zaleźć bieg proiei rówoległego i ogikowego, a zate pozwala a zalezieie położeia obrazu. Warto jezcze raz podkreślić, że chociaż rzeczywity przebieg proiei w układzie kładający ię z wielu oczewek oże być zaczie bardziej koplikoway, to jedak położeie obrazu zalezioe czy to etodą wytyczaia biegu proiei, czy dzięki zatoowaiu rówaia Gaua w oparciu o zajoość położeń płazczyz główych i ogik, będzie odpowiadało rzeczywitości. Lupa (zkło powiękzające) Najprotzy układe optyczy jet pojedycza oczewka kupiająca, która oże łużyć jako zkło powiękzające czyli tzw. lupa. Poieważ lupa łuży jako przyrząd optyczy wpoagający oko ludzkie zacziey od rozważań ad powiękzeie przediotów oglądaych przez ieuzbrojoe oko. Jak pokazao a ryuku otre widzeie przediotów zajdujących ię w różej odległości od oka wyaga dopaowaia ogikowej tak, by obraz wypadał zawze a iatkówce (akoodacja oka). Poieważ wielkość obrazu a iatkówce oka rośie z alejącą odległością przediotu od oka wprot proporcjoalie do kąta widzeia przediotu, korzytie jet oglądać przedioty z blika. Powiękzeie dla trzech przypadków pokazaych a ryuku oiąga ajwiękzą wartość dla przypadku c), gdy przediot zajduje ię ajbliżej oka. Nietety dla tego 37
6 przypadku (odległość przediotu od oka iejza iż pewa iiala odległość a którą pozwala zdolość akoodacji oka, tzw. odległość dobrego widzeia) obraz jet duży ale ieotry. Przyjuje ię, że odległość dobrego widzeia (róża dla różych ludzi) wyoi średio około 5 c. Na ryuku iżej przedtawioo zaadę działaia lupy. Przediot, który z odległości dobrego widzeia ( L ) jet widziay pod kąte, oże być, dzięki lupie, widziay pod zaczie więkzy kąte. Chociaż przediot zajduje ię teraz bliżej oka (w odległości + l ), ie a probleu z akoodacją, gdyż jego pozory obraz, wytworzoy przez lupę i widziay przez oko, zajduje ię w odległości L, która powia być ie iejza iż odległość dobrego widzeia L. Ozaczy odległość przediotu od lupy przez, odległość obrazu pozorego od lupy przez, odległość lupy od oka przez l, a ogikową lupy przez f. Powiękzeie kątowe obrazu oglądaego przez lupę określay jako:. (4.3) Wprowadzając ozaczeia h i H a wyokość przediotu i jego obrazu pozorego ay dalej (w przybliżeiu ałych kątów: tg H / L i tg h / L ): H L L H L, (4.4) L h L h L gdzie zak iu zabezpiecza dodatią wartość powiękzeia kątowego dla obrazu pozorego i protego ( ujee). Korzytając z rówaia Gaua (4.6) otrzyujey: 38
7 Wielkość L L L ( ) L L f L f. (4.5) D / f azywa ię ocą optyczą oczewki. Poieważ L + l ze wzoru (4.5) zajdujey: ( ujee) L L L l l + L + D. (4.6) L f L f L L Ze wzoru (4.6) wyika, że akyale powiękzeie kątowe wytępuje przy iialej odległości lupy od oka. A zate kładziey w (4.6) l i otrzyujey: Z wyrażeia (4.7) wiokujey, że powiękzeie kątowe L L + D L D + L. (4.7) L jet zawarte poiędzy (dla iekończoej odległości obrazu od lupy, przediot w ogiku, wobode oko) i ( L D + ) (dla obrazu zajdującego ię w odległości dobrego widzeia L od oka). Dla typowej lupy o ocy optyczej rzędu +D (ogikowa c) powiękzeie kątowe