WYKŁAD INTERPOLACJA WIELOMIANOWA /6
Sformułowaie problemu iterpolaci. Metoda Lagrage a Rozważmy zaday uład putów {(, y ),,,..., }, zwaych dale węzłami iterpolacyymi. Poszuuemy wielomiau iterpolacyego zadaego wzorem ( )... P a a a a a i taiego, że P ( ) y,,,..., Iymi słowy wyres wielomiau powiie być liią przechodzącą przez zaday uład węzłów iterpolacyych (vide obraze Trzy podstawowe pytaia:. Czy tai wielomia istiee? 2. Jeśli ta, to czy est edyy? 3. Jeśli ta, to a go wyzaczyć? 2/6
Zaczimy od podeścia typu brutala siła (brute force approach). Podeście to polega a wypisaiu wyiaącego z waruów iterpolaci uładu rówań dla współczyiów wielomiau P ( ) y,,,...,. Uład te ma postać W otaci macierzowo-wetorowe mamy a y 2 2 a y 2 a y 2 a y Wa y gdzie elemet macierzy W (zwae macierzą Va der Moda) dae są wzorem w,,,,,..., Otrzymay uład rówań moża (przyamie w teorii) rozwiązać za pomocą ede ze stadardowych metod (p. metodą elimiaci Gaussa). Moża poazać, że eśli wszystie węzły są róże, to macierz W est ieosobliwa i uład ma edozacze rozwiązaie wielomia iterpolacyy istiee i est edyy. 3/6
Zauważmy, że stopień wielomiau iterpolacyego P est o ede iższy iż liczba węzłów. W przeciwym wypadu zagadieie wyzaczeia wielomiau iterpolacyego albo est ieoreśloe (gdy stopień wielomiay est liczby węzłów; wtedy istiee iesończeie wiele wielomiaów iterpolacyych) lub adoreśloy (gdy stopień wielomiau est < liczba węzłów mius ede; wtedy uład est a ogół sprzeczy i wielomia iterpolacyy ie istiee) Dobra wiadomość: istieą metody sprytiesze iż metoda brutala! Ich zastosowae pozwala uiąć rozwiązywaia aiegoolwie uładu rówań. Zaczimy od metody Lagrage a. Je główa idea polega a wyorzystaiu specalie sostruowaych wielomiaów iterpolacyych, daych wzorem ( ) ( )( ) ( ) l i ( ),,,..., ( ) ( )( ) ( ) i i i Kluczowa własość tych wielomiaów to l ( ) symbol Kroecera gdy gdy 4/6
Wyresy taich wielomiaów przedstawiaą się astępuąco Maąc powyże zdefiiowae wielomiay (iterpolacye Lagrage a; ie ależy ich mylić w tzw. ortogoalymi wielomiaami Lagrage a) rozwiązaie problemu iterpolaci est atychmiastowe. Wystarczy apisać P ( ) yl( ) W istocie, weryfiaca waruów iterpolaci dae astępuący efet P ( ) y l ( ) y y,,,..., 5/6
Dla docieliwych: Alteratywa (ale rówoważa) formuła dla wielomiau iterpolacyego P ma postać P ( ) ( ) y ( ) ( ) (wyazać!) gdzie ( ) ( ) ( )( )...( ) Przybliżaie (aprosymaca) fuci wielomiaem iterpolacyym Wielomia iterpolacyy może być użyty do przybliżaia iych fuci. Załóżmy, że mamy dae węzły iterpolacye {(, y ),,,..., } gdzie y f ( ),,,..., Kluczowe pytaie: aa est doładość przybliżeia (aprosymaci) zadae fuci f przez wielomia iterpolacyy P obliczoy dla tych węzłów? Ogóle odpowiedzi a ta zadae pytaie udziela astępuące twierdzeie. 6/6
( Twierdzeie : Załóżmy, że f C ) ( I ) dla pewego przedziału I z e dziedziy. Niech,,..., będą zadaymi i różymi węzłami iterpolacyymi zawartymi w I i iech ozacza dowolą liczbę w tym przedziale. Wówczas istiee taa liczba I, że błąd aprosymaci fuci f przez wielomia iterpolacyy P może być zapisay w postaci ( ) f ( ) E( ) f ( ) P ( ) ( ) ( )! gdzie ( ) ( ) ( )( )...( ) Dowód: Ustalmy ad rozważmy fucę postaci E ( ) g( t) E ( t) ( t),,,,..., ( ) Twierdzimy, że fuca g ma doładie +2 miesca zerowe (pierwiasti). 7/6
W istocie, mamy E ( ) g( ) E ( ) ( ),,,..., ( ) E ( ) g( ) E ( ) ( ) ( ) Soro ta, to pochoda g ma w przedziale I + miesc zerowych, pochoda g ma ( ) miesc zerowych, itd. Wreszcie, pochoda g ma w przedziale I doładie edo miesce zerowe ozaczmy e symbolem ξ Co to ozacza? Otóż mamy: ( g ) ( ), I E ( ) E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) E ( ) ( ) f ( ) P ( ) ( )! ( ) ( ) bo P est wspolczyi stopia przy w est rowy! ( ) co po przeształceiu dae atychmiast formułę z tezy twierdzeia. Koiec dowodu! 8/6
