KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (ZT) (minimalizacja łącznych kosztów transportu)

Transkrypt

1 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania peracyne (wykład 4 _KT) [1] KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (ZT) (inializaca łącznych ksztów transprtu) D klasycznych zagadnień decyzynych należy prble znadwania natańszeg prgrau przewzweg ednrdneg dbra piędzy punktai nadania (nadawcy, dstawcy) i punktai dbiru (dbircy). Oznaczenia: - ilść dbra przewżna na trasie (i,) (i=1,2,...,; =1,2,...,n) a i - zasób dbra w i-ty punkcie nadania (i=1,2,...,) b - zaptrzebwanie na dbr w -ty punkcie dbiru (=1,2,...,n) c - kszt przewzu ednstki dbra na trasie (i,) r - przepustwść trasy (i,), tzn. 0 r Wielkści są ziennyi decyzynyi ZT. Pzstałe - paraetrai.

2 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania peracyne (wykład 4 _KT) [2] Załżenia ZT: 1. przewżne dbr est ednrdne 2. pdaż est nie niesza niż ppyt, t. a n i1 i 1 b 3. przepustwści tras są niegraniczne, t. r (i=1,2,...,; =1,2,...,n) Klasyfikaca ZT: twarte, gdy pdaż przewyższa ppyt : a n i i b 1 1 zaknięte, gdy pdaż est równa ppytwi : a n i i b 1 1 Każde twarte ZT żna przekształcić w zaknięte pprzez rzszerzenie listy punktów dbiru ddatkwy n+1 punkt, któreg zaptrzebwanie est równe różnicy piędzy pdażą a ppyte b a b n 1 i 1 i 1 Dale będziey zate rzważać wyłącznie zaknięte ZT. Mdel decyzyny (ZT zaknięte) n (1) K ( X ) c in (łączne kszty transprtu) i 1 1 n (2) (3) (4) n ai i 12,,..., 1 b 12,,..., n i1 0 i 12,,..., 12,,..., n (bilanse dla punktów nadania) (bilanse dla punktów dbiru) Mdel decyzyny ZT (1-4) est liniwy dele decyzyny. Mże być rzwiązywany etdai rzwiązywania zadań PL. Użycie etdy sipleks est tuta pprawne, ale nieefektywne.

3 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania peracyne (wykład 4 _KT) [3] Z zagadnienie (1)-(4) wiąże się kilka przydatnych twierdzeń. Twierdzenie 1 Jeżeli ai (i=1,2,...,) raz b (=1,2,...,n) są liczbai nieuenyi t zagadnienie transprtwe (1)-(4) a zawsze rzwiązanie. Twierdzenie 2 Jeżeli ai (i=1,2,...,) raz b (=1,2,...,n) są liczbai całkwityi, t każde dpuszczalne rzwiązanie bazwe zagadnienia transprtweg przyue również wartści całkwite. Twierdzenie 3 W układzie równań (2)-(3) zawsze edn równanie, dwlnie wybrane spśród +n równań, est liniwą kbinacą pzstałych +n-1 równań. Wnisek 1: wyiar bazy w zagadnieniu transprtwy wynsi +n-1 Wnisek 2: w rzwiązaniu dualny, sprzężny z dwlny dpuszczalny rzwiązanie bazwy zadania PL (1)-(4), przynanie edna ze składwych est zawsze równa zer. Wnisek 3: niezdegenerwane rzwiązanie bazwe zagadnienia (1)-(4) psiada +n-1 niezerwych składwych. Wnisek 4: ednznaczny ptyalny prgra przewzwy wykrzysta nie więce niż +n-1 spśród gólne liczby n tras przewzwych. PRZYKŁAD Dane d przykładweg ZT w frie tabelaryczne. O1 O2 O3 O4 pdaż D D D Ppyt Częst sptykany zapis infraci paraetrach ZT w frie acierzwe C 34 c ai a b b Zapis rzwiązania ptyalneg ZT X K in

4 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania peracyne (wykład 4 _KT) [4] Mdel decyzyny dla przykładweg ZT K = in = = = = = = = , 12 0, 13 0, 14 0, 21 0, 22 0, 23 0, 24 0, 31 0, 32 0, 33 0, 34 0

5 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania peracyne (wykład 4 _KT) [5] KLASYCZNY ALGORYTM TRANSPORTOWY (KAT) u i - zienna dualna związana z bilanse (2) dla i-teg punktu nadania (i=1,2,...,) v - zienna dualna związana z bilanse (3) dla -teg punktu dbiru (=1,2,...,n) Mżna wykazać, że wskaźnik ptyalnści przedstawić ak: (5) c u i v dla zienne i=1,2,..., ; =1,2,...,n W KAT wskaźniki ptyalnści będziey liczyli c z uwagi na pdwóne indekswanie ziennych: c z. da się, a ściśle z Prste uzasadnienie wzru (5) znaleźć żna. in. w pracy: Ireneusz Nykwski, Prgrawanie Liniwe, PWE, Warszawa, 1980, ss Interpretaca w KAT: Jeżeli w aktualny prgraie przewzwy pawiłby się przewóz na trasie (i,), t każda ednstka dbra przewżna na te trasie pwdwałaby zianę łącznych ksztów transprtu ednstek (przy 0 byłby t spadek łącznych ksztów, a przy 0 - wzrst).

6 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania peracyne (wykład 4 _KT) [6] Wyznaczanie wskaźników ptyalnści w KAT Na t, aby wyznaczyć wskaźniki ptyalnści dla aktualneg bazweg n prgrau przewzweg należy wyliczyć wartści wszystkich ziennych dualnych u i raz v. D teg celu wykrzystue się własnść, że dla ziennych bazwych (tras z przewzai) 0. Takich ziennych est n 1. Mżna zate sknstruwać układ n 1 równań z n niewiadyi u i raz v i ednstkwyi ksztai transprtu c ak wyrazai wlnyi: u v c dla i, : 0 (6) i Jest t układ równań z 1 stpnie swbdy. Układ równań (6) rzwiązuey wykrzystuąc twierdzenie 3 (wnisek 2), t. na dwlnie wybraną zienną u i lub v kładziey wartść zer i rzwiązuey układ n 1 równań z n 1 niewiadyi. Scheat pstępwania w KAT

7 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania peracyne (wykład 4 _KT) [7] Krk [1] - ustal pczątkwy prgra przewzwy Rzwiązanie pczątkwy że dwlny prgra przewzwy, który a cechę rzwiązania dpuszczalneg (spełnine będą równania (2) i (3)) raz cechę rzwiązania bazweg (liczba tras na których wystąpi przewóz nie przekrczy liczby n 1). Ppularnyi etdai generwania takich rzwiązań są: etda kąta półncn-zachdnieg (NW crner) raz etda inialneg ksztu w acierzy C Krk [2] - sprawdź czy aktualny prgra przewzwy est ptyalny Kryteriu ptyalnści. Aktualne rzwiązanie uznay za ptyalne eżeli dla wszystkich tras niebazwych spełniny będzie warunek (7) u i v 0 c i=1,2,..., ; =1,2,...,n Krk [3] - wyznacz trasę daącą nawiększą bniżkę ksztów Kryteriu weścia. Spśród tras niebazwych, dla których wskaźnik ptyalnści est ueny wybieray trasę daącą nawiększą ednstkwą bniżkę ksztów. Niech będzie t trasa k, l taka, że: (8) kl in i 1,2,, ; 1,2, n 0 Krk [4] - zbudu cykl kryguący przewzy Cykl kryguący przewzy buduey w tabeli (acierzy) rzwiązań. Budwa cyklu kryguąceg składa się z trzech działań. k, wytypwany w krku [3] i traktu dale t ple ak ple bazwe 2. Wykreśla sekwencynie wiersze i kluny, które zawieraą p edny nieskreślny plu bazwy. P skńczne ilści skreśleń pzstaną zawsze c nanie dwa nieskreślne wiersze i dwie nieskreślne kluny. 3. Przypisz znak "+" lub "" wszystki pl bazwy leżący w nieskreślnych wierszach i klunach. Przypisywanie znaków usi być prwadzne tak, aby w każdy wierszu i klunie gdzie się pawił się znak "+" lub "" istniał znak przeciwny d nieg. Wygdnie est zacząć zawsze d pla k, l gdzie wcześnie pstawin uż znak Pstaw znak "+" na plu l

8 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania peracyne (wykład 4 _KT) [8] Krk [5] - ustal aksyalny przewóz na trasie ustalne w [3] Kryteriu wyścia. Ustalay przewóz na trasie k, l wytypwane w krku [3] raz trasę, którą usuniey z listy tras bazwych. Oznaczy: + - zbiór tras bazwych znacznych w cyklu znakie "+ - zbiór tras bazwych znacznych w cyklu znakie "" Bazę (ściśle: listę ziennych bazwych) puści zienna bazwa należąca d zbiru, która a nanieszą wartść. Niech będzie t zienna związana z trasą r, s: (8) rs in Krk [6] - skrygu prgra przewzwy wzdłuż cyklu Przeście d sąsiednieg rzwiązania bazweg. Nwy (pprawiny) prgra przewzwy X wyznacza się następuąc: (9) ' ' ' dla dla dla i, i, i, raz i,

9 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania peracyne (wykład 4 _KT) [9] Klasyczne zagadnienie transprtwe (dane d przykładu) kszty O1 O2 O3 O4 pdaż D D D ppyt Rzwiązanie pczątkwe (etda kąta półncn-zachdnieg) przewzy O1 O2 O3 O4 pdaż D1 100 D2 140 D3 110 ppyt Ocena rzwiązania pczątkweg v1 v2 v3 v4 wartści ziennych u i u1 0 u2 u3 wartści ziennych v Rzwiązanie pprawine przewzy O1 O2 O3 O4 pdaż D1 100 D2 140 D3 110 ppyt Ocena rzwiązania pprawineg v1 v2 v3 v4 wartści ziennych u i u1 0 u2 u3 wartści ziennych v

10 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania peracyne (wykład 4 _KT) [10] Rzwiązanie ptyalne przykładweg ZT