będzie w taki razie zawarte poiędzy.5 i 3.5 co odpowiada oberwacji bezpośrediej przediotu (przez oobę bez wad wzroku) z odległości 7 do c. Pryzaty i dyperja światła D L Zjawiko dyperji światła jet związae z zależością prędkości światła, a zate i wpółczyika załaaia c / υ, od długości fali świetlej. Zjawiko to taowi podtawę działaia przyrządów pektralych wykorzytujących pryzaty. Zaada działaia pryzatu jet przedtawioa a ryuku. Poieważ kat odchyleia ε proieia wychodzącego z pryzatu po dwukroty załaaiu a powierzchiach pryzatu zależy od kata łaiącego pryzatu δ i od wpółczyika załaaia światła ateriału, z którego wykoao pryzat, a z kolei wpółczyik załaaia światła zależy od długości fali świetlej, pryzat twarza ożliwość przetrzeego rozdzieleia światła o różych barwach. Ozacza to, ze za poocą pryzatu ożey wyzaczyć ilościowo zawartość w widie badaej wiązki światła różych jego kładowych pektralych. Stad takie przyrządy ozą azwę przyrządów pektralych (pektru ozacza wido). Newto był pierwzy, który wykorzytał w te poób pryzat i zadeotrował, ze światło białe kłada ię ze światła o wzytkich barwach, od fioletowej, 39
8 iebiekiej poprzez zieloą, żółtą, do czerwoej. Udowodiy, ze kąt odchyleie proieia przechodzącego przez pryzat ε jet iialy gdy proień świetly przechodzi przez pryzat yetryczie, tz. gdy kat jet rówy katowi β. Kat odchyleia proieia ε jet kate zewętrzy w odpowiedi trójkącie, a zate ε β ) + ( β ). Poieważ ( Ze wzoru (4.8) wyika, że δ + (kąt δ jet kate zewętrzy β w iy trójkącie) ay otateczie: dβ ε + β δ. (4.8) d ε d +, (4.9) czyli ziaa kąta ε jet rówa uie zia katów i β (kąt δ jet tały). Kąt ε będzie iialy, jeżeli d ε d + dβ. (4.) Zajdziey ziay kątowe d i d β, korzytając z prawa załaaia Sella i i β i i β i. (4.) Różiczkując wzory (4.) otrzyujey co co d β dβ i co β dβ co d Eliiując z rówań (4.) wpółczyik załaaia otrzyujey:. (4.) dβ co co co d d. (4.3) co β co β co β dβ d Poieważ δ + β, a zate d dβ Po uwzględieiu (4.4), wzór (4.3) ożey zapiać w potaci:. (4.4) co co d β d. (4.5) co β co β Po podtawieiu (4.5) do wzoru (4.) otrzyujey: 4
9 Rówaie (4.6) będzie pełioe, jeżeli co co d ε d + dβ d ( ). (4.6) co β co β β oraz β, (4.7) czyli dla yetryczego przechodzeia proieia przez pryzat. Ozacza to, ze kat odchyleia przyjuje w takich warukach wartość iialą. Wykorzytując wzór (4.8), ε + β δ, dla yetryczego przechodzeia proieia przez pryzat ay ε + δ + β β. Dalej ze wzoru δ + β zajdujey δ + β. A zate i β i ε + δ i δ i. (4.8) Skąd po otateczie otrzyujey rówaie pryzatu: ε + δ i δ i. (4.9) Przypoiy, że w rówaiu ty jet wpółczyikie załaaia ateriału pryzatu, a ε i δ ą odpowiedio, kate ajiejzego odchyleia i kate łaiący pryzatu. Dla ciekiego pryzatu kąty ε i δ ą ieduże i rówaie (4.9) przyjuje, w przybliżeiu, protzą potać: ε + δ δ, kąd ε δ ( ). (4.3) Z rówań (4.9) i (4.3) wyika, ze wielkość rozzczepieia proiei odpowiadających światłu o różych barwach będzie zależą od różicy wartości wpółczyika załaaia dla odpowiedich długości fali. Dyperją średią azywa ię różice wpółczyików załaaia dla światła iebiekiego F ( λ 485 ) i czerwoego C ( λ 656 ). Z kolei refrakcją dla daego ateriału azywa ię wielkość ( D ), gdzie D jet wpółczyikie załaaia dla długości fali odpowiadającej żółtej liii odu (589 ). Wielkość: F D C (4.3) 4
10 azywa ię dyperją względą albo zdolością rozzczepiającą. Dyperja orala i aoala Częto azywa ię dyperją zależość wpółczyika załaaia od długości fali światła, chociaż bardziej poprawie dyperją azywa ię pochoda wpółczyika załaaia względe długości fali d / dλ. Pierwza próba aalityczego opiu zależości wpółczyika załaaia od długości fali światła zapropoował Cauchy (836 r): B C ( λ ) A , (4.3) λ λ gdzie A, B, C ą tałe, charakteryzujące day ateriał. Wzór Cauchy ego (4.3) opiuje tzw. dyperję oralą (wpółczyik załaaia aleje ze wzrote długości fali λ ). Okazuje ię, że dla każdego ateriału itieje jedak pewie zakre długości fali, w który wpółczyik załaaia rośie ze wzrote długości fali. W zakreie ty, zway obzare dyperji aoalej, wzór Cauchy ego ie jet łuzy. Wytłuaczeie wytępowaia obu rodzajów dyperji wyaga wiedzy z fizyki atoowej, a zate ikrokopowe rozważaie zjawik dyperji odłożyy do dalzych wykładów. Korzytając ze wzoru (4.3) ( ε δ ( ) ) oraz wzoru (4.3), łatwo ożey wyliczyć wielkość ziay kata odchyleia proieia z długością fali światła (a jedotkę długości fali): dε dλ d B 4C δ B δ δ (4.33) dλ λ λ λ Rówaie (4.33) pokazuje, że wzrote długości fali kat odchyleia aleje, jedak aleje ty woliej i więkza jet wartość długości fali światła. Stouek wartości dyperji, a przykład, dla światła o długości fali 4 i 8 (odpowiadających z grubza zakreowi światła widzialego), wyoi około 8, co ozacza, ze w obzarze światła iebiekiego rozzczepieie światła przechodzącego przez pryzat i ierzoe wielkością d ε / dλ, jet 8 razy więkze iż w obzarze światła czerwoego. Warto zwrócić uwagę, ze wielkość wpółczyika załaaia zależy od wartości tałych A i B, atoiat dyperja d / dλ ie zależy od tałej A. Zate duża wartość wpółczyika załaaia (duża wartość A) ie jet warukie koieczy dla uzykaia dużej wartości dyperji. 4
Wykład 25 Soczewki. Przyrządy optyczne
Wykład 5 Soczewki. Przyrządy optycze Soczewka cieka - rówaie oczewek Rozważyy teraz dwie powierzchi erycze oddzielające ośrodki o wpółczyikach załaaia kolejo i odległych od iebie o d. Niech proień krzywizy
Bardziej szczegółowosin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin,
Wykład XI Elemety optycze II pryzmat kąt ajmiejszego odchyleia powierzchia serycza tworzeie obrazów rówaie soczewka rodzaje rówaia szliierzy i Gaussa kostrukcja obrazów moc optycza korekcja wad wzroku
Bardziej szczegółowoMetody Optyczne w Technice. Wykład 3 Optyka geometryczna
Metody Optycze w Techice Wykład 3 Optyka geometrycza Promień świetly Potraktujmy światło jako trumień czątek eergii podróżujących w przetrzei Trajektorie takich czątek to promieie świetle W przypadku wiązki
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 4 ze Statystyki
Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.
Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,
Bardziej szczegółowoProjekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji
Bardziej szczegółowoOPTYKA GEOMETRYCZNA I INSTRUMENTALNA
00-BO5, rok akademicki 08/9 OPTYKA GOMTRYCZNA I INSTRUMNTALNA dr hab. Raał Kasztelaic Wykład 5 Bieg promiei przez powierzchię Przedmiot w ieskończoości 3 Odległość przedmiot-obraz D = a + b d = D a = b
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoELEMENTY OPTYKI GEOMETRYCZNEJ
ELEMENTY OPTYKI GEOMETRYCZNEJ Optyka to dział fizyki, zajmujący się badaiem atury światła, początkowo tylko widzialego, a obecie rówież promieiowaia z zakresów podczerwiei i adfioletu. Optyka - geometrycza
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoW(s)= s 3 +7s 2 +10s+K
PRZYKŁAD (LINIE PIERWIASTKOWE) Tramitacja operatorowa otwartego układu regulacji z jedotkowym ujemym przęŝeiem zwrotym daa jet wzorem: G O K ( + )( + 5) a) Podaj obraz liii pierwiatkowych układu zamkiętego.
Bardziej szczegółowo4. PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE I NAPIĘCIOWE
4. PRZEŁDN PRĄDOWE NPĘOWE 4.. Wstęp 4.. Przekładiki prądowe Przekładikie prądowy prądu zieego azywa się trasforator przezaczoy do zasilaia obwodów prądowych elektryczych przyrządów poiarowych oraz przekaźików.
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA SZKŁA ZA POMOCĄ SPEKTROMETRU
ĆWICZENIE 76 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA SZKŁA ZA POMOCĄ SPEKTROMETRU Cel ćwiczenia: pomiar kąta łamiącego i kąta minimalnego odchylenia pryzmatu, wyznaczenie wpółczynnika załamania zkła w funkcji
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoNumeryczny opis zjawiska zaniku
FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoλ = 92 cm 4. C. Z bilansu cieplnego wynika, że ciepło pobrane musi być równe oddanemu
Odpowiedzi i rozwiązania:. C. D (po włączeniu baterii w uzwojeniu pierwotny płynie prąd tały, nie zienia ię truień pola agnetycznego, nie płynie prąd indukcyjny) 3. A (w pozotałych przypadkach na trunie
Bardziej szczegółowoPodstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 (09.05.2007) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny
odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki olitechika Białostocka - Wydział Elektryczy Elektrotechika, seestr II, studia stacjoare Rok akadeicki 006/007 la wykładu r 9 Obliczaie liczby π etodą
Bardziej szczegółowoLaboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1
1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych
Bardziej szczegółowoChemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowoVII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.
KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoMechanika analityczna wprowadzenie
Mechaika aalitycza wprowadzeie 1. Więzy i wpółrzęde uogólioe Jeśli rozważamy ruch układów iewobodych ależy określić ograiczeia ałożoe a ruch tzw. więzy. Gdy układ puktów jet ograiczoy więzami wówcza wpółrzęde
Bardziej szczegółowoSPRĘŻYNA DO RUCHU HARMONICZNEGO V 6 74
Pracownia Dydaktyki Fizyki i Atronoii, Uniwerytet Szczecińki SPRĘŻYNA DO RUCHU HARMONICZNEGO V 6 74 Sprężyna jet przeznaczona do badania ruchu drgającego protego (haronicznego) na lekcji fizyki w liceu
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoRynek funduszu inwestycyjnych RYNEK. Liczba FI działających w Polsce. Lokaty funduszy inwestycyjnych 2015-05-17. Liczba TFI i FI działających w Polsce
199 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 1 3 4 5 6 7 8 9 1 15-5-17 11 1 13 Liczba TFI i FI działających w Polce yek uduzu iwetycyjych YNEK 7 6 5 4 3 1 416 364 71 79 313 194 81 94 11 11 144 6 1 1 1 3 7 1
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Bardziej szczegółowoOptyka kurs wyrównawczy optyka geometryczna przyrządy optyczne, aberracje. 2011 r.
Optyka kurs wyrówawczy optyka geometrycza przyrządy optycze, aberracje 0 r. Przyrządy do obserwcji okiem Gdy obserwujemy okiem, to waże jest powiększeie kątowe Powiększeie liiowe w przypadku teleskopu
Bardziej szczegółowoBlok 4: Dynamika ruchu postępowego. Równia, wielokrążki, układy ciał
Blok 4: Dynaika ruchu potępowego Równia, wielokrążki, układy ciał I Dynaiczne równania ruchu potępowego Chcąc rozwiązać zagadnienie ruchu jakiegoś ciała lub układu ciał bardzo częto zaczynay od dynaicznych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do laboratorium 1
Wprowadzeie do laboratorium 1 Etymacja jedorówaiowego modelu popytu a bilety loticze Etapy budowy modelu ekoometryczego Specyfikacja modelu Zebraie daych tatytyczych Etymacja parametrów modelu Weryfikacja
Bardziej szczegółowoW wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch
Wykład 5 PŁASKI ZADANI TORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski sta arężeia W wielu rzyadkach zadaie teorii srężystości daje się zredukować do dwóch wymiarów Przykładem może być cieka tarcza obciążoa siłami działającymi
Bardziej szczegółowoAnaliza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego
doi:1.15199/48.215.4.38 Eugeiusz CZECH 1, Zbigiew JAROZEWCZ 2,3, Przemysław TABAKA 4, rea FRYC 5 Politechika Białostocka, Wydział Elektryczy, Katedra Elektrotechiki Teoretyczej i Metrologii (1), stytut
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Wykład FIZYKA I. Kiemayka puku maerialego Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Isyu Fizyki Poliechiki Wrocławskiej hp://www.if.pwr.wroc.pl/~woziak/fizyka1.hml Dr hab. iż.
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO
Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoAnaliza gazów spalinowych
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Aaliza gazów iowych Laboratorium mierictwa (M 7) Opracował: dr iż. Grzegorz Wiciak Sprawdził:
Bardziej szczegółowoZadania do rozdziału 3. Zad.3.1. Rozważmy klocek o masie m=2 kg ciągnięty wzdłuż gładkiej poziomej płaszczyzny
Zadania do rozdziału 3. Zad.3.1. Rozważy klocek o aie kg ciągnięty wzdłuż gładkiej pozioej płazczyzny przez iłę P. Ile wynoi iła reakcji F N wywierana na klocek przez gładką powierzchnię? Oblicz iłę P,
Bardziej szczegółowoOBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD
OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie
Bardziej szczegółowoTRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET
POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE- TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ
Ć w i c z e i e 6 WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE- TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ 6.1 Opis teoretyczy W ośrodkach sprężystych wytrąceie pewego obszaru z położeia rówowagi powoduje drgaia wokół tego położeia.
Bardziej szczegółowoObliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoOdbicie fali od granicy ośrodków
FOTON 8, Jesień 0 33 Odbicie fali od graicy ośrodków Jerzy Giter Uiwersytet Warszawski Kiedy światło się odbija? Zamy doskoale zjawisko załamaia światła a graicy dwóch ośrodków o różych współczyikach załamaia.
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki. 1. Jakie mogą być oddziaływania ciał? 2. Co dzieje się z ciałem, na które nie działają żadne siły?
Zaady dynaiki. 1. Jakie ogą być oddziaływania ciał? Świat jet pełen rozaitych ciał. Ciała te nie ą od iebie niezależne, nieutannie na iebie działają. Objawy tego działania, czy też, jak ówią fizycy, oddziaływania
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych dla iewidomych POZIOM PODSTAWOWY Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 4 6 7
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,
PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA Ruch cząstki ieograiczoy z klasyczego puktu widzeia W tym przypadku V = cost, przejmiemy V ( x ) = 0, cząstka porusza się wzdłuż osi x. Rozwiązujemy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoPOMOCNIK GIMNAZJALISTY
POMOCNIK GIMNAZJALISTY ważne wzory i definicje z fizyki opracowała gr Irena Keka KLASA I... 3 I. WIADOMOŚCI WSTĘPNE... 3 II. HYDROSTATYKA I AEROSTATYKA... 4 Klaa II... 5 I. KINEMATYKA... 5 II. DYNAMIKA...
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 39 KLOCEK I WALEC NA RÓWNI POCHYŁEJ - STATYKA.
Ćwiczenie 39 KLOCEK WALEC A ÓW POCHYŁEJ - SAYKA. 39... Wiadoości ogólne Zjawiko tarcia jet jedny z najbardziej rozpowzechnionych w nazej codziennej rzeczywitości. W świecie w jaki żyjey tarcie jet dołownie
Bardziej szczegółowoPorównanie dwu populacji
Porówaie dwu populacji Porówaie dwóch rozkładów ormalych Założeia:. X ~ N( m, σ ), X ~ N( m, σ ), σ σ. parametry rozkładów ie ą zae. X, X ą iezależe. Ocea różicy między średimi m m m m x x (,...) H 0 :
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH
WYKŁAD 3 DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH UKŁAD PUNKTÓW MATERIALNYCH zbiór skończoej liczby puktów materialych o zadaej kofiguracji przestrzeej. Obłok Oorta Pas Kupiera Pluto Neptu Ura Satur Jowisz
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowo, gdzie b 4c 0 oraz n, m ( 2). 2 2 b b b b b c b x bx c x x c x x
Meody aeaycze w echologii aeriałów Uwaga: Proszę paięać, że a zajęciach obowiązuje akże zajoość oówioych w aeriałach przykładów!!! CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH Fukcją wyierą azyway fukcję posaci P ( )
Bardziej szczegółowoZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Fizyka i astronomia Poziom podstawowy
RYTERIA OCENIANIA ODPOIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Fizyka i atronoia Pozio podtawowy Litopad 03 niniejzy cheacie oceniania zadań otwartych ą prezentowane przykładowe poprawne odpowiedzi. tego typu ch
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie
Bardziej szczegółowoPrawo odbicia i załamania. Autorzy: Zbigniew Kąkol Piotr Morawski
Prawo odbicia i załamaia Autorzy: Zbigiew Kąkol Piotr Morawski 207 Prawo odbicia i załamaia Autorzy: Zbigiew Kąkol, Piotr Morawski Jeżeli światło pada a graicę dwóch ośrodków, to ulega zarówo odbiciu a
Bardziej szczegółowos Dla prętów o stałej lub przedziałami stałej sztywności zginania mianownik wyrażenia podcałkowego przeniesiemy przed całkę 1 EI s
Wprowadzenie Kontrukcja pod wpływem obciążenia odkztałca ię, a jej punkty doznają przemiezczeń iniowych i kątowych. Umiejętność wyznaczania tych przemiezczeń jet konieczna przy prawdzaniu warunku ztywności
Bardziej szczegółowoDlaczego ekonomiści głównego nurtu mogą ignorować czas?
Dlaczego ekoomiści główego urtu mogą igorować cza? Autor: Wojciech Czariecki Poczyając od Joh B. Clarka w główym urcie ekoomii przyjął ię pogląd, że kapitał taowi permaety, homogeiczy fuduz, w którym dobra
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia optyki geometrycznej. c prędkość światła w próżni v < c prędkość światła w danym ośrodku
Optyka geometrycza Podstawowe pojęcia optyki geometryczej Bezwzględy współczyik załamaia c prędkość światła w próżi v < c prędkość światła w daym ośrodku c v > 1 Aksjomaty Światło w ośrodku jedorodym propaguje
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz puktowaia
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU
Bardziej szczegółowo