W przypadu szczególym rówoodległych węzłów iterpolacyych mamy h,,,...,, h Moża poazać, że dla węzłów rówoodległych maą miesce oszacowaia h ( )! ( ) ( ) ma ( ) ( ) ( ) 4 h f P f [, ] 4( ) Czy zwięszeie liczby użytych węzłów iterpolacyych prowadzi do ulepszeia aprosymaci, t. zmieszeia różicy pomiędzy orygialą fucą a przybliżaącym ą wielomiaem iterpolacyym? Nieoieczie! Rozważmy aprosymacę astępuące fuci wymiere f( ) a odciu [-,] wielomiaami iterpolacyym rozpiętych a węzłach rówoogległych. Efet poazue obraze. 2 9/6
Amplituda oscylaci wielomiau iterpolacyego w pobliżu oców przedziału powięsza się ze wzrostem ego stopia. Błąd aprosymaci ie malee, lecz wzrasta. Ściśle, ciąg liczbowy postaci ma ( ) ( ) f P [,] est rozbieży. Jest to przyład tzw. efetu Rugego. Learstwem a efet Rugego (do pewego stopia) est użycie węzłów rozmieszczoych ierówomierie. Ituica podpowiada, że w pobliżu ońców przedziału iterpolaci węzły powy być rozmieszczoe gęście. Oazue się, że istiee optymaly wybór węzłów! Dla przedziału [-,] są to liczby miesca zerowe wielomiau Czebyszewa (2-ego rodzau) stopia +, t. T 2 cos,,,..., 2 Wielomiay Czebyszewa defiiue astępuąca reguła reurecya T ( ), T ( ) T ( ) 2 T ( ) T ( ),,2,... /6
2 3 4 2 Na przyład: T2 ( ) 2, T3 ( ) 4 3, T4 ( ) 8 8, itd. Zachodzi rówież astępuący związe z fucami trygoometryczymi cos T (cos ) Z putu widzeia atualego problemu, luczowa własość wielomiaów Czebyszewa to Możemy zatem apisać [,] T ( ),,,... T T ( ) 2 ( ) ( ) 2 T Głęboie twierdzeie mówi, że dla ażdego iego wyboru + putów w przedziale [-,] mamy zawsze ma ( z ), z [,],,,..., 2 [,] t. wybór miesc zerowych wielomiau T ( ) w roli węzłów iterpolacyych miimalizue wartość bezwzględą wielomiau ( ) w przedziale [-,]. /6
Oszacowaie błędu aprosymaci przez wielomia iterpolacyy zbudoway a węzłach Czebyszewa ma postać f P f 2 ( )! ( ) ( ) ( ) ma ( ) [,] Zauważmy, że miaowi bardzo szybo malee ze wzrostem stopia wielomiau. Ozacza to, że dobre przybliżeie fuci f est możliwe awet wtedy, gdy masimum modułu e (+)-e pochode rośie szybo z. Ja poazue rysue, wybór węzłów Czebyszewa elimiue efet Rugego w aszym przyładzie. Dla przedziału [a,b] węzły Czebyszewa defiiuemy wzorem T b a 2 a b cos 2 2 2 a oszacowaie błędu aprosymaci ma postać ( b a) f P f 2 ( )! ( ) ( ) ( ) ma ( ) 2 [ ab, ] 2/6
Kostruca wielomiau iterpolacyego metodą Newtoa Na oiec przedstawimy alteratywą metodę wyzaczaia wielomiau iterpolacyego. Ja poprzedio, mamy dae iterpolacye {(, y ),(, y ),...,(, y )} Kostruuemy sewece (tablicę) tzw. różic dzieloych wg przedstawioych formuł. Należy zwrócić uwagę a sposób umerowaia oleych różic dzieloych a oleych poziomach. Y y,,,..., y y Y Y Y,,,,..., Y, 2 Y, Y,, 2,,,..., 2 2 Y, 2,..., m,,..., m Y,,..., m,,,..., m m,,..., Y Y, 2,...,,,..., Y Y, m 3/6
Następie, defiiuemy rodzię wielomiaów ( )( )...( ) ( ),,..., Wreszcie, wielomia iterpolacyy P est sostruoway astępuąco,,.., P ( ) Y Y ( ) y Y ( ) Y ( )( )... Y ( )( )...( ),,,2 2,,2,..., 2 Powyższa formuła est ieoczywista, ale e dowód est dość długi i techiczy. Moża do zaleźc w więszości podręcziów do aalizy umerycze. Ograiczymu się do poazaia a działa wzór Newtoa dla = 2. Zgodie z tym wzorem, wielomia iterpolacyy dla węzłów {(, y),(, y),( 2, y 2)} ma postać P ( ) Y Y ( ) Y ( )( ) 2,,,2 4/6
Poażemy, że wielomia P ( ) 2 istotie spełia warui iterpolaci t. P ( ),,,2 2 y Rachui przebiegaą astępuąco: P ( ) y 2 P ( ) y Y ( ) y 2, y y 2 2 y ( ) P ( ) y Y ( ) Y ( )( ) 2 2, 2,,2 2 2 y y 2 ( ) y y y y 2 2 y y y y 2 2 2 ( ) ( ) y y y y y y y2 y ( 2 2 y ( )( ) 2 ) y2 5/6
Algorytm Horera Efetywą umeryczie metodą obliczaia wartości wielomiau iterpolacyedo zadaego w formie Newtoa est algorytm Horera. Jego pseudood moża zapisać astępuąco % Algorytm Horera % Wetor % w( ) Y,,,..., s W ( ) przechowue różice dzieloe,,..., for : : ( pętla chodzi wstecz!) ed s s ( ) W ( ) retur s w Ćwiczeie: apisz w ęzyu C/C++ fucę realizuącą algorytm iterpolacyy Newtoa. 6